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山东省青岛市市南区2022-2023学年八年级下学期数学期末考试试卷
一、单选题
1．（2017八下·金堂期末）若x>y，则下列式子中错误的是（　　）
A．x－3>y－3 B． C．x+3>y+3 D．－3x>－3y
【答案】D
【知识点】有理数大小比较
【解析】【解答】解：A、不等式两边都减3，不等号的方向不变，正确；
B、不等式两边都除以一个正数，不等号的方向不变，正确；
C、不等式两边都加3，不等号的方向不变，正确；
D、乘以一个负数，不等号的方向改变，错误．
故选D．
2．我国将在2060年实现碳中和，新能源、绿色能源将成为产业发展的新趋势，下列新能源环保图标中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，故不符合题意；
B、不是中心对称图形，故不符合题意；
C、不是中心对称图形，故不符合题意；
D、是中心对称图形，故符合题意；
故答案为：D.
【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，据此逐项判断即可.
3．下列变形中，是因式分解且正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解的定义；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、 无法进行因式分解，故不符合题意；
B、 因式分解正确，故符合题意；
C、 ，属于整式的乘法，故不符合题意；
D、 ， 因式分解不正确，故不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据因式分解的定义及法则逐项判断即可.
4．如图，中，，的垂直平分线分别交，于点D，E，则线段的长为（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：连接BE，
∵DE垂直平分AB，
∴BE=AE，
∴BE=AE=AC-CE=8-CE，
在Rt△BCE中，BC=6，
∴62+CE2=（8-CE）2，
解得：CE=，
故答案为：A.
【分析】连接BE，由线段垂直平分线的性质可得BE=AE，则BE=AE=8-CE，在Rt△BCE中，由勾股定理可得62+CE2=（8-CE）2，解之即可.
5．（2022·易县模拟）如图，由一个正六边形和正五边形组成的图形中，的度数应是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：正六边形的内角为：，内角的补角为：60°；
正五边形的内角为：，内角的补角为：72°；
∴
故答案为：B
【分析】分别求出正六边形与正五边形的内角，再求出各内角的补角，结合三角形内角和及周角的定义进行计算即可.
6．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解①得x＞，
解②得x＜3，
∵原不等式组无解，
∴3≤，
∴ ，
故答案为：D.
【分析】分别求出每个不等式的解集，然后利用原不等式组无解建立关于a的不等式，解之即可.
7．甲、乙两人同时从A地出发到B地，如果甲的速度v保持不变，而乙先用v的速度到达中点，再用2v的速度到达B地，则下列结论中正确的是（　　）
A．甲、乙同时到达B地 B．甲先到达B地
C．乙先到达B地 D．谁先到达B地与v有关
【答案】B
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：设从A地到B地的距离为2s，
∴甲所用的时间为，
∵ 乙先用v的速度到达中点，再用2v的速度到达B地 ，
∴乙所用的时间为，
∴甲先到达B地，
故答案为：B.
【分析】设从A地到B地的距离为2s，根据时间=路程÷速度，分别求出甲、乙两人同时从A地出发到B地所用的时间，再比较即可.
8．（2022八下·城固期末）如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC，交AC于点F，连接BF，则下列结论中①△ABD≌△BCF；②四边形BDEF是平行四边形；③S四边形BDEF；④S△AEF．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，连接EC，作CH⊥EF于H，
∵△ABC，△ADE均是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAD+∠CAD=∠CAD+∠CAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=EC=1，∠ACE=∠ABD=60°，
∵EF∥BC，
∴∠EFC=∠ACB=60°，
∴△EFC是等边三角形，
∴ EF=EC，
∴EF=BD，
又∵EF∥BD，
∴四边形BDEF是平行四边形，故②正确；
∵BD=CF=1，BA=BC，∠ABD=∠BCF，
∴△ABD≌△BCF（SAS），故①正确；
∵△CEF为等边三角形，CH⊥EF，
FH=FC=，
∴CH==，
∵S平行四边形BDEF=BD·CH=，故 ③ 正确；
S△AEF=S△AEC=S△ABD=，故④错误；
综上所述，正确的有①②③.
故答案为：①②③.
【分析】连接EC，作CH⊥EF于H，利用SAS证明△BAD≌△CAE，得出BD=EC=1，∠ACE=∠ABD=60°，再证明△EFC是等边三角形，然后根据一组对比平行且相等判定四边形BDEF是平行四边形，则可判断②；再根据SAS证明△ABD≌△BCF，则可判断①；根据等边三角形的性质和勾股定理求出FH，再计算四边形BDEF的面积，即可判断 ③ ；根据三角形的面积关系求△AEF的面积即可判断 ④ .
