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备战高考数学――把关题跟踪演练(精选44题含详细解答）
1．（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点，它们在轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点。
（Ⅰ）求这三条曲线的方程；
（Ⅱ）已知动直线过点，交抛物线于两点，是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由。
解：（Ⅰ）设抛物线方程为，将代入方程得
………………………………………………（1分）
由题意知椭圆、双曲线的焦点为…………………（2分）
对于椭圆，
………………………………（4分）
对于双曲线，
………………………………（6分）
（Ⅱ）设的中点为，的方程为：，以为直径的圆交于两点，中点为
令………………………………………………（7分）
…………（12分）
2．（14分）已知正项数列中，，点在抛物线上；数列中，点在过点，以方向向量为的直线上。
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，问是否存在，使成立，若存在，求出值；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）对任意正整数，不等式成立，求正数的取值范围。
解：（Ⅰ）将点代入中得
…………………………………………（4分）
（Ⅱ）………………………………（5分）
……………………（8分）
（Ⅲ）由
………………………………（14分）
3.（本小题满分12分）将圆O: 上各点的纵坐标变为原来的一半 (横坐标不变),
得到曲线C.
(1) 求C的方程;
(2) 设O为坐标原点, 过点的直线l与C交于A、B两点, N为线段AB的中点,
延长线段ON交C于点E.
求证: 的充要条件是.
解: (1)设点, 点M的坐标为,由题意可知………………(2分)
又∴.
所以, 点M的轨迹C的方程为.………………(4分)
(2)设点, , 点N的坐标为,
㈠当直线l与x轴重合时, 线段AB的中点N就是原点O, 不合题意,舍去; ………………(5分)
㈡设直线l:
由消去x,
得………………①
∴………………(6分)
∴,
∴点N的坐标为.………………(8分)
①若, 坐标为, 则点E的为, 由点E在曲线C上,
得, 即 ∴舍去).
由方程①得
又
∴.………………(10分)
②若, 由①得∴
∴点N的坐标为, 射线ON方程为: ,
由 解得 ∴点E的坐标为
∴.
综上, 的充要条件是.………………(12分)
4.（本小题满分14分）已知函数.
(1) 试证函数的图象关于点对称;
(2) 若数列的通项公式为, 求数列的前m项和
(3) 设数列满足: , . 设.
若(2)中的满足对任意不小于2的正整数n, 恒成立, 试求m的最大值.
解: (1)设点是函数的图象上任意一点, 其关于点的对称点为.
由 得
所以, 点P的坐标为P.………………(2分)
由点在函数的图象上, 得.
∵
∴点P在函数的图象上.
∴函数的图象关于点对称. ………………(4分)
(2)由(1)可知, , 所以,
即………………(6分)
由, ……………… ①
得 ………………②
由①＋②, 得
∴………………(8分)
(3) ∵, ………………③
∴对任意的. ………………④
由③、④, 得即.
∴.……………(10分)
∵∴数列是单调递增数列.
∴关于n递增. 当, 且时, .
∵
∴………………(12分)
∴即∴ ∴m的最大值为6. ……………(14分)
5．（12分）、是椭圆的左、右焦点，是椭圆的右准线，点，过点的直线交椭圆于、两点。
当时，求的面积；
当时，求的大小；
求的最大值。
解：（1）
（2）因，
则
设
，
当时，
6．（14分）已知数列中，，当时，其前项和满足，
求的表达式及的值；
求数列的通项公式；
设，求证：当且时，。
解：（1）
所以是等差数列。则。
。
（2）当时，，
综上，。
（3）令，当时，有 （1）
法1：等价于求证。
当时，令
，
则在递增。
又，
所以即。
法（2）
（2）
（3）
因
所以
由（1）（3）（4）知。
法3：令，则
所以
因则
所以 （5）
由（1）（2）（5）知
7． (本小题满分14分)
第21题
设双曲线=1( a > 0, b > 0 )的右顶点为A，P是双曲线上异于顶点的一个动点，从A引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP分别交于Q和R两点.
(1) 证明：无论P点在什么位置，总有||2 = |·| ( O为坐标原点)；
(2) 若以OP为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积，求双曲线离心率的取值范围；
解：(1) 设OP：y = k x, 又条件可设AR: y = (x – a ),
解得：= (,), 同理可得= (,),
∴|·| =|+| =. 4分
设 = ( m, n ) , 则由双曲线方程与OP方程联立解得:
m2 =, n2 = ,
∴ ||2 = :m2 + n2 = + = ,
∵点P在双曲线上，∴b2 – a2k2 > 0 .
∴无论P点在什么位置，总有||2 = |·| . 4分
（2）由条件得：= 4ab, 2分
即k2 = > 0 , ∴ 4b > a, 得e > 2分
8. (本小题满分12分)
已知常数a > 0, n为正整数，f n ( x ) = x n – ( x + a)n ( x > 0 )是关于x的函数.
(1) 判定函数f n ( x )的单调性，并证明你的结论.
(2) 对任意n ( a , 证明f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )fn`(n)
解: (1) fn `( x ) = nx n – 1 – n ( x + a)n – 1 = n [x n – 1 – ( x + a)n – 1 ] ,
∵a > 0 , x > 0, ∴ fn `( x ) < 0 , ∴ f n ( x )在（0，+∞）单调递减. 4分
（2）由上知：当x > a>0时, fn ( x ) = xn – ( x + a)n是关于x的减函数,
∴ 当n ( a时, 有：(n + 1 )n– ( n + 1 + a)n ( n n – ( n + a)n. 2分
又 ∴f `n + 1 (x ) = ( n + 1 ) [xn –( x+ a )n ] ,
∴f `n + 1 ( n + 1 ) = ( n + 1 ) [(n + 1 )n –( n + 1 + a )n ] < ( n + 1 )[ nn – ( n + a)n] = ( n + 1 )[ nn – ( n + a )( n + a)n – 1 ] 2分
( n + 1 )fn`(n) = ( n + 1 )n[n n – 1 – ( n + a)n – 1 ] = ( n + 1 )[n n – n( n + a)n – 1 ], 2分
∵( n + a ) > n ,
∴f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )fn`(n) . 2分
9. (本小题满分12分)
已知：y = f (x) 定义域为［–1，1］，且满足：f (–1) = f (1) = 0 ，对任意u ,v([–1，1］，都有|f (u) – f (v) | ≤ | u –v | .
