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第二章　机械振动
单摆
判天地之美，析万物之理—庄子
单摆及其回复力
游乐大摆锤
风铃
秋千
生活中的摆动
摆钟
(一)单摆
如果细线的长度不可改变；细线的质量与小球相比可以忽略；球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装置就叫做单摆.
与小球受到的重力及拉线相比，空气等对它的阻力可以忽略.
θ
l
理想化模型
摆线
摆球
实际摆长=摆线长+摆球的半径
摆线长
θ
l
不易伸缩的细线
质量大、体积小
摆球的半径
实际摆
(一)单摆
平衡位置
O
O
A’
A
FT
mg
mgcosθ
mgsinθ
圆弧
如图所示,一根细线上端固定,下端连接一个金属小球,用手使小球偏离竖直方向一个很小的夹角,然后释放,小球在A、A'间来回摆动,不计空气的阻力。
(1)小球摆动过程中受到哪些力的作用
(2)什么力提供向心力 什么力提供回复力
小球受重力和细线的拉力作用。
F = mgsinθ
Fn = FT - mgcosθ
切向（回复力）:
径向（向心力）:
平衡位置
O
O
A’
A
FT
mg
mgcosθ
mgsinθ
圆弧
(3)小球经过O点平衡位置时回复力为零,合外力也为零吗
小球经过平衡位置时,做圆周运动,其合外力不为零
平衡位置
O
O
B
A
C
圆弧
x
D
回复力F = mgsinθ
F= - kx
l
夹角θ sinθ 弧度值θ
1° 0.01745 0.01745
2° 0.03490 0.03491
3° 0.05234 0.05236
4° 0.06976 0.06979
5° 0.08716 0.08725
②当 θ 很小时，sinθ≈θ
①当θ 很小时，弧长≈x
当摆角很小时，单摆在竖直面内的摆动可看作是简谐运动.
回复力与位移的方向相反
细线下悬挂一个漏斗，漏斗内装满沙子。当漏斗摆动时，沿着垂直于摆动的方向匀速拖动木板，观察呈现在木板上的沙子图样。
(二)单摆的回复力
(1)来源：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力提供回复力.
(2)规律：在摆角很小的情况下，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总是指向平衡位置，即F＝ . 从回复力特点可以判断单摆做简谐运动.
(1)单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力。(　　)
(2)单摆经过平衡位置时受到的合力为零。(　　)
(3)单摆摆动到最高点时速度为零，合外力也为零。(　　)
×
×
×
1.(2023·青岛一中月考)图中O点为单摆的固定悬点，现将摆球(可视为质点)拉至A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，B点为运动中的最低位置，则在摆动过程中
A.摆球受到重力、拉力、回复力三个力的作用
B.摆球在A点和C点处，速度为零，回复力也为零
C.摆球在B点处，速度最大，细线拉力也最大
D.摆球在B点处，速度最大，回复力也最大
√
2.(多选)如图所示为一单摆的振动图像，则
A.t1和t3时刻摆线的拉力等大
B.t2和t3时刻摆球速度相等
C.t3时刻摆球速度正在减小
D.t4时刻摆线的拉力正在减小
√
√
单摆的周期
一条短绳系一个小球，它的振动周期较短。
悬绳较长的秋千，周期较长。
秒摆：用大约1m长的细线栓着小钢球，它的周期大约为2s;
傅科摆：摆长大约67m的傅科摆，它的周期约为16.43s
傅科摆
不同的单摆周期不同，那么单摆的周期与哪些因素有关？
应该采用什么实验方法进行研究？
摆长l、摆球质量m、振幅A
探究方法：控制变量法
研究单摆的振幅、质量、摆长对周期的影响。
现象和结论：两摆同步摆动，说明周期与振幅无关，即摆长和质量相同，振幅不同，周期相同。
单摆的等时性：单摆的周期与振幅无关的性质。
实验一：将摆长相同、质量相同的摆球拉到不同高度（即振幅不同，都在小偏角下）自由释放，观察两摆的摆动情况。
定性研究影响单摆周期的因素
实验二：将摆长相同、质量不同摆球拉到同一高度（振幅相同）自由释放，观察两摆的摆动情况。
现象和结论：两摆同步摆动，说明周期与质量无关，
即：摆长和振幅相同，质量不同，周期相同。
定性研究影响单摆周期的因素
实验三：将摆长不同、质量相同摆球拉到同一高度（振幅相同）自由释放，观察两摆的摆动情况。
现象和结论：两摆不同步摆动，说明周期与摆长有关，
即：振幅和质量相同，摆长不同，周期不同，摆长越长，周期越大。
定性研究影响单摆周期的因素
单摆的周期
1.单摆振动的周期与摆球质量无关，与振幅无关，但与摆长有关，摆长越长，周期越大.