二、填空题
9．分解因式：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式= ，
故答案为： .
【分析】利用平方差公式分解即可.
10．（2019八上·武清期中）等腰三角形的一个角100°，它的另外两个角的度数分别为 　 　
【答案】40°，40°
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵等腰三角形的一个角100°，
∴100°的角是顶角，
∴另两个角是 （180°﹣100°）=40°，
即40°，40°．
故答案为：40°，40°．
【分析】先判断出100°的角是顶角，再根据等腰三角形的两底角相等解答．
11．用等边三角形和正方形作平面镶嵌，则在它的每个顶点周围有个等边三角形和　 　 个正方形．
【答案】2
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解： 设在它的每个顶点周围有个等边三角形和n个正方形，
由题意得：3×60+90n=360，
∴n=2，
故答案为：2.
【分析】由正多边形的组合能镶嵌成平面的条件可知：位于同一顶点处的几个角之和为360°，据此解答即可.
12．如图，直线与直线相交于点A，则关于x的不等式的解集为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用；两一次函数图象相交或平行问题
13．（2021八上·福山期中）如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且m＞n（以上长度单位：cm）．观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为　 　
【答案】（2m+n）（m+2n）
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：根据图形面积关系可得：2m2+5mn+2n2=（2m+n）（m+2n）；
故答案为：（2m+n）（m+2n）．
【分析】根据图中的面积关系，两个大正方形、两个小正方形和5个长方形的面积之和等于大长方形的面积，据此可解。
14．已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是　 　．
【答案】且
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解： ，
解得：x=，
∵ 分式方程的解为负数 ，
∴＜0且≠，
解得： 且 ，
故答案为： 且 .
【分析】先解分式方程得x=，由分式方程的解为负数 ，可得x＜0且x≠，据此解答即可.
15．在中，的平分线与的延长线交于点，与交于点．若点为的中点，于，且，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD=AB=4，AD∥BC，
∴∠DFA=∠BAF，∠DAF=∠E，
∵AF平分∠BAD，
∴∠DAF=∠FAB，
∴∠DAF=∠DFA，
∴AD=DF，
∵ 点为的中点 ，
∴AD=DF=FC=2
∵DG⊥AE，
∴AG=FG，AG=，
∴AF=2AG=，
∵DF=CF，∠AFD=∠CFE，∠DAF=∠E，
∴△ADF≌△ECF（AAS），
∴EF=AF=，
∴AE=，
故答案为：.
【分析】由平行四边形的性质及角平分线的定义可得∠DAF=∠DFA，可得AD=DF，结合点为的中点 ，可得AD=DF=FC=2，利用等腰三角形三线合一的性质可得AG=FG，由勾股定理求出AG=，根据AAS证明△ADF≌△ECF，可得EF=AF=，继而得解.
16．（2023·定远模拟）如图，矩形的边，E是上一点，，F是上一动点，M、N分别是的中点，则的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】延长AB到A'，使得A'B=AB=2，连接A'F（如图），
则AA'=4，A'F=AF，
当点A'、F、E在同一直线上时，A'F+FE最小，最小值为A'E，
由勾股定理可得，即AF+FE最小为5，
∵P、Q分别是EF、AE的中点，
PE=PQ=AF，PQ=AF，
PE+PQ的最小值为×5=.
故答案为：.
【分析】先证出当点A'、F、E在同一直线上时，A'F+FE最小，最小值为A'E，再求出PE+PQ的最小值为×5=即可。
三、解答题
17．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：，
求作：，使得在边上，且它到、两边的距离相等．
【答案】解：如图，即为所求作．
【知识点】角平分线的性质；平行四边形的判定；作图-角的平分线
【解析】【分析】先作∠BAC的平分线CF交AB于一点，即为点D，再分别以点B、D为圆心，以CD、BC为半径画弧，两弧交于点E，则 即为所求作．
18．（1）因式分解：；
（2）化简：；
（3）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来；
（4）解方程：．
【答案】（1）解：
（2）解：
；
（3）解：，
解不等式①，得：
解不等式②，得：，
不等式组的解集为：，
在数轴上表示如下：
（4）解：，
去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
方程的解为．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；分式的混合运算；解分式方程；在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）利用提取公因式法进行分解即可；
（2）将括号内通分并利用同分母分式加法法则计算，再将除法转化为乘法，进行约分即可化简；
（3）先分别解出两个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”的规律找出不等式组的解集，再利用数轴画出解集即可.
