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专题07 双曲线
1、定义:一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线.
这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
2、集合语言表达式
双曲线就是下列点的集合:.
3、说明
若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于与的大小.
(1)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支;
(2)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支.
双曲线的标准方程
焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上
标准方程 （） （）
图象
焦点坐标 ， ，
的关系
两种双曲线 ， （）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有,;不同点是:两种双曲线的位置不同,它们的焦点坐标也不同.
【题型1 双曲线的定义】
【题型2 利用双曲线的定义求标准方程】
【题型3 利用双曲线定义求点到焦点距离】
【题型4 判断方程是否表示双曲线】
【题型5 根据方程表示双曲线求参数】
【题型6 求双曲线方程】
【题型7 等轴双曲线】
【题型8 直线与双曲线的位置关系】
【题型9 求弦长】
【题型10 双曲线与渐近线的关系】
【题型1 双曲线的定义】
一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线.
(1)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支;
(2)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支.
【典例1】（2023秋·高二课时练面内到两个定点的距离之差的绝对值等于的点的轨迹是（ ）
A．双曲线 B．两条射线 C．一条线段 D．一条直线
【答案】B
【详解】如图：
设动点为，到两个定点的距离之差的绝对值为，
则若在线段（不包含两端点）上，有；
若在直线外，有；
若在线段的延长线上或线段的反向延长线上（均包含两端点），
则有.
故选：B
【题型2 利用双曲线的定义求标准方程】
【典例1】（2023秋·高二课时练习）已知双曲线对称轴为坐标轴，中心在原点，两焦点为，直线过双曲线的一个焦点，P为双曲线上一点，且，则双曲线的方程为 ．
【答案】或
【详解】由题意，点为双曲线上一点，且，
可得，即，解得，
又由直线过双曲线的一个焦点，
当时，可得；当时，可得；
当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的一个焦点坐标为，即，
则，此时双曲线的方程为；
当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的一个焦点坐标为，即，
则，此时双曲线的方程为，
所以双曲线的方程为或.
故答案为：或
【题型3 利用双曲线定义求点到焦点距离】
【典例1】（2023春·安徽滁州·高二校考开学考试）若双曲线 的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【详解】由双曲线标准方程得：，
由双曲线定义得:
即，
解得（舍去）或，
故选：A.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）若动点满足关系式，则点的轨迹是（ ）
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线一支
【答案】D
【详解】设，，则.
则由已知可得，，所以点的轨迹是双曲线的左支.
故选：D.
【题型4 判断方程是否表示双曲线】
【典例1】（多选）（2023春·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）对于曲线C：，则下列说法正确的有（ ）
A．曲线C可能为圆 B．曲线C不可能为焦点在y轴上的双曲线
C．若，则曲线C为椭圆 D．若，则曲线C为双曲线
【答案】BCD
【详解】当曲线C为圆时，则，无解，故错误；
当曲线C为焦点在y轴上的双曲线时，则，无解，故正确；
若，则，，此时曲线C是椭圆，故正确；
若曲线C为双曲线，则，解得，故正确．
故选．
【题型5 根据方程表示双曲线求参数】
【典例1】（2023春·内蒙古兴安盟·高二乌兰浩特市第四中学校考阶段练习）已知曲线是双曲线，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为曲线是双曲线，
所以，解得：，
所以实数的取值范围是，
故选：.
【题型6 求双曲线方程】
【典例1】（2023秋·高二课时练习）已知双曲线过点，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由椭圆，可化为标准方程，可得，
因为双曲线与椭圆有公共的焦点，所以，
又因为双曲线过点，可得，则，
所以双曲线的标准方程为.
故选：B.
【题型7 等轴双曲线】
（，）当时称双曲线为等轴双曲线
①； ②离心率； ③两渐近线互相垂直，分别为；
④等轴双曲线的方程，；
【典例1】（2023春·四川南充·高二四川省南充高级中学校考阶段练习）经过点且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为
【答案】
【详解】设所求双曲线方程为：，
双曲线经过点，，
所求双曲线方程为：.
故答案为：.
