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2008高考数学考点分析（一）
巨人学校数学组：秦树增
通过几年来辅导高考学生的实践，也通过对几年来北京地区高考数学试卷的分析，现将对2008年数学高考的考点进行分析，由于水平有限，分析难免有误，仅供参考，欢迎指正。
一、关于集合与简易逻辑的考点
这部分内容主要是考察集合的概念，集合元素的无序性、互异性和确定性，集合符号的使用，集合的几种表示法，集合的交并补的运算。这部分内容往往是以选择题的形式出现，约占5分。如：
例1：（2007全国Ⅰ）设，集合，则（ C ）
A．1 B． C．2 D．
本题主要考查了集合的相等的概念，以及元素的互异性，同时还考察了分步讨论的方法。有时出这种题时增加了不等式的解法。也有的题在集合描述时给出一元二次不等式或是分式不等式。因此考生也要重视不等式的解法，特别是分式不等式的解法易错。如：集合，就是一道很简单而又易错的分式不等式。
简易逻辑和四种命题的关系，主要考查的是充分、必要条件的判定。这方面的题有时是与空间几何的命题、不等式的命题结合出现的。
例2：（2006年朝阳模拟）已知m是平面外的一条直线，直线n，那么是的（　　　）
　A　充分不必要条件　　B　必要不充分条件
　　C　充要条件　　D　既不充分也不必要条件上
还要注意四种例题的关系，会根据原命题写出其他几种例题：
例3：(2007山东)命题“对任意的”的否定是（C ）
A.不存在 B.存在
C.存在 D. 对任意的
二、关于函数部分：
函数部分是高中数学的重点考查内容，这方法的考点基本上是选择题或是填空题一道，这部分内容配之以极限和导数内容，出一道解答题，共约占18分左右。
函数内容在选择题中考查的一般是函数的定义域、值域、反函数、单调性、奇偶性、周期性等。
例4：（2006年北京理）已知 是上的减函数，那么 a 的取值范围是
（A）（0，1） （B）（0，） 　（C） 　 （D）
这个题主要考查了分段表示的函数，基本初等函数的性质（一次函数、对数函数）的单调性，同时配合考查了不等式的解法。因此考生要很好的注意分段函数表示，以及分段函数求反函数、求函数值的方法。另外在求反函数时，要特别注意函数与反函数的定义域和值域互换的问题。
关于函数的表示法方面，不但要注意图象法、公式法，还要注意表格法表示的函数关系。2007年北京高考题中就有一道表格法表示的函数关系。有些同学就吃了些亏。
在解答题方面，函数部分的题主要是利用导数求切线方程、求单调区间、求最大值、极值等。理科的考生要注意复合函数求导，指数函数、对数函数的导数公式。这方面的题有时是逆向思维的。
例5：（2007北京东城区二模）已知函数的图象与直线相切，切点为（1，－11），（1）求a,b的值　（2）求函数的单调递减区间。
　　考生们在学校平时主要练习求某个函数在某点处的切线方程，而对于这种已知切线方程逆向求a,b的值不太熟悉。所以考生要注意正向或逆向两种情况。都要练习。
　有时出用函数的极值和导数进行逆向求解。
例6（2006北京理）（本小题共13分）
已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，，如图所示.求：
（Ⅰ）的值；
（Ⅱ）的值.