（4）利用去分母将分式方程化为整式方程，解出整式方程并检验即得.
19．（2022八下·深圳期末）在长度均为1的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知点A、B、C的坐标分别为．
（1）将沿着x轴向左平移5个单位后得到，请在图中画出平移后的；
（2）将绕着O顺时针旋转后得到，请在图中画出旋转后的；
（3）将线段绕着某个定点旋转后得到（其中点A的对应点为点，点B的对应点为点），则这个定点的坐标是　 　．
【答案】（1）解：如图所示，△A1B1C1即为所求，
（2）解：如图所示，△A2B2C2即为所求，
（3）（0，1）
【知识点】作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（3）∵线段A1B1可以看成是线段BA绕着某个定点旋转180°后得到的图形，
∴点A1与点B是对应点，点B1与点A是对应点，
∴连接A1B，B1A相交于点D（定点），
由图形知，D（0，1），
即旋转中心为点D（0，1），
故答案为（0，1）；
【分析】（1）根据平移的性质作图即可；
（2）根据旋转的性质作图即可；
（3）先求出点A1与点B是对应点，点B1与点A是对应点，再根据旋转的性质求点的坐标即可。
20．（2023八下·深圳月考）如图，中，，，点F为延长线上一点，点E在上，且．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：
在和中
（2）解：，
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】（1）先求出∠ACF=90°，再利用三角形全等的判定方法证明即可；
（2）根据题意先求出∠ABC=∠BAC=45°，再求出∠CBE=22°，最后利用全等三角形的性质计算求解即可。
21．（2023·德城模拟）【调查活动】
小峰同学为了完成老师布置的社会活动作业：《A市初中生阅读水平的现状》，随机走访了A市的甲、乙两所初中，收集到如下信息：
①甲、乙两校图书室各藏书18000册；
②甲校比乙校人均图书册数多2册；
③甲校的学生人数比乙校的人数少10%．
【问题解决】
请你根据上述三个信息，就甲、乙两校的“人数”或“人均图书册数”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程．
【答案】解：方法一：问题：甲、乙两校的人数各是多少？
设乙校的人数为人，根据题意可列方程：
，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
人，
答：甲、乙两校的人数各是900人、1000人．
方法二：问题：甲、乙两校的人均图书册数各是多少？
设乙校的人均图书册数为人，根据题意可列方程：
，
解得：，
经检验，是原方程得解，且符合题意，
册，
答：甲、乙两校的人均图书册数各是20册、18册．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】 方法一：问题：甲、乙两校的人数各是多少？设乙校的人数为人，根据题意列出方程，解之即可；方法二：问题：甲、乙两校的人均图书册数各是多少？设乙校的人均图书册数为人，根据题意列出方程，解之即可。
22．已知如图，在中，点E，F在对角线AC上，且．求证：
（1）；
（2）四边形是平行四边形．
【答案】（1）解：四边形ABCD是平行四边形，
，，
，
，
在中，
，
．
（2）解：四边形ABCD是平行四边形，
，，
，
，
在中，
，
，
由（1）知：，
四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据SAS证明△ADE≌△CBF，可得DE=BF；
（2）根据SAS证明△ABE≌△CDF，可得BE=DF，由（1）知DE=BF，根据两组对边分别相等可证四边形是平行四边形．
23．某校组织元旦汇演，准备购进，两种文具共40件作为奖品，设购进种文具件，总费用为元．，文具的费用与的函数关系如下表．
（件） 8 9 12
种文具费用（元） 120 135 ▲
种文具费用（元） 640 ▲ 560
（1）将表格补充完整．
（2）求关于的函数表达式．
（3）当种文具的费用不大于种文具的费用时，求总费用的最小值．
【答案】（1）620|180
（2）解：由题意，种文具15元/件，种文具20元/件，
设购进种文具件，则种文具数量为件，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵，，
∴随着的增大而减小，
∴当时，，
答：总费用最少为690元．
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）A文具的单价：120÷8=15元，B文具的单价：640÷32=20元，根据31×20，12×15计算并填表即可；
（2）根据总费用=A费用+B费用列式即可；
（3）由种文具的费用不大于种文具的费用，列出不等式求出x的范围，利用（2）结论，根据一次函数的性质求解即可.
