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专题23　　电容器 带电粒子在电场中的运动
题型 选择题 命题趋势和备考策略
高考考点 平行板电容器的动态平衡问题； 带电粒子在电场中的直线运动； 带电粒子在电场中的偏转问题 【命题规律】 近3年新高考卷对于本节内容考查共计28次，主要考查： 平行板电容器的动态平衡问题； 带电粒子在电场中的直线运动； 带电粒子在电场中的偏转问题 【备考策略】 理解电容器的充放电现象，并能根据充放电现象判断电容器的动态变化情况；掌握带电粒子在电场中的受力分析方法，判断带电粒子在电场中的偏转情况和运动情况；熟练掌握平抛运动的特点和规律，正确应用牛顿第二定律解决类平抛问题。 【命题预测】 本节内容包括两部分：（1）电容和电容器；（2）带电粒子在电场中的运动（包括偏转）。电容在高考题中，往往考察电容的充放电过程中的动态变化，此类题型难度一般。带电粒子在电场中运动，近几年来选择题和解答题都有所考察，并且压轴题的形式出现的次数偏多，常与磁场结合在考题中，考察范围较广。2024年考生务必掌握本节内容。
新高考 2023 山东卷15题、北京卷19题、北京卷8题、湖北卷10题、浙江卷12题、陕西卷12题、全国甲卷19题、浙江卷12题
2022 重庆卷2题、北京卷9题、福建卷8题、北京卷18题、江苏卷15题、辽宁卷14题、海南卷11题、湖北卷4题、浙江卷15题、浙江卷9题、广东卷14题、全国卷21题
2021 重庆卷4题、江苏卷2题、福建15题、天津卷8题、北京卷18题、广东卷6题、全国甲卷20题、湖南卷9题
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知识梳理
一、电容器 2
二、带电粒子在匀强电场中的运动　示波管 2
考点突破
考点一　平行板电容器的动态分析 3
角度1：两极间电势差不变 4
角度2：两极板带电量不变 4
考点二　带电粒子在电场中的直线运动 6
角度1：带电粒子在匀强电场中的直线运动 7
角度2：带电粒子在周期性变化电场中的直线运动 8
考点三　带电粒子在电场中的偏转 10
角度1：带电粒子在匀强电场中的类平抛运动 11
角度2：带电粒子在周期性变化电场中的运动 13
考点过关
【素质基础练】 17
【能力提高练】 24
【高考通关练】 32
一、电容器
1．电容器的充、放电
(1)充电：使电容器带电的过程，充电后电容器两极板带上等量的 ，电容器中储存
(2)放电：使充电后的电容器失去电荷的过程，放电过程中电场能转化为其他形式的能．
2．公式C＝和C＝的比较
(1)定义式：C＝，不能理解为电容C与Q成正比、与U成反比，一个电容器电容的大小是由电容器 决定的，与电容器是否带电及带电多少无关．
(2)决定式：C＝，εr为介电常数，S为极板 ，d为板间距离．
二、带电粒子在匀强电场中的运动　示波管
1．直线问题：若不计粒子的重力，则电场力对带电粒子做的功等于带电粒子 的增量．
(1)在匀强电场中：W＝ ＝qU＝mv2－mv.
(2)在非匀强电场中：W＝qU＝mv2－mv.
2．偏转问题：
(1)条件分析：不计重力的带电粒子以速度v0垂直于电场线方向飞入匀强电场．
(2)运动性质： 运动．
(3)处理方法：利用运动的合成与分解．
①沿初速度方向：做 运动．
②沿电场方向：做初速度为零的 运动．
3．示波管的构造：①电子枪，②偏转电极，③荧光屏．(如图1所示)
图1
【深度思考】带电粒子在电场中运动时一定考虑受重力吗？
考点一　平行板电容器的动态分析
一、两类典型问题
1．电容器始终与恒压电源相连，电容器两极板间的电势差U保持不变．
2．电容器充电后与电源断开，电容器两极所带的电荷量Q保持不变．
二、动态分析思路
1．U不变
(1)根据C＝＝先分析电容的变化，再分析Q的变化．
(2)根据E＝分析场强的变化．
(3)根据UAB＝E·d分析某点电势变化．
2．Q不变
(1)根据C＝＝先分析电容的变化，再分析U的变化．
(2)根据E＝分析场强变化．
角度1：两极间电势差不变
【典例1】（2022·重庆·高考真题）如图为某同学采用平行板电容器测量材料竖直方向尺度随温度变化的装置示意图，电容器上极板固定，下极板可随材料尺度的变化上下移动，两极板间电压不变。若材料温度降低时，极板上所带电荷量变少，则（　　）
A．材料竖直方向尺度减小 B．极板间电场强度不变
C．极板间电场强度变大 D．电容器电容变大
角度2：两极板带电量不变
【典例2】（2021·重庆·高考真题）电容式加速传感器常用于触发汽车安全气囊等系统，如图所示。极板M、N组成的电容器视为平行板电容器，M固定，N可左右运动，通过测量电容器板间的电压的变化来确定汽车的加速度。当汽车减速时，极板M、N间的距离减小，若极板上的电荷量不变，则该电容器（　　）
A．电容变小 B．极板间电压变大
C．极板间电场强度不变 D．极板间的电场强度变小
【变式1】（2024·广西南宁·南宁三中校联考模拟预测）如图所示，水平放置的平行金属板M、N与输出电压恒为U的电源两极相连，两金属板M、N间的距离为d，正对面积为S，现恰好有一质量为m的带电油滴在两金属板中央悬浮不动，已知静电力常量为k，M、N间可看作真空，真空的介电常数，重力加速度为g，则（　　）

A．带电油滴的电荷量
B．金属板M所带电量
C．将金属板N突然下移，带电油滴获得向下的加速度
D．将金属板N突然上移，油滴未来得及发生位移的瞬间，油滴电势能减小为原来的倍
【变式2】（2023·甘肃·统考三模）如图所示，一对面积较大的平行板电容器AB水平放置，A板带正电荷，B板接地，P为两板中点，再使A、B分别以中心点O、O 为轴在竖直平面内转过一个相同的小角度θ，下列结论正确的是（　　）

A．电容器AB的电容不变 B．两板间电场强度变大
C．两板间的P点电势增大 D．两板间的P点电势降低
考点二　带电粒子在电场中的直线运动
1．做直线运动的条件
(1)粒子所受合外力F合＝0，粒子或静止，或做匀速直线运动．
(2)粒子所受合外力F合≠0，且与初速度方向在同一条直线上，带电粒子将做匀加速直线运动或匀减速直线运动．
2．用动力学观点分析
a＝，E＝，v2－v＝2ad.
3．用功能观点分析
匀强电场中：W＝Eqd＝qU＝mv2－mv
非匀强电场中：W＝qU＝Ek2－Ek1
角度1：带电粒子在匀强电场中的直线运动
【典例3】（2022·北京·高考真题）如图所示，真空中平行金属板M、N之间距离为d，两板所加的电压为U。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从M板由静止释放。不计带电粒子的重力。
（1）求带电粒子所受的静电力的大小F；
（2）求带电粒子到达N板时的速度大小v；
（3）若在带电粒子运动距离时撤去所加电压，求该粒子从M板运动到N板经历的时间t。
角度2：带电粒子在周期性变化电场中的直线运动
【典例4】（2023·浙江温州·统考三模）如图甲所示为粒子直线加速器原理图，它由多个横截面积相同的同轴金属圆筒依次组成，序号为奇数的圆筒与序号为偶数的圆筒分别和交变电源相连，交变电源两极间的电势差的变化规律如图乙所示。在时，奇数圆筒比偶数圆筒电势高，此时和偶数圆筒相连的金属圆板（序号为0）的中央有一自由电子由静止开始在各间隙中不断加速。若电子的质量为m，电荷量为e，交变电源的电压为U，周期为T。不考虑电子的重力和相对论效应，忽略电子通过圆筒间隙的时间。下列说法正确的是（　　）
A．电子在圆筒中也做加速直线运动
B．电子离开圆筒1时的速度为
C．第n个圆筒的长度应满足
D．保持加速器筒长不变，若要加速比荷更大的粒子，则要调大交变电压的周期
【变式1】（2023·浙江绍兴·统考二模）霍尔推进器将来可能安装在飞船上用于星际旅行，其简化的工作原理如图所示，放电通道两端电极间存在加速电场，该区域内有与电场近似垂直的约束磁场（未画出）用于提高工作物质被电离的比例，工作时，工作物质氙气进入放电通道后被电离为氙离子，再经电场加速喷出，形成推力，某次测试中，氙气被电离的比例为，氙离子喷射速度为，推进器产生的推力为，推进器质量，已知氙离子的比荷为；计算时，取氙离子的初速度为零，忽略磁场对离子的作用力及粒子之间的相互作用，则（　　）