关于函数的应用题也是值得注意的。2007年北京理科卷中就出一道关于函数的应用题：
例7 (2007北京理19　本小题共13分）
如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为　
（I）求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域；
（II）求面积的最大值　
三、关于数列
按高考的要求主要考查的是等差数列和等比数列，要特别注意这两种典型数列的通项公式和前n项和公式的灵活运用，还要掌握运用两种数列的定义判定数列的方法。数列也是高中数学重点考查的内容，一般是一道小题一道解答题，约占18分左右。这里要特别注意不能用个别代表一般。在证明某个数列是等差或是等比数列时，一定要用后项减前项或后项比前项是否等于常数来判定，而不能只用个别项代值计算。在求时也要注意用递推公式求（累乘法、叠加法、递归法等）。在这里要注意公式的使用。
例8：（2007北京理10）若数列的前项和，则此数列的通项公式为 ；数列中数值最小的项是第 项．（ ）
本题主要是给出前n项和的公式，要求求通项公式，就要用上述公式求出，还要注意检验。2007年在北京的高考题中还出现了利用递推公式求通项的题目。
例9：（2007北京理15　本小题共13分）数列中，，（是常数，），且成公比不为的等比数列　
（I）求的值；
（II）求的通项公式　
此题第一问中主要是利用等比数列的有关知识求出c=2,，然后再利用叠加法求出通项公式。而后计算通项公式时还要用到等到差数列的前n项和的公式，考察的比较全面。
在数列的解答题中，有时叙述的比较多，有些考生一读那么多限制就头痛，于是就放弃了，其实要是硬着头皮读下去，多读几次认真分析一下，还是会有结果的。
在数列的解答题中，还有一种不等式的证明很值得注意，因为一般考题中都要涉及到它。
例9　在数列中，,是其前n项和，且，（1）求和；（2）求证：
在第2问证明中，考生会碰到这样的式子：。在这种式子的证明中，需要放缩法的应用，，然后再用裂项相消法，算出前n项和。
四、三角函数部分
三角函数、平面向量、解三角形部分的考查是高考数学中一个重要考点。这部分内容一般是一至两道选择或填空题，一道解答题，约占20分左右。
三角函数方面主要是同角三角函数关系式、诱导公式、和差倍角公式的应用，特别要注意倍角公式的变形：，对这个公式要会多向变形。这几年对三角函数公式的考查降低难度，主要是用倍角公式。还要辅助角公式的变形（也叫提斜变形）：即
＝。这种变化成了必考之点了。
例10　（2007北京海淀一模）已知函数，（1）求函数的最小正周期　（2）当时，求函数的最大值和最小值
　　这题中主要用了倍角公式和辅助角公式变形，然后求出最小正周期。在求最值时，要注意x的限定条件，这种限定往往是在这个区间上的两个端点处有一个不是最值，因此解这个问题时，可以辅助以图象就更直观些了。
在解答题有时是一道与解三角形正余弦定理有关的题。
例11　（2006北京文）已知向量a=(cos,sin),b=(cos,sin),且ab，那么a+b与a-b的夹角的大小是 .
（2006北京文）　在△ABC中，A，B，C所对的边长分别为a,b,c.若sinA:sinB:sinC=5∶7∶8,则a∶b∶c= , B的大小是 .
　　这两个题都是三角函数，平面向量、解三角形的题。考生在复习时也要很注意正余弦定理的应用，特别是利用正余弦定理边角互相转换的证明题。
　　在这部分中还有三角函数图象的考查，主要是正弦波函数图像的平移、解析式的求法等。
例12（2007陕西理17）设函数，其中向量，，，且的图象经过点．
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）求函数的最小值及此时值的集合．
这是一道函数、三角函数和平面向量结合的题。难度不大，但是考察的很全面。
五、不等式部分
这部分内容通常不单独考查，而是和数列、函数等题目综合考查。有时是解答题的第三问。这部分主要是算术平均数大于几何平均数的应用。在这里特别注意：“积定和最小，和定积最大”的应用。在不等式的证明中注意作差（商）、判号，还要注意放缩法的运用（见数列）。2007年北京高考卷中就出了一道关于不等式的小题：
例13 （（2007北京理科7）如果正数满足，那么（　A　）
Ａ．，且等号成立时的取值唯一
Ｂ．，且等号成立时的取值唯一
Ｃ．，且等号成立时的取值不唯一
Ｄ．，且等号成立时的取值不唯一
有时不等式的考题专门针对“一正二定三相等”的限定条件。如：
例14：有下列函数：①y=x+；②y=－2；③y=；④y=sin2x－cos2x，其中最小值为2的函数有　　　　.(注：把你认为正确的序号都填上)
这道题就是考查不等式中“一正二定三相等”的限定条件的。其中正确的只有（2），（1）不符合“正”，（3）不符合“相等”，（4）最小值-2。
六、直线和圆的方程部分