(1) 判断函数p ( x ) = x2 – 1 是否满足题设条件？
(2) 判断函数g(x)=，是否满足题设条件？
解： (1) 若u ,v ( [–1，1]， |p(u) – p (v)| = | u2 – v2 |=| (u + v )(u – v) |，
取u = ([–1，1]，v = ([–1，1],
则 |p (u) – p (v)| = | (u + v )(u – v) | = | u – v | > | u – v |，
所以p( x)不满足题设条件.
（2）分三种情况讨论：
10. 若u ,v ( [–1，0]，则|g(u) – g (v)| = |(1+u) – (1 + v)|=|u – v |，满足题设条件；
20. 若u ,v ( [0，1]， 则|g(u) – g(v)| = |(1 – u) – (1 – v)|= |v –u|，满足题设条件；
30. 若u([–1，0]，v([0，1]，则：
|g (u) –g(v)|=|(1 – u) – (1 + v)| = | –u – v| = |v + u | ≤| v – u| = | u –v|，满足题设条件;
40 若u([0，1]，v([–1，0], 同理可证满足题设条件.
综合上述得g(x)满足条件.
10. (本小题满分14分)
已知点P ( t , y )在函数f ( x ) = (x ( –1)的图象上，且有t2 – c2at + 4c2 = 0 ( c ( 0 ).
(1) 求证：| ac | ( 4;
(2) 求证：在(–1，+∞）上f ( x )单调递增.
(3) (仅理科做)求证：f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1.
证：(1) ∵ t(R, t ( –1,
∴ ⊿ = (–c2a)2 – 16c2 = c4a2 – 16c2 ( 0 ，
∵ c ( 0, ∴c2a2 ( 16 , ∴| ac | ( 4.
(2) 由 f ( x ) = 1 – ,
法1. 设–1 < x1 < x2, 则f (x2) – f ( x1) = 1– –1 + = .
∵ –1 < x1 < x2, ∴ x1 – x2 < 0, x1 + 1 > 0, x2 + 1 > 0 ,
∴f (x2) – f ( x1) < 0 , 即f (x2) < f ( x1) , ∴x ( 0时，f ( x )单调递增.
法2. 由f ` ( x ) = > 0 得x ( –1,
∴x > –1时，f ( x )单调递增.
（3）（仅理科做）∵f ( x )在x > –1时单调递增，| c | ( > 0 ,
∴f (| c | ) ( f () = =
f ( | a | ) + f ( | c | ) = + > +=1.
即f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1.
11．（本小题满分15分）
设定义在R上的函数（其中∈R，i=0,1,2,3,4），当
x= －1时，f (x)取得极大值，并且函数y=f (x+1)的图象关于点（－1，0）对称．
求f (x)的表达式；
试在函数f (x)的图象上求两点，使这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间上；
若，求证：
解：（1）…………………………5分
（2）或…………10分
（3）用导数求最值，可证得……15分
12．（本小题满分13分）
设M是椭圆上的一点，P、Q、T分别为M关于y轴、原点、x轴的对称点，N为椭圆C上异于M的另一点，且MN⊥MQ，QN与PT的交点为E，当M沿椭圆C运动时，求动点E的轨迹方程．
解：设点的坐标
则……1分
………………………………………………………3分
由（1）－（2）可得………………………………6分
又MN⊥MQ，所以
直线QN的方程为，又直线PT的方程为……10分
从而得所以
代入（1）可得此即为所求的轨迹方程.………………13分
13．（本小题满分12分）
过抛物线上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于P点，
（1）求点P的轨迹方程；
（2）已知点F（0，1），是否存在实数使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由。
解法（一）：（1）设
由得：
………………………………3分
直线PA的方程是：即 ①
同理，直线PB的方程是： ②
由①②得：
∴点P的轨迹方程是……………………………………6分
（2）由（1）得：
…………………………10分
所以
故存在=1使得…………………………………………12分
解法（二）：（1）∵直线PA、PB与抛物线相切，且
∴直线PA、PB的斜率均存在且不为0，且
设PA的直线方程是
由得：
即…………………………3分
即直线PA的方程是：
同理可得直线PB的方程是：
由得：
故点P的轨迹方程是……………………………………6分
（2）由（1）得：
………………………………10分
故存在=1使得…………………………………………12分
14．（本小题满分14分）
设函数在上是增函数。
求正实数的取值范围；
设，求证：
解：（1）对恒成立，
对恒成立
又 为所求。…………………………4分
（2）取，，
一方面，由（1）知在上是增函数，
即……………………………………8分
另一方面，设函数
∴在上是增函数且在处连续，又
∴当时，
∴ 即
综上所述，………………………………………………14分
15．(本小题满分12分)
如图，直角坐标系中，一直角三角形，，、在轴上且关于原点对称，在边上，，的周长为12．若一双曲线以、为焦点，且经过、两点．
(1) 求双曲线的方程；
(2) 若一过点（为非零常数）的直线与双曲线相交于不同于双曲线顶点的两点、，且，问在轴上是否存在定点，使？若存在，求出所有这样定点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1) 设双曲线的方程为，
则．
由，得，即．
∴ （3分）
解之得，∴．
∴双曲线的方程为． （5分）
(2) 设在轴上存在定点，使．
设直线的方程为，．
由，得．
即 ① （6分）
∵，
，
∴．
即． ② （8分）
把①代入②，得
③ （9分）
把代入并整理得
其中且，即且．
． （10分）
代入③，得
，
化简得 ．
当时，上式恒成立．
因此，在轴上存在定点，使． （12分）
16．(本小题满分14分)
已知数列各项均不为0，其前项和为，且对任意都有（为大于1的常数），记．
(1) 求；
(2) 试比较与的大小（）；
(3) 求证：，（）．
解：(1) ∵， ①
∴． ②
②－①，得
，
即． （3分）
在①中令，可得．
∴是首项为，公比为的等比数列，． （4分）
(2) 由(1)可得
．
．
∴， （5分）
．
而，且，
∴，．
∴，（）． （8分）
(3) 由(2)知 ，，（）．
∴当时，．
∴
， （10分）
（当且仅当时取等号）．
另一方面，当，时，
．
∵，∴．
∴， （13分）
（当且仅当时取等号）．
∴．
（当且仅当时取等号）．
综上所述，，（）．（14分）
17．（本小题满分13分）
如图，已知双曲线C：的右准线与一条渐近线交于点M，F是双曲线C的右焦点，O为坐标原点。
（I）求证：；
（II）若且双曲线C的离心率，求双曲线C的方程；
（III）在（II）的条件下，直线过点A（0，1）与双曲线C右支交于不同的两点P、Q且P在A、Q之间，满足，试判断的范围，并用代数方法给出证明。
解：（I）
右准线，渐近线



