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专题03 集合的运算
（1）交集的概念及表示方法
概念 符号语言 图形语言
由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作"A交B") A∩B={x|x∈ A,且x∈ B}
（2）并集的概念及表示方法
概念 符号语言 图形语言
由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) A∪B={x|x∈ A,或x∈ B}
（3）全集与补集的概念及表示方法
全集定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．通常记作U.
补集的概念及表示：
定义 概念 对于一个集合A，由全集U中不属于集合 A的所有元素组成的集合称为集合A相 对全集U的补集，简称为集合A的补集， 记作 UA
符号 语言 UA={x|x∈U,且x A}
图形 语言
注意：
交集的性质：A∩A＝A，A∩ ＝ ，A∩B＝B∩A.
性质 说明
满足交换律
任何集合与其本身的交集等于它本身
任何集合与空集的交集等于空集
满足结合律
两个集合的交集是其中任一集合的子集
任何集合同它的子集的交集等于这个集合的子集，反之亦然
满足分配律
(2)并集的性质：
（3）补集的性质：
性质 (1) (2)
【题型1 交集】
【题型2 并集】
【题型3 全集和补集】
【题型1 交集】
【典例1】．已知集合，那么集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据集合描述，联立二元一次方程求解，即可得.
【详解】由，故.
故选：D
【典例2】．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由交集的定义即可得解.
【详解】因为，所以由交集的定义可知.
故选：C.
【题型2 并集】
【典例1 】．设集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据集合的交集、并集基本运算即可求出结果.
【详解】由集合，，，
可得，
所以．
故选：A．
【典例2】．已知集合，，若，则实数的值为（ ）．
A．2 B．1 C． D．
【答案】A
【分析】依题意可得，则或，求出的值，再检验即可.
【详解】因为，且，
所以，则或，
解得或或，
当或时，此时集合不满足集合元素的互异性，故舍去；
当时，，满足，符合题意.
故选：A
【典例3】．已知集合，集合，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】应用集合的并运算求
【详解】∵集合，集合，
∴．
故选：A．
【题型3 全集和补集】
【典例1】．已知全集，集合，，则为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求出集合B的补集，根据集合的交集运算即可得答案.
【详解】由题意全集，集合，，
故，
故，
故选：A
【典例 2】．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据集合补集的定义进行求解即可.
【详解】因为，
所以，
故选：B
【典例3】．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求解出，然后根据补集定义求解出结果.
【详解】解：因为，，
所以，
所以．
故选：D．
练 习
一、选择题
1．已知全集，集合，或，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据并集、补集的定义进行计算得出结果.
【详解】由或得，
又，
所以.
故选：B.
2．已知全集，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，由集合的运算，即可得到结果.
【详解】因为，，所以.
故选：D
3．如图，是全集，是的子集，则阴影部分表示的集合是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据集合的交集、补集定义，结合图形即可求得答案．
【详解】由图知，阴影部分在集合M中，且在集合P中，但不在集合S中，
故阴影部分所表示的集合是．
故选：C．
4．已知是实数集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】化简集合A,B，根据补集、交集运算即可得解.
【详解】，，
，
.
故选：A
5．设集合，若集合，，则（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】B
【分析】首先求，再求其补集.
【详解】因为，所以.
故选：B
6．对于集合A，B，我们把集合且叫做集合A与集合B的差集，记作．现已知集合，，则下列说法不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由差集的定义对比选项判断即可得出答案.
【详解】因为，，
则 ，故A正确；
，故B正确；
,故C不正确；
，故，故D正确.
故选：C
7．如图，已知矩形表示全集，、是的两个子集，则阴影部分可表示为（ ）

A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】在阴影部分区域内任取一个元素，分析元素与各集合的关系，即可得出合适的选项.
【详解】在阴影部分区域内任取一个元素，则且，即且，
所以，阴影部分可表示为，A对；
且，阴影部分可表示为，C对；
且，阴影部分可表示为，D对；
显然，阴影部分区域所表示的集合为的真子集，B选项不合乎要求.
故选：ACD.
8．已知全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出全集和集合，再由并集和补集相关知识进行运算即可.
【详解】由解得，∵，∴，
由解得或，∴集合，
∴，∴.
故选：B.