这部分内容一般不出现在解答题，而是在选择题或填空题中与向量综合出现。当然直线的五种方程形式，直线与直线、直线与圆的位置关系，特别是切线的求法，重点是点斜式直线方程要熟记会用。在圆的方程上要会从圆的一般方程变成圆的标准方程，从中找出圆心坐标和半径。有些题要画出准确一点的草图，更有利于解题。在这部分中，要会熟练地运用两点间距离公式、定比分点公式、点到直线的距离公式等。
例15　（2005全国北京）从原点向圆作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为（　　　　）
　A　　　B　2　　C　3　　　D　4
这题考查了圆的一般方程到标准方程的变形、弧长公式及图形结合的解题方法。有些解析几何问题要靠画准确一点的草图来解，更有助于考生的思路，有时可以把问题简化。
例16（2006年全国湖北）已知直线与圆相切，则的值为
这题可以用常规的方法，用判别式为“0”的方法，求出a的值，通过画草图，估计出解的可能性。
　在直线和圆的方程部分还有线性规划的题，一般都是占5分的题。不过此种题必考。要充分注意。线性规划是最优化问题，出题的形式主要是目标函数不同，最常见求：的最大值或最小值，也有的最值的，还有求区域面积，或区域图形变化参数的。例如2007年北京高考题中就出了一道求区域图形参数的题：
例17：（2007年北京6　）若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是（　　）
Ａ　 Ｂ　 Ｃ　 Ｄ　或
七、圆锥曲线部分：
这部分内容是高考的重点，在这部分中一般是一道选择或填空，一道较难的解答题，约占20分左右。
这部分的主要内容是椭圆的标准方程、长轴、短轴和焦距的关系，离心率、准线方程；双曲线的标准方程，实轴、虚轴、焦距的关系，离心率、渐近线方程、准线方程；抛物线主要是标准方程，焦准距P等。对于圆锥曲线的统一定义要有个认识，并且会用来解题。
高考中有时出的选择题是直接用定义就可以解的。
例18：（2007年北京某区二模）过抛物线的焦点作垂直于轴的直线，交抛物线于 两点，则以为圆心 为直径的圆方程是________________
这道题主要是利用抛物线的定义，直接可以算出圆的半径，从而完成圆的方程。
在完成圆锥曲线的解答题时，要特别注意应用二次方程的根与系数的关系，恰当地设交点的坐标，利用韦达定理，直接得到关于某些参数的方程，设而不解，列而不解。特别是弦的中点等用这种方法的居多。
例19：（2006年北京理）已知点，动点满足条件.记动点的轨迹为.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）若是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值.
解答：
（Ⅰ）由|PM|－|PN|=知动点 P 的轨迹是以 为焦点的双曲线的右支，实
半轴长
又半焦距 c=2，故虚半轴长
所以 W 的方程为,
（这一步就是用曲线的性质直接列方程）
（Ⅱ）设 A，B 的坐标分别为, ｛设交点坐标｝
当 AB⊥x轴时,从而从而
当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为,与W的方程联立,消去y得
故 （使用一元二次方程根与系数的关系）
所以
.
又因为,所以,从而
综上,当AB⊥轴时, 取得最小值2.
上述两部分主要是解析几何的内容，考生在复习时要特别注意基础知识的掌握。有时高考题在这部
分出题时是很全面的，涉及面广而不难，如2007年北京高考题的解析几何的解答题就是很全面的，从
直线、圆到双曲线都考到了。难度并不很大。

例20 （2007年北京19　本小题共14分）
如图，矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为点在边所在直线上　
（I）求边所在直线的方程；
（II）求矩形外接圆的方程；
（III）若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程　
从上述三问中，几乎都是可以用直线、圆和双曲线的定义来求方程的。
2008高考数学考点分析（二）
一、空间几何部分
空间几何主要是由两部分组成，一是空间的直线与平面，二是简单几何体。高考中这部分主要是一道选择或填空题，另有一道解答题，约占20分左右。
选择题通常是关于直线与平面位置关系（平行，垂直等）的一些命题的判断，这种题就要求考生对直线与平面平行、垂直，平面与平面平行、垂直的判定定理和性质定理有较好的理解。
例1 (2007年北京?理?3题）平面平面的一个充分条件是（　D　）
A．存在一条直线 B．存在一条直线
C．存在两条平行直线
D．存在两条异面直线
　　解本题主要是概念要清楚，对定理要有清醒的认识。
在立体几何的选择题或是填空题上还会有四面体与球体的结合题，这方面要对球中有关概念：球的大圆、球面距离、体积、表面积等要掌握，并会进行计算。
例2（2006年北京理）已知A、B、C三点在球心为 O，半径为R 的球面上，AC⊥BC，且 AB=R，那么 A、B 两点间的球面距离为______ 球心到平面 ABC 的距离为______.