……3分
（II）

双曲线C的方程为： ……7分
（III）由题意可得 ……8分
证明：设，点
由得
与双曲线C右支交于不同的两点P、Q

……11分
，得



的取值范围是（0，1） ……13分
18．（本小题满分13分）
已知函数，数列满足
（I）求数列的通项公式；
（II）设x轴、直线与函数的图象所围成的封闭图形的面积为，求；
（III）在集合，且中，是否存在正整数N，使得不等式对一切恒成立？若存在，则这样的正整数N共有多少个？并求出满足条件的最小的正整数N；若不存在，请说明理由。
（IV）请构造一个与有关的数列，使得存在，并求出这个极限值。
解：（I）

……1分

……

将这n个式子相加，得


……3分
（II）为一直角梯形（时为直角三角形）的面积，该梯形的两底边的长分别为，高为1

……6分
（III）设满足条件的正整数N存在，则

又
均满足条件
它们构成首项为2010，公差为2的等差数列。
设共有m个满足条件的正整数N，则，解得
中满足条件的正整数N存在，共有495个， ……9分
（IV）设，即
则
显然，其极限存在，并且 ……10分
注：（c为非零常数），等都能使存在。
19. （本小题满分14分）
设双曲线的两个焦点分别为，离心率为2。
（I）求此双曲线的渐近线的方程；
（II）若A、B分别为上的点，且，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；
（III）过点能否作出直线，使与双曲线交于P、Q两点，且。若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由。
解：（I）

