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函数的对称性三大题型
知识归纳
1．奇函数、偶函数的对称性
(1)奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称．
(2)若是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为；若是奇函数，则函数图象的对称中心为．
2．若函数的图象关于直线对称，则；
若函数满足，则函数的图象关于点对称．
题型一：轴对称问题
若函数的图象关于直线对称 ；
若函数满足，则的图象关于直线成轴对称．
1.奇函数的图象关于直线对称，，则的值为( )
A. B. 4 C. D. 3
2.函数关于直线对称，则函数关于( )
A. 原点对称 B. 直线对称 C. 直线对称 D. 直线对称
3.定义在R上的函数满足，若的图象关于直线对称，则下列选项中一定成立的是( )
A. B. C. D.
4.已知函数是定义在R上的奇函数，的图象关于对称，当时则( )
A. 3 B. 1 C. 2 D.
5.已知奇函数定义域为R，，当时，，则( )
A. B. 1 C. D. 0
6.已知函数为定义在R上的奇函数，是偶函数，且当时，，则( )
A. B.
C. D. 0
题型二：中心对称问题（点对称问题）
函数的图象关于点对称 ；
若函数满足，则的图象关于点成中心对称．
7.已知定义在R上的函数的图象关于点对称，，且函数在上单调递增，则( )
A. B.
C. D.
8.已知定义在R上的函数满足，当时，，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
9.已知函数对任意，都有的图像关于对称，且则 ( )
A. 0 B. C. D.
10.已知函数的定义域为R，若与都是奇函数，则( )
A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. D. 是奇函数
11.已知奇函数的定义域为R，且若当时，，则的值是
A. B. C. 2 D. 3
题型三：两对称函数的交点坐标之和问题
12.定义在R上的偶函数满足，当时，，设函数，则函数与的图象所有交点的横坐标之和为( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
13.已知函数满足，若函数与图象的交点为，，…，，则( )
A. 0 B. m C. 2m D. 4m
14.已知函数是奇函数，，且与图象的交点为，，…，，则 ( )
A. 0 B. m C. 2m D. 4m
15.已知函数满足：对任意的，，若函数与图像的交点为，则的值为( )
A. 0 B. n C. 2n D. 3n
16.已知函数满足，，且与的图象交点为，，…，，则的值为( )
A. 20 B. 24 C. 36 D. 40
17.已知定义在R上的函数满足若函数与的图像的交点为，，…，，则( )
A. 5 B. 10 C. 15 D. 20
18.已知函数满足，函数若函数与的图象共有214个交点，记作，则的值为
A. 642 B. 1284 C. 214 D. 321
答案和解析
1.【答案】C
【解答】
解：依题意，是奇函数且关于对称.
所以，
故选：
2.【答案】D
【解答】
解：将函数的图象向左平移2个单位长度即可得到函数的图象，
结合函数关于直线对称，可知函数关于直线对称.
故答案为：
3.【答案】A
【解答】
解：因为的图象关于直线对称，
所以，
又因为，即，
所以，
令得：，
令得：，
而，D错误；
所以，A正确；
因为是的对称轴，取值仅仅受到的限制，不确定，所以不确定，
同样，也不能确定的值.
4.【答案】A
【解答】
解：根据题意，是定义在R上的奇函数，则，
的图象关于直线对称，则，
则有，变形可得，即函数是周期为4的周期函数，
则，
故选
5.【答案】D
【解答】
解：根据题意，奇函数定义域为R，，则，
变形可得，则有，
则有，
故选：
6.【答案】C
【解答】
解：因为函数是偶函数，所以
所以函数的图像关于直线对称，
所以，
所以，
所以，
所以函数的周期为8，
所以 .
故选
7.【答案】A
【解答】解：因为函数的图象关于点对称，
故函数的图象关于原点对称，所以是R上的奇函数.
由可得，
所以的周期为
因为函数在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
又，
所以，
故选
8.【答案】D
【解答】
解：函数满足，
函数关于中心对称，
又当时，，
作出函数图象如下：
结合函数图象可得不等式的解集为，
故选
9.【答案】B
【解答】
解：函数对任意，都有，
，
因此函数的周期，
把的图象向左平移1个单位，得到的的图象关于对称，
因此函数为奇函数，
，
故选
10.【答案】D
【解答】
解：因为与都是奇函数，图象关于原点对称，
将的图象向右平移1个单位， 得到的图象，
将的图象向左平移1个单位，得到的图象，
所以函数关于点及点对称，
所以，，
所以有，函数是周期的周期函数，
所以，因为是奇函数，所以也是奇函数，
故选
11.【答案】B
【解答】
解：根据题意，对任意都有，则函数的图象关于直线对称，
又由函数为奇函数，则函数的图象关于原点对称，
则有，
故，即函数为周期为4的周期函数，
则，
又由时，，，则，
故选
12.【答案】B
【解答】
解：，
，
的周期为
是偶函数且周期为2
，
故的图象关于直线对称．
又的图象关于直线对称，
作出的函数图象如图所示：
由图象可知两函数图象在上共有4个交点，
所有交点的横坐标之和为
故选
13.【答案】B
【解答】
解：函数满足，
故函数的图象关于直线对称，
又函数的图象也关于直线对称，
故函数与图象的交点也关于直线对称，
当m为偶数时，此时，
当m为奇数时，必有一个交点在上，此时，
综上，，
故选
14.【答案】C
【解答】
解：令 ，则 ，即 ，
即 ，故函数 的图象关于 对称，
又 关于 对称，
两个函数图象的交点都关于 对称，
设关于 对称的两个点的纵坐标分别为 ， ，则 ，
即 .
故选：C
15.【答案】C
【解答】
解：因为函数满足：对任意的，，
则的图象关于点对称，
函数，
则函数的图象关于点对称，
故函数与图象的交点为也关于点对称，
所以交点成对出现，且每一对点都关于点对称，
故
故选：
16.【答案】D
【解答】
解：对任意的，都有成立，即，
故的图象关于点中心对称，
函数的图象也关于点中心对称，
故两个函数图象有相同的对称中心，
故每两个关于对称的交点的横坐标之和为4，纵坐标之和为6，
故得到…，…，
故
故选
17.【答案】A
【解答】
解：函数满足，
即为，
可得关于点对称，
又函数的图象关于点对称，
即有为交点，即有也为交点，
为交点，即有也为交点，
…
则有…
…
故选
18.【答案】A
【解答】
解：函数满足
即函数关于点对称
函数
即函数关于点对称
函数与的图象共有214个交点即在两边各有107个交点
，则共有107组，故
，
故选A

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