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人教版初中数学第12章《三角形全等》模型题汇总
一、手拉手模型
例题：如图，△ABE和△ACD都是等腰三角形，AB=AE,AD=AC,∠BAE=∠CAD =.
求证：BD=CE或者∠BOE=.
变形1：已知△ABE和△ACD都是等边三角形.求证：BD=CE或者∠BOE=60°.
变形2：△ABE和△ACD都是等腰直角三角形.求证：BD=CE或者∠BOE=90°.
变形3：如图，四边形ABEF和四边形ACBD都是正方形.求证：BD=CF或者∠BOE=90°.
二、一线三等角模型
例题：如图，AB=AD（或△ABD是等腰三角形），∠C=∠BAD=∠E.
求证：△ABC△DAE.或CE=BC+DE.
变形1：如图，AB=AD，∠C=∠BAD=∠E=90°.求证：△ABC△DAE.或CE=BC+DE.
变形2：
变形3：
三、倍长中线模型
例题：如图，在△ABC中，AD是中线.求证：AB+AC＞2AD.
变形：如图，在△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是BC的中点.比较BE+CF与EF的大小.
四、截长补短模型
基本思想：
在EF上截取EM=AB.证明MF=CD.
延长AB至点N，使得BN=CD.证明AN=EF.
注意题干中的关键词：线段1=线段2±线段3，如AB=AD+BD.
例题：如图，在△ABC中，AB=CD-BD,AD⊥BC.求证：∠B=2∠C.
五、角平分线有关模型
基本辅助线形式
例题：如图，OA平分∠MON，∠ABM=∠ACO（或∠ABM+∠ACN=180°）.求证：AB=AC.
六、对角互补模型（半角模型的基础）
1、如图，在四边形ABCD中，AD=DC，∠A+∠BCD=180°,∠ADC=90°，BD=5.求在四边形ABCD的面积.
七、半角模型（遇见半角看旋转）
例题：在正方形ABCD中，E、F为AD、CD上任意一点，且∠EBF=45°.
求证：AE+FC=EF.
变形1：如图，BD=CD，∠BDC=120°，∠MDN=60°,∠ABD+∠ACD=180°.
求证：MN=BM+CN.
变形2：如图，AB=AD，∠EAF=∠BAD，∠B+∠ADC=180°.求证：EF=BE+DF.
《答案》
一、手拉手模型
例题：如图，△ABE和△ACD都是等腰三角形，AB=AE,AD=AC,∠BAE=∠CAD =.
求证：BD=CE或者∠BOE=.
证明：
∵∠BAE=∠CAD
∴∠BAD=∠EAC
在△BAD和△EAC中
∴△BAD△EAC（SAS）
∴BD=CE，∠ADB=∠ACE.
∵∠AFC=∠OFD
∴∠DOF=∠CAD=
∴∠BOE=
变形1：已知△ABE和△ACD都是等边三角形.求证：BD=CE或者∠BOE=60°.
证明：如图①
∵△ABE和△ACD都是等边三角形
∴AB=AE,AD=AC
∠BAE=∠CAD=60°
∴∠BAD=∠EAC
在△BAD和△EAC中
∴△BAD△EAC（SAS）
∴BD=CE，∠ADB=∠ACE.
∵∠ANC=∠OND
∴∠DON=∠CAD=60°
∴∠BOE=60°
注：图②参照上面证明，同理可得.
变形2：△ABE和△ACD都是等腰直角三角形.求证：BD=CE或者∠BOE=90°.
证明：
∵△ABE和△ACD都是等腰直角三角形
∴AB=AE,AD=AC
∠BAE=∠CAD=90°
∴∠BAD=∠EAC
在△BAD和△EAC中
∴△BAD△EAC（SAS）
∴BD=CE，∠ADB=∠ACE.
∵∠AFC=∠OFD
∴∠DOF=∠CAD=90°
∴∠BOE=90°
变形3：如图，四边形ABEF和四边形ACBD都是正方形.求证：BD=CF或者∠BOE=90°.
证明：（与变形2相同，过程略）
二、一线三等角模型
例题：如图，AB=AD（或△ABD是等腰三角形），∠C=∠BAD=∠E.
求证：△ABC△DAE.或CE=BC+DE.
证明：
∵∠C=∠BAD，
∴∠CBA+∠BAC=∠BAC+∠DAE,
∴∠CBA=∠DAE.
在△ABC和△DAE中
∴△ABC△DAE(AAS).
∴BC=AE,AC=DE
∴CE=AE+AC=BC+DE.
变形1：如图，AB=AD，∠C=∠BAD=∠E=90°.求证：△ABC△DAE.或CE=BC+DE.
证明：
∵∠BAD=90°
∴∠BAC+∠DAF=90°
∵∠C=90°
∴∠BAC+∠B=90°
∴∠B=∠DAF
在△ABC和△DAE中
∴△ABC△DAE(AAS).
∴BC=AE，AC=DE
∴CE=AE+AC=BC+DE.