A．将该推进器用于宇宙航行时，飞船获得的加速度
B．氙离子的加速电压约为
C．氙离子向外喷射形成的电流约为
D．每秒进入放电通道的氙气质量约为
【变式2】（2023·浙江杭州·统考二模）如图甲所示，某多级直线加速器由n个横截面积相同的金属圆筒依次排列，其中心轴线在同一直线上，各金属圆筒依序接在交变电源的两极M、N上，序号为C的金属圆板中央有一个质子源，质子逸出的速度不计，M、N两极加上如图乙所示的电压，一段时间后加速器稳定输出质子流。已知质子质量为m、电荷量为e，质子通过圆筒间隙的时间不计，且忽略相对论效应，则（　　）
A．质子在各圆筒中做匀加速直线运动 B．质子进入第n个圆筒瞬间速度为
C．各金属筒的长度之比为1:：： D．质子在各圆筒中的运动时间之比为1:：：
考点三　带电粒子在电场中的偏转
1．运动规律
(1)沿初速度方向做 运动，运动时间
(2)沿电场力方向，做 运动
2．两个结论
(1)不同的带电粒子从静止开始经过同一电场加速后再从同一偏转电场射出时，偏移量和偏转角总是相同的．
证明：由qU0＝mv
y＝at2＝··()2
tan θ＝
得：y＝，tan θ＝
(2)粒子经电场偏转后，合速度的反向延长线与初速度延长线的交点O为粒子水平位移的中点，即O到偏转电场边缘的距离为.
3．功能关系
当讨论带电粒子的末速度v时也可以从能量的角度进行求解：qUy＝mv2－mv，其中Uy＝y，指初、末位置间的电势差．
角度1：带电粒子在匀强电场中的类平抛运动
【典例5】（多选）（2023·湖北·统考高考真题）一带正电微粒从静止开始经电压加速后，射入水平放置的平行板电容器，极板间电压为。微粒射入时紧靠下极板边缘，速度方向与极板夹角为，微粒运动轨迹的最高点到极板左右两端的水平距离分别为和L，到两极板距离均为d，如图所示。忽略边缘效应，不计重力。下列说法正确的是（ ）

A．
B．
C．微粒穿过电容器区域的偏转角度的正切值为2
D．仅改变微粒的质量或者电荷数量，微粒在电容器中的运动轨迹不变
角度2：带电粒子在周期性变化电场中的运动
【典例6】（2022·江苏·高考真题）某装置用电场控制带电粒子运动，工作原理如图所示，矩形区域内存在多层紧邻的匀强电场，每层的高度均为d，电场强度大小均为E，方向沿竖直方向交替变化，边长为，边长为，质量为m、电荷量为的粒子流从装置左端中点射入电场，粒子初动能为，入射角为，在纸面内运动，不计重力及粒子间的相互作用力。
（1）当时，若粒子能从边射出，求该粒子通过电场的时间t；
（2）当时，若粒子从边射出电场时与轴线的距离小于d，求入射角的范围；
（3）当，粒子在为范围内均匀射入电场，求从边出射的粒子与入射粒子的数量之比。
【变式1】（2023·陕西·陕西师大附中校考模拟预测）竖直平面内存在方向水平的匀强电场，电场区域间距为，在该区域下边界的点将质量为、电荷量为的小球以一定的初速度竖直上抛，小球从上边界离开电场，再次进入电场后在电场中做直线运动，到达下边界的点，已知小球到达点的速度大小为从点进入电场时速度大小的倍，动量方向与水平面的夹角为。不计空气阻力，重力加速度大小为。求：
（1）角的正切值和该电场的电场强度；
（2）小球由到的运动时间。
【变式2】（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考三模）实验小组用如图所示装置研究带电粒子在两个平行金属板间的运动，已知板长为L，两板间距d未知，将放射源P行金属板，放射出的带电粒子沿平行金属板A、B的中轴线MN射入板间，平行金属板A、B间加有如图所示的交变电压，已知电压，周期T未知，当电压稳定时，板间是匀强电场。质量为m、电量为q的粒子以的速率在时刻从M点进入板间，T时刻离开金属板，运动过程中恰好不与金属板碰撞（粒子重力忽略不计）。求：平行板A、B的间距d是多少？

考点过关
【素质基础练】
1．（2023·浙江·模拟预测）半导体指纹传感器，多用于手机、电脑、汽车等设备的安全识别，如图所示。传感器半导体基板上有大量金属颗粒，基板上的每一点都是小极板，其外表面绝缘。当手指的指纹一面与绝缘表面接触时，由于指纹凹凸不平，凸点处与凹点处分别与半导体基板上的小极板形成正对面积相同的电容器，使每个电容器的电压保持不变，对每个电容器的放电电流进行测量，即可采集指纹。指纹采集过程中，下列说法正确的是（　　）
A．指纹的凹点处与小极板距离远，电容大
B．指纹的凸点处与小极板距离近，电容小
C．手指挤压绝缘表面，电容器两极间的距离减小，电容器带电量增大
D．手指挤压绝缘表面，电容器两极间的距离减小，电容器带电量减小
2．（2023·福建漳州·统考二模）如图莱顿瓶是一个玻璃容器，瓶内、外壁各贴着一圈金属箔，作为里、外两个极板，穿过橡皮塞的铜棒上端是一个球形电极，下端利用铁链与内壁金属箔连接，外壁金属箔接地，在其他因素视为不变的情况下，下列说法正确的是（　　）
A．金属箔越厚，莱顿瓶的电容越大 B．金属箔越厚，莱顿瓶的电容越小
C．瓶壁玻璃越薄，莱顿瓶的电容越小 D．瓶壁玻璃越薄，莱顿瓶的电容越大
3．（2023·湖北·统考模拟预测）如图所示，平行板电容器通过理想二极管与电池相连，当二极板间距离减小后，则两板间的电压U和电场强度E，电容器电容C及电量Q与原来相比（　　）

A．U变小 B．E变大 C．C不变 D．Q不变
4．（2023·湖南株洲·统考三模）如图所示，M和N为电容器两极板，一直保持与导线相连，M极板左端绝缘固定，N极板两端用绝缘材料与两轻弹簧连接，N极板只能沿图中标识的上下方向运动，当N极板静止时，两极板间距为，在外力驱动下，N极板做简谐运动，向下运动至最低点时，两极板间距，运动到最高点时两极板相距，下列说法正确的是（　　）
A．当N极板向上运动时，电流表电流方向从
B．N极板完成一个运动周期运动，回路电流方向改变1次
C．当N极板从最低点运动到最高点的过程中，极板电荷量减少
D．N极板在最低点和最高点时，电容器中场强之比为
5．（2023·陕西·陕西师大附中校考模拟预测）电子显微镜的工作原理是用高电压对电子束加速，最后打在感光胶片上，观察显微图像。现用电子显微镜观测某生物大分子的结构，为满足测量要求，将显微镜工作时观测线度设定为电子的德布罗意波长的n倍，其中。已知普朗克常量h、电子质量m和电子电荷量e，电子的初速度不计，显微镜工作时的加速电压为U，则该显微镜的观测线度为（　　）
A． B．
C． D．
6．（2023·河北沧州·河北省吴桥中学校考模拟预测）如图所示为某静电场中x轴上各点电势的分布图。一电子从原点处以一定的初速度沿x轴正方向射出，仅在电场力的作用下在x轴上做直线运动，下列说法正确的是（　　）
A．电子运动到处时速度最小
B．处的电场强度方向沿x轴负方向
C．电子从处运动至处，加速度先减小后增大
D．电子在处的速度大于在处的速度
7．（2023·四川凉山·统考三模）如图所示，A、B、C、D、E、F、G、H是竖直光滑绝缘圆轨道的八等分点，竖直，空间存在平行于圆轨道面的匀强电场，从A点静止释放一质量为m的带电小球，小球沿圆弧恰好能到达C点。若在A点给带电小球一个水平向右的冲量，让小球沿轨道做完整的圆周运动，则小球在运动过程中（　　）

A．E点的动量最小 B．B点的电势能最大
C．C点的机械能最大 D．F点的机械能最小
8．（2023·重庆·统考二模）如图所示，一带电粒子以速度从点沿两极板中线射入平行板电容器，若电容器极板间只有图示磁感应强度为的匀强磁场时，该粒子从上极板右端点射出，若电容器极板间只有图示电场强度为的匀强电场时，该粒子从下极板右端点射出，若电容器极板间同时有图示磁感应强度为的匀强磁场和电场强度为的匀强电场时，该粒子将（不计粒子重力）（　　）
A．从间射出 B．从间射出
C．从点射出 D．无法直接射出
9．（2023·浙江·模拟预测）如图所示，竖直方向的平行线表示电场线，但未标明方向。一个带电量为q＝10－6C的微粒，仅受电场力的作用，从M点运动到N点时，动能增加了10－4J，则（　　）
A．该电荷运动的轨迹是b B．该电荷从M点运动到N点时电势能增加
C．MN两点间的电势差为100V D．该电荷从M点由静止开始运动
10．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）如图所示，空间内匀强电场的方向竖直向下，S为点光源，MN为竖直墙壁，S到MN的距离为L。一可视为质点的带电小球A，其质量为m、所带电荷量为q（q>0）。将小球A从点光源S处以大小为v0的初速度向右水平抛出，小球A最终打在墙壁上。已知电场强度大小为，重力加速度的大小为g，不计空气阻力，求：
（1）小球A在空间运动时的加速度a的大小；
（2）小球A运动时间t时，小球在墙壁上的影子的速度v的大小。
【能力提高练】
1．（多选）（2023·湖南郴州·郴州一中校联考模拟预测）如图所示，G为静电计，M、N为平行板电容器的金属板，开始时开关S闭合，静电计指针张开一定角度。若不考虑静电计引起的电荷量变化，则下列说法正确的是（　　）