，渐近线方程为 4分
（II）设，AB的中点


则M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为，短轴长为的椭圆。（9分）
（III）假设存在满足条件的直线
设


由（i）（ii）得
∴k不存在，即不存在满足条件的直线。 14分
20. （本小题满分13分）
已知数列的前n项和为，且对任意自然数都成立，其中m为常数，且。
（I）求证数列是等比数列；
（II）设数列的公比，数列满足：
，试问当m为何值时，
成立？
解：（I）由已知
（2）
由得：，即对任意都成立

（II）当时，




由题意知
13分
21．（本小题满分12分）
设椭圆的左焦点为，上顶点为，过点与垂直的直线分别交椭圆和轴正半轴于，两点，且分向量所成的比为8∶5．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若过三点的圆恰好与直线：相切，求椭圆方程．
解：（1）设点其中．
由分所成的比为8∶5，得，　　　　　　　　　　　2分
∴．①，　　　　　　　　　　　　　4分
而，
∴．．②，　　　　　　　　　　　5分
由①②知．
∴．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6分
（2）满足条件的圆心为，
，　　　　　　　　　　　　　　8分
圆半径．　　　　　　　　　　　　　　　　　　10分
由圆与直线：相切得，，
又．
∴椭圆方程为．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　12分
22．（本小题满分14分）
（理）给定正整数和正数，对于满足条件的所有无穷等差数列，试求的最大值，并求出取最大值时的首项和公差．
（文）给定正整数和正数，对于满足条件的所有无穷等差数列，试求的最大值，并求出取最大值时的首项和公差．
（理）解：设公差为，则．　　3分
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4分
．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　7分
又．
∴，当且仅当时，等号成立．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　11分
∴．　　　　　　　　　　　　13分
当数列首项，公差时，，
∴的最大值为．　　　　　　　　　　　　　　　　14分
（文）解：设公差为，则．　　　3分
，　　　　　　　　　　　6分
又．
∴．
当且仅当时，等号成立．　　　　　　　　　　　　　　　　　11分
∴．　　　　　　　　　　　　　13分
当数列首项，公差时，．
∴的最大值为．　　　　　　　　　　　　　　　　　14分
23．（本小题满分12分）
垂直于x轴的直线交双曲线于M、N不同两点，A1、A2分别为双曲线的左顶点和右顶点，设直线A1M与A2N交于点P（x0，y0）
（Ⅰ）证明：
（Ⅱ）过P作斜率为的直线l，原点到直线l的距离为d，求d的最小值.
解（Ⅰ）证明：
　　　　①
直线A2N的方程为 ②……4分
①×②，得
（Ⅱ）
……10分
当……12分
24．（本小题满分14分）
已知函数
（Ⅰ）若
（Ⅱ）若
（Ⅲ）若的大小关系（不必写出比较过程）.
解：（Ⅰ）

