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DISANZHANG
第三章
专题：动态平衡问题
学习目标
1.通过建构矢量平行四边形或矢量三角形的方法，学会用图解法分析动态平衡问题(重点)。
2.会用解析法、相似三角形法解决动态平衡问题(重难点)。
目标一
用图解法解决动态平衡问题
如图所示，A、B为同一水平线上的两个绕绳装置，转动A、B改变绳的长度，使带有轻质光滑挂钩的物体C缓慢下降。当物体C缓慢下降过程中，两绳之间的夹角如何变化？请通过作图的方式来直观的展示出两绳拉力大小随夹角的变化规律。
观察与思考
答案　如图所示，作出矢量平行四边形，两拉力F1、F2的合力为F，由平衡条件可知F＝G，物体C下降的过程中，θ不断减小，则F1、F2不断变小。
[梳理与总结]
动态平衡：平衡问题中的一部分力是变力，是动态力，力的大小或方向缓慢变化，所以叫动态平衡，这是共点力平衡问题中的一类题型。
1.(2022·大连市高一期末)如图所示，用网兜把足球挂在竖直墙面上，悬绳对网兜的拉力为FT，墙壁对足球的支持力为FN，若不计墙面摩擦，缓慢增加悬绳的长度，下列选项正确的是
A.FT和FN都增大
B.FT和FN都减小
C.FT减小，FN增大
D.FT增大，FN减小
导 练
√
对足球受力分析，如图甲，足球受重力G、悬线的拉力FT和墙的支持力FN；画出力的矢量三角形，如图乙，缓慢增加悬绳长度过程中，重力不变，支持力的方向不变，悬线与墙壁间的夹角减小，由图乙可知，FT与FN均减小，故选B。
2.(多选)用轻绳AO、BO悬挂一个重物，BO水平，O为半圆形支架的圆心，悬点A和B在支架上。悬点A固定不动，将悬点B从如图所示位置沿支架逐渐移动到C点的过程中，绳OA和绳OB上的拉力大小的变化情况是
A.绳OA上的拉力逐渐减小
B.绳OA上的拉力先减小后增大
C.绳OB上的拉力逐渐增大
D.绳OB上的拉力先减小后增大
√
√
将绳AO、绳BO的拉力合成，其合力与重物重力等大反向，逐渐改变绳OB拉力的方向，使FB与竖直方向的夹角变小，得到多个平行四边形，如图所示，由图可知FA逐渐减小，且方向不变，而FB先减小后增大，且方向不断改变，当FB与FA垂直时，FB最小，故A、D正确。
用图解法处理三个共点力的动态平衡问题时，通常其中一个为恒力(如重力)，另两个力为变力，可通过作图分析各力的大小变化情况。
以[导练]1、2为例，解题步骤为：
(1)先画出大小、方向都不变的恒力；
(2)再画出方向不变、大小可变的力，并把表示此力的线段适当画长一些；
(3)明确方向变化的力的方向如何变化，并依次画出2～3条矢量线段表示变化趋势。
注意：当方向变化的力垂直已知方向的力时有最小值。
总结提升
目标二
用解析法解决动态平衡问题
如图所示，在目标一中用图解法展示出了两绳拉力大小随夹角的变化规律，当两绳间夹角为θ时，求两绳的拉力大小，并说明C下降时两绳拉力大小的变化情况。
观察与思考
答案　设物体C重力为G，两绳中拉力大小分别为F1、F2。物体C缓慢下降过程中，两绳夹角θ将变小，
3.(多选)如图所示，质量分别为M、m的甲、乙两个物体系在一根通过轻质光滑定滑轮的轻绳两端，甲放在水平地板上，乙被悬在空中，若将甲沿水平地板向左缓慢移动少许后，甲仍静止，则
A.绳中张力变小
B.甲对地面的压力变大
C.绳子对滑轮的力变大
D.甲所受的静摩擦力变大
导 练
√
√
以物体乙为研究对象，得到绳子张力大小F＝mg，始终不变，A错误；
以物体甲为研究对象，受力分析如图所示，由平衡条件得地面对甲的
支持力FN＝Mg－Fcos α，静摩擦力Ff＝Fsin α，甲沿水平地板向左缓慢移动少许后α增大，则FN变大，Ff变大，根据牛顿第三定律知甲对地面的压力也变大，B、D正确，
由力的平行四边形定则知，绳子对滑轮的力变小，C错误。
4.如图所示，光滑的四分之一圆弧轨道AB固定在竖直平面内，A端与水平面相切。穿在轨道上的小球在拉力F作用下，缓慢地由A向B运动，F始终沿轨道的切线方向，轨道对球的弹力为FN。在运动过程中
A.F增大，FN增大
B.F减小，FN减小
C.F增大，FN减小
D.F减小，FN增大
√
对小球进行受力分析，它受到重力、支持力和拉力的作用，如图所示。根据共点力平衡条件有：FN＝Gcos θ，F＝Gsin θ，其中θ为支持力FN与竖直方向的夹角，当小球向上移动时，θ变大，故FN减小，F增大，故选C。
解析法(数学方法)步骤：
(1)对物体受力分析。
(2)列平衡方程写出各个力之间关系的解析式。
(3)根据题目中已知力或夹角的变化，应用数学中的函数知识判断未知力的变化。
总结提升
目标三
用相似三角形法
解决动态平衡问题
在三力平衡问题中，如果有一个力是恒力，另外两个力是变力，大小、方向都变化，且方向不总是相互垂直，题目又给出了空间几何关系，多数情况下力的矢量三角形与几何三角形相似，可利用相似三角形对应边成比例进行计算。
观察与思考
5.(多选)(2022·深圳市高级中学高一期末)固定在水平面上的光滑半球的半径为R，在球心O的正上方C点固定一个光滑的小定滑轮，细线的一端拴接一小球，另一端绕过定滑轮，现用力FT将小球从如图所示位置的A点缓慢地拉至B点，在小球到达B点前的过程中，小球对半球的压力FN、细线的拉力FT大小变化情况是
A.FN不变 B.FN变小
C.FT变小 D.FT变大
导 练
√
√
在小球被拉至B点前的过程中，对小球进行受力分析，小球受重力、半球对小球的弹力和细线对小球的拉力，小球在三个力作用下缓慢滑至B点，小球在运动过程中可视为受力平衡。作出小球的受力示意图如图所示，故小球
所受重力G、半球对小球的弹力FN′和细线对小球的拉力FT
可以构成一个闭合的三角形，由图可知，三个力构成的三角形与图中由绳AC、定滑轮到水平面的高度CO及半球半径AO构成的△ACO始终相似，故有
由于小球运动过程中，CO和AO的长度不变，AC减小，小
球所受重力不变，故半球对小球的弹力FN′不变，细线对小球的拉力FT变小，由牛顿第三定律可知小球对半球的压力FN不变，故A、C正确，B、D错误。
利用相似三角形解决动态平衡问题
(1)在图示状态下对物体进行受力分析，并构建力的矢量三角形；
(2)构建与力的矢量三角形对应的几何三角形；
(3)确定三角形的对应边，利用三角形相似列出比例式；
(4)结合几何三角形中边长的变化，得出力的变化情况。
总结提升

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