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浙江省北斗星盟2021-2022学年高二上学期数学12月阶段性联考试卷
一、单选题
1．（2021高二上·浙江月考）直线经过两个定点，，则直线倾斜角大小是（　　）
A． B． C． D．
2．（2021高二上·浙江月考）双曲线当实数变化时，这些双曲线（　　）
A．有相同的焦点 B．有相同的实轴长
C．有相同的离心率 D．有相同的渐近线
3．（2021高二上·浙江月考）若向量，，是共面向量，则实数的值是（　　）
A． B． C． D．
4．（2021高二上·浙江月考）过双曲线的右焦点且斜率为的直线与双曲线的左右支各有一个交点，则双曲线的离心率取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．（2021高二上·浙江月考）设等比数列的前项和为，若，则的值是（　　）
A．-4 B． C． D．4
6．（2021高二上·浙江月考）设点，若圆上存在点，使得，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．（2021高二上·浙江月考）长方体中，，，为的中点，则异面直线与之间的距离是（　　）
A． B． C． D．
8．（2021高二上·浙江月考）已知直线与圆相切，则满足条件的直线有（　　）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
二、多选题
9．（2021高二上·浙江月考）过抛物线焦点作弦，若，则有（　　）
A． B．的斜率是
C．点到轴的距离是2 D．的面积是定值2
10．（2021高二上·浙江月考）已知数列的前项和为，，则有（　　）
A． B．
C． D．
11．（2021高二上·浙江月考）经过点，和直线上一动点作圆，则有（　　）
A．圆面积的最小值是
B．最大值是
C．圆与相切且以点为切点的圆有且仅有一个
D．圆心的轨迹是一段圆弧
12．（2021高二上·浙江月考）如图，在三棱锥中，，，则（　　）
A．
B．异面直线与所成角余弦值是
C．若点是边上任一点，则为定值
D．三棱锥体积是
三、填空题
13．（2021高二上·浙江月考）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上 中 下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，均为9环，则三层共有扇面形石板（不含天心石）数量是　 　.
14．（2021高二上·浙江月考）关于的方程有实数解，则实数的取值范围是　 　.
15．（2021高二上·浙江月考）已知数列满足，，则　 　.
16．（2021高二上·浙江月考）已知抛物线：上有两动点，，且，则线段的中点到轴距离的最小值是　 　.
四、解答题
17．（2021高二上·浙江月考）已知圆：
（1）若直线：将圆的周长分为1：2的两部分，求实数的值；
（2）若与圆相外切且与轴相切的圆的圆心记为，求点的轨迹方程.
18．（2021高二上·浙江月考）在三棱柱中，侧面为矩形，，，是的中点，与交于点，且平面，且
（1）求的值；
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
19．（2021高二上·浙江月考）已知顶点，边上中线所在直线方程是，的角平分线所在直线方程是.
（1）求顶点坐标；
（2）求边所在的直线方程.
20．（2021高二上·浙江月考）如图，已知矩形中，，，其中为的中点，将矩形沿折成二面角，且有.
（1）若点为的中点，求证平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
21．（2021高二上·浙江月考）在数列中，，，且对任意的，都有.
（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2），若数列是单调递增数列，求实数的取值范围.
22．（2021高二上·浙江月考）已知椭圆：离心率为，过右焦点的直线交椭圆于椭圆，两点.
（1）若有，求直线的方程；
（2）若线段的中点为，延长交椭圆于另一个交点，求面积的最大值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】直线的倾斜角；斜率的计算公式
【解析】【解答】由已知直线的斜率为，所以倾斜角为。
故答案为：A．
【分析】利用已知条件结合两点求斜率公式，进而求出直线的斜率，再利用直线的斜率与直线的倾斜角的关系式，进而求出直线的倾斜角。
2．【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】当时，方程可化为，
∴，，，
焦点坐标为，实轴长为，离心率为，渐近线为，
当时，方程可化为，
∴，，，
焦点坐标为，实轴长为，离心率为，渐近线为。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合双曲线的标准方程确定焦点的位置，进而求出a，b的值，再利用双曲线中a，b，c三者的关系式，进而求出c的值，再利用焦点的坐标求解方法，实轴长的求解方法，双曲线的离心率公式和渐近线方程求解方法，从而求出双曲线的焦点的坐标，实轴长，离心率和渐近线，进而得出这些双曲线有相同的渐近线，从而找出正确的选项。
3．【答案】B
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】由题意，存在实数使得，
，
所以，解得。
故答案为：B．
【分析】利用已知条件结合共面向量判断方法，进而得出存在实数使得，再利用向量的坐标运算，从而解方程组求出的值。
4．【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】设过右焦点且斜率为的直线的方程为，
联立方程组，化简可得，
方程的判别式，
设方程的解为，
∵ 直线与双曲线的左右支各有一个交点，
∴，∴，
∴，
∴ 双曲线的离心率，
即双曲线的离心率取值范围是。
故答案为：D.