24．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2cm，△ABC绕点C顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），点A、B的对应点分别是D，E．
（1）如图1，当点D恰好落在边AB上时，旋转角α的度数是 ▲ ；
（2）如图2，当点B，D，E三点恰好在同一直线上时，判断此时直线CE与AB的位置关系，并说明理由；
（3）如图3，当B，D，E三点不在同一直线上时，连接BD，AE，若△BCD的面积为cm2，求此时四边形ABDE的面积．
【答案】（1）60°
（2）解：结论：CE⊥AB．
理由：如图1所示：延长EC交AB于点F．
∵由旋转的性质可知：CB＝CE，
∴∠CBE＝∠E＝30°，
∴∠BCE＝120°，即旋转角α＝120°，
∵∠ABC＝30°，∠CBE＝30°，
∴∠FBE＝60°，
∴∠E+∠FBE＝30°+60°＝90°，
∴∠BFE＝90°，
∴EC⊥AB；
（3）解：如图3所示：过D作DH⊥BC于H，过A作AG⊥EC交EC的延长线于G．
∵DH⊥BC，AG⊥EC，
∴∠AGC＝∠DHC＝90°，
∵△ABC旋转后与△DCE全等，
∴∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝DC，BC＝CE，
∵∠ACE+∠BCD＝180°，∠GCA+∠ECA＝180°，
∴∠ACG＝∠DCH，
在△AGC和△DHC中，
，
∴△AGC≌△DHC（AAS），
∴AG＝DH，
∴EC AG＝CB DH，
∴S△ACE＝S△BCD＝（cm2），
∵∠ACB＝90°，AC＝2，∠ABC＝30°，
∴BC＝AC＝2，
∴S四边形ABDE＝2S△BDC+2S△ABC＝3+2××2×2＝7．
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（1）由旋转知：CD=AC，
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠A=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
即旋转角α的度数是60°；
故答案为：60°.
【分析】（1）利用三角形内角和求出∠A=60°，根据旋转的性质可知△ACD是等边三角形，可得∠ACD=60°，继而得解；
（2） CE⊥AB．理由：延长EC交AB于点F，由旋转的性质可知CB=CE，利用等腰三角形的性质可得
∠CBE＝∠E＝30°， 根据三角形内角和求出∠BCE＝120°， 从而求出∠E+∠FBE＝90°， 根据三角形内角和定理求出∠BFE＝90°，即得结论；
（3）过D作DH⊥BC于H，过A作AG⊥EC交EC的延长线于G．证明△AGC≌△DHC（AAS），可得AG＝DH，利用三角形的面积公式证明 S△ACE＝S△BCD＝ ，根据 S四边形ABDE＝2S△BDC+2S△ABC即可求解.
25．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C在线段上，将线段绕着点C顺时针旋转得到，此时点D恰好落在直线上时，过点D作轴于点E．
（1）求证：；
（2）求点D的坐标；
（3）若点P在y轴上，点Q在直线上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明：∵将线段绕着点C顺时针旋转得到，轴，
，
，，
，
在与中，
，
；
（2）解：令，；令，，
此时，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则点D的坐标为，
∵点D在直线上，
∴，
∴，
∴点D的坐标为；
（3）点Q的坐标为或或．
【知识点】坐标与图形性质；一次函数的图象；平行四边形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（3）存在，设点Q的坐标为．
由（2）知，
∵动点C在线段上，
∴点C的坐标为，
分两种情况考虑，如图2所示：
①当为边时，
∵点C的坐标为，点D的坐标为，点P的横坐标为0，
∴或，
∴或，
∴点Q的坐标为，点的坐标为；
②当为对角线时，
∵点C的坐标为，点D的坐标为，点P的横坐标为0，
∴，
∴，
∴点的坐标为．
综上所述：存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为或或．
【分析】（1）由旋转的性质及余角的性质推出∠BCO≌△CDE，根据AAS证明△BOC≌△CED；
（2）先求A、B的坐标，可得OA=6，OB=3，由（1）知△BOC≌△CED，可得，设，则点D的坐标为，将点D坐标代入直线中求出m值即可；
（3）分两种情况：①当为边时，②当为对角线时，根据平行四边形的性质分别求解即可.
