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第二章　机械振动
简谐运动的描述
1.学习机械运动时，为了描述匀变速直线运动，我们引入了哪些物理量？
位移、时间、速度、加速度
2.为了描述匀速圆周运动，我们引入了哪些物理量？
线速度、角速度、周期、频率等
有些物体的振动可以近似为简谐运动，做简谐运动的物体在一个位置附近不断地重复同样的运动。如何描述简谐运动的这种独特性呢？
简谐运动的振幅、周期和频率
以下两个相同弹簧振子的运动有何不同？
振动过程中远离平衡位置的最大距离不同
位移x的一般函数表达式可写为：x＝Asin(ωt＋φ)，因为∣sin(ωt＋φ)∣≤1，所以∣x∣≤A，这说明A是物体离开平衡位置的最大距离。
M′
M
O
x
如果用M点和M′点表示水平弹簧振子在平衡位置O点右端及左端最远位置，则∣OM∣＝∣OM′∣＝A。
振幅
(1)概念：振动物体离开平衡位置的最大距离.
(2)意义：表示物体振动幅度大小的物理量，常用字母A表示.振动物体运动的范围是振幅的两倍(2A).
振动更强
振幅
振幅
振幅
振幅
说明：①位移是矢量，振幅是标量，最大位移的数值等于振幅。
②一个给定的振动，振子的位移是时刻变化的，但振幅是不变的。
以下两个弹簧振子的运动有什么相同点？哪个振动更快？
相同点：都在往复运动，运动过程有明显的对称性和周期性。
不同点：上面的振子振动的快，完成一个周期所用的时间更短。
M′
M
O
x
(1)全振动：如果从振动物体向右通过O的时刻开始计时，它将运动到M，然后向左回到O，又继续向左运动到达M′，之后又向右回到O。这样一个完整的振动过程称为一次全振动。
M′ O M
周期和频率
若从P0点向右运动开始计时，经历的一次全振动应为
M′
M
O
x
P0
注意：不管以哪里作为开始研究的起点。做简谐运动的物体完成一次全振动的时间总是相同的。
M′ O M
若从M点运动开始计时，经历的一次全振动应为
M→O→M′→O→M
P0→M→P0→O→M′→O→P0
(2)周期(T)
①定义：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，用T表示。
②单位：在国际单位制中，周期的单位是秒(s)。
(3)频率(f)
①定义：物体完成全振动的次数与所用时间之比，数值等于单位时间内完成全振动的次数，用f表示。
②单位：赫兹，简称赫，符号是Hz。1Hz＝1s-1。
(4)周期T与频率f的关系：T＝。
(5)圆频率ω：表示简谐运动的快慢，其与周期成反比、与频率成正比，它们间的关系式为ω=，ω=2πf。
说明：周期和频率都是表示物体振动快慢的物理量，周期越小，频率越大，表示物体振动越快。
1.做简谐运动的物体，一个周期内，路程和振幅有什么定量关系？半个周期呢？
无论从什么位置开始计时，振动物体在一个周期内通过的路程均为4A。
无论从什么位置开始计时，振动物体在半个周期内通过的路程均为2A。
2.同一个振动系统，弹簧振子的振动周期与振幅有关吗？
一个振动系统的周期有确定的值，由振动系统本身的性质决定，与振幅无关。
1.(2023·如皋中学高二月考)如图所示，弹簧振子在A、B间做简谐运动，O为平衡位置，A、B间距离是20 cm，小球经过A点时开始计时，经过2 s首次到达B点，则
A.从O→B→O小球做了一次全振动
B.振动周期为2 s，振幅是10 cm
C.从B开始经过6 s，小球通过的路程是60 cm
D.从O开始经过3 s，小球处在平衡位置
√
2.一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系图像如图所示，由图可知
A.质点振动的频率是4 Hz，振幅是2 cm
B.质点经过1 s通过的路程总是2 cm
C.0～3 s内，质点通过的路程为6 cm
D.t＝3 s时，质点的振幅为零
√
M′
M
O
x
P
如图，P为OM的中点，O→M振子速度减小，因此当振子从P点向右开始振动，经过四分之一个周期，振子应该运动到P点右侧的某一位置，尚未到达P点。
个周期内路程与振幅的关系
1.振动物体在个周期内的路程不一定等于一个振幅A。只有当初始时刻振动物体在平衡位置或最大位移处时，个周期内的路程才等于一个振幅。
M′
M
O
x
P