【分析】设过右焦点且斜率为的直线的点斜式方程为，再利用直线与双曲线相交，联立二者方程结合判别式法，得出，设方程的解为，再利用直线与双曲线的左右支各有一个交点得出 ，再利用韦达定理得出 ，再利用双曲线的离心率公式变形得出双曲线的离心率的取值范围。
5．【答案】B
【知识点】等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】已知等比数列的前项和为，，
由等比数列的性质得：成等比数列，且公比不为-1，
即：成等比数列，
，则，
，所以，
。
故答案为：B.
【分析】利用等比数列的前项和为，，由等比数列的性质得：成等比数列，且公比不为-1，即：成等比数列，再利用等比中项公式得出，进而得出的值。
6．【答案】C
【知识点】圆方程的综合应用
【解析】【解答】过点作圆的切线，设切点为，连接，则且，
而，可得，解得。
故答案为：C.
【分析】过点作圆的切线，设切点为，连接，则且，再利用正弦函数的定义得出，再结合勾股定理得出，从而求出实数t的取值范围。
7．【答案】D
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，
，，
设与的公垂线的一个方向向量为，
则，取，得，，即，
又因为，
所以异面直线与之间的距离为。
故答案为：D．
【分析】利用已知条件建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求异面直线与之间的距离的公式，进而求出异面直线与之间的距离。
8．【答案】C
【知识点】圆的切线方程
【解析】【解答】因为直线与圆相切，
则圆心到直线的距离为，
即，即，
所以，其中，
则或，
正弦值为的只有在轴负半轴，正弦值为可以在第一或者第二象限，故有种可能，
则满足条件的直线有3条。
故答案为：C.
【分析】利用直线与圆相切，再结合直线与圆相切的位置关系判断方法，进而求出圆心到直线的距离为，再利用点到直线的距离公式，从而结合辅助角公式得出的值，再利用正弦值为的只有在轴负半轴，正弦值为可以在第一或者第二象限，从而得出满足条件的直线的条数。
9．【答案】A,B,C
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】由题意，，抛物线方程为，
，，，不妨设在第一象限，则，即，
直线的方程为，即，代入抛物线方程得，
解得，，所以，，A符合题意；
由A选项推导过程知，根据对称性，还可以有，B符合题意；
由知C符合题意；
在A选项推导过程中，有，，（在第一象限，则在第四象限），
，D不符合题意．
故答案为：ABC．
【分析】利用已知条件结合焦点的坐标，从而求出p的值，进而求出抛物线的标准方程，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程求出交点坐标，再结合抛物线的定义结合两点距离求解方法，进而求出的值，再利用交点A，B的坐标结合两点求斜率公式，进而结合对称性求出直线AB的斜率，再利用点B的坐标结合点到直线的距离公式，进而求出点到轴的距离，再结合已知条件和三角形的面积公式，进而求出三角形 的面积，从而推出三角形 的面积是定值为 ，进而找出正确的选项。
10．【答案】B,C
【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的求和
【解析】【解答】因为，，
当时，，即，解得：，
则，
所以，
即，所以，
所以，即，
所以，
因为。
故答案为：BC.
【分析】利用已知条件结合的关系式，再结合分类讨论的方法，从而得出数列的通项公式，进而结合数列求和的方法，从而求出数列的前项和，进而找出正确的选项。
11．【答案】A,B
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】已知，，过三点作圆，
设圆的圆心坐标为，，可知，
到距离相等，则，
在线段的中垂线上，即圆心在直线上，，
所以圆心的轨迹是一条直线，D不符合题意；
到距离相等，则，
则，
在直线上，，
，即，
则，所以，
当时，则；当时，，
当且仅当时取等号，所以，
则圆的半径，所以圆的半径最小值为，
所以圆面积的最小值是，A符合题意；
由于三点都在圆上，可知，
而圆心在直线上，，可知当越小时，越大，
所以当时，，此时，即为的最大值，B符合题意；
当圆与相切且以点为切点时，
圆心到直线的距离等于半径，
即，解得：，
所以圆与相切且以点为切点的圆有2个，C不符合题意.
故答案为：AB.