【题型8 直线与双曲线的位置关系】
1、代数法：设直线，双曲线联立解得：
（1）时，，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；
，，或k不存在时，直线与双曲线没有交点；
（2）时，
存在时，若，，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；
若，
时，，直线与双曲线相交于两点；
时，，直线与双曲线相离，没有交点；
时，直线与双曲线有一个交点；相切
不存在，时，直线与双曲线没有交点；
直线与双曲线相交于两点；
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）直线与双曲线上支的交点个数为 ．
【答案】2
【详解】由，可得，解得或．当时，；当时，，所以直线与双曲线上支的交点个数为2．
故答案为：2
【题型9 求弦长】
1、直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于，两点，则
为直线斜率
2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于、两点，则弦长.
【典例1】（2023·高二课时练习）过双曲线的右焦点作倾斜角为30°的直线l，直线l与双曲线交于不同的两点A，B，则AB的长为 ．
【答案】
【详解】双曲线的右焦点为，所以直线l的方程为．由，得．设，，则，，
所以．
故答案为：
【题型10 双曲线与渐近线的关系】
1、若双曲线方程为渐近线方程：
2、若双曲线方程为（，）渐近线方程：
3、若渐近线方程为，则双曲线方程可设为，
4、若双曲线与有公共渐近线，则双曲线的方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在轴上）
【典例1】（2023·四川成都·校考一模）已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】设双曲线的方程为，
因为，所以，则，
所以渐近线方程为.
故选：C.
练 习
一、选择题
1.（2023秋·北京石景山·高二统考期末）双曲线右支上一点A到右焦点的距离为3，则点A到左焦点的距离为（ ）
A．5 B．6 C．9 D．11
【答案】D
【详解】设双曲线的实轴长为，则，
由双曲线的定义知，
，
故选：D
2.（2023秋·高二课时练习）“”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】因为方程表示双曲线，
所以，
解得或，
因为由可推出或，，但是由或，不能推出，
所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件，
故选：A.
3.（2023春·陕西咸阳·高二校考阶段练习）已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意，双曲线的离心率为，
可得，即，解得，
即双曲线的渐近线的方程为.
故选：B.
4.（多选）（2023·海南·校考模拟预测）下列关于双曲线说法正确的是（ ）
A．实轴长为6 B．与双曲线有相同的渐近线
C．焦点到渐近线距离为4 D．与椭圆有同样的焦点
【答案】ABD
【详解】由题意，双曲线满足，即，于是，故A选项正确；
双曲线的焦点在轴上，故渐近线方程为：，而双曲线焦点也在轴，
故渐近线为，即它们渐近线方程相同，B选项正确；
焦点为，不妨取其中一个焦点和一条渐近线，
根据点到直线的距离公式，焦点到渐近线距离为：，C选项错误；
椭圆的焦点为，根据C选项可知，椭圆和双曲线焦点一样，D选项正确.
故选：ABD
5.（多选）（2023春·山东临沂·高二统考期末）已知双曲线，则（ ）
A．实轴长为1 B．虚轴长为2
C．离心率 D．渐近线方程为
【答案】BCD
【详解】由可知，，故实轴长为，虚轴长为，
离心率，渐近线方程为，即.
故选：BCD
6.（2023秋·高二课时练习）双曲线的焦点坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为双曲线方程为，
化为标准方程为：，所以，
由于焦点在轴上，所以焦点坐标为：.
故选：C.
7.（2023春·四川达州·高二统考期末）已知双曲线的离心率为2，则它的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由得双曲线的渐近线方程为．
∵双曲线的离心率为2，
∴，解得，
∴双曲线的渐近线方程为 ．
故选：A．
8.（2023秋·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）已知是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，若，则（ ）
A．1或9 B．3或7 C．9 D．7
【答案】C
【详解】解：由题知，，
因为在双曲线上，且，
所以，点在双曲线靠近的那支上，由双曲线定义知，故；
所以，
故选：C
9.（2023·全国·高三专题练习）过点且与椭圆有相同焦点的双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】椭圆的标准方程为，故，可得焦点坐标为.