A．保持开关S闭合，将两极板间距减小，两极板间的电场强度增大
B．保持开关S闭合，将滑动变阻器R的滑片P向左移动，静电计指针张开角度变大
C．断开开关S后，紧贴N极板插入金属板，静电计指针张开角度变小
D．断开开关S后，将两极板间距增大，两极板间的电势差U减小
2．（多选）（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）如图所示的两个平行板电容器水平放置，A板用导线与板相连，B板和板都接地。已知A板带正电，在右边电容器间有一个带电油滴N处于静止状态。AB间电容为，电压为，带电量为；间电容为，电压为，带电量为，若将左边电容器间的绝缘介质抽出，则（　　）

A．减小，增大 B．减小，增大
C．减小，增大 D．N原来所在位置处的电势升高且N向上运动
3．（多选）（2023·安徽·模拟预测）如图，虚线是某静电场中在同一竖直面内的等势线，一根粗细均匀的光滑绝缘细杆竖直固定在等势线所在的竖直面内，一个质量为、带正电小球套在杆上（可以自由滑动）。现让小球在A点由静止释放，从A到加速运动的过程中，加速度不断减小，则下列判断正确的是（　　）

A．等势线的电势比等势线的电势高
B．从A到过程中，小球的机械能不断减小
C．小球机械能变化量的绝对值从A到大于从A到
D．若小球沿杆运动能至点，在点的速度可能为零
4．（多选）（2023·海南·统考模拟预测）如图所示，空间存在着方向竖直向下的匀强电场，光滑斜面与粗糙绝缘水平地面平滑连接，斜面与水平面的夹角。质量为、电荷量为的带正电小物块（可视为质点）从A点由静止释放，经过点后进入水平面，最后停在点。若小物块经过点前后速度大小不变，电场的电场强度大小为，，，重力加速度取，，，下列说法正确的是（　　）

A．小物块在斜面上运动的加速度大小为
B．小物块从A点运动到点所用的时间为
C．小物块与水平地面间的动摩擦因数为0.4
D．小物块从A点运动到点，静电力所做的功等于系统内能的增加量
5．（多选）（2023·河南·校联考模拟预测）如图所示，在点电荷形成的电场中一根光滑直杆竖直放置，A、B为杆上相距的两点，一带正电小球穿在杆上，从A点由静止释放，运动到B点时速度为，已知重力加速度，下列说法正确的是（　　）

A．A、B两点的电场强度相同 B．A、B两点的电势相同
C．点电荷一定在A、B两点连线的中垂面上 D．点电荷距A点的距离一定为
6．（2023·湖北·模拟预测）如图所示，固定在水平面上的半径为r的金属圆环内存在方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。长为l的金属棒，一端与圆环接触良好，另一端固定在竖直导电转轴上，接入回路的电阻为R，随轴以角速度匀速转动。在圆环的A点和电刷间接有阻值也为R的电阻和电容为C、板间距为d的平行板电容器，有一带电微粒在电容器极板间处于静止状态。已知重力加速度为g，不计其它电阻和摩擦，下列说法正确的是（　　）

A．回路中的电动势为 B．微粒的电荷量与质量之比为
C．电阻消耗的电功率为 D．电容器所带的电荷量为
7．（2023·安徽·校联考模拟预测）如图所示，一对等量异号点电荷分别固定在正方体的c、d两个顶点上，a、b是正方体的另外两个顶点，一带正电的粒子仅在电场力的作用下，以一定的初速度从a点运动到b点的轨迹如图中虚线所示，则下列说法中正确的是（　　）

A．c点固定的是负电荷 B．a、b两点的电势相等
C．带电粒子在a点和b点的加速度相同 D．带电粒子的动量先增加后减小
8．（2023·湖南永州·湖南省道县第一中学校考模拟预测）人体的细胞膜模型图如图a所示，由磷脂双分子层组成，双分子层之间存在电压（医学上称为膜电位），现研究某小块均匀的细胞膜，厚度为d，膜内的电场可看作匀强电场，简化模型如图b所示，初速度可视为零的一价正钠离子仅在电场力的作用下，从图中的A点运动到B点，下列说法正确的是（ ）
A．A点电势小于B点电势
B．钠离子的电势能增大
C．若膜电位不变，仅增大d，则钠离子到达B点的速度越大
D．若d不变，仅增大膜电位，则钠离子到达B点的时间越短
9．（2023·江苏·统考一模）一质量为，带电量为的小球从水平放置的带正电圆环的轴线处A点由静止释放，A、关于点对称，下列判断正确的是（　　）
A．小球在点处动能最大 B．小球在点的加速度最大
C．小球在点的电势能最小 D．小球可能在A、间往复运动
10．（2023·云南·校联考模拟预测）如图，A、B、C为竖直平面中三点，构成一个等边三角形，AB沿水平方向，空间中存在一平行于竖直平面的匀强电场，三个质量均为m的小球a、b、c分别从A点以相同大小的初速度v抛出。小球a不带电，从A点水平向右抛出，一段时间后经过C点；小球b带正电，电量大小为q，从A点抛出后一段时间经过B点，经过B点时的动能为初动能的13倍；小球c带正电，电量大小也为q，从A点抛出后一段时间经过C点，经过C点时的动能为初动能的25倍。已知重力加速度为g，小球先后抛出，不考虑小球碰撞，不计小球间的相互作用，求：
（1）小球a经过C点的速度大小；
（2）场强的大小和方向。
【高考通关练】
1．（2023·浙江·高考真题）如图所示，示波管由电子枪竖直方向偏转电极YY′、水平方向偏转电极XX′和荧光屏组成。电极XX′的长度为l、间距为d、极板间电压为U，YY′极板间电压为零，电子枪加速电压为10U。电子刚离开金属丝的速度为零，从电子枪射出后沿OO′方向进入偏转电极。已知电子电荷量为e，质量为m，则电子（ ）
A．在XX′极板间的加速度大小为
B．打在荧光屏时，动能大小为11eU
C．在XX′极板间受到电场力的冲量大小为
D．打在荧光屏时，其速度方向与OO′连线夹角α的正切
2．（2022·湖北·统考高考真题）密立根油滴实验装置如图所示，两块水平放置的金属板分别与电源的正负极相接，板间产生匀强电场。用一个喷雾器把密度相同的许多油滴从上板中间的小孔喷入电场，油滴从喷口喷出时由于摩擦而带电。金属板间电势差为U时，电荷量为q、半径为r的球状油滴在板间保持静止。若仅将金属板间电势差调整为2U，则在板间能保持静止的球状油滴所带电荷量和半径可以为（　　）
A．q，r B．2q，r C．2q，2r D．4q，2r
3．（2022·湖北·统考高考真题）如图所示，一带电粒子以初速度v0沿x轴正方向从坐标原点О射入，并经过点P（a>0，b>0）。若上述过程仅由方向平行于y轴的匀强电场实现，粒子从О到Р运动的时间为t1，到达Р点的动能为Ek1。若上述过程仅由方向垂直于纸面的匀强磁场实现，粒子从O到Р运动的时间为t2，到达Р点的动能为Ek2。下列关系式正确的是·（　　）
A．t1 t2
C．Ek1Ek2
4．（2023·山东·统考高考真题）电磁炮灭火消防车（图甲）采用电磁弹射技术投射灭火弹进入高层建筑快速灭火。电容器储存的能量通过电磁感应转化成灭火弹的动能，设置储能电容器的工作电压可获得所需的灭火弹出膛速度。如图乙所示，若电磁炮正对高楼，与高楼之间的水平距离，灭火弹出膛速度，方向与水平面夹角，不计炮口离地面高度及空气阻力，取重力加速度大小，。
（1）求灭火弹击中高楼位置距地面的高度H；
（2）已知电容器储存的电能，转化为灭火弹动能的效率，灭火弹的质量为，电容，电容器工作电压U应设置为多少？

5．（2023·山西·统考高考真题）密立根油滴实验的示意图如图所示。两水平金属平板上下放置，间距固定，可从上板中央的小孔向两板间喷入大小不同、带电量不同、密度相同的小油滴。两板间不加电压时，油滴a、b在重力和空气阻力的作用下竖直向下匀速运动，速率分别为v0、；两板间加上电压后（上板为正极），这两个油滴很快达到相同的速率，均竖直向下匀速运动。油滴可视为球形，所受空气阻力大小与油滴半径、运动速率成正比，比例系数视为常数。不计空气浮力和油滴间的相互作用。
（1）求油滴a和油滴b的质量之比；
（2）判断油滴a和油滴b所带电荷的正负，并求a、b所带电荷量的绝对值之比。