【分析】利用，，过三点作圆，设圆的圆心坐标为，，可知，再利用点M到距离相等，则，所以点M在线段的中垂线上，从而得出圆心在直线上，再结合代入法得出点M的坐标为，进而得出圆心M的轨迹；再利用点M到距离相等结合两点距离公式得出，再利用点C在直线上结合代入法，得出，所以，再结合分类讨论的方法和均值不等式求最值的方法，进而求出的最小值，再结合勾股定理得出圆的半径最小值，再利用圆的面积公式，进而求出圆面积的最小值；由于三点都在圆上，可知，而圆心在直线上结合代入法得出点M的坐标为，可知当越小时，越大，从而结合几何法得出的最大值；当圆与相切且以点为切点时，再结合几何法，从而得出圆心到直线的距离等于半径，再利用勾股定理和点到直线的距离公式，进而而求出b的值，从而求出圆与相切且以点为切点的圆的个数，进而找出正确的选项。
12．【答案】A,C,D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】根据题意，可知，
，
，
，所以，A符合题意；
分别取和的中点，，连接，，则，，
，，
，
，
则异面直线与所成角余弦值是，B不符合题意；
由于点是边上任一点，设，
则，
而，则，所以 的结果与无关，
即为定值，C符合题意；
连接，由于是边长为的等边三角形，
则，所以 ，
在中，，
则，所以，而 ，
所以平面，即为三棱锥的高，
而，
所以，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】根据题意，可知，再结合余弦定理得出的值，再利用余弦函数的定义求出的值，再利用数量积的运算法则结合数量积的定义，进而求出的值，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，所以；分别取和的中点，，连接，，再利用等腰三角形三线合一，则，，再利用余弦函数的定义得出，的值，再结合数量积的运算法则结合数量积的定义，得出
的值，再利用数量积求夹角公式，进而求出异面直线与所成角余弦值；由于点是边上任一点，设，再利用数量积的运算法则结合数量积为0两向量垂直的等价关系，所以 的结果与无关，即为定值；连接，由于三角形是边长为的等边三角形，再结合勾股定理得出BE的长，所以 ，在中结合勾股定理得出，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，即为三棱锥的高，再利用三角形的面积公式得出的值，再结合三棱锥的体积公式，进而求出的值，从而找出正确的选项。
13．【答案】3402
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的前n项和
【解析】【解答】从上层第一环石板数记为，向外向下石板数依次记为，此数列是等差数列，公差为，首项，三层共27项，
所以和为。
故答案为：3402。
【分析】利用已知条件，从上层第一环石板数记为，向外向下石板数依次记为，再结合等差数列的定义得出此数列是等差数列，公差为，首项，三层共27项，再利用等差数列前n项和公式，进而求出等差数列前27项的和，从而求出三层共有扇面形石板（不含天心石）数量。
14．【答案】
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】由可得，即曲线表示圆的上半圆，由题意可知直线与曲线有公共点，如下图所示：
当直线与半圆相切且切点位于第二象限时，
则有，解得，
由图可知，当时，直线与半圆有公共点，
因此，实数的取值范围是。
故答案为：。
【分析】由可得，再利用圆的定义，得出曲线表示圆的上半圆，由题意可知直线与曲线有公共点，当直线与半圆相切且切点位于第二象限时，再利用点到直线的距离公式结合已知条件，从而求出k的值，由直线和上半圆的图象可知，当直线与半圆有公共点时的实数的取值范围。
15．【答案】
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的前n项和；数列的递推公式
【解析】【解答】数列满足，，
是首项为1，公差为2的等差数列，
，
则，，
则，
是首项为7，公差为6的等差数列，
。
故答案为：。
【分析】利用数列满足，，再结合等差数列的定义，进而判断出数列是首项为1，公差为2的等差数列，再利用等差数列的通项公式，从而求出数列的通项公式，进而得出数列的关系式，再结合等差数列的定义和递推关系，从而得出数列是首项为7，公差为6的等差数列，再结合生产数量前n项和公式，进而求出。
16．【答案】2
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】设抛物线的焦点为，点在抛物线的准线上的投影为，点在直线上的投影为，线段的中点为，点到轴的距离为，则
，
∴，当且仅当即三点共线时等号成立，
∴ 线段的中点到轴距离的最小值是2。
故答案为：2。
【分析】设抛物线的焦点为，点在抛物线的准线上的投影为，点在直线上的投影为，线段的中点为，点到轴的距离为，再利用抛物线的定义结合两边之和大于第三边的性质，得出，从而得出，从而求出当且仅当三点共线时的线段的中点到轴距离的最小值。
17．【答案】（1）解：由圆方程化为标准式，可知圆心，半径，
而直线：将圆的周长分为1：2的两部分，
知到直线：距离为，
即，解得：.
（2）解：设，易知所求的圆在轴上方，且半径为，
由于所求圆与圆相外切，所以，
即，
整理得点的轨迹方程：.