（Ⅱ）设
……6分
（Ⅲ）在题设条件下，当k为偶数时
当k为奇数时……14分
25．（本小题满分14分）
已知f(x)=(x∈R)在区间[－1，1]上是增函数.
（Ⅰ）求实数a的值组成的集合A；
（Ⅱ）设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x1、x2.试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由.
本小题主要考查函数的单调性，导数的应用和不等式等有关知识，考查数形结合及分类讨论思想和灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分.
解：（Ⅰ）f＇(x)== ，
∵f(x)在[－1，1]上是增函数，
∴f＇(x)≥0对x∈[－1，1]恒成立，
即x2－ax－2≤0对x∈[－1，1]恒成立. ①
设(x)=x2－ax－2，
方法一：
(1)=1－a－2≤0，
① －1≤a≤1，
(－1)=1+a－2≤0.
∵对x∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f＇(-1)=0以及当a=－1时，f＇(1)=0
∴A={a|－1≤a≤1}. 方法二：
≥0， <0，
① 或
(－1)=1+a－2≤0 (1)=1－a－2≤0
0≤a≤1 或 －1≤a≤0
－1≤a≤1.
∵对x∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f＇(－1)=0以及当a=-1时，f＇(1)=0
∴A={a|－1≤a≤1}.
（Ⅱ）由=，得x2－ax－2=0， ∵△=a2+8>0
∴x1，x2是方程x2－ax－2=0的两非零实根，
x1+x2=a，
∴ 从而|x1－x2|==.
x1x2=－2，
∵－1≤a≤1，∴|x1-x2|=≤3.
要使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，
当且仅当m2+tm+1≥3对任意t∈[－1，1]恒成立，
即m2+tm－2≥0对任意t∈[－1，1]恒成立. ②
设g(t)=m2+tm－2=mt+(m2－2)，
方法一：
g(－1)=m2－m－2≥0，
②
g(1)=m2+m－2≥0，
m≥2或m≤－2.
所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤－2}.
方法二：
当m=0时，②显然不成立；
当m≠0时，
m>0， m<0，
② 或
g(－1)=m2－m－2≥0 g(1)=m2+m－2≥0
m≥2或m≤－2.
所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤－2}.
26．（本小题满分12分）
如图，P是抛物线C：y=x2上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q.
（Ⅰ）若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程；
（Ⅱ）若直线l不过原点且与x轴交于点S，与y轴交于点T，试求的取值范围.
本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分.
解：（Ⅰ）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，依题意x1≠0，y1>0，y2>0.
由y=x2， ①
得y＇=x.
∴过点P的切线的斜率k切= x1，
∴直线l的斜率kl=－=-，
∴直线l的方程为y－x12=－ (x－x1)，
方法一：
联立①②消去y，得x2+x－x12－2=0.
∵M是PQ的中点
x0==-，
∴
y0=x12－(x0－x1).
消去x1，得y0=x02++1(x0≠0)，
∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2++1(x≠0).
方法二：
由y1=x12，y2=x22，x0=，
得y1－y2=x12－x22=(x1+x2)(x1－x2)=x0(x1－x2)，
则x0==kl=-，
∴x1=－，
将上式代入②并整理，得
y0=x02++1(x0≠0)，
∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2++1(x≠0).
（Ⅱ）设直线l:y=kx+b，依题意k≠0，b≠0，则T(0，b).
分别过P、Q作PP＇⊥x轴，QQ＇⊥y轴，垂足分别为P＇、Q＇，则
.
y=x2
由 消去x，得y2－2(k2+b)y+b2=0. ③
y=kx+b
y1+y2=2(k2+b)，
则
y1y2=b2.
方法一：
∴|b|()≥2|b|=2|b|=2.
∵y1、y2可取一切不相等的正数，
∴的取值范围是（2，+）.
方法二：
∴=|b|=|b|.
当b>0时，=b==+2>2；
当b<0时，=－b=.
又由方程③有两个相异实根，得△=4(k2+b)2-4b2=4k2(k2+2b)>0，
于是k2+2b>0，即k2>－2b.
所以>=2.
∵当b>0时，可取一切正数，
∴的取值范围是（2，+）.
方法三：
由P、Q、T三点共线得kTQ=KTP，
即=.
则x1y2－bx1=x2y1－bx2，即b(x2－x1)=(x2y1－x1y2).
于是b==－x1x2.
∴==+=+≥2.
∵可取一切不等于1的正数，
∴的取值范围是（2，+）.
27．（本小题满分12分）
某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成
400万元的损失. 现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用. 单独采用甲、乙预防措施
所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率为0.9
和0.85. 若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防
方案使总费用最少.
（总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值.）
本小题考查概率的基本知识和数学期望概念及应用概率知识解决实际问题的能力，满分12分.
解：①不采取预防措施时，总费用即损失期望为400×0.3=120（万元）；
②若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为
1－0.9=0.1，损失期望值为400×0.1=40（万元），所以总费用为45+40=85（万元）
③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1－0.85=0.15，损失期望值为400×0.15=60（万元），所以总费用为30+60=90（万元）；
④若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为45+30=75（万元），发生突发事件的概率为（1－0.9）（1－0.85）=0.015，损失期望值为400×0.015=6（万元），所以总费用为75+6=81（万元）.
综合①、②、③、④，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少.
28．（本小题满分14分）
已知
（I）已知数列极限存在且大于零，求（将A用a表示）；
（II）设
（III）若都成立，求a的取值范围.
本小题主要考查数列、数列极限的概念和数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分14分.
解：（I）由

（II）

（III）

（i）当n=1时结论成立（已验证）.
（ii）假设当

故只须证明

即n=k+1时结论成立.
根据（i）和（ii）可知结论对一切正整数都成立.
故
29．（本小题满分14分，第一小问满分4分，第二小问满分10分）
已知，函数.
(Ⅰ)当时，求使成立的的集合；
(Ⅱ)求函数在区间上的最小值.
本小题主要考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论的数学思想和分析推理能力. 满分14分.
解：（Ⅰ）由题意，.
当时，，解得或；
当时，，解得.
综上，所求解集为.
（Ⅱ）设此最小值为.
①当时，在区间上，.
因为
，，
则在区间上是增函数，所以.
②当时，在区间上，，由知
.
③当时，在区间上，.
.
若，在区间内，从而为区间上的增函数，
由此得
.
若，则.
当时，，从而为区间上的增函数；
当时，，从而为区间上的减函数.
因此，当时，或.
当时，，故；
当时，，故.
综上所述，所求函数的最小值