9．设全集为，集合，则（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】B
【分析】先化简集合，再利用集合并集和补集的定义求解即可.
【详解】由可得，由可得，
所以，，
所以，，
故选：B
10．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一元二次不等式化简集合，即可由集合的交运算求解.
【详解】由得，又，
所以，
故选：C
11．已知全集，，，那么是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将全集进行化简，依次求出选项中的元素，即可得出答案.
【详解】由题可得，全集
对于选项A，，不符合题意；
对于选项B，，，不符合题意；
对于选项C，，不符合题意；
对于选项D，，符合题意；
故选：D.
12．设集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据集合的交并补运算即可求解.
【详解】因为，所以．
故选：B
13．如图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据集合的交集、并集和补集的定义与运算，结合选项，即可求解.
【详解】根据集合的并集与补集的概念，可得表示集合之外的部分，
再由结合交集的概念，可得表示选项D中阴影部分.
故选：D.
14．已知全集 ，集合 ， ，则如图阴影部分表示的集合是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据韦恩图的性质，结合分式不等式的求解判断即可.
【详解】，
，则.
故阴影部分表示的集合是.
故选：C
15．已知集合，则下图中阴影部分所表示的集合为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】阴影部分表示的集合为，根据补集、交集定义进行即可.
【详解】阴影部分表示的集合为，
又，
所以.
故选：D.
16．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】解不等式求得集合A，B，利用交集的概念计算即可.
【详解】由题意可得，，
即.
故选：B
17．已知集合，，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意得到，再求即可.
【详解】因为，，
所以，
故选：B．
18．已知集合，则（ ）
A．{3} B．{0} C． D．{0，3}
【答案】C
【分析】按照交集的运算法则直接计算即可.
【详解】因为集合，
所以.
故选：C.
19．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解一元一次不等式组得集合，再根据交集的运算求解即可.
【详解】由可得，
则，所以．
故选：A.
二、填空题
1．已知集合，，则 .
【答案】
【分析】由并集与补集的运算可得.
【详解】已知，，
则或，
则.
故答案为：.
2．不等式组的解集为A，则 .
【答案】或
【分析】由不等式解集、补集的定义即可求解.
【详解】因为不等式组的解集为A，
所以，
所以由补集的定义有或.
故答案为：或.
3．已知集合或，，则与的关系是 ．
【答案】
【分析】由补集运算与子集概念可得.
【详解】由或，得；
由，得
所以 .
故答案为： .
4．满足的集合B的个数是 .
【答案】4
【分析】由题意可知，且，由此即可得解.
【详解】因为，所以，且，
所以集合可能是，
所以符合题意的集合B的个数是4.
故答案为：4.
5．已知集合，则集合的真子集的个数是 .
【答案】7
【分析】根据题意，由真子集的定义，即可得到结果.
【详解】因为，则，
则其真子集有共7个.
故答案为：7
6．集合，，若，则的值为 ．
【答案】
【分析】依题意可得，即可得到或，求出的值，再检验是否符合集合元素的互异性.
【详解】因为，且，
所以，则或，
解得或，
当时，此时集合不满足集合元素的互异性，故舍去；
当时，满足，
所以.
故答案为：
7．已知集合，若，则实数的值为 .
【答案】或0或1.
【分析】利用交集的定义分类讨论计算即可.
【详解】由得，
若，符合题意；
若，则或；
综上的值可取.
故答案为：或0或1.
8．设，则 ．
【答案】
【分析】先解方程求集合A，再根据要求可得集合B，利用补集的定义及运算即可.
【详解】解得或，即，
则时，有，
当时，有，所以,
则
故答案为：.
9．已知集合，集合，若，则实数 ．
【答案】2或4
【分析】根据给定的交集运算的结果，分类求解作答.
【详解】集合，，，则，
当时，，此时，因此，
当时，显然，否则，，矛盾，
于是，此时，，因此，
所以实数或.
故答案为：2或4
三、解答题
1．设是小于11的正整数，，．求
(1)
(2)
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）应用集合的交运算求；
（2）应用集合的补运算求.
【详解】（1）由题设，而，
所以.
（2）由（1）及知：.
2．设集合，，.