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】（1） 将圆的一般方程化为标准方程，从而求出圆心坐标和半径长，
再利用直线：将圆的周长分为1：2的两部分知圆到直线：距离为，再利用点到直线的距离公式，进而求出实数t的值。
（2） 设，易知所求的圆在轴上方，且半径为，由于所求圆与圆相外切，再利用两圆外切位置关系判断方法，再结合两点距离公式，进而得出点的轨迹方程。
18．【答案】（1）矩形中，，易知，
，
，
再平面，平面，，，，
；
（2），
设异面直线与所成角大小为，则．
【知识点】平面向量的数量积运算；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】(1) 在矩形中结合勾股定理得出的长，再利用结合两三角形相似对应边成比例，得出AO的长，再利用直线平面结合线面垂直的定义，从而证出线线垂直，所以，，再利用结合数量积的运算法则和数量积的定义，从而求出 的值。
（2） 利用已知条件结合数量积的运算法则和数量积的定义，从而得出的值，再利用数量积的运算法则和数量积的定义，从而求出的值，再结合数量积求夹角公式，从而求出异面直线与所成角的余弦值。
19．【答案】（1）解：由题意可设，则边的中点，
代入有，解得，
所以顶点坐标是.
（2）解：由题意知，点关于直线的对称点在直线上，
可设得：解得：，，
得直线的斜率，
所以边所在的直线方程是，即.
【知识点】平面内中点坐标公式；直线的一般式方程
【解析】【分析】（1） 由题意可设，再结合中点的坐标公式，进而求出边的中点为，再利用中点在直线上结合代入法，从而求出t的值，进而求出顶点的坐标。
（2） 由题意知，点关于直线的对称点在直线上，可设，再利用中点坐标公式结合代入法以及两直线垂直斜率之积等于-1和两点求斜率公式，进而解方程组得出m，n的值，进而求出点A的坐标，再结合两点求斜率公式，进而求出直线的斜率，再利用点斜式求出边所在的直线方程，再转化为直线BC的一般式方程。
20．【答案】（1）证明：取中点，连，，
由三角形的中位线，可知，又，所以，
所以四边形是平行四边形，所以，
再平面，平面，
平面.
（2）解：如图，以点为坐标原点，分别以，与向上的方向为轴建立空间直角坐标系，
则有，，，，
设，则有：，
，，
设平面的法向量为，
由，不妨取，得，
，记直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值是.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】 (1)取中点，连，，由三角形的中位线可知，再利用，再结合平行和相等的传递性，所以，所以四边形是平行四边形，所以，再利用线线平行证出线面平行，从而证出直线平面。
（2） 以点为坐标原点，分别以，与向上的方向为轴建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积求向量夹角公式，进而求出直线与平面所成角的余弦值，再结合诱导公式求出直线与平面所成角的正弦值。
21．【答案】（1）解：由，可得，
又，，所以，故，
所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以，
所以当时，
.
又满足上式，所以
（2）解：，
又∵数列是单调递增数列，
由，可得，
则对于任意恒成立，
记，由，
单调递增，，.
【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的函数特性；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的递推公式
【解析】【分析】（1） 由结合已知条件和递推公式变形，可得，再利用等比数列的定义，从而证出数列是首项为2，公比为2的等比数列，再利用等比数列的通项公式得出，再利用分类讨论的方法结合累加法和等比数列前n项和公式，进而得出数列 的通项公式。
（2）利用数列 的通项公式结合 得出数列的通项公式，再利用数列是单调递增数列，由，可得对于任意恒成立，记，再利用作商法，得出，所以，从而证出函数单调递增，进而求出函数的最小值，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而求出实数 的取值范围。
22．【答案】（1）∵ 椭圆的离心率为，右焦点为，
∴，，，
∴，，
∴ 椭圆的方程为，
再令直线方程：，，
联立消去得，
由韦达定理知，
若有，则，，，消去得：，解得，
所以直线的方程：，即：
（2）由已知，，
∴，
，
所以直线的方程是由（1）知
联立，消去得，所以有，
所以点到直线的距离，
所以面积
令，则，
有
令，则
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
∴时，取最大值，
∴，即时，面积最大，最大值是.
