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2024人教版高中数学必修第二册同步练习题
专题强化练10　平面图形翻折问题
1.(2022重庆朝阳中学期中)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2DC=2AD=4,∠DAB=60°,E为AB的中点,将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起,使A,B重合于点F,则三棱锥F-DCE的外接球的体积为(　　)
A.
2.(2021河南商开大联考期末)如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,点E,F分别为BC,AD的中点,将四边形CDFE沿EF折起,使得平面CDFE⊥平面ABEF,则异面直线BD与AE所成角的正弦值为(　　)
A.
3.(多选题)(2023山东泰安统考)如图,正方形ABCD的边长为1,M,N分别为BC,CD的中点,将正方形沿对角线AC折起,使点D不在平面ABC内,则在翻折过程中,以下结论正确的是(　　)
A.异面直线AC与BD所成的角为定值
B.三棱锥D-ABC的外接球的表面积为2π
C.存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直
D.三棱锥D-AMN体积的最大值为
4.(2023江苏南京师范大学附属中学月考)如图,在长方形ABCD中,AB=,BC=1,点E为线段DC上一动点(不含点D),现将△ADE沿AE折起,使点D到D'处,且D'在平面ABC内的射影K在AE上,则点K的轨迹的长度为(　　)
A.　　　　
C.
5.(多选题)(2023湖南湖湘教育协作体期中)在△ABC中,∠ACB=90°,BC=2,AC=3,点D在斜边AB上(不含端点A和B),以CD为棱把它折成直二面角A-CD-B,连接AB,在三棱锥B-ACD中,下列说法正确的是(　　)
A.存在点D,使得CD⊥AB
B.不存在点D,使得CB⊥AB
C.在△ABC中,当CD⊥AB时,折成的三棱锥B-ACD的外接球的表面积为
D.AB的最小值为
6.(2022山东威海期末)如图,已知正方形ABCD的边长为2,E,F分别是边AB,CD的中点,沿EF将四边形AEFD折起,使二面角A-EF-B的大小为60°,则A,C两点间的距离为　　　　.
7.如图,菱形ABCD的边长为2,∠ABC=60°,E为AC的中点,将△ACD沿AC翻折,使点D至点D'.
(1)求证:平面BD'E⊥平面ABC;
(2)若三棱锥D'-ABC的体积为,求二面角D'-AB-C的余弦值.
8.(2022江西宜春奉县第一中学月考)如图,在梯形ABCD中,AB∥DC,AB=2AD=2DC=4,E,F分别是AD,BC的中点,且EF交AC于点O,现将梯形ABCD沿对角线AC翻折成直二面角P-A1C1-B1.
(1)证明:A1B1∥平面O1E1F1;
(2)证明:C1B1⊥PA1;
(3)若∠ADC=60°,试问在线段PB1上是否存在点M,使得三棱锥P-A1C1M的体积为 若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
答案与分层梯度式解析
1.B 2.D 3.ABD 4.C 5.ACD
1.B　由题意可得F-DCE是正三棱锥,其每条棱长都为2,
将正三棱锥补形成正方体,则正方体的棱长为,正方体的体对角线长即为正三棱锥外接球的直径,
∴外接球的半径为,
∴外接球的体积为π.故选B.
2.D　如图,连接BF,交AE于点O,取DF的中点G,连接OG,AG,则OG∥BD且OG=BD,所以∠AOG(或其补角)为异面直线BD与AE所成的角.易得DF=FA=1,AE=BF==2,所以AO=AE=1.因为平面CDFE⊥平面ABEF,平面CDFE∩平面ABEF=EF,DF⊥EF,DF 平面CDFE,所以DF⊥平面ABEF,又BF,AF 平面ABEF,所以DF⊥BF,DF⊥FA,所以BD=,所以OG=.
易知GF=,所以AG=,
则△AOG为等腰三角形,
故sin∠AOG=.所以异面直线BD与AE所成角的正弦值为,故选D.
3.ABD　对于A,取AC的中点O,连接OB,OD,则AC⊥OB,AC⊥OD,因为OB∩OD=O,OB,OD 平面OBD,所以AC⊥平面OBD,所以AC⊥BD,故异面直线AC与BD所成的角为90°,是定值,故A正确;
对于B,易知OA=OB=OC=OD,所以三棱锥D-ABC的外接球的球心是O,所以外接球半径为,
∴外接球的表面积为4π×=2π,故B正确;
对于C,假设直线AD与直线BC垂直,
∵AB⊥BC,AD⊥BC,AD∩AB=A,AD,AB 平面ABD,∴BC⊥平面ABD,∵BD 平面ABD,∴BC⊥BD,
又BD⊥AC,BC∩AC=C,BC,AC 平面ABC,
∴BD⊥平面ABC,∴BD⊥OB,与OB=OD矛盾,故C错误;
对于D,易知VD-AMN=VC-AMN=VN-ACM,设N到平面ABC的距离为d,则VN-ACM=S△ACM·d=,故当d最大时,VN-ACM最大,易知当平面DAC⊥平面ABC时d最大,
故dmax=,故(VN-ACM)max=,故D正确.
故选ABD.
4.C　由题意知D'K⊥平面ABC,又D'K 平面AED',所以平面AED'⊥平面ABC,如图1,连接DK,则DK⊥AE.
故点K在以AD为直径的圆上,
取AD的中点O,连接KO,
则KO=.