2.当初始时刻振动物体不在平衡位置或最大位移处时，若振动物体开始时运动的方向指向平衡位置，则振动物体在个周期内的路程大于A，若振动物体开始时运动的方向远离平衡位置，则振动物体在个周期内的路程小于A。
简谐运动的相位、表达式
观察两个小球的振动情况
并列悬挂两个相同的弹簧振子
(1)把小球向下拉同样的距离后同时放开，观察两球的振幅、周期、振动的步调。
实验现象：两个小球同时释放时，除了振幅和周期都相同外，还总是向同一方向运动，同时经过平衡位置，并同时到达同一侧的最大位移处。
振动步调一致
(2)再次把两个小球拉到相同的位置，先后放开两个小球，观察它们的振动有何不同？能否用之前学过的物理量来描述这种不同。
实验现象：两小球不同时释放时，它们振幅和周期均相同，但是同一时刻两小球所处的位置不同，即偏离平衡位置的位移不同。
需要引入新的物理量来描述振动的步调
振动步调不一致
x＝Asin(ωt＋φ)中，当(ωt＋φ)确定时，sin(ωt＋φ)的值也就确定了，所以(ωt＋φ)代表了做简谐运动的物体此时正处于一个运动周期中的哪个状态。
相位
(1)概念：物理学中把（ωt＋φ）叫作相位，其中φ是t＝0时的相位，叫作初相位(或初相).
(2)意义：描述做简谐运动的物体某时刻在一个运动周期中的状态。
(3)相位差：两个具有相同频率的简谐运动的相位差值Δφ＝φ2－φ1(φ2>φ1).
简谐运动的表达式
x＝Asin(ωt＋φ0)=x＝Asin(t＋φ0)，其中：x表示振动物体在t时刻离开平衡位置的位移，A为振幅，ω为圆频率，T为简谐运动的周期，φ0为初相位。
从表达式x＝Asin(ωt＋φ)体会简谐运动的周期性。当Δφ＝(ωt2＋φ)－(ωt1＋φ)＝2nπ时，Δt＝＝nT，振子位移相同，每经过周期T完成一次全振动。
A.物体A的振幅是6 m，物体B的振幅是10 m
B.物体A、B的周期相等，为100 s
C.物体A振动的频率fA等于物体B振动的频率fB
D.物体A的相位始终比物体B的相位超前
√
√
4.有一个弹簧振子，振幅为0.8 cm，周期为0.5 s，初始时具有负方向的最大加速度，则它的振动方程是
√
简谐运动的周期性和对称性
简谐运动是一种周期性的运动，简谐运动的物理量随时间周期性变化，如图所示，物体在A、B两点间做简谐运动，O点为平衡位置，OC＝OD。
(1)时间的对称
①物体来回通过相同两点间的时间相等，即tDB＝tBD。
②物体经过关于平衡位置对称的等长的两段路程的时间相等，图中tDB＝tBD＝tCA＝tAC，tOD＝tDO＝tOC＝tCO。
(2)速度的对称
①物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等，方向相反。
②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。
(3)位移的对称
①物体经过同一点(如C点)时，位移相同。
②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时，位移大小相等、方向相反。
5.(多选)弹簧振子以O点为平衡位置做简谐运动，从小球通过O点时开始计时，小球第一次到达M点用了0.3 s，又经过0.2 s第二次通过M点，则小球第三次通过M点还要经过的时间可能是
√
√
1.周期性造成多解：由于简谐运动的周期性，物体经过同一位置可以对应不同的时刻，物体的位移、加速度相同，而速度可能相同，也可能等大反向，这样就形成简谐运动的多解问题。
2.对称性造成多解：由于简谐运动具有对称性，因此当物体通过两个对称位置时，其位移、加速度大小相同，而速度可能相同，也可能等大反向，这种也形成多解问题。
振幅A
周期T
频率f
全振动
单位时间内完成全振动的次数
标量，最大位移的数值
一次全振动所需时间
圆频率ω
振幅、位移、路程的关系
相位
表达式
ωt+φ，其中φ为初相
反映位移随时间变化的规律
描述某时刻在一个运动周期中的状态
相位差
时间的对称
速度的对称
位移的对称
x＝Asin(ωt＋φ0)
二：
简谐运动的相位、表达式
一：
简谐运动的振幅、周期和频率
简
谐
运
动
的
描
述
三：
简谐运动的周期性和对称性

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