【知识点】椭圆的应用；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 利用椭圆的离心率为结合椭圆的离心率公式，得出a，c的关系式，再利用椭圆的右焦点为，从而得出c的值，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式，从而解方程组求出a，b，c的值，进而求出椭圆的标准方程，再利用已知条件，设直线的斜截式方程为，，，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程结合韦达定理，得出，，再利用结合向量共线的坐标表示，则，从而解方程组得出，进而求出m的值，从而求出直线的斜截式方程，再转化为直线的一般式方程。
（2） 由已知结合代入法得出，，再利用作差法结合两点求斜率公式，从而结合已知条件得出得出，所以直线的方程是，由（1）结合弦长公式和韦达定理，得出，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程求出交点N的坐标为，再利用点到直线的距离公式，得出点到直线的距离，再结合三角形面积公式得出三角形面积
，令，则，令，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而得出函数的最大值，进而求出对应的实数 的值，从而求出对应的的值，进而求出对应的三角形面积的最大值。
1 / 1浙江省北斗星盟2021-2022学年高二上学期数学12月阶段性联考试卷
一、单选题
1．（2021高二上·浙江月考）直线经过两个定点，，则直线倾斜角大小是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直线的倾斜角；斜率的计算公式
【解析】【解答】由已知直线的斜率为，所以倾斜角为。
故答案为：A．
【分析】利用已知条件结合两点求斜率公式，进而求出直线的斜率，再利用直线的斜率与直线的倾斜角的关系式，进而求出直线的倾斜角。
2．（2021高二上·浙江月考）双曲线当实数变化时，这些双曲线（　　）
A．有相同的焦点 B．有相同的实轴长
C．有相同的离心率 D．有相同的渐近线
【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】当时，方程可化为，
∴，，，
焦点坐标为，实轴长为，离心率为，渐近线为，
当时，方程可化为，
∴，，，
焦点坐标为，实轴长为，离心率为，渐近线为。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合双曲线的标准方程确定焦点的位置，进而求出a，b的值，再利用双曲线中a，b，c三者的关系式，进而求出c的值，再利用焦点的坐标求解方法，实轴长的求解方法，双曲线的离心率公式和渐近线方程求解方法，从而求出双曲线的焦点的坐标，实轴长，离心率和渐近线，进而得出这些双曲线有相同的渐近线，从而找出正确的选项。
3．（2021高二上·浙江月考）若向量，，是共面向量，则实数的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】由题意，存在实数使得，
，
所以，解得。
故答案为：B．
【分析】利用已知条件结合共面向量判断方法，进而得出存在实数使得，再利用向量的坐标运算，从而解方程组求出的值。
4．（2021高二上·浙江月考）过双曲线的右焦点且斜率为的直线与双曲线的左右支各有一个交点，则双曲线的离心率取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】设过右焦点且斜率为的直线的方程为，
联立方程组，化简可得，
方程的判别式，
设方程的解为，
∵ 直线与双曲线的左右支各有一个交点，
∴，∴，
∴，
∴ 双曲线的离心率，
即双曲线的离心率取值范围是。
故答案为：D.
【分析】设过右焦点且斜率为的直线的点斜式方程为，再利用直线与双曲线相交，联立二者方程结合判别式法，得出，设方程的解为，再利用直线与双曲线的左右支各有一个交点得出 ，再利用韦达定理得出 ，再利用双曲线的离心率公式变形得出双曲线的离心率的取值范围。
5．（2021高二上·浙江月考）设等比数列的前项和为，若，则的值是（　　）
A．-4 B． C． D．4
【答案】B
【知识点】等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】已知等比数列的前项和为，，
由等比数列的性质得：成等比数列，且公比不为-1，
即：成等比数列，
，则，
，所以，
。
故答案为：B.
【分析】利用等比数列的前项和为，，由等比数列的性质得：成等比数列，且公比不为-1，即：成等比数列，再利用等比中项公式得出，进而得出的值。
6．（2021高二上·浙江月考）设点，若圆上存在点，使得，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆方程的综合应用
【解析】【解答】过点作圆的切线，设切点为，连接，则且，
而，可得，解得。
故答案为：C.
【分析】过点作圆的切线，设切点为，连接，则且，再利用正弦函数的定义得出，再结合勾股定理得出，从而求出实数t的取值范围。
7．（2021高二上·浙江月考）长方体中，，，为的中点，则异面直线与之间的距离是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，
，，
设与的公垂线的一个方向向量为，
则，取，得，，即，
又因为，
所以异面直线与之间的距离为。
故答案为：D．
【分析】利用已知条件建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求异面直线与之间的距离的公式，进而求出异面直线与之间的距离。
8．（2021高二上·浙江月考）已知直线与圆相切，则满足条件的直线有（　　）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】C
【知识点】圆的切线方程
【解析】【解答】因为直线与圆相切，
则圆心到直线的距离为，
即，即，
所以，其中，
则或，
正弦值为的只有在轴负半轴，正弦值为可以在第一或者第二象限，故有种可能，
则满足条件的直线有3条。
故答案为：C.