1 / 1山东省青岛市市南区2022-2023学年八年级下学期数学期末考试试卷
一、单选题
1．（2017八下·金堂期末）若x>y，则下列式子中错误的是（　　）
A．x－3>y－3 B． C．x+3>y+3 D．－3x>－3y
2．我国将在2060年实现碳中和，新能源、绿色能源将成为产业发展的新趋势，下列新能源环保图标中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列变形中，是因式分解且正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，中，，的垂直平分线分别交，于点D，E，则线段的长为（　　）
A． B．2 C． D．
5．（2022·易县模拟）如图，由一个正六边形和正五边形组成的图形中，的度数应是（　　）
A． B． C． D．
6．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．甲、乙两人同时从A地出发到B地，如果甲的速度v保持不变，而乙先用v的速度到达中点，再用2v的速度到达B地，则下列结论中正确的是（　　）
A．甲、乙同时到达B地 B．甲先到达B地
C．乙先到达B地 D．谁先到达B地与v有关
8．（2022八下·城固期末）如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC，交AC于点F，连接BF，则下列结论中①△ABD≌△BCF；②四边形BDEF是平行四边形；③S四边形BDEF；④S△AEF．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．分解因式：　 　．
10．（2019八上·武清期中）等腰三角形的一个角100°，它的另外两个角的度数分别为 　 　
11．用等边三角形和正方形作平面镶嵌，则在它的每个顶点周围有个等边三角形和　 　 个正方形．
12．如图，直线与直线相交于点A，则关于x的不等式的解集为　 　．
13．（2021八上·福山期中）如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且m＞n（以上长度单位：cm）．观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为　 　
14．已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是　 　．
15．在中，的平分线与的延长线交于点，与交于点．若点为的中点，于，且，，则的长为　 　．
16．（2023·定远模拟）如图，矩形的边，E是上一点，，F是上一动点，M、N分别是的中点，则的最小值是　 　．
三、解答题
17．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：，
求作：，使得在边上，且它到、两边的距离相等．
18．（1）因式分解：；
（2）化简：；
（3）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来；
（4）解方程：．
19．（2022八下·深圳期末）在长度均为1的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知点A、B、C的坐标分别为．
（1）将沿着x轴向左平移5个单位后得到，请在图中画出平移后的；
（2）将绕着O顺时针旋转后得到，请在图中画出旋转后的；
（3）将线段绕着某个定点旋转后得到（其中点A的对应点为点，点B的对应点为点），则这个定点的坐标是　 　．
20．（2023八下·深圳月考）如图，中，，，点F为延长线上一点，点E在上，且．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
21．（2023·德城模拟）【调查活动】
小峰同学为了完成老师布置的社会活动作业：《A市初中生阅读水平的现状》，随机走访了A市的甲、乙两所初中，收集到如下信息：
①甲、乙两校图书室各藏书18000册；
②甲校比乙校人均图书册数多2册；
③甲校的学生人数比乙校的人数少10%．
【问题解决】
请你根据上述三个信息，就甲、乙两校的“人数”或“人均图书册数”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程．
22．已知如图，在中，点E，F在对角线AC上，且．求证：
（1）；
（2）四边形是平行四边形．
23．某校组织元旦汇演，准备购进，两种文具共40件作为奖品，设购进种文具件，总费用为元．，文具的费用与的函数关系如下表．
（件） 8 9 12
种文具费用（元） 120 135 ▲
种文具费用（元） 640 ▲ 560
（1）将表格补充完整．
（2）求关于的函数表达式．
（3）当种文具的费用不大于种文具的费用时，求总费用的最小值．
24．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2cm，△ABC绕点C顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），点A、B的对应点分别是D，E．
（1）如图1，当点D恰好落在边AB上时，旋转角α的度数是 ▲ ；
（2）如图2，当点B，D，E三点恰好在同一直线上时，判断此时直线CE与AB的位置关系，并说明理由；
（3）如图3，当B，D，E三点不在同一直线上时，连接BD，AE，若△BCD的面积为cm2，求此时四边形ABDE的面积．
25．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C在线段上，将线段绕着点C顺时针旋转得到，此时点D恰好落在直线上时，过点D作轴于点E．
（1）求证：；
（2）求点D的坐标；
（3）若点P在y轴上，点Q在直线上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数大小比较
【解析】【解答】解：A、不等式两边都减3，不等号的方向不变，正确；
B、不等式两边都除以一个正数，不等号的方向不变，正确；
C、不等式两边都加3，不等号的方向不变，正确；
D、乘以一个负数，不等号的方向改变，错误．
故选D．
2．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，故不符合题意；
B、不是中心对称图形，故不符合题意；
C、不是中心对称图形，故不符合题意；
D、是中心对称图形，故符合题意；
故答案为：D.