21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题23　　电容器 带电粒子在电场中的运动
题型 选择题 命题趋势和备考策略
高考考点 平行板电容器的动态平衡问题； 带电粒子在电场中的直线运动； 带电粒子在电场中的偏转问题 【命题规律】 近3年新高考卷对于本节内容考查共计28次，主要考查： 平行板电容器的动态平衡问题； 带电粒子在电场中的直线运动； 带电粒子在电场中的偏转问题 【备考策略】 理解电容器的充放电现象，并能根据充放电现象判断电容器的动态变化情况；掌握带电粒子在电场中的受力分析方法，判断带电粒子在电场中的偏转情况和运动情况；熟练掌握平抛运动的特点和规律，正确应用牛顿第二定律解决类平抛问题。 【命题预测】 本节内容包括两部分：（1）电容和电容器；（2）带电粒子在电场中的运动（包括偏转）。电容在高考题中，往往考察电容的充放电过程中的动态变化，此类题型难度一般。带电粒子在电场中运动，近几年来选择题和解答题都有所考察，并且压轴题的形式出现的次数偏多，常与磁场结合在考题中，考察范围较广。2024年考生务必掌握本节内容。
新高考 2023 山东卷15题、北京卷19题、北京卷8题、湖北卷10题、浙江卷12题、陕西卷12题、全国甲卷19题、浙江卷12题
2022 重庆卷2题、北京卷9题、福建卷8题、北京卷18题、江苏卷15题、辽宁卷14题、海南卷11题、湖北卷4题、浙江卷15题、浙江卷9题、广东卷14题、全国卷21题
2021 重庆卷4题、江苏卷2题、福建15题、天津卷8题、北京卷18题、广东卷6题、全国甲卷20题、湖南卷9题
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目录
专题23　　电容器 带电粒子在电场中的运动 1
一、电容器 2
二、带电粒子在匀强电场中的运动　示波管 2
考点一　平行板电容器的动态分析 3
一、两类典型问题 3
二、动态分析思路 3
一、将“平均速度”等效为“中间时刻的瞬时速度” 4
考点过关 4
【素质基础练】 4
【能力提高练】 4
【高考通关练】 4
知识梳理
考点突破
考点过关
一、电容器
1．电容器的充、放电
(1)充电：使电容器带电的过程，充电后电容器两极板带上等量的异种电荷，电容器中储存电场能．
(2)放电：使充电后的电容器失去电荷的过程，放电过程中电场能转化为其他形式的能．
2．公式C＝和C＝的比较
(1)定义式：C＝，不能理解为电容C与Q成正比、与U成反比，一个电容器电容的大小是由电容器本身的因素决定的，与电容器是否带电及带电多少无关．
(2)决定式：C＝，εr为介电常数，S为极板正对面积，d为板间距离．
二、带电粒子在匀强电场中的运动　示波管
1．直线问题：若不计粒子的重力，则电场力对带电粒子做的功等于带电粒子动能的增量．
(1)在匀强电场中：W＝qEd＝qU＝mv2－mv.
(2)在非匀强电场中：W＝qU＝mv2－mv.
2．偏转问题：
(1)条件分析：不计重力的带电粒子以速度v0垂直于电场线方向飞入匀强电场．
(2)运动性质：类平抛运动．
(3)处理方法：利用运动的合成与分解．
①沿初速度方向：做匀速直线运动．
②沿电场方向：做初速度为零的匀加速运动．
3．示波管的构造：①电子枪，②偏转电极，③荧光屏．(如图1所示)
图1
【深度思考】带电粒子在电场中运动时一定考虑受重力吗？
答案 　(1)基本粒子：如电子、质子、α粒子、离子等，除有说明或有明确的暗示以外，一般都不考虑重力(但并不忽略质量)．
(2)带电颗粒：如液滴、油滴、尘埃、小球等，除有说明或有明确的暗示以外，一般都不能忽略重力．
考点一　平行板电容器的动态分析
一、两类典型问题
1．电容器始终与恒压电源相连，电容器两极板间的电势差U保持不变．
2．电容器充电后与电源断开，电容器两极所带的电荷量Q保持不变．
二、动态分析思路
1．U不变
(1)根据C＝＝先分析电容的变化，再分析Q的变化．
(2)根据E＝分析场强的变化．
(3)根据UAB＝E·d分析某点电势变化．
2．Q不变
(1)根据C＝＝先分析电容的变化，再分析U的变化．
(2)根据E＝分析场强变化．
角度1：两极间电势差不变
【典例1】（2022·重庆·高考真题）如图为某同学采用平行板电容器测量材料竖直方向尺度随温度变化的装置示意图，电容器上极板固定，下极板可随材料尺度的变化上下移动，两极板间电压不变。若材料温度降低时，极板上所带电荷量变少，则（　　）
A．材料竖直方向尺度减小 B．极板间电场强度不变
C．极板间电场强度变大 D．电容器电容变大
【答案】A
【详解】BCD．根据电容的决定式可知，根据题意可知极板之间电压不变，极板上所带电荷量变少，极板间距增大，电容减小，极板之间形成匀强电场，根据可知极板间电场强度减小，BCD错误；
A．极板间距增大，材料竖直方向尺度减小，A正确；
故选A。
角度2：两极板带电量不变
【典例2】（2021·重庆·高考真题）电容式加速传感器常用于触发汽车安全气囊等系统，如图所示。极板M、N组成的电容器视为平行板电容器，M固定，N可左右运动，通过测量电容器板间的电压的变化来确定汽车的加速度。当汽车减速时，极板M、N间的距离减小，若极板上的电荷量不变，则该电容器（　　）
A．电容变小 B．极板间电压变大
C．极板间电场强度不变 D．极板间的电场强度变小
【答案】C
【详解】A．由平行板电容器电容的决定式可得，d减小，C增大，故A错误；
B．电容器所带电荷量Q不变，C增大，由可得，U变小，故B错误；
CD．由匀强电场的场强与电势差关系公式可得，E与d无关，E不变，故C正确，D错误。
故选C。
【变式1】（2024·广西南宁·南宁三中校联考模拟预测）如图所示，水平放置的平行金属板M、N与输出电压恒为U的电源两极相连，两金属板M、N间的距离为d，正对面积为S，现恰好有一质量为m的带电油滴在两金属板中央悬浮不动，已知静电力常量为k，M、N间可看作真空，真空的介电常数，重力加速度为g，则（　　）

A．带电油滴的电荷量
B．金属板M所带电量
C．将金属板N突然下移，带电油滴获得向下的加速度
D．将金属板N突然上移，油滴未来得及发生位移的瞬间，油滴电势能减小为原来的倍
【答案】AC
【详解】A．带电油滴在平行板电容器中受重力和向上的电场力平衡，而匀强电场的方向向下，则油滴带负电，由平衡条件有
解得油滴的电荷量为，故A正确；
B．根据，，又
联立可得金属板M所带电量为，故B错误；
C．将金属板N突然下移，电源一直接在电容器上，则电压U不变，电场力变小，大小变为
则油滴的合外力向下，由牛顿第二定律，，解得，方向向下，故C正确；
D．电容器的M板接地为0V，设油滴的位置P点距离M板为，则有
电势能为
将金属板N突然上移，P点的电势为
则电势能变为，可知油滴电势能变为原来的倍，故D错误。
故选AC。
【变式2】（2023·甘肃·统考三模）如图所示，一对面积较大的平行板电容器AB水平放置，A板带正电荷，B板接地，P为两板中点，再使A、B分别以中心点O、O 为轴在竖直平面内转过一个相同的小角度θ，下列结论正确的是（　　）