【分析】利用直线与圆相切，再结合直线与圆相切的位置关系判断方法，进而求出圆心到直线的距离为，再利用点到直线的距离公式，从而结合辅助角公式得出的值，再利用正弦值为的只有在轴负半轴，正弦值为可以在第一或者第二象限，从而得出满足条件的直线的条数。
二、多选题
9．（2021高二上·浙江月考）过抛物线焦点作弦，若，则有（　　）
A． B．的斜率是
C．点到轴的距离是2 D．的面积是定值2
【答案】A,B,C
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】由题意，，抛物线方程为，
，，，不妨设在第一象限，则，即，
直线的方程为，即，代入抛物线方程得，
解得，，所以，，A符合题意；
由A选项推导过程知，根据对称性，还可以有，B符合题意；
由知C符合题意；
在A选项推导过程中，有，，（在第一象限，则在第四象限），
，D不符合题意．
故答案为：ABC．
【分析】利用已知条件结合焦点的坐标，从而求出p的值，进而求出抛物线的标准方程，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程求出交点坐标，再结合抛物线的定义结合两点距离求解方法，进而求出的值，再利用交点A，B的坐标结合两点求斜率公式，进而结合对称性求出直线AB的斜率，再利用点B的坐标结合点到直线的距离公式，进而求出点到轴的距离，再结合已知条件和三角形的面积公式，进而求出三角形 的面积，从而推出三角形 的面积是定值为 ，进而找出正确的选项。
10．（2021高二上·浙江月考）已知数列的前项和为，，则有（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B,C
【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的求和
【解析】【解答】因为，，
当时，，即，解得：，
则，
所以，
即，所以，
所以，即，
所以，
因为。
故答案为：BC.
【分析】利用已知条件结合的关系式，再结合分类讨论的方法，从而得出数列的通项公式，进而结合数列求和的方法，从而求出数列的前项和，进而找出正确的选项。
11．（2021高二上·浙江月考）经过点，和直线上一动点作圆，则有（　　）
A．圆面积的最小值是
B．最大值是
C．圆与相切且以点为切点的圆有且仅有一个
D．圆心的轨迹是一段圆弧
【答案】A,B
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】已知，，过三点作圆，
设圆的圆心坐标为，，可知，
到距离相等，则，
在线段的中垂线上，即圆心在直线上，，
所以圆心的轨迹是一条直线，D不符合题意；
到距离相等，则，
则，
在直线上，，
，即，
则，所以，
当时，则；当时，，
当且仅当时取等号，所以，
则圆的半径，所以圆的半径最小值为，
所以圆面积的最小值是，A符合题意；
由于三点都在圆上，可知，
而圆心在直线上，，可知当越小时，越大，
所以当时，，此时，即为的最大值，B符合题意；
当圆与相切且以点为切点时，
圆心到直线的距离等于半径，
即，解得：，
所以圆与相切且以点为切点的圆有2个，C不符合题意.
故答案为：AB.
【分析】利用，，过三点作圆，设圆的圆心坐标为，，可知，再利用点M到距离相等，则，所以点M在线段的中垂线上，从而得出圆心在直线上，再结合代入法得出点M的坐标为，进而得出圆心M的轨迹；再利用点M到距离相等结合两点距离公式得出，再利用点C在直线上结合代入法，得出，所以，再结合分类讨论的方法和均值不等式求最值的方法，进而求出的最小值，再结合勾股定理得出圆的半径最小值，再利用圆的面积公式，进而求出圆面积的最小值；由于三点都在圆上，可知，而圆心在直线上结合代入法得出点M的坐标为，可知当越小时，越大，从而结合几何法得出的最大值；当圆与相切且以点为切点时，再结合几何法，从而得出圆心到直线的距离等于半径，再利用勾股定理和点到直线的距离公式，进而而求出b的值，从而求出圆与相切且以点为切点的圆的个数，进而找出正确的选项。
12．（2021高二上·浙江月考）如图，在三棱锥中，，，则（　　）
A．
B．异面直线与所成角余弦值是
C．若点是边上任一点，则为定值
D．三棱锥体积是
【答案】A,C,D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】根据题意，可知，
，
，
，所以，A符合题意；
分别取和的中点，，连接，，则，，
，，
，
，
则异面直线与所成角余弦值是，B不符合题意；
由于点是边上任一点，设，
则，
而，则，所以 的结果与无关，
即为定值，C符合题意；
连接，由于是边长为的等边三角形，
则，所以 ，
在中，，
则，所以，而 ，
所以平面，即为三棱锥的高，
而，
所以，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】根据题意，可知，再结合余弦定理得出的值，再利用余弦函数的定义求出的值，再利用数量积的运算法则结合数量积的定义，进而求出的值，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，所以；分别取和的中点，，连接，，再利用等腰三角形三线合一，则，，再利用余弦函数的定义得出，的值，再结合数量积的运算法则结合数量积的定义，得出
的值，再利用数量积求夹角公式，进而求出异面直线与所成角余弦值；由于点是边上任一点，设，再利用数量积的运算法则结合数量积为0两向量垂直的等价关系，所以 的结果与无关，即为定值；连接，由于三角形是边长为的等边三角形，再结合勾股定理得出BE的长，所以 ，在中结合勾股定理得出，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，即为三棱锥的高，再利用三角形的面积公式得出的值，再结合三棱锥的体积公式，进而求出的值，从而找出正确的选项。
三、填空题
13．（2021高二上·浙江月考）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上 中 下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，均为9环，则三层共有扇面形石板（不含天心石）数量是　 　.