设双曲线的方程为，
故，解得，
故双曲线的标准方程为.
故选:A.
10.（2023·全国·高三对口高考）若曲线表示双曲线，那么实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】曲线表示双曲线，所以即可.
解得或，
所以实数k的取值范围是：.
故选：B.
二、填空题
1.（2023·高二课时练习）与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线方程为 ．
【答案】
【详解】解：设双曲线方程为，将点代入，
即，解得或（舍去），
故所求双曲线方程为．
故答案为：
2.（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的离心率，实半轴长为4，则双曲线的方程为 .
【答案】
【详解】由已知可得 ,即得,所以双曲线方程为:.
故答案为: .
3.（2023·高二课时练习）到点，的距离的差的绝对值等于6的点的双曲线的标准方程为 ．
【答案】
【详解】由题意可设双曲线方程为，焦距设为，
由题意可知所求双曲线的两焦点为，，故，
又双曲线上的点到点，的距离的差的绝对值等于6，
故，所以，
故双曲线标准方程为.
故答案为：.
4.（2023·北京·高三专题练习）已知双曲线的离心率为2，则实数 ．
【答案】
【详解】由题知，，则方程表示焦点在轴上的双曲线，
所以，则，
所以，解得：.
故答案为：.
5.（2023秋·四川巴中·高二统考期末）若双曲线经过点，则该双曲线的渐近线方程为 ．
【答案】
【详解】双曲线经过点，
，，解得，所以双曲线方程为，
又，则该双曲线的渐近线方程为．
故答案为：．
三、解答题
1.（2023秋·高二课时练习）根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)以椭圆短轴的两个端点为焦点，且过点；
(2)经过点和．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）易知椭圆短轴的两个端点坐标为；
所以双曲线焦点在轴上，
可设双曲线的标准方程为，且，
点在双曲线上，即，解得；
所以双曲线的标准方程为.
（2）设双曲线方程为，
将两点代入可得，解得；
所以双曲线的标准方程为.
2.（2023秋·湖南衡阳·高二统考期末）解答下列两个小题：
（1）双曲线：离心率为，且点在双曲线上，求的方程；
（2）双曲线实轴长为2，且双曲线与椭圆的焦点相同，求双曲线的标准方程．
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）由，得，即，
又，即，
双曲线的方程即为，点坐标代入得，解得．
所以，双曲线的方程为．
（2）椭圆的焦点为，
设双曲线的方程为，
所以，且，
所以，
所以，双曲线的方程为．
1
2专题07 双曲线
1、定义:一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线.
这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
2、集合语言表达式
双曲线就是下列点的集合:.
3、说明
若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于与的大小.
(1)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支;
(2)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支.
双曲线的标准方程
焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上
标准方程 （） （）
图象
焦点坐标 ， ，
的关系
两种双曲线 ， （）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有,;不同点是:两种双曲线的位置不同,它们的焦点坐标也不同.
【题型1 双曲线的定义】
【题型2 利用双曲线的定义求标准方程】
【题型3 利用双曲线定义求点到焦点距离】
【题型4 判断方程是否表示双曲线】
【题型5 根据方程表示双曲线求参数】
【题型6 求双曲线方程】
【题型7 等轴双曲线】
【题型8 直线与双曲线的位置关系】
【题型9 求弦长】
【题型10 双曲线与渐近线的关系】
【题型1 双曲线的定义】
一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线.
(1)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支;
(2)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支.