30．（本小题满分14分，第一小问满分2分，第二、第三小问满分各6分）
设数列的前项和为，已知，且
，
其中为常数.
(Ⅰ)求与的值；
(Ⅱ)证明：数列为等差数列；
(Ⅲ)证明：不等式对任何正整数都成立.
本小题主要考查等差数列的有关知识、不等式的证明方法，考查思维能力、运算能力.
解：（Ⅰ）由已知，得，，.
由，知
即
解得 ，.
（Ⅱ）方法1
由（Ⅰ），得 ， ①
所以 . ②
②-①，得 ， ③
所以 . ④
④-③，得 .
因为 ，
所以 .
又因为 ，
所以 ，
即 ，.
所以数列为等差数列.
方法2
由已知，得，
又，且，
所以数列是唯一确定的，因而数列是唯一确定的.
设，则数列为等差数列，前项和.
于是 ，
由唯一性得 ，即数列为等差数列.
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，.
要证 ，
只要证 .
因为 ，，
故只要证 ，
即只要证 .
因为

，
所以命题得证.
31．（本小题满分14分）
已知椭圆的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足
（Ⅰ）设为点P的横坐标，证明；
（Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；
（Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，
使△F1MF2的面积S=若存在，求∠F1MF2
的正切值；若不存在，请说明理由.
本小题主要考查平面向量的概率，椭圆的定义、标准方程和有关性质，轨迹的求法和应
用，以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分14分.
（Ⅰ）证法一：设点P的坐标为
由P在椭圆上，得
由，所以 ………………………3分
证法二：设点P的坐标为记
则
由
证法三：设点P的坐标为椭圆的左准线方程为
由椭圆第二定义得，即
由，所以…………………………3分
（Ⅱ）解法一：设点T的坐标为
当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上.
当|时，由，得.
又，所以T为线段F2Q的中点.
在△QF1F2中，，所以有
综上所述，点T的轨迹C的方程是…………………………7分
解法二：设点T的坐标为 当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上.
当|时，由，得.
又，所以T为线段F2Q的中点.
设点Q的坐标为（），则
因此 ①
由得 ②
将①代入②，可得
综上所述，点T的轨迹C的方程是……………………7分
（Ⅲ）解法一：C上存在点M（）使S=的充要条件是

由③得，由④得 所以，当时，存在点M，使S=；
当时，不存在满足条件的点M.………………………11分
当时，，
由，
，
，得
解法二：C上存在点M（）使S=的充要条件是

由④得 上式代入③得
于是，当时，存在点M，使S=；
当时，不存在满足条件的点M.………………………11分
当时，记，
由知，所以…………14分
32．（本小题满分12分）
函数在区间（0，+∞）内可导，导函数是减函数，且 设
是曲线在点（）得的切线方程，并设函数
（Ⅰ）用、、表示m；
（Ⅱ）证明：当；
（Ⅲ）若关于的不等式上恒成立，其中a、b为实数，
求b的取值范围及a与b所满足的关系.
本小题考查导数概念的几何意义，函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判断函数之间的大小关系.考查学生的学习能力、抽象思维能力及综合运用数学基本关系解决问题的能力.满分12分
（Ⅰ）解：…………………………………………2分
（Ⅱ）证明：令
因为递减，所以递增，因此，当；
当.所以是唯一的极值点，且是极小值点，可知的
最小值为0，因此即…………………………6分
（Ⅲ）解法一：，是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.
对任意成立的充要条件是

另一方面，由于满足前述题设中关于函数的条件，利用（II）的结果可知，的充要条件是：过点（0，）与曲线相切的直线的斜率大于，该切线的方程为
于是的充要条件是…………………………10分
综上，不等式对任意成立的充要条件是
①
显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式 ②
有解、解不等式②得 ③
因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系.…………12分
（Ⅲ）解法二：是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.
对任意成立的充要条件是
………………………………………………………………8分
令，于是对任意成立的充要条件是
由
当时当时，，所以，当时，取最小值.因此成立的充要条件是，即………………10分
综上，不等式对任意成立的充要条件是
①
显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式 ②
有解、解不等式②得
因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系.…………12分
33．（本小题满分12分）
已知数列的首项前项和为，且
（I）证明数列是等比数列；
（II）令，求函数在点处的导数并比较与的大小.
解：由已知可得两式相减得
即从而当时所以又所以从而
故总有，又从而即数列是等比数列；
（II）由（I）知
因为所以
从而=
=-=
由上-=
=12①
当时，①式=0所以；
当时，①式=-12所以
当时，又
所以即①从而
34．(本小题满分14分)
已知动圆过定点，且与直线相切，其中.
（I）求动圆圆心的轨迹的方程；
（II）设A、B是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且为定值时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标.
解：（I）如图，设为动圆圆心，为记为，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，所以轨迹方程为；
（II）如图，设，由题意得（否则）且所以直线的斜率存在，设其方程为，显然，将与联立消去，得由韦达定理知①
（1）当时，即时，所以，所以由①知：所以因此直线的方程可表示为，即所以直线恒过定点
（2）当时，由，得==
将①式代入上式整理化简可得：，所以，
此时，直线的方程可表示为即
所以直线恒过定点
所以由（1）（2）知，当时，直线恒过定点，当时直线恒过定点.
35．（本小题满分12分）
已知椭圆C1的方程为，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点.
（Ⅰ）求双曲线C2的方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆C1及双曲线C2都恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满足（其中O为原点），求k的取值范围.
解：（Ⅰ）设双曲线C2的方程为，则
故C2的方程为
（II）将
由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得
即 ①
.
由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A，B得