(1)，求；
(2)若 ，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）先利用补集运算求出，再利用集合的交集求解即可；
（2）由 ，分类讨论和两种情况，列出不等式组，求解即可．
【详解】（1）当时，，故或，
又，故
（2）当时，，∴，符合题意；
当时，需满足或，解得，
综上所述，的取值范围为或
3．已知集合，，求：
(1)；
(2)；
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）（2）应用集合的交、补运算求集合即可.
【详解】（1）；
（2）由或，故.
4．已知全集，集合，集合．
(1)求；
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据并集的定义，即可求解；
（2）首先求，再求.
【详解】（1）由集合，集合，
可知，；
（2）由，集合，知,
所以.
5．设集合，，求下列集合：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)或
(2)或
(3)或
(4)或或
【分析】根据交集，并集，补集的概念求解即可.
【详解】（1）∵集合，，
，
∴或．
（2），
∴或．
（3）或，
∴或．
（4）或，
∴或或．
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2专题03 集合的运算
（1）交集的概念及表示方法
概念 符号语言 图形语言
由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作"A交B") A∩B={x|x∈ A,且x∈ B}
（2）并集的概念及表示方法
概念 符号语言 图形语言
由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) A∪B={x|x∈ A,或x∈ B}
（3）全集与补集的概念及表示方法
全集定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．通常记作U.
补集的概念及表示：
定义 概念 对于一个集合A，由全集U中不属于集合 A的所有元素组成的集合称为集合A相 对全集U的补集，简称为集合A的补集， 记作 UA
符号 语言 UA={x|x∈U,且x A}
图形 语言
注意：
交集的性质：A∩A＝A，A∩ ＝ ，A∩B＝B∩A.
性质 说明
满足交换律
任何集合与其本身的交集等于它本身
任何集合与空集的交集等于空集
满足结合律
两个集合的交集是其中任一集合的子集
任何集合同它的子集的交集等于这个集合的子集，反之亦然
满足分配律
(2)并集的性质：
（3）补集的性质：
性质 (1) (2)
【题型1 交集】
【题型2 并集】
【题型3 全集和补集】
【题型1 交集】
【典例1】．已知集合，那么集合为（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【题型2 并集】
【典例1 】．设集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
【典例2】．已知集合，，若，则实数的值为（ ）．
A．2 B．1 C． D．
【典例3】．已知集合，集合，则等于（ ）
A． B． C． D．
【题型3 全集和补集】
【典例1】．已知全集，集合，，则为（ ）
A． B．
C． D．
【典例 2】．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【典例3】．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
练 习
一、选择题
1．已知全集，集合，或，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知全集，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，是全集，是的子集，则阴影部分表示的集合是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知是实数集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
5．设集合，若集合，，则（ ）
A． B．
C． D．或
6．对于集合A，B，我们把集合且叫做集合A与集合B的差集，记作．现已知集合，，则下列说法不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，已知矩形表示全集，、是的两个子集，则阴影部分可表示为（ ）

A． B． C． D．
8．已知全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
9．设全集为，集合，则（ ）
A． B．
C．或 D．
10．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知全集，，，那么是（ ）
A． B． C． D．
12．设集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
13．如图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A． B．
C． D．
14．已知全集 ，集合 ， ，则如图阴影部分表示的集合是（　　）

A． B．
C． D．
15．已知集合，则下图中阴影部分所表示的集合为（ ）

A． B．
C． D．
16．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
17．已知集合，，则（ ）．
A． B． C． D．
18．已知集合，则（ ）
A．{3} B．{0} C． D．{0，3}
19．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
1．已知集合，，则 .
2．不等式组的解集为A，则 .
3．已知集合或，，则与的关系是 ．
4．满足的集合B的个数是 .
5．已知集合，则集合的真子集的个数是 .
6．集合，，若，则的值为 ．
7．已知集合，若，则实数的值为 .
8．设，则 ．
9．已知集合，集合，若，则实数 ．
三、解答题
1．设是小于11的正整数，，．求
(1)
(2)
2．设集合，，.
(1)，求；
(2)若 ，求的取值范围.
3．已知集合，，求：
(1)；
(2)；
4．已知全集，集合，集合．
(1)求；
(2)求.
5．设集合，，求下列集合：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
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