如图2,当E与C重合时,△AKD∽△CBA,所以,则AK=.
设M在AC上,且AM=,则点K的轨迹是以AD为直径的圆弧DM(不含点D).
易知△OAM是正三角形,所以∠MOA=,所以∠MOD=,
则l.
故选C.
5.ACD　对于A,在△ABC中,若CD⊥AB,则在三棱锥B-ACD中,CD⊥DA,CD⊥DB,
又DA,DB 平面ABD,且DA∩DB=D,
所以CD⊥平面DAB,又AB 平面DAB,所以CD⊥AB,故A选项正确;
对于B,作AE⊥CD于E,因为二面角A-CD-B是直二面角,且平面CBD∩平面ACD=CD,
所以AE⊥平面CBD,又CB 平面CBD,
所以AE⊥CB,若BE⊥CB,则可得CB⊥平面ABE,又AB 平面ABE,所以CB⊥AB,所以存在点D,使得CB⊥AB,故B选项错误;
对于C,当CD⊥AB时,在△ABC中,cos B=,故BD=,则AD=,
易知CD⊥平面ABD,则三棱锥B-ACD的外接球,即为以AD,CD,BD为长、宽、高的长方体的外接球(BD,AD,CD两两垂直,补成长方体后,外接球的直径即为长方体的体对角线长),设其半径为R,则2R=,
所以外接球的表面积为4πR2=,故C选项正确;
对于D,设∠ACD=θ(0°<θ<90°),则∠BCD=90°-θ,如图,作AM⊥CD于M,BN⊥CD于N,则AM=3sin θ,CM=3cos θ,CN=2sin θ,BN=2cos θ,
所以MN=|CM-CN|=|2sin θ-3cos θ|,
因为二面角A-CD-B是直二面角,且AM⊥CD,BN⊥CD,所以AM与BN成90°角,
所以AB=
=,因为0°<θ<90°,所以0°<2θ<180°,故0故AB的最小值是,
故D选项正确.
故选ACD.
解后反思　平面图形翻折后,一般在折线同一侧的关系不会发生变化,不在折线同一侧的关系可能会发生变化.解决平面图形翻折问题要充分利用翻折前后不变的位置关系和长度解题.
6.答案　
解析　如图,取BE的中点G,连接AG,CG.
由题意知,EF⊥AE,EF⊥BE,
∴∠AEB是二面角A-EF-B的平面角,
∴∠AEB=60°.又AE=BE=1,
∴△ABE是正三角形,
∴AG⊥BE,AG=.
∵EF⊥AE,EF⊥BE,AE∩BE=E,AE,BE 平面ABE,∴EF⊥平面ABE,
又AG 平面ABE,∴EF⊥AG.
∵AG⊥BE,BE∩EF=E,BE,EF 平面BCFE,
∴AG⊥平面BCFE,又GC 平面BCFE,
∴AG⊥GC.
易知GC2=BC2+BG2=,
∴AC=.
7.解析　(1)证明:在菱形ABCD中,∠ABC=60°,
∴△ABC和△ACD均为等边三角形.
∵E为AC的中点,∴BE⊥AC,D'E⊥AC,
∵BE∩D'E=E,BE,D'E 平面BD'E,
∴AC⊥平面BD'E,
又∵AC 平面ABC,∴平面BD'E⊥平面ABC.
(2)如图,过D'作D'M⊥BE于点M,过M作MN⊥AB于点N,连接D'N.
∵平面BD'E⊥平面ABC,平面BD'E∩平面ABC=BE,D'M 平面BD'E,
∴D'M⊥平面ABC.
∴VD'-ABC=,
故D'M=.
∵D'M⊥平面ABC,AB 平面ABC,
∴D'M⊥AB,
∵D'M∩MN=M,D'M,MN 平面D'MN,
∴AB⊥平面D'MN,
∵D'N 平面D'MN,
∴AB⊥D'N.
∴∠D'NM即为二面角D'-AB-C的平面角.
易得EM=,
∴BM=,
∴MN=BMsin 30°=,
∴D'N=,
∴cos∠D'NM=.
故二面角D'-AB-C的余弦值为.
8.解析　(1)证明:易得O是AC的中点,即O1是A1C1的中点,∴O1F1是△A1B1C1的中位线,
∴A1B1∥O1F1,
又O1F1 平面O1E1F1,A1B1 平面O1E1F1,
∴A1B1∥平面O1E1F1.
(2)证明:取AB的中点G,连接CG,如图,
∵AB=2DC=4,AB∥DC,∴AG DC,
∴四边形ADCG为平行四边形,
∴CG=AD=2,∴CG=AG=GB,
∴∠ACB=90°,即C1B1⊥C1A1,
由题意知平面PA1C1⊥平面A1C1B1,
又平面PA1C1∩平面A1C1B1=A1C1,∴C1B1⊥平面PA1C1,又PA1 平面PA1C1,∴C1B1⊥PA1.
(3)假设存在满足条件的点M.
∵∠ADC=60°,AD=DC,∴△ACD是等边三角形,
∴AC=2,∠BAC=60°,
在△ABC中,由余弦定理可得BC2=22+42-2×2×4×cos 60°=12,故BC=2.
由(2)知,C1B1⊥平面PA1C1.
∴=2.
又∵,∴,
∵,∴,∴.
故在线段PB1上存在点M,使得三棱锥P-A1C1M的体积为,此时.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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