解此不等式得
③
由①、②、③得
故k的取值范围为
36．（本小题满分12分）
数列{an}满足.
（Ⅰ）用数学归纳法证明：；
（Ⅱ）已知不等式，其中无理数
e=2.71828….
（Ⅰ）证明：（1）当n=2时，，不等式成立.
（2）假设当时不等式成立，即
那么. 这就是说，当时不等式成立.
根据（1）、（2）可知：成立.
（Ⅱ）证法一：
由递推公式及（Ⅰ）的结论有
两边取对数并利用已知不等式得
故
上式从1到求和可得
即
（Ⅱ）证法二：
由数学归纳法易证成立，故
令
取对数并利用已知不等式得
上式从2到n求和得
因
故成立.
37．（本小题满分12分）
已知数列
（1）证明
（2）求数列的通项公式an.
解：（1）方法一 用数学归纳法证明：
1°当n=1时，
∴，命题正确.
2°假设n=k时有
则

而
又
∴时命题正确.
由1°、2°知，对一切n∈N时有
方法二：用数学归纳法证明：
1°当n=1时，∴；
2°假设n=k时有成立，
令，在[0，2]上单调递增，所以由假设
有：即
也即当n=k+1时 成立，所以对一切
（2）下面来求数列的通项：所以
,
又bn=－1，所以
38．（本小题满分14分）
如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.
（1）求△APB的重心G的轨迹方程.
（2）证明∠PFA=∠PFB.
解：（1）设切点A、B坐标分别为，
∴切线AP的方程为：
切线BP的方程为：
解得P点的坐标为：
所以△APB的重心G的坐标为 ，
所以，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：
（2）方法1：因为
由于P点在抛物线外，则
∴
同理有
∴∠AFP=∠PFB.
方法2：①当所以P点坐标为，则P点到直线AF的距离为：
即
所以P点到直线BF的距离为：
所以d1=d2，即得∠AFP=∠PFB.
②当时，直线AF的方程：
直线BF的方程：
所以P点到直线AF的距离为：
，同理可得到P点到直线BF的距离，因此由d1=d2，可得到∠AFP=∠PFB.
39．（本小题满分12分）
设A、B是椭圆上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.
（Ⅰ）确定的取值范围，并求直线AB的方程；
（Ⅱ）试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由.
（此题不要求在答题卡上画图）
本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问题的能力.
（Ⅰ）解法1：依题意，可设直线AB的方程为，整理得 ①
设是方程①的两个不同的根，
∴ ②
且由N（1，3）是线段AB的中点，得