【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，据此逐项判断即可.
3．【答案】B
【知识点】因式分解的定义；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、 无法进行因式分解，故不符合题意；
B、 因式分解正确，故符合题意；
C、 ，属于整式的乘法，故不符合题意；
D、 ， 因式分解不正确，故不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据因式分解的定义及法则逐项判断即可.
4．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：连接BE，
∵DE垂直平分AB，
∴BE=AE，
∴BE=AE=AC-CE=8-CE，
在Rt△BCE中，BC=6，
∴62+CE2=（8-CE）2，
解得：CE=，
故答案为：A.
【分析】连接BE，由线段垂直平分线的性质可得BE=AE，则BE=AE=8-CE，在Rt△BCE中，由勾股定理可得62+CE2=（8-CE）2，解之即可.
5．【答案】B
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：正六边形的内角为：，内角的补角为：60°；
正五边形的内角为：，内角的补角为：72°；
∴
故答案为：B
【分析】分别求出正六边形与正五边形的内角，再求出各内角的补角，结合三角形内角和及周角的定义进行计算即可.
6．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解①得x＞，
解②得x＜3，
∵原不等式组无解，
∴3≤，
∴ ，
故答案为：D.
【分析】分别求出每个不等式的解集，然后利用原不等式组无解建立关于a的不等式，解之即可.
7．【答案】B
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：设从A地到B地的距离为2s，
∴甲所用的时间为，
∵ 乙先用v的速度到达中点，再用2v的速度到达B地 ，
∴乙所用的时间为，
∴甲先到达B地，
故答案为：B.
【分析】设从A地到B地的距离为2s，根据时间=路程÷速度，分别求出甲、乙两人同时从A地出发到B地所用的时间，再比较即可.
8．【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，连接EC，作CH⊥EF于H，
∵△ABC，△ADE均是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAD+∠CAD=∠CAD+∠CAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=EC=1，∠ACE=∠ABD=60°，
∵EF∥BC，
∴∠EFC=∠ACB=60°，
∴△EFC是等边三角形，
∴ EF=EC，
∴EF=BD，
又∵EF∥BD，
∴四边形BDEF是平行四边形，故②正确；
∵BD=CF=1，BA=BC，∠ABD=∠BCF，
∴△ABD≌△BCF（SAS），故①正确；
∵△CEF为等边三角形，CH⊥EF，
FH=FC=，
∴CH==，
∵S平行四边形BDEF=BD·CH=，故 ③ 正确；
S△AEF=S△AEC=S△ABD=，故④错误；
综上所述，正确的有①②③.
故答案为：①②③.
【分析】连接EC，作CH⊥EF于H，利用SAS证明△BAD≌△CAE，得出BD=EC=1，∠ACE=∠ABD=60°，再证明△EFC是等边三角形，然后根据一组对比平行且相等判定四边形BDEF是平行四边形，则可判断②；再根据SAS证明△ABD≌△BCF，则可判断①；根据等边三角形的性质和勾股定理求出FH，再计算四边形BDEF的面积，即可判断 ③ ；根据三角形的面积关系求△AEF的面积即可判断 ④ .
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式= ，
故答案为： .
【分析】利用平方差公式分解即可.
10．【答案】40°，40°
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵等腰三角形的一个角100°，
∴100°的角是顶角，
∴另两个角是 （180°﹣100°）=40°，
即40°，40°．
故答案为：40°，40°．
【分析】先判断出100°的角是顶角，再根据等腰三角形的两底角相等解答．
11．【答案】2
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解： 设在它的每个顶点周围有个等边三角形和n个正方形，
由题意得：3×60+90n=360，
∴n=2，
故答案为：2.
【分析】由正多边形的组合能镶嵌成平面的条件可知：位于同一顶点处的几个角之和为360°，据此解答即可.
12．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用；两一次函数图象相交或平行问题
13．【答案】（2m+n）（m+2n）
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：根据图形面积关系可得：2m2+5mn+2n2=（2m+n）（m+2n）；
故答案为：（2m+n）（m+2n）．
【分析】根据图中的面积关系，两个大正方形、两个小正方形和5个长方形的面积之和等于大长方形的面积，据此可解。
14．【答案】且
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解： ，
解得：x=，
∵ 分式方程的解为负数 ，
∴＜0且≠，
解得： 且 ，
故答案为： 且 .