【答案】3402
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的前n项和
【解析】【解答】从上层第一环石板数记为，向外向下石板数依次记为，此数列是等差数列，公差为，首项，三层共27项，
所以和为。
故答案为：3402。
【分析】利用已知条件，从上层第一环石板数记为，向外向下石板数依次记为，再结合等差数列的定义得出此数列是等差数列，公差为，首项，三层共27项，再利用等差数列前n项和公式，进而求出等差数列前27项的和，从而求出三层共有扇面形石板（不含天心石）数量。
14．（2021高二上·浙江月考）关于的方程有实数解，则实数的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】由可得，即曲线表示圆的上半圆，由题意可知直线与曲线有公共点，如下图所示：
当直线与半圆相切且切点位于第二象限时，
则有，解得，
由图可知，当时，直线与半圆有公共点，
因此，实数的取值范围是。
故答案为：。
【分析】由可得，再利用圆的定义，得出曲线表示圆的上半圆，由题意可知直线与曲线有公共点，当直线与半圆相切且切点位于第二象限时，再利用点到直线的距离公式结合已知条件，从而求出k的值，由直线和上半圆的图象可知，当直线与半圆有公共点时的实数的取值范围。
15．（2021高二上·浙江月考）已知数列满足，，则　 　.
【答案】
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的前n项和；数列的递推公式
【解析】【解答】数列满足，，
是首项为1，公差为2的等差数列，
，
则，，
则，
是首项为7，公差为6的等差数列，
。
故答案为：。
【分析】利用数列满足，，再结合等差数列的定义，进而判断出数列是首项为1，公差为2的等差数列，再利用等差数列的通项公式，从而求出数列的通项公式，进而得出数列的关系式，再结合等差数列的定义和递推关系，从而得出数列是首项为7，公差为6的等差数列，再结合生产数量前n项和公式，进而求出。
16．（2021高二上·浙江月考）已知抛物线：上有两动点，，且，则线段的中点到轴距离的最小值是　 　.
【答案】2
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】设抛物线的焦点为，点在抛物线的准线上的投影为，点在直线上的投影为，线段的中点为，点到轴的距离为，则
，
∴，当且仅当即三点共线时等号成立，
∴ 线段的中点到轴距离的最小值是2。
故答案为：2。
【分析】设抛物线的焦点为，点在抛物线的准线上的投影为，点在直线上的投影为，线段的中点为，点到轴的距离为，再利用抛物线的定义结合两边之和大于第三边的性质，得出，从而得出，从而求出当且仅当三点共线时的线段的中点到轴距离的最小值。
四、解答题
17．（2021高二上·浙江月考）已知圆：
（1）若直线：将圆的周长分为1：2的两部分，求实数的值；
（2）若与圆相外切且与轴相切的圆的圆心记为，求点的轨迹方程.
【答案】（1）解：由圆方程化为标准式，可知圆心，半径，
而直线：将圆的周长分为1：2的两部分，
知到直线：距离为，
即，解得：.
（2）解：设，易知所求的圆在轴上方，且半径为，
由于所求圆与圆相外切，所以，
即，
整理得点的轨迹方程：.
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】（1） 将圆的一般方程化为标准方程，从而求出圆心坐标和半径长，
再利用直线：将圆的周长分为1：2的两部分知圆到直线：距离为，再利用点到直线的距离公式，进而求出实数t的值。
（2） 设，易知所求的圆在轴上方，且半径为，由于所求圆与圆相外切，再利用两圆外切位置关系判断方法，再结合两点距离公式，进而得出点的轨迹方程。
18．（2021高二上·浙江月考）在三棱柱中，侧面为矩形，，，是的中点，与交于点，且平面，且
（1）求的值；
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
【答案】（1）矩形中，，易知，
，
，
再平面，平面，，，，
；
（2），
设异面直线与所成角大小为，则．
【知识点】平面向量的数量积运算；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】(1) 在矩形中结合勾股定理得出的长，再利用结合两三角形相似对应边成比例，得出AO的长，再利用直线平面结合线面垂直的定义，从而证出线线垂直，所以，，再利用结合数量积的运算法则和数量积的定义，从而求出 的值。
（2） 利用已知条件结合数量积的运算法则和数量积的定义，从而得出的值，再利用数量积的运算法则和数量积的定义，从而求出的值，再结合数量积求夹角公式，从而求出异面直线与所成角的余弦值。
19．（2021高二上·浙江月考）已知顶点，边上中线所在直线方程是，的角平分线所在直线方程是.