解得k=－1，代入②得，的取值范围是（12，+∞）.
于是，直线AB的方程为
解法2：设则有

依题意，
∵N（1，3）是AB的中点， ∴
又由N（1，3）在椭圆内，∴
∴的取值范围是（12，+∞）.
直线AB的方程为y－3=－（x－1），即x+y－4=0.
（Ⅱ）解法1：∵CD垂直平分AB，∴直线CD的方程为y－3=x－1，即x－y+2=0，
代入椭圆方程，整理得
又设CD的中点为是方程③的两根，
∴
于是由弦长公式可得 ④
将直线AB的方程x+y－4=0，代入椭圆方程得 ⑤
同理可得 ⑥
∵当时，
假设存在>12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心.
点M到直线AB的距离为 ⑦
于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得
故当>12时，A、B、C、D四点匀在以M为圆心，为半径的圆上.
（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：）
A、B、C、D共圆△ACD为直角三角形，A为直角|AN|2=|CN|·|DN|，
即 ⑧
由⑥式知，⑧式左边
由④和⑦知，⑧式右边
∴⑧式成立，即A、B、C、D四点共圆.
解法2：由（Ⅱ）解法1及λ>12,
∵CD垂直平分AB， ∴直线CD方程为，代入椭圆方程，整理得
③
将直线AB的方程x+y－4=0，代入椭圆方程，整理得
⑤
解③和⑤式可得
不妨设
∴
计算可得，∴A在以CD为直径的圆上.
又B为A关于CD的对称点，∴A、B、C、D四点共圆.
（注：也可用勾股定理证明AC⊥AD）
40．（本小题满分14分）
已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正，且满足
（Ⅰ）证明
（Ⅱ）猜测数列是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；
（Ⅲ）试确定一个正整数N，使得当时，对任意b>0，都有
本小题主要考查数列、极限及不等式的综合应用以及归纳递推的思想.
（Ⅰ）证法1：∵当
即
于是有
所有不等式两边相加可得
由已知不等式知，当n≥3时有，
∵
证法2：设，首先利用数学归纳法证不等式
（i）当n=3时， 由
知不等式成立.
（ii）假设当n=k（k≥3）时，不等式成立，即
则
即当n=k+1时，不等式也成立.
由（i）、（ii）知，
又由已知不等式得
（Ⅱ）有极限，且
（Ⅲ）∵
则有
故取N=1024，可使当n>N时，都有
41．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1，F2在x轴上，长轴A1A2的长为4，左准线l与x轴的交点为M，|MA1|∶|A1F1|＝2∶1．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)若点P为l上的动点，求∠F1PF2最大值．
本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆方程、两条直线的夹角等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分14分。
解：(Ⅰ)设椭圆方程为，半焦距为，则
(Ⅱ)
42．已知函数和的图象关于原点对称，且．
(Ⅰ)求函数的解析式；
(Ⅱ)解不等式；
(Ⅲ)若在上是增函数，求实数的取值范围．
本题主要考查函数图象的对称、二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力。满分14分。
解：(Ⅰ)设函数的图象上任意一点关于原点的对称点为，则
∵点在函数的图象上
∴
(Ⅱ)由
当时，，此时不等式无解。
当时，，解得。
因此，原不等式的解集为。
（Ⅲ）
①
②
ⅰ）
ⅱ）
43．(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满分6分.
对定义域分别是Df、Dg的函数y=f(x) 、y=g(x),
f(x)·g(x) 当x∈Df且x∈Dg
规定: 函数h(x)= f(x) 当x∈Df且xDg
g(x) 当xDf且x∈Dg
若函数f(x)=,g(x)=x2,x∈R,写出函数h(x)的解析式;
求问题(1)中函数h(x)的值域;
(3)若g(x)=f(x+α), 其中α是常数,且α∈[0,π],请设计一个定义域为R的函数y=f(x),及一个α的值,使得h(x)=cos4x,并予以证明.
[解] (1)h(x)= x∈(-∞,1)∪(1,+∞)
1 x=1
(2) 当x≠1时, h(x)= =x-1++2,
若x>1时, 则h(x)≥4,其中等号当x=2时成立
若x<1时, 则h(x)≤ 0,其中等号当x=0时成立
∴函数h(x)的值域是(-∞,0] {1}∪[4,+∞)
(3)令 f(x)=sin2x+cos2x,α=
则g(x)=f(x+α)= sin2(x+)+cos2(x+)=cos2x-sin2x,
于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (sin2x+co2sx)( cos2x-sin2x)=cos4x.
另解令f(x)=1+sin2x, α=,
g(x)=f(x+α)= 1+sin2(x+π)=1-sin2x,
于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (1+sin2x)( 1-sin2x)=cos4x.
44．(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分8分, 第3小题满分6分.
在直角坐标平面中,已知点P1(1,2),P2(2,22),┄,Pn(n,2n),其中n是正整数.对平面上任一点A0,记A1为A0关于点P1的对称点, A2为A1关于点P2的对称点, ┄, AN为AN-1关于点PN的对称点.
(1)求向量的坐标;
(2)当点A0在曲线C上移动时, 点A2的轨迹是函数y=f(x)的图象,其中f(x)是以3为周期的周期函数,且当x∈(0,3]时,f(x)=lgx.求以曲线C为图象的函数在(1,4]上的解析式;
(3)对任意偶数n,用n表示向量的坐标.
[解](1)设点A0(x,y), A0为P1关于点的对称点A0的坐标为(2-x,4-y),
A1为P2关于点的对称点A2的坐标为(2+x,4+y),
∴={2,4}.
(2) ∵={2,4},
∴f(x)的图象由曲线C向右平移2个单位,再向上平移4个单位得到.
因此, 曲线C是函数y=g(x)的图象,其中g(x)是以3为周期的周期函数,且当x∈(-2,1]时,g(x)=lg(x+2)-4.于是,当x∈(1,4]时,g(x)=lg(x-1)-4.
另解设点A0(x,y), A2(x2,y2),于是x2-x=2,y2-y=4,
若3< x2≤6,则0< x2-3≤3,于是f(x2)=f(x2-3)=lg(x2-3).
当1< x≤4时, 则3< x2≤6,y+4=lg(x-1).
∴当x∈(1,4]时,g(x)=lg(x-1)-4.
(3) =,
由于,得
=2()
=2({1,2}+{1,23}+┄+{1,2n-1})
=2{,}={n,}

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