A．电容器AB的电容不变 B．两板间电场强度变大
C．两板间的P点电势增大 D．两板间的P点电势降低
【答案】D
【详解】A．根据题意，两极板在竖直平面内转过一个相同的小角度θ，两极板间的距离d减小，根据电容的决定式和定义式，，由此可知，d减小，C增大，故A错误；
B．根据公式，可知，两板间电场强度不变，故B错误；
CD．由图可知，P与B板间的距离减小，由于电容器内部电场强度不变，所以P与B板间的电势差减小，B板接地，其电势为零，所以P点电势降低，故C错误，D正确。
故选D。
考点二　带电粒子在电场中的直线运动
1．做直线运动的条件
(1)粒子所受合外力F合＝0，粒子或静止，或做匀速直线运动．
(2)粒子所受合外力F合≠0，且与初速度方向在同一条直线上，带电粒子将做匀加速直线运动或匀减速直线运动．
2．用动力学观点分析
a＝，E＝，v2－v＝2ad.
3．用功能观点分析
匀强电场中：W＝Eqd＝qU＝mv2－mv
非匀强电场中：W＝qU＝Ek2－Ek1
角度1：带电粒子在匀强电场中的直线运动
【典例3】（2022·北京·高考真题）如图所示，真空中平行金属板M、N之间距离为d，两板所加的电压为U。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从M板由静止释放。不计带电粒子的重力。
（1）求带电粒子所受的静电力的大小F；
（2）求带电粒子到达N板时的速度大小v；
（3）若在带电粒子运动距离时撤去所加电压，求该粒子从M板运动到N板经历的时间t。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）两极板间的场强
带电粒子所受的静电力
（2）带电粒子从静止开始运动到N板的过程，根据功能关系有，解得
（3）设带电粒子运动距离时的速度大小为v′，根据功能关系有
带电粒子在前距离做匀加速直线运动，后距离做匀速运动，设用时分别为t1、t2，有，
则该粒子从M板运动到N板经历的时间
角度2：带电粒子在周期性变化电场中的直线运动
【典例4】（2023·浙江温州·统考三模）如图甲所示为粒子直线加速器原理图，它由多个横截面积相同的同轴金属圆筒依次组成，序号为奇数的圆筒与序号为偶数的圆筒分别和交变电源相连，交变电源两极间的电势差的变化规律如图乙所示。在时，奇数圆筒比偶数圆筒电势高，此时和偶数圆筒相连的金属圆板（序号为0）的中央有一自由电子由静止开始在各间隙中不断加速。若电子的质量为m，电荷量为e，交变电源的电压为U，周期为T。不考虑电子的重力和相对论效应，忽略电子通过圆筒间隙的时间。下列说法正确的是（　　）
A．电子在圆筒中也做加速直线运动
B．电子离开圆筒1时的速度为
C．第n个圆筒的长度应满足
D．保持加速器筒长不变，若要加速比荷更大的粒子，则要调大交变电压的周期
【答案】C
【详解】A．由于金属圆筒处于静电平衡状态，圆筒内部场强为零，则电子在金属圆筒中做匀速直线运动，故A错误；
B．电子离开圆筒1时，由动能定理得，所以电子离开圆筒1瞬间速度为，故B错误；
C．电子从金属圆筒出来后要继续做加速运动，在金属圆筒中的运动时间为交变电源周期的一半，即，电子在圆筒中做匀速直线运动，所以第n个圆筒长度为，故C正确；
D．由C可知，保持加速器筒长不变，若要加速比荷更大的粒子，则要调小交变电压的周期，故D错误。
故选C。
【变式1】（2023·浙江绍兴·统考二模）霍尔推进器将来可能安装在飞船上用于星际旅行，其简化的工作原理如图所示，放电通道两端电极间存在加速电场，该区域内有与电场近似垂直的约束磁场（未画出）用于提高工作物质被电离的比例，工作时，工作物质氙气进入放电通道后被电离为氙离子，再经电场加速喷出，形成推力，某次测试中，氙气被电离的比例为，氙离子喷射速度为，推进器产生的推力为，推进器质量，已知氙离子的比荷为；计算时，取氙离子的初速度为零，忽略磁场对离子的作用力及粒子之间的相互作用，则（　　）

A．将该推进器用于宇宙航行时，飞船获得的加速度
B．氙离子的加速电压约为
C．氙离子向外喷射形成的电流约为
D．每秒进入放电通道的氙气质量约为
【答案】B
【详解】A．将该推进器用于宇宙航行时，飞船获得的加速度，故A错误；
B．氙离子经电场加速，根据动能定理有，
可得加速电压为，故B正确；
D．在时间内，有质量为的氙离子以速度喷射而出，形成电流为，由动量定理可得，
进入放电通道的氙气质量为，被电离的比例为，则有
联立解得，故D错误；
C．在时间内，有电荷量为的氙离子喷射出，则有，
联立解得，故C错误。
故选B。
【变式2】（2023·浙江杭州·统考二模）如图甲所示，某多级直线加速器由n个横截面积相同的金属圆筒依次排列，其中心轴线在同一直线上，各金属圆筒依序接在交变电源的两极M、N上，序号为C的金属圆板中央有一个质子源，质子逸出的速度不计，M、N两极加上如图乙所示的电压，一段时间后加速器稳定输出质子流。已知质子质量为m、电荷量为e，质子通过圆筒间隙的时间不计，且忽略相对论效应，则（　　）
A．质子在各圆筒中做匀加速直线运动 B．质子进入第n个圆筒瞬间速度为
C．各金属筒的长度之比为1:：： D．质子在各圆筒中的运动时间之比为1:：：
【答案】C
【详解】A．金属圆筒中电场为零，质子不受电场力，做匀速运动，故A错误；
B．质子进入第n个圆筒时，经过n次加速，根据动能定理，解得，故B错误；
D．只有质子在每个圆筒中匀速运动时间为时，才能保证每次在缝隙中被电场加速，故D错误；
C．第n个圆筒长度，则各金属筒的长度之比为1:：：，故C正确。
故选C。
考点三　带电粒子在电场中的偏转
1．运动规律
(1)沿初速度方向做匀速直线运动，运动时间
(2)沿电场力方向，做匀加速直线运动
2．两个结论
(1)不同的带电粒子从静止开始经过同一电场加速后再从同一偏转电场射出时，偏移量和偏转角总是相同的．
证明：由qU0＝mv
y＝at2＝··()2
tan θ＝
得：y＝，tan θ＝
(2)粒子经电场偏转后，合速度的反向延长线与初速度延长线的交点O为粒子水平位移的中点，即O到偏转电场边缘的距离为.
3．功能关系
当讨论带电粒子的末速度v时也可以从能量的角度进行求解：qUy＝mv2－mv，其中Uy＝y，指初、末位置间的电势差．
角度1：带电粒子在匀强电场中的类平抛运动
【典例5】（多选）（2023·湖北·统考高考真题）一带正电微粒从静止开始经电压加速后，射入水平放置的平行板电容器，极板间电压为。微粒射入时紧靠下极板边缘，速度方向与极板夹角为，微粒运动轨迹的最高点到极板左右两端的水平距离分别为和L，到两极板距离均为d，如图所示。忽略边缘效应，不计重力。下列说法正确的是（ ）

A．
B．
C．微粒穿过电容器区域的偏转角度的正切值为2
D．仅改变微粒的质量或者电荷数量，微粒在电容器中的运动轨迹不变
【答案】BD
【详解】B．粒子在电容器中水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀变速直线直线运动，根据电场强度和电势差的关系及场强和电场力的关系可得，
粒子射入电容器后的速度为，水平方向和竖直方向的分速度，
从射入到运动到最高点由运动学关系
粒子射入电场时由动能定理可得
联立解得，B正确；
A．粒子从射入到运动到最高点由运动学可得，
联立可得，A错误；
C．粒子穿过电容器时从最高点到穿出时由运动学可得，
射入电容器到最高点有
解得
设粒子穿过电容器与水平的夹角为，则
粒子射入电场和水平的夹角为
，C错误；
D．粒子射入到最高点的过程水平方向的位移为，竖直方向的位移为
联立，，
解得，且，
即解得
即粒子在运动到最高点的过程中水平和竖直位移均与电荷量和质量无关，最高点到射出电容器过程同理，，，即轨迹不会变化，D正确。
故选BD。
角度2：带电粒子在周期性变化电场中的运动
【典例6】（2022·江苏·高考真题）某装置用电场控制带电粒子运动，工作原理如图所示，矩形区域内存在多层紧邻的匀强电场，每层的高度均为d，电场强度大小均为E，方向沿竖直方向交替变化，边长为，边长为，质量为m、电荷量为的粒子流从装置左端中点射入电场，粒子初动能为，入射角为，在纸面内运动，不计重力及粒子间的相互作用力。
（1）当时，若粒子能从边射出，求该粒子通过电场的时间t；
（2）当时，若粒子从边射出电场时与轴线的距离小于d，求入射角的范围；
（3）当，粒子在为范围内均匀射入电场，求从边出射的粒子与入射粒子的数量之比。
【答案】（1）；（2）或；（3）
【详解】（1）电场方向竖直向上，粒子所受电场力在竖直方向上，粒子在水平方向上做匀速直线运动，速度分解如图所示
粒子在水平方向的速度为
根据可知，
解得
（2）粒子进入电场时的初动能
粒子进入电场沿电场方向做减速运动，由牛顿第二定律可得，
粒子从边射出电场时与轴线的距离小于d，则要求
解得
所以入射角的范围为，或
（3）设粒子入射角为时，粒子恰好从D点射出，由于粒子进入电场时，在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向反复做加速相同的减速运动，加速运动。粒子的速度
运动时间为
粒子在沿电场方向，反复做加速大小相同的减速运动，加速运动，则
则，
则粒子在分层电场中运动时间相等，设为，则
且，代入数据化简可得即
解得（舍去）或
解得，则从边出射的粒子与入射粒子的数量之比
【变式1】（2023·陕西·陕西师大附中校考模拟预测）竖直平面内存在方向水平的匀强电场，电场区域间距为，在该区域下边界的点将质量为、电荷量为的小球以一定的初速度竖直上抛，小球从上边界离开电场，再次进入电场后在电场中做直线运动，到达下边界的点，已知小球到达点的速度大小为从点进入电场时速度大小的倍，动量方向与水平面的夹角为。不计空气阻力，重力加速度大小为。求：
（1）角的正切值和该电场的电场强度；
（2）小球由到的运动时间。
【答案】（1）；；（2）
【详解】（1）令小球在点的速度为，根据运动的独立性，小球到达时速度的竖直分量为
由题意得，可得，即
小球到达之前做直线运动，合力方向与合速度方向共线，即
可得
（2）小球在竖直方向上做竖直上抛运动，可知小球在电场中的两段运动时间相同，且水平方向做匀加速直线运动，电场区域上方小球水平方向做匀速运动。令小球从A点向上离开电场，从B点再次进入电场
，
可得，即
由此可得
由，在竖直方向上，有，且
可得，即
【变式2】（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考三模）实验小组用如图所示装置研究带电粒子在两个平行金属板间的运动，已知板长为L，两板间距d未知，将放射源P行金属板，放射出的带电粒子沿平行金属板A、B的中轴线MN射入板间，平行金属板A、B间加有如图所示的交变电压，已知电压，周期T未知，当电压稳定时，板间是匀强电场。质量为m、电量为q的粒子以的速率在时刻从M点进入板间，T时刻离开金属板，运动过程中恰好不与金属板碰撞（粒子重力忽略不计）。求：平行板A、B的间距d是多少？