【典例1】（2023秋·高二课时练面内到两个定点的距离之差的绝对值等于的点的轨迹是（ ）
A．双曲线 B．两条射线 C．一条线段 D．一条直线
【题型2 利用双曲线的定义求标准方程】
【典例1】（2023秋·高二课时练习）已知双曲线对称轴为坐标轴，中心在原点，两焦点为，直线过双曲线的一个焦点，P为双曲线上一点，且，则双曲线的方程为 ．
【题型3 利用双曲线定义求点到焦点距离】
【典例1】（2023春·安徽滁州·高二校考开学考试）若双曲线 的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）若动点满足关系式，则点的轨迹是（ ）
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线一支
【题型4 判断方程是否表示双曲线】
【典例1】（多选）（2023春·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）对于曲线C：，则下列说法正确的有（ ）
A．曲线C可能为圆 B．曲线C不可能为焦点在y轴上的双曲线
C．若，则曲线C为椭圆 D．若，则曲线C为双曲线
【题型5 根据方程表示双曲线求参数】
【典例1】（2023春·内蒙古兴安盟·高二乌兰浩特市第四中学校考阶段练习）已知曲线是双曲线，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【题型6 求双曲线方程】
【典例1】（2023秋·高二课时练习）已知双曲线过点，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【题型7 等轴双曲线】
（，）当时称双曲线为等轴双曲线
①； ②离心率； ③两渐近线互相垂直，分别为；
④等轴双曲线的方程，；
【典例1】（2023春·四川南充·高二四川省南充高级中学校考阶段练习）经过点且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为
【题型8 直线与双曲线的位置关系】
1、代数法：设直线，双曲线联立解得：
（1）时，，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；
，，或k不存在时，直线与双曲线没有交点；
（2）时，
存在时，若，，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；
若，
时，，直线与双曲线相交于两点；
时，，直线与双曲线相离，没有交点；
时，直线与双曲线有一个交点；相切
不存在，时，直线与双曲线没有交点；
直线与双曲线相交于两点；
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）直线与双曲线上支的交点个数为 ．
【题型9 求弦长】
1、直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于，两点，则
为直线斜率
2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于、两点，则弦长.
【典例1】（2023·高二课时练习）过双曲线的右焦点作倾斜角为30°的直线l，直线l与双曲线交于不同的两点A，B，则AB的长为 ．
【题型10 双曲线与渐近线的关系】
1、若双曲线方程为渐近线方程：
2、若双曲线方程为（，）渐近线方程：
3、若渐近线方程为，则双曲线方程可设为，
4、若双曲线与有公共渐近线，则双曲线的方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在轴上）
【典例1】（2023·四川成都·校考一模）已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
练 习
一、选择题
1.（2023秋·北京石景山·高二统考期末）双曲线右支上一点A到右焦点的距离为3，则点A到左焦点的距离为（ ）
A．5 B．6 C．9 D．11
2.（2023秋·高二课时练习）“”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3.（2023春·陕西咸阳·高二校考阶段练习）已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
4.（多选）（2023·海南·校考模拟预测）下列关于双曲线说法正确的是（ ）
A．实轴长为6 B．与双曲线有相同的渐近线
C．焦点到渐近线距离为4 D．与椭圆有同样的焦点
5.（多选）（2023春·山东临沂·高二统考期末）已知双曲线，则（ ）
A．实轴长为1 B．虚轴长为2
C．离心率 D．渐近线方程为
6.（2023秋·高二课时练习）双曲线的焦点坐标为（ ）
A． B．
C． D．
7.（2023春·四川达州·高二统考期末）已知双曲线的离心率为2，则它的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
8.（2023秋·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）已知是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，若，则（ ）
A．1或9 B．3或7 C．9 D．7
9.（2023·全国·高三专题练习）过点且与椭圆有相同焦点的双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
10.（2023·全国·高三对口高考）若曲线表示双曲线，那么实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
1.（2023·高二课时练习）与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线方程为 ．
2.（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的离心率，实半轴长为4，则双曲线的方程为 .
3.（2023·高二课时练习）到点，的距离的差的绝对值等于6的点的双曲线的标准方程为 ．
4.（2023·北京·高三专题练习）已知双曲线的离心率为2，则实数 ．
5.（2023秋·四川巴中·高二统考期末）若双曲线经过点，则该双曲线的渐近线方程为 ．
三、解答题
1.（2023秋·高二课时练习）根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)以椭圆短轴的两个端点为焦点，且过点；
(2)经过点和．
2.（2023秋·湖南衡阳·高二统考期末）解答下列两个小题：
（1）双曲线：离心率为，且点在双曲线上，求的方程；
（2）双曲线实轴长为2，且双曲线与椭圆的焦点相同，求双曲线的标准方程．
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