2.(1)提出：单摆周期公式是荷兰物理学家惠更斯首先提出的。
（2）单摆的周期公式T＝ ，即周期T 与摆长l的二次方根成
正比,与重力加速度g 的二次方根成反比,而与振幅、摆球质量无关.
惠更斯利用摆的等时性发明了带摆的计时器，叫摆钟。摆钟运行时克服摩擦所需的能量由重锤的势能提供，运行的速率由钟摆控制。旋转钟摆下端的螺母可以使摆上的圆盘沿摆杆上下移动。请思考：
(1)摆针走时偏快应如何校准？
调节螺母使圆盘沿摆杆下移。
(2)将一个走时准确的摆钟从福建移到北京，摆钟应如何校准？
调节螺母使圆盘沿摆杆下移。
(1)摆球的质量越大，周期越大。(　　)
(2)若单摆的振幅变为原来的一半，则周期也将变为原来的一半。
(　　)
×
×
3.(来自教材)周期是2 s的单摆叫秒摆，秒摆的摆长是多少？把一个地球上的秒摆拿到月球上去，它在月球上做50次全振动要用多少时间？已知地球表面的重力加速度为9.8 m/s2，月球上的自由落体加速度为1.6 m/s2，π2取9.8。
B.甲、乙两单摆振动的频率之比是3∶2
C.甲、乙两单摆振动的周期之比是2∶3
D.若甲、乙两单摆在不同地点摆动，但摆长相同，则甲、乙两单摆所在
地点的重力加速度之比为9∶4
4.(多选)(2022·白城市洮南十中月考)甲、乙两个单摆的振动图像如图所示，根据振动图像可以判定
A.若甲、乙两单摆在同一地点摆动，甲、乙两单摆摆
长之比是9∶4
√
√
√
5.如图所示，MN为半径较大的光滑圆弧的一部分，把小球A放在MN的圆心处，再把另一个小球B放在MN上离最低点C很近的B处(弧BC所对圆心角小于5°)，今使两小球同时由静止释放，则
A.球A先到达C点
B.球B先到达C点
C.两球同时到达C点
D.无法确定哪个球先到达C点
√
6.如图所示为相同的小球(可看作质点)构成的单摆，所有的绳子长度都相同，在不同的条件下的周期分别为T1、T2、T3、T4(其中(3)图两小球均带负电荷，(4)图中振动系统处于匀加速下降的电梯内)，关于周期大小关系的判断，正确的是
A.T1>T2>T3>T4 B.T4C.T4>T1＝T3>T2 D.T1√
对l、g的理解
(1)公式中l是摆长，即悬点到摆球球心的距离。
(b)图中，乙在垂直纸面方向摆动时，其等效摆长等于甲摆的摆长；乙在纸面内小角度摆动时，等效摆长等于丙摆的摆长。
(2)①公式中g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定。
②等效重力加速度：一般情况下，公式中g的值等于摆球静止在平衡位置时，摆线的拉力与摆球质量的比值。
二：单摆的周期
一：单摆及其回复力
单摆
单摆
单摆的回复力
理想化模型
重力沿圆弧切线方向的分力提供
摆角很小时，与位移成正比，指向平衡位置
证明单摆做简谐运动
影响因素
周期公式
惠更斯首次提出
与摆球质量、振幅无关，与摆场有关
等效摆长
等效重力加速度

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