【答案】
【详解】时刻从M点进入板间，T时刻离开金属板，粒子水平方向做匀速直线运动
竖直方向，规定向下为正方向做匀加速直线运动，设M、N两板间距为d，，
由牛顿第二定律得，，
在时间内，竖直位移最大位移是，先做加速运动，时间为，
运动的位移为
再减速至反向加速运动，时间为
物体在时间内做初速度为向下，加速度向上的匀变速运动，运动的位移为
因此物体的总位移为
解得，得
考点过关
【素质基础练】
1．（2023·浙江·模拟预测）半导体指纹传感器，多用于手机、电脑、汽车等设备的安全识别，如图所示。传感器半导体基板上有大量金属颗粒，基板上的每一点都是小极板，其外表面绝缘。当手指的指纹一面与绝缘表面接触时，由于指纹凹凸不平，凸点处与凹点处分别与半导体基板上的小极板形成正对面积相同的电容器，使每个电容器的电压保持不变，对每个电容器的放电电流进行测量，即可采集指纹。指纹采集过程中，下列说法正确的是（　　）
A．指纹的凹点处与小极板距离远，电容大
B．指纹的凸点处与小极板距离近，电容小
C．手指挤压绝缘表面，电容器两极间的距离减小，电容器带电量增大
D．手指挤压绝缘表面，电容器两极间的距离减小，电容器带电量减小
【答案】C
【详解】AB．由知指纹的凸点处与小极板距离近，电容大；指纹的凹点处与小极板距离远，电容小。故AB错误；
CD．由、可知手指挤压绝缘表面，电容器两极间的距离减小，电容变大，电容器带电量增大。故C正确，D错误。
故选C。
2．（2023·福建漳州·统考二模）如图莱顿瓶是一个玻璃容器，瓶内、外壁各贴着一圈金属箔，作为里、外两个极板，穿过橡皮塞的铜棒上端是一个球形电极，下端利用铁链与内壁金属箔连接，外壁金属箔接地，在其他因素视为不变的情况下，下列说法正确的是（　　）
A．金属箔越厚，莱顿瓶的电容越大
B．金属箔越厚，莱顿瓶的电容越小
C．瓶壁玻璃越薄，莱顿瓶的电容越小
D．瓶壁玻璃越薄，莱顿瓶的电容越大
【答案】D
【详解】金属箔，作为里、外两个极板，玻璃是电介质，根据
其中，d是两极板之间的间距，即为电介质玻璃的厚度，可知当瓶壁玻璃越薄，莱顿瓶的电容越大。
故选D。
3．（2023·湖北·统考模拟预测）如图所示，平行板电容器通过理想二极管与电池相连，当二极板间距离减小后，则两板间的电压U和电场强度E，电容器电容C及电量Q与原来相比（　　）

A．U变小 B．E变大
C．C不变 D．Q不变
【答案】B
【详解】平行板电容器与电池相连，其电压U保持不变，当二极板间距离减小后，由
可知，板间场强E变大．板间距离减小，根据公式
可知电容C增大，根据，U不变，则电量Q变大．即U不变，E变大，C变大，Q变大。
故选B。
4．（2023·湖南株洲·统考三模）如图所示，M和N为电容器两极板，一直保持与导线相连，M极板左端绝缘固定，N极板两端用绝缘材料与两轻弹簧连接，N极板只能沿图中标识的上下方向运动，当N极板静止时，两极板间距为，在外力驱动下，N极板做简谐运动，向下运动至最低点时，两极板间距，运动到最高点时两极板相距，下列说法正确的是（　　）
A．当N极板向上运动时，电流表电流方向从
B．N极板完成一个运动周期运动，回路电流方向改变1次
C．当N极板从最低点运动到最高点的过程中，极板电荷量减少
D．N极板在最低点和最高点时，电容器中场强之比为
【答案】D
【详解】AC．当N极板向上运动时，板间距减小，电容增大，电容器充电，电流方向为，故AC错误；
B．N极板完成一个周期运动，回路电流方向改变2次，故B错误；
D．根据题意，在N极板运动过程中，极板电压不变，最低点与最高点板间距之比为，故场强之比为，故D正确。
故选D。
5．（2023·陕西·陕西师大附中校考模拟预测）电子显微镜的工作原理是用高电压对电子束加速，最后打在感光胶片上，观察显微图像。现用电子显微镜观测某生物大分子的结构，为满足测量要求，将显微镜工作时观测线度设定为电子的德布罗意波长的n倍，其中。已知普朗克常量h、电子质量m和电子电荷量e，电子的初速度不计，显微镜工作时的加速电压为U，则该显微镜的观测线度为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】电子被加速，由动能定理
又，，L=nλ，可得
故选C。
6．（2023·河北沧州·河北省吴桥中学校考模拟预测）如图所示为某静电场中x轴上各点电势的分布图。一电子从原点处以一定的初速度沿x轴正方向射出，仅在电场力的作用下在x轴上做直线运动，下列说法正确的是（　　）
A．电子运动到处时速度最小
B．处的电场强度方向沿x轴负方向
C．电子从处运动至处，加速度先减小后增大
D．电子在处的速度大于在处的速度
【答案】C
【详解】根据题意可知，电子仅在电场力的作用下沿轴做直线运动，则电场方向沿轴方向，由沿电场线方向电势逐渐降低可知，电场方向水平向左，之后电场方向水平向右，由图像中斜率表示电场强度可知，电场强度为0
A．结合上述分析可知，从电子在电场力作用下做加速运动，，之后做减速运动，则电子运动到处时速度最大，故A错误；
B．由上述分析可知，处的电场强度方向沿x轴正方向，故B错误；
C．由图像中斜率表示电场强度，由图可知，电子从处运动至处，加速度先减小后增大，故C正确；
D．由公式可知，电子从处到处电场力做正功，电子的动能增加，则电子在处的速度小于在处的速度，故D错误。
故选C。
7．（2023·四川凉山·统考三模）如图所示，A、B、C、D、E、F、G、H是竖直光滑绝缘圆轨道的八等分点，竖直，空间存在平行于圆轨道面的匀强电场，从A点静止释放一质量为m的带电小球，小球沿圆弧恰好能到达C点。若在A点给带电小球一个水平向右的冲量，让小球沿轨道做完整的圆周运动，则小球在运动过程中（　　）

A．E点的动量最小 B．B点的电势能最大
C．C点的机械能最大 D．F点的机械能最小
【答案】C
【详解】从A点静止释放一质量为m的带电小球，小球沿圆弧恰好能到达C点，可知电场力和重力的合力方向沿FB方向斜向下，可知B点为“等效最低点”，F点为“等效最高点”，可知小球在F点速度最小，动量最小。由平衡知识可知，电场力水平向右，可知小球在G点电势能最大，在C点电势能最小，因小球的电势能与机械能之和守恒，可知在C点机械能最大，在G点机械能最小。
故选C。
8．（2023·重庆·统考二模）如图所示，一带电粒子以速度从点沿两极板中线射入平行板电容器，若电容器极板间只有图示磁感应强度为的匀强磁场时，该粒子从上极板右端点射出，若电容器极板间只有图示电场强度为的匀强电场时，该粒子从下极板右端点射出，若电容器极板间同时有图示磁感应强度为的匀强磁场和电场强度为的匀强电场时，该粒子将（不计粒子重力）（　　）
A．从间射出 B．从间射出
C．从点射出 D．无法直接射出
【答案】B
【详解】只有磁场时，粒子从点射出，粒子圆周运动轨迹如答图1所示
设电容器板长为，间距为，由几何关系有
得半径
由洛伦兹力提供向心力，得
只有电场时，粒子从点射出，粒子做类平抛运动，有，
其中，得电场力
由，可知，电场力大于洛伦兹力，由分析知，若电容器极板间同时有图示磁感应强度为的匀强磁场和电场强度为的匀强电场时，粒子将从间射出。
故选B。
9．（2023·浙江·模拟预测）如图所示，竖直方向的平行线表示电场线，但未标明方向。一个带电量为q＝10－6C的微粒，仅受电场力的作用，从M点运动到N点时，动能增加了10－4J，则（　　）
A．该电荷运动的轨迹是b
B．该电荷从M点运动到N点时电势能增加
C．MN两点间的电势差为100V
D．该电荷从M点由静止开始运动
【答案】C
【详解】A．曲线运动中带电粒子所受合外力指向曲线的凹侧，如果带电粒子沿着曲线b运动到N点，所受电场力方向竖直向上，电场力做负功，动能减小，与题意不符，所以带电粒子沿着曲线a运动到N点，A错误；
B．带电粒子沿着曲线a运动到N点，动能增大，据能量守恒可知，电势能减小，B错误；
C．由电场力做功表达式WMN=qUMN，可得，C正确；
D．如果该电荷从M点由静止开始运动，电荷肯定沿着电场线运动，故该电荷从M点开始运动时有初速度，D错误。
故选C。
10．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）如图所示，空间内匀强电场的方向竖直向下，S为点光源，MN为竖直墙壁，S到MN的距离为L。一可视为质点的带电小球A，其质量为m、所带电荷量为q（q>0）。将小球A从点光源S处以大小为v0的初速度向右水平抛出，小球A最终打在墙壁上。已知电场强度大小为，重力加速度的大小为g，不计空气阻力，求：
（1）小球A在空间运动时的加速度a的大小；
（2）小球A运动时间t时，小球在墙壁上的影子的速度v的大小。
【答案】（1）2g；（2）
【详解】（1）由牛顿第二定律可得，解得，
（2）带电小球做类平抛运动，如图所示，设小球在时刻水平位移为，竖直位移为，小球在墙壁上的影子的位移为，则
，，，
可知小球在墙壁上的影子做匀速直线运动，可得小球在墙壁上的影子的速度
【能力提高练】
1．（多选）（2023·湖南郴州·郴州一中校联考模拟预测）如图所示，G为静电计，M、N为平行板电容器的金属板，开始时开关S闭合，静电计指针张开一定角度。若不考虑静电计引起的电荷量变化，则下列说法正确的是（　　）