【分析】先解分式方程得x=，由分式方程的解为负数 ，可得x＜0且x≠，据此解答即可.
15．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD=AB=4，AD∥BC，
∴∠DFA=∠BAF，∠DAF=∠E，
∵AF平分∠BAD，
∴∠DAF=∠FAB，
∴∠DAF=∠DFA，
∴AD=DF，
∵ 点为的中点 ，
∴AD=DF=FC=2
∵DG⊥AE，
∴AG=FG，AG=，
∴AF=2AG=，
∵DF=CF，∠AFD=∠CFE，∠DAF=∠E，
∴△ADF≌△ECF（AAS），
∴EF=AF=，
∴AE=，
故答案为：.
【分析】由平行四边形的性质及角平分线的定义可得∠DAF=∠DFA，可得AD=DF，结合点为的中点 ，可得AD=DF=FC=2，利用等腰三角形三线合一的性质可得AG=FG，由勾股定理求出AG=，根据AAS证明△ADF≌△ECF，可得EF=AF=，继而得解.
16．【答案】
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】延长AB到A'，使得A'B=AB=2，连接A'F（如图），
则AA'=4，A'F=AF，
当点A'、F、E在同一直线上时，A'F+FE最小，最小值为A'E，
由勾股定理可得，即AF+FE最小为5，
∵P、Q分别是EF、AE的中点，
PE=PQ=AF，PQ=AF，
PE+PQ的最小值为×5=.
故答案为：.
【分析】先证出当点A'、F、E在同一直线上时，A'F+FE最小，最小值为A'E，再求出PE+PQ的最小值为×5=即可。
17．【答案】解：如图，即为所求作．
【知识点】角平分线的性质；平行四边形的判定；作图-角的平分线
【解析】【分析】先作∠BAC的平分线CF交AB于一点，即为点D，再分别以点B、D为圆心，以CD、BC为半径画弧，两弧交于点E，则 即为所求作．
18．【答案】（1）解：
（2）解：
；
（3）解：，
解不等式①，得：
解不等式②，得：，
不等式组的解集为：，
在数轴上表示如下：
（4）解：，
去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
方程的解为．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；分式的混合运算；解分式方程；在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）利用提取公因式法进行分解即可；
（2）将括号内通分并利用同分母分式加法法则计算，再将除法转化为乘法，进行约分即可化简；
（3）先分别解出两个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”的规律找出不等式组的解集，再利用数轴画出解集即可.
（4）利用去分母将分式方程化为整式方程，解出整式方程并检验即得.
19．【答案】（1）解：如图所示，△A1B1C1即为所求，
（2）解：如图所示，△A2B2C2即为所求，
（3）（0，1）
【知识点】作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（3）∵线段A1B1可以看成是线段BA绕着某个定点旋转180°后得到的图形，
∴点A1与点B是对应点，点B1与点A是对应点，
∴连接A1B，B1A相交于点D（定点），
由图形知，D（0，1），
即旋转中心为点D（0，1），
故答案为（0，1）；
【分析】（1）根据平移的性质作图即可；
（2）根据旋转的性质作图即可；
（3）先求出点A1与点B是对应点，点B1与点A是对应点，再根据旋转的性质求点的坐标即可。
20．【答案】（1）证明：
在和中
（2）解：，
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】（1）先求出∠ACF=90°，再利用三角形全等的判定方法证明即可；
（2）根据题意先求出∠ABC=∠BAC=45°，再求出∠CBE=22°，最后利用全等三角形的性质计算求解即可。
21．【答案】解：方法一：问题：甲、乙两校的人数各是多少？
设乙校的人数为人，根据题意可列方程：
，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
人，
答：甲、乙两校的人数各是900人、1000人．
方法二：问题：甲、乙两校的人均图书册数各是多少？
设乙校的人均图书册数为人，根据题意可列方程：
，
解得：，
经检验，是原方程得解，且符合题意，
册，
答：甲、乙两校的人均图书册数各是20册、18册．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】 方法一：问题：甲、乙两校的人数各是多少？设乙校的人数为人，根据题意列出方程，解之即可；方法二：问题：甲、乙两校的人均图书册数各是多少？设乙校的人均图书册数为人，根据题意列出方程，解之即可。
22．【答案】（1）解：四边形ABCD是平行四边形，
，，
，
，
在中，
，
．
（2）解：四边形ABCD是平行四边形，
，，
，
，
在中，
，
，
由（1）知：，
四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据SAS证明△ADE≌△CBF，可得DE=BF；
（2）根据SAS证明△ABE≌△CDF，可得BE=DF，由（1）知DE=BF，根据两组对边分别相等可证四边形是平行四边形．
23．【答案】（1）620|180
（2）解：由题意，种文具15元/件，种文具20元/件，
设购进种文具件，则种文具数量为件，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵，，
∴随着的增大而减小，
∴当时，，
答：总费用最少为690元．
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）A文具的单价：120÷8=15元，B文具的单价：640÷32=20元，根据31×20，12×15计算并填表即可；
（2）根据总费用=A费用+B费用列式即可；
（3）由种文具的费用不大于种文具的费用，列出不等式求出x的范围，利用（2）结论，根据一次函数的性质求解即可.