解本题主要是球中的有关概念和三棱锥的有关计算。
立体几何的解答题主要是证明直线与平面平行、垂直，求异面直线的夹角、直线与平面的夹角，二面角、还有点面距离。这些方面的证明和计算题可以用几何法证明与计算，也可以用空间向量的方法进行计算和证明。对于文科考生，特别是有些空间想象力差的学生最好掌握空间向量的求法。要掌握各种空间角的向量算法、平面的法向量求法，点面距离的向量求法。
例3　（2007年北京?理?16题）如图，在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点的斜边上．
（I）求证：平面平面；
（II）当为的中点时，求异面直线与所成角的大小；
（III）求与平面所成角的最大值．
　　这道高考题，也是本着广而不难的原则，学生很容易上手，对于立体几何的知识几乎都涉及到了，从线面平行、垂直，面面平行垂直、异面直线的夹角、线面角、二面角都涉及到了。而且第三问还涉及到角的动态变化。本题如果用空间向量法来解，也是较好，坐标系可以设为：以O为原点，AO所在直线为Z轴，OC所在的直线为X轴，OB所在的直线为Y轴。
对于文科试卷一般在题中所给出的底面为规则的图形（正方形或正三角形），
对于理科卷则底面给一个菱形或是平行四边形，计算各点坐标就费点事。当然也是可以计算出来的，如2007年全国高考卷的一道题就是如此：
例4：（2007年全国Ⅰ?理?19题）四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD。已知∠ABC＝45°，AB＝2，BC=2，SA＝SB＝。
(Ⅰ)证明：SA⊥BC；
(Ⅱ)求直线SD与平面SAB所成角的大小；
解：（这里只给出空间向量的解法）
（Ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面底面，得平面．
因为，所以．
又，为等腰直角三角形，．
如图，以为坐标原点，为轴正向，建立直角坐标系，
，，，，，
，，所以．
（Ⅱ）取中点，，
连结，取中点，连结，．
，，．
，，与平面内两条相交直线，垂直．
所以平面，与的夹角记为，与平面所成的角记为，则与互余．
，．
，，
所以，直线与平面所成的角为．
这道题的底面是一个平行四边形，确定各点的坐标有些难度。考生遇到这样的题可以先把底面的平面图画出，然后再确定点的坐标。
二、排列组合二项式定理部分
这方面考题一般只占5分，或是选择或是填空题。这方面主要是加法原理和乘法原理要掌握。同时还有排列数和组合数的计算公式和的计算。在这里要注意捆绑法和插空法、隔板法的应用，除此之外，没有必要在这方面做太多太复杂的练习。
例5（2007年北京理科第5题）记者要为5名志愿都和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（　B　）
Ａ．1440种 Ｂ．960种 Ｃ．720种 Ｄ．480种
二项式定理也是必考的题，但主要是一道小题约占5分。通常是求展开式的常数项或是某一项，有时也要逆向思维。同时要学会把二项式中的项整理成的形式。
例6（2007年全国Ⅰ卷理科第10题）的展开式中，常数项为15，则n= （ D ）
A．3 B．4 C．5 D．6
三、概率统计
关于概率统计方面大约占一道解答题约13分。主要是二项分布的概型居多。所以考生要特别注意这方面的计算，还有期望、方差的简单计算，有时也出抽样调查的样本计算。2007年北京高考题中出的就是一道既有概率又有统计的应用题。2008年估计在这方面的应用题可能要与奥运会体育比赛有关的题目，考生可以从这方面加以练习。
例7　（2007年北京理18本小题共13分）
某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）　该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示　
（I）求合唱团学生参加活动的人均次数；
（II）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率　
（III）从合唱团中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望　
四、关于复数
复数方面的计算就是一道小题，这里要注意复数的四则运算和共轭复数的计算。
对理科考生这也是必考的小题。
例8（2007年北京理）
高考数学主要是考查学生对基本概念、基本公式的应用，也考查学生的一些基本技能和技巧。考生在准备高考时，没有必要做太多高难度的习题，也不必太多在技巧题上下功夫。应当重在对基本知识和基本技能的掌握上，对整个高中的数学知识要融会贯通，计算要准确，不但要有思路，而要真正解出答案。有些考生很聪明，有些题一看就会了，有思路，可以一做就错了，一是马虎，二是了草。所以我给考生几个字：认真、彻底、准确、创新。如果考生按这几个字办了，我想会对你的高考有帮助的。
考生有拿高分的愿望是对的，也是好的，但是有时也要从自己的实际出发，根据自己的能力，在基础上下功夫，高考卷中有大约80%的是基础或中档题，而高档题主要是为拉开档次，只是面对少数尖子生的。大部分考生，应当立足于基本题和中档题。基础题争取拿全分，中档题力争拿下80%，高档题尽力而为。
在基础的复习上要力争对每个知识点和基本技能都要进行精练，基本公式做到记忆牢、使用熟，不但会正面用，也会逆向用。我建议考生对每个知识点和每个公式要每周回顾一次，对每个知识点的习题，要熟练再熟练，最好找相应的题目反复练习，争取又快又准地解决问题。

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