A．保持开关S闭合，将两极板间距减小，两极板间的电场强度增大
B．保持开关S闭合，将滑动变阻器R的滑片P向左移动，静电计指针张开角度变大
C．断开开关S后，紧贴N极板插入金属板，静电计指针张开角度变小
D．断开开关S后，将两极板间距增大，两极板间的电势差U减小
【答案】AC
【详解】AB．保持开关S闭合，滑动变阻器R仅仅充当导线功能，电容器两极板间的电势差U不变，滑动变阻器R的滑片P向左移动不会影响静电计指针张角，静电计指针张开角度不变，将两极板间距d减小，由
可知两极板间的电场强度增大，故A正确，B错误；
CD．断开开关S后，电容器的带电量Q不变，若紧贴N极板插入金属板，相当于两极板间距d减小，根据
可知电容C增大，根据
可知两极板间的电势差U减小，静电计指针张开角度变小，若将两极板间距d增大，电容C减小，两极板间电势差U增大，故C正确，D错误。
故选AC。
2．（多选）（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）如图所示的两个平行板电容器水平放置，A板用导线与板相连，B板和板都接地。已知A板带正电，在右边电容器间有一个带电油滴N处于静止状态。AB间电容为，电压为，带电量为；间电容为，电压为，带电量为，若将左边电容器间的绝缘介质抽出，则（　　）

A．减小，增大
B．减小，增大
C．减小，增大
D．N原来所在位置处的电势升高且N向上运动
【答案】BD
【详解】A．将绝缘介质抽出，由电容的决定式
可知，将变小，而板未动，则不变，故A错误；
B．A板和板总电荷量不变，由于变小，不变，可知减小、增大，故B正确；
C．不变，增大，由
可知，增大，因，所以也增大，故C错误；
D．增大，由场强公式，则可知之间的场强增大，N向上运动；N原来所在位置处与距离不变，场强增大，则增大，而，接地，电势为零，故N原来所在位置处的电势升高，故D正确。
故选BD。
3．（多选）（2023·安徽·模拟预测）如图，虚线是某静电场中在同一竖直面内的等势线，一根粗细均匀的光滑绝缘细杆竖直固定在等势线所在的竖直面内，一个质量为、带正电小球套在杆上（可以自由滑动）。现让小球在A点由静止释放，从A到加速运动的过程中，加速度不断减小，则下列判断正确的是（　　）

A．等势线的电势比等势线的电势高
B．从A到过程中，小球的机械能不断减小
C．小球机械能变化量的绝对值从A到大于从A到
D．若小球沿杆运动能至点，在点的速度可能为零
【答案】BC
【详解】A．带正电小球从A到加速运动的过程中，加速度不断减小，等势线的电势比等势线的电势低，故A错误；
B．从A到过程中，小球的机械能不断减小，电场力做负功，小球的机械能不断减小，故B正确；
C．A、之间的电势差大于A、之间的电势差，小球从A到电场力做功大于从A到电场力做功，小球机械能变化量的绝对值从A到大于从A到，故C正确；
D．A、D两点等电势，若小球沿杆运动能至点，电场力做功为0，在点的速度不可能为零，故D错误。
故选BC。
4．（多选）（2023·海南·统考模拟预测）如图所示，空间存在着方向竖直向下的匀强电场，光滑斜面与粗糙绝缘水平地面平滑连接，斜面与水平面的夹角。质量为、电荷量为的带正电小物块（可视为质点）从A点由静止释放，经过点后进入水平面，最后停在点。若小物块经过点前后速度大小不变，电场的电场强度大小为，，，重力加速度取，，，下列说法正确的是（　　）

A．小物块在斜面上运动的加速度大小为
B．小物块从A点运动到点所用的时间为
C．小物块与水平地面间的动摩擦因数为0.4
D．小物块从A点运动到点，静电力所做的功等于系统内能的增加量
【答案】BC
【详解】A．由牛顿第二定律小物块在斜面上运动的加速度大小为，故A错误；
B．小物块从A点运动到B点，有
所用的时间为
到B点的速度为
小物块从B点运动到C点，有
所用的时间为
则小物块从A点运动到点所用的时间为，故B正确；
C．小物块在水平地面上的加速度
由牛顿第二定律
可得小物块与水平地面间的动摩擦因数为，故C正确；
D．小物块从A点运动到点，静电力和重力做正功，摩擦力做负功，由
可知静电力所做的功与重力所做的功等于系统内能的增加量，故D错误。
故选BC。
5．（多选）（2023·河南·校联考模拟预测）如图所示，在点电荷形成的电场中一根光滑直杆竖直放置，A、B为杆上相距的两点，一带正电小球穿在杆上，从A点由静止释放，运动到B点时速度为，已知重力加速度，下列说法正确的是（　　）

A．A、B两点的电场强度相同
B．A、B两点的电势相同
C．点电荷一定在A、B两点连线的中垂面上
D．点电荷距A点的距离一定为
【答案】BC
【详解】A．点电荷电场中任意两点电场强度不相同，选项A错误；
B．小球运动到B点时速度为，根据动能定理可知小球运动过程中所受合力做功
而此过程重力做功，可知电场力做功为0，则A、B两点的电势相同，选项B正确；
CD．点电荷的电场等势面为以点电荷为圆心的同心圆，故点电荷一定在A、B两点连线的中垂线上，但与A、B两点的距离无法确定，选项C正确、D错误。
故选BC。
6．（2023·湖北·模拟预测）如图所示，固定在水平面上的半径为r的金属圆环内存在方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。长为l的金属棒，一端与圆环接触良好，另一端固定在竖直导电转轴上，接入回路的电阻为R，随轴以角速度匀速转动。在圆环的A点和电刷间接有阻值也为R的电阻和电容为C、板间距为d的平行板电容器，有一带电微粒在电容器极板间处于静止状态。已知重力加速度为g，不计其它电阻和摩擦，下列说法正确的是（　　）

A．回路中的电动势为
B．微粒的电荷量与质量之比为
C．电阻消耗的电功率为
D．电容器所带的电荷量为
【答案】D
【详解】A．如图所示，金属棒绕轴切割磁感线转动，回路中的电动势，故A错误；
B．电容器两极板间电压等于，带电微粒在两极板间处于静止状态，则，解得，故B错误；
C．电阻消耗的功率，故C错误；
D．电容器所带的电荷量，故D正确。
故选D。
7．（2023·安徽·校联考模拟预测）如图所示，一对等量异号点电荷分别固定在正方体的c、d两个顶点上，a、b是正方体的另外两个顶点，一带正电的粒子仅在电场力的作用下，以一定的初速度从a点运动到b点的轨迹如图中虚线所示，则下列说法中正确的是（　　）