变形2：
证明：（与变形1相同，过程略）.
变形3：
证明：（与变形1相同，过程略）.
三、倍长中线模型
例题：如图，在△ABC中，AD是中线.求证：AB+AC＞2AD.
证明：
延长AD到点E，使AD=DE,连接BE.
∵AD是中线
∴BD=CD
在△ACD和△EBD中
∴△ACD△EBD(SAS)
∴AC=BE
∵AB+BE＞AE
AE=AD+DE=2AD
∴AB+AC＞2AD.
变形：如图，在△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是BC的中点.比较BE+CF与EF的大小.
证明：
连接AD并延长到点A’,使AD=A’D.连接A’B.
延长FD交A’B于点F’，连接EF’.
∵D是BC的中点
∴CD=BD
在△ACD和△A’BD中
∴△ACD△A’BD（SAS）
∴∠C=∠A’BD
在△CDF和△BDF’中
∴△CDF△BDF’（ASA）
∴DF=DF’，CF=BF’
∵DE⊥DF
∴∠EDF=∠EDF’=90°
在△EDF和△EDF’中
∴△EDF△EDF’(SAS)
∴EF=EF’
∵BE+BF’＞EF’
∴BE+CF＞EF.
四、截长补短模型
基本思想：
在EF上截取EM=AB.证明MF=CD.
延长AB至点N，使得BN=CD.证明AN=EF.
注意题干中的关键词：线段1=线段2±线段3，如AB=AD+BD.
例题：如图，在△ABC中，AB=CD-BD,AD⊥BC.求证：∠B=2∠C.
证明：
作DE=BD，连接AE.
∵AD⊥BC
∴∠ADB=∠ADE=90°
在△ADB和△ADE中
∴△ADB△ADE（SAS）
∴AB=AE=CE,∠B=∠AED
∵CE=CD-DE=CD-BD
AB=CD-BD
∴CE=AB=AE
∴∠C=∠CAE
∵∠AED=∠CAE+∠C=2∠C
∴∠B=2∠C.
五、角平分线有关模型
基本辅助线形式
例题：如图，OA平分∠MON，∠ABM=∠ACO（或∠ABM+∠ACN=180°）.求证：AB=AC.
证明：
作AD⊥ON，AE⊥OM.
∵AD⊥ON，AE⊥OM
∴∠AEB=∠ADC=90°
∵OA平分∠MON
∴AE=AD
（∵∠ABM+∠ACN=180°，∴∠ABM=∠ACO）
在△ABE和△ACD中
∴△ABE△ACD（AAS）
∴AB=AC.
本题，也可能给定AB=AC，求∠ABM=∠ACO（或∠ABM+∠ACN=180°）.
六、对角互补模型（半角模型的基础）
1、如图，在四边形ABCD中，AD=DC，∠A+∠BCD=180°,∠ADC=90°，BD=5.求在四边形ABCD的面积.
解：延长BC到点E，使AB=CE，连接DE.
∵∠A+∠BCD=180°
∠DCE+∠BCD=180°
∴∠A=∠DCE
在△ABD和△CED中
∴△ABD△CDE（SAS）
∴BD=DE=5,∠ADB=∠CDE
S△ABD=S△CED
∴∠ADC=∠BDE=90°
∴S四边形ABCD=S△BDE
=×BD×DE
=×5×5
=12.5
七、半角模型（遇见半角看旋转）
例题：在正方形ABCD中，E、F为AD、CD上任意一点，且∠EBF=45°.
求证：AE+FC=EF.
证明：延长DA到点M，使AM=CF，连接BM.
∵四边形ABCD是正方形
∴AB=CB，
∠BAD=∠C=∠ABC=90°
∴∠BAM=90°
在△ABM和△CBF中
∴△ABM△CBF（SAS）
∴∠ABM=∠CBF,BM=BF
∵∠EBF=45°
∴∠ABE+∠CBF=45°
∴∠ABM+∠CBF=∠EBM=∠EBF=45°
在△EBM和△EBF中
∴△EBM△EBF（SAS）
∴EM=EF
∵AE+AM=EM
∴AE+FC=EF
变形1：如图，BD=CD，∠BDC=120°，∠MDN=60°,∠ABD+∠ACD=180°.
求证：MN=BM+CN.
证明：延长AB到点N’，使BN’=CN，连接DN’.
∵∠ABD+∠ACD=180°
∴∠DBN’=∠ACD
∵BD=CD，BN’=CN
∴△BDN’△CDN（SAS）
∴∠BDN’=∠CDN，DN’=CD
∴∠BDC=120°，∠MDN=60°
∴∠MDN’=∠MDN=60°
∴△DMN’△DMN（SAS）
∴MN’=MN
∴MN=BM+CN.
变形2：如图，AB=AD，∠EAF=∠BAD，∠B+∠ADC=180°.求证：EF=BE+DF.
证明：延长CD到点M，使DM=BE，连接AM.同例题和变形1的解题思路一样，可证.
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