24．【答案】（1）60°
（2）解：结论：CE⊥AB．
理由：如图1所示：延长EC交AB于点F．
∵由旋转的性质可知：CB＝CE，
∴∠CBE＝∠E＝30°，
∴∠BCE＝120°，即旋转角α＝120°，
∵∠ABC＝30°，∠CBE＝30°，
∴∠FBE＝60°，
∴∠E+∠FBE＝30°+60°＝90°，
∴∠BFE＝90°，
∴EC⊥AB；
（3）解：如图3所示：过D作DH⊥BC于H，过A作AG⊥EC交EC的延长线于G．
∵DH⊥BC，AG⊥EC，
∴∠AGC＝∠DHC＝90°，
∵△ABC旋转后与△DCE全等，
∴∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝DC，BC＝CE，
∵∠ACE+∠BCD＝180°，∠GCA+∠ECA＝180°，
∴∠ACG＝∠DCH，
在△AGC和△DHC中，
，
∴△AGC≌△DHC（AAS），
∴AG＝DH，
∴EC AG＝CB DH，
∴S△ACE＝S△BCD＝（cm2），
∵∠ACB＝90°，AC＝2，∠ABC＝30°，
∴BC＝AC＝2，
∴S四边形ABDE＝2S△BDC+2S△ABC＝3+2××2×2＝7．
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（1）由旋转知：CD=AC，
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠A=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
即旋转角α的度数是60°；
故答案为：60°.
【分析】（1）利用三角形内角和求出∠A=60°，根据旋转的性质可知△ACD是等边三角形，可得∠ACD=60°，继而得解；
（2） CE⊥AB．理由：延长EC交AB于点F，由旋转的性质可知CB=CE，利用等腰三角形的性质可得
∠CBE＝∠E＝30°， 根据三角形内角和求出∠BCE＝120°， 从而求出∠E+∠FBE＝90°， 根据三角形内角和定理求出∠BFE＝90°，即得结论；
（3）过D作DH⊥BC于H，过A作AG⊥EC交EC的延长线于G．证明△AGC≌△DHC（AAS），可得AG＝DH，利用三角形的面积公式证明 S△ACE＝S△BCD＝ ，根据 S四边形ABDE＝2S△BDC+2S△ABC即可求解.
25．【答案】（1）证明：∵将线段绕着点C顺时针旋转得到，轴，
，
，，
，
在与中，
，
；
（2）解：令，；令，，
此时，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则点D的坐标为，
∵点D在直线上，
∴，
∴，
∴点D的坐标为；
（3）点Q的坐标为或或．
【知识点】坐标与图形性质；一次函数的图象；平行四边形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（3）存在，设点Q的坐标为．
由（2）知，
∵动点C在线段上，
∴点C的坐标为，
分两种情况考虑，如图2所示：
①当为边时，
∵点C的坐标为，点D的坐标为，点P的横坐标为0，
∴或，
∴或，
∴点Q的坐标为，点的坐标为；
②当为对角线时，
∵点C的坐标为，点D的坐标为，点P的横坐标为0，
∴，
∴，
∴点的坐标为．
综上所述：存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为或或．
【分析】（1）由旋转的性质及余角的性质推出∠BCO≌△CDE，根据AAS证明△BOC≌△CED；
（2）先求A、B的坐标，可得OA=6，OB=3，由（1）知△BOC≌△CED，可得，设，则点D的坐标为，将点D坐标代入直线中求出m值即可；
（3）分两种情况：①当为边时，②当为对角线时，根据平行四边形的性质分别求解即可.
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