A．c点固定的是负电荷 B．a、b两点的电势相等
C．带电粒子在a点和b点的加速度相同 D．带电粒子的动量先增加后减小
【答案】C
【详解】A．由粒子运动轨迹可知，该正电粒子受到的电场力指向轨迹内侧，所以点固定的是正电荷，点固定的是负电荷，故A错误；
BC．由等量异号电荷形成的电场特点知，点电势高于点电势，且和两点的电场强度相同，带电粒子受到的电场力相同，加速度相同，故B错误，C正确；
D．由运动轨迹知，带电粒子先靠近正电荷，再靠近负电荷，故电场力先做负功再做正功，粒子的动能先减小再增加，动量先减小再增加，故D错误。
故选C。
8．（2023·湖南永州·湖南省道县第一中学校考模拟预测）人体的细胞膜模型图如图a所示，由磷脂双分子层组成，双分子层之间存在电压（医学上称为膜电位），现研究某小块均匀的细胞膜，厚度为d，膜内的电场可看作匀强电场，简化模型如图b所示，初速度可视为零的一价正钠离子仅在电场力的作用下，从图中的A点运动到B点，下列说法正确的是（ ）
A．A点电势小于B点电势
B．钠离子的电势能增大
C．若膜电位不变，仅增大d，则钠离子到达B点的速度越大
D．若d不变，仅增大膜电位，则钠离子到达B点的时间越短
【答案】D
【详解】AB．初速度可视为零的一价正钠离子仅在电场力的作用下，从图中的A点运动到B点，可知A点电势高于B点电势，电场力对钠离子做正功，电势能减小，选项AB错误；
C．若膜电位不变，仅增大d，根据
则钠离子到达B点的速度不变，选项C错误；
D．若d不变，仅增大膜电位，根据，
可得，则钠离子到达B点的时间越短，选项D正确。
故选D。
9．（2023·江苏·统考一模）一质量为，带电量为的小球从水平放置的带正电圆环的轴线处A点由静止释放，A、关于点对称，下列判断正确的是（　　）
A．小球在点处动能最大 B．小球在点的加速度最大
C．小球在点的电势能最小 D．小球可能在A、间往复运动
【答案】C
【详解】A．小球从A点到O点的运动中，受到向下的重力和电场力，重力和电场力对小球做正功，小球的动能增大，在O点时，电场强度是零，小球受电场力是零，此时只受重力，小球的动能继续增大，因此小球在点处的动能不是最大，A错误；
B．小球从A点到O点的运动中，受到向下的重力和电场力，其合力大于重力，则加速度大于重力加速度，小球在点时只受重力，加速度等于重力加速度，因此小球在点的加速度不是最大，B错误；
C．小球从A点到O点的运动中，电场力对小球做正功，电势能减小，小球穿过点后，受电场力方向向上，电场力做负功，电势能增大，因此小球在点的电势能最小，C正确；
D．若小球只受电场力作用，因A、关于点对称，则小球可能在A、间往复运动，可小球从A点运动到点，小球受电场力的作用同时又受重力作用，重力方向一直向下，因此小球不可能在A、间往复运动，D错误。
故选C。
10．（2023·云南·校联考模拟预测）如图，A、B、C为竖直平面中三点，构成一个等边三角形，AB沿水平方向，空间中存在一平行于竖直平面的匀强电场，三个质量均为m的小球a、b、c分别从A点以相同大小的初速度v抛出。小球a不带电，从A点水平向右抛出，一段时间后经过C点；小球b带正电，电量大小为q，从A点抛出后一段时间经过B点，经过B点时的动能为初动能的13倍；小球c带正电，电量大小也为q，从A点抛出后一段时间经过C点，经过C点时的动能为初动能的25倍。已知重力加速度为g，小球先后抛出，不考虑小球碰撞，不计小球间的相互作用，求：
（1）小球a经过C点的速度大小；
（2）场强的大小和方向。
【答案】（1）；（2），与水平方向夹角为斜向右下方（垂直于BC）
【详解】（1）设三角形边长为L，小球a从A到C做平抛运动，水平方向
竖直方向，
联立求得
（2）小球a从A到C，由动能定理可得
设场强的水平分量为，场强的竖直分量为，小球b从A运动到B，由动能定理可得
小球c从A运动到C，由动能定理可得
联立求得，
则有，
所以场强大小为
设场强与水平方向夹角为，则有，解得
【高考通关练】
1．（2023·浙江·高考真题）如图所示，示波管由电子枪竖直方向偏转电极YY′、水平方向偏转电极XX′和荧光屏组成。电极XX′的长度为l、间距为d、极板间电压为U，YY′极板间电压为零，电子枪加速电压为10U。电子刚离开金属丝的速度为零，从电子枪射出后沿OO′方向进入偏转电极。已知电子电荷量为e，质量为m，则电子（ ）
A．在XX′极板间的加速度大小为
B．打在荧光屏时，动能大小为11eU
C．在XX′极板间受到电场力的冲量大小为
D．打在荧光屏时，其速度方向与OO′连线夹角α的正切
【答案】D
【详解】A．由牛顿第二定律可得，在XX′极板间的加速度大小，A错误；
B．电子电极XX′间运动时，有vx = axt，
电子离开电极XX′时的动能为
电子离开电极XX′后做匀速直线运动，所以打在荧光屏时，动能大小为，B错误；
C．在XX′极板间受到电场力的冲量大小，C错误；
D．打在荧光屏时，其速度方向与OO′连线夹角α的正切，D正确。
故选D。
2．（2022·湖北·统考高考真题）密立根油滴实验装置如图所示，两块水平放置的金属板分别与电源的正负极相接，板间产生匀强电场。用一个喷雾器把密度相同的许多油滴从上板中间的小孔喷入电场，油滴从喷口喷出时由于摩擦而带电。金属板间电势差为U时，电荷量为q、半径为r的球状油滴在板间保持静止。若仅将金属板间电势差调整为2U，则在板间能保持静止的球状油滴所带电荷量和半径可以为（　　）
A．q，r B．2q，r C．2q，2r D．4q，2r
【答案】D
【详解】初始状态下，液滴处于静止状态时，满足
即
AB．当电势差调整为2U时，若液滴的半径不变，则满足
可得，AB错误；
CD．当电势差调整为2U时，若液滴的半径变为2r时，则满足
可得，C错误，D正确。
故选D。
3．（2022·湖北·统考高考真题）如图所示，一带电粒子以初速度v0沿x轴正方向从坐标原点О射入，并经过点P（a>0，b>0）。若上述过程仅由方向平行于y轴的匀强电场实现，粒子从О到Р运动的时间为t1，到达Р点的动能为Ek1。若上述过程仅由方向垂直于纸面的匀强磁场实现，粒子从O到Р运动的时间为t2，到达Р点的动能为Ek2。下列关系式正确的是·（　　）
A．t1 t2
C．Ek1Ek2
【答案】AD
【详解】AB．该过程中由方向平行于y轴的匀强电场实现，此时粒子做类平抛运动，沿x轴正方向做匀速直线运动；当该过程仅由方向垂直于纸面的匀强磁场实现时，此时粒子做匀速圆周运动，沿x轴正方向分速度在减小，根据
可知t1CD．该过程中由方向平行于y轴的匀强电场实现，此时粒子做类平抛运动，到达P点时速度大于v0；当该过程仅由方向垂直于纸面的匀强磁场实现时，此时粒子做匀速圆周运动，到达P点时速度等于v0，而根据，可知Ek1>Ek2，故C错误，D正确。
故选AD。
4．（2023·山东·统考高考真题）电磁炮灭火消防车（图甲）采用电磁弹射技术投射灭火弹进入高层建筑快速灭火。电容器储存的能量通过电磁感应转化成灭火弹的动能，设置储能电容器的工作电压可获得所需的灭火弹出膛速度。如图乙所示，若电磁炮正对高楼，与高楼之间的水平距离，灭火弹出膛速度，方向与水平面夹角，不计炮口离地面高度及空气阻力，取重力加速度大小，。
（1）求灭火弹击中高楼位置距地面的高度H；
（2）已知电容器储存的电能，转化为灭火弹动能的效率，灭火弹的质量为，电容，电容器工作电压U应设置为多少？

【答案】（1）60m；（2）
【详解】（1）灭火弹做斜向上抛运动，则水平方向上有
竖直方向上有
代入数据联立解得
（2）根据题意可知
又因为
联立可得
5．（2023·山西·统考高考真题）密立根油滴实验的示意图如图所示。两水平金属平板上下放置，间距固定，可从上板中央的小孔向两板间喷入大小不同、带电量不同、密度相同的小油滴。两板间不加电压时，油滴a、b在重力和空气阻力的作用下竖直向下匀速运动，速率分别为v0、；两板间加上电压后（上板为正极），这两个油滴很快达到相同的速率，均竖直向下匀速运动。油滴可视为球形，所受空气阻力大小与油滴半径、运动速率成正比，比例系数视为常数。不计空气浮力和油滴间的相互作用。
（1）求油滴a和油滴b的质量之比；
（2）判断油滴a和油滴b所带电荷的正负，并求a、b所带电荷量的绝对值之比。

【答案】（1）8:1；（2）油滴a带负电，油滴b带正电；4:1
【详解】（1）设油滴半径r，密度为ρ，则油滴质量
则速率为v时受阻力
则当油滴匀速下落时
解得，
可知，则
（2）两板间加上电压后（上板为正极），这两个油滴很快达到相同的速率，可知油滴a做减速运动，油滴b做加速运动，可知油滴a带负电，油滴b带正电；当再次匀速下落时，对a由受力平衡可得，其中
对b由受力平衡可得
其中
联立解得
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