（1）求顶点坐标；
（2）求边所在的直线方程.
【答案】（1）解：由题意可设，则边的中点，
代入有，解得，
所以顶点坐标是.
（2）解：由题意知，点关于直线的对称点在直线上，
可设得：解得：，，
得直线的斜率，
所以边所在的直线方程是，即.
【知识点】平面内中点坐标公式；直线的一般式方程
【解析】【分析】（1） 由题意可设，再结合中点的坐标公式，进而求出边的中点为，再利用中点在直线上结合代入法，从而求出t的值，进而求出顶点的坐标。
（2） 由题意知，点关于直线的对称点在直线上，可设，再利用中点坐标公式结合代入法以及两直线垂直斜率之积等于-1和两点求斜率公式，进而解方程组得出m，n的值，进而求出点A的坐标，再结合两点求斜率公式，进而求出直线的斜率，再利用点斜式求出边所在的直线方程，再转化为直线BC的一般式方程。
20．（2021高二上·浙江月考）如图，已知矩形中，，，其中为的中点，将矩形沿折成二面角，且有.
（1）若点为的中点，求证平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：取中点，连，，
由三角形的中位线，可知，又，所以，
所以四边形是平行四边形，所以，
再平面，平面，
平面.
（2）解：如图，以点为坐标原点，分别以，与向上的方向为轴建立空间直角坐标系，
则有，，，，
设，则有：，
，，
设平面的法向量为，
由，不妨取，得，
，记直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值是.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】 (1)取中点，连，，由三角形的中位线可知，再利用，再结合平行和相等的传递性，所以，所以四边形是平行四边形，所以，再利用线线平行证出线面平行，从而证出直线平面。
（2） 以点为坐标原点，分别以，与向上的方向为轴建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积求向量夹角公式，进而求出直线与平面所成角的余弦值，再结合诱导公式求出直线与平面所成角的正弦值。
21．（2021高二上·浙江月考）在数列中，，，且对任意的，都有.
（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2），若数列是单调递增数列，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：由，可得，
又，，所以，故，
所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以，
所以当时，
.
又满足上式，所以
（2）解：，
又∵数列是单调递增数列，
由，可得，
则对于任意恒成立，
记，由，
单调递增，，.
【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的函数特性；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的递推公式
【解析】【分析】（1） 由结合已知条件和递推公式变形，可得，再利用等比数列的定义，从而证出数列是首项为2，公比为2的等比数列，再利用等比数列的通项公式得出，再利用分类讨论的方法结合累加法和等比数列前n项和公式，进而得出数列 的通项公式。
（2）利用数列 的通项公式结合 得出数列的通项公式，再利用数列是单调递增数列，由，可得对于任意恒成立，记，再利用作商法，得出，所以，从而证出函数单调递增，进而求出函数的最小值，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而求出实数 的取值范围。
22．（2021高二上·浙江月考）已知椭圆：离心率为，过右焦点的直线交椭圆于椭圆，两点.
（1）若有，求直线的方程；
（2）若线段的中点为，延长交椭圆于另一个交点，求面积的最大值.
【答案】（1）∵ 椭圆的离心率为，右焦点为，
∴，，，
∴，，
∴ 椭圆的方程为，
再令直线方程：，，
联立消去得，
由韦达定理知，
若有，则，，，消去得：，解得，
所以直线的方程：，即：
（2）由已知，，
∴，
，
所以直线的方程是由（1）知
联立，消去得，所以有，
所以点到直线的距离，
所以面积
令，则，
有
令，则
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
∴时，取最大值，
∴，即时，面积最大，最大值是.
【知识点】椭圆的应用；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 利用椭圆的离心率为结合椭圆的离心率公式，得出a，c的关系式，再利用椭圆的右焦点为，从而得出c的值，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式，从而解方程组求出a，b，c的值，进而求出椭圆的标准方程，再利用已知条件，设直线的斜截式方程为，，，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程结合韦达定理，得出，，再利用结合向量共线的坐标表示，则，从而解方程组得出，进而求出m的值，从而求出直线的斜截式方程，再转化为直线的一般式方程。
（2） 由已知结合代入法得出，，再利用作差法结合两点求斜率公式，从而结合已知条件得出得出，所以直线的方程是，由（1）结合弦长公式和韦达定理，得出，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程求出交点N的坐标为，再利用点到直线的距离公式，得出点到直线的距离，再结合三角形面积公式得出三角形面积
，令，则，令，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而得出函数的最大值，进而求出对应的实数 的值，从而求出对应的的值，进而求出对应的三角形面积的最大值。
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