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广西柳州十五中2023-2024学年八年级上册数学开学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．下面所给的交通标志图中是轴对称图形的是
A． B． C． D．
2．根据下列表述，不能确定一点的具体位置的是（　　）
A．东经，北纬
B．礼堂排号
C．重庆市宏帆路
D．港口南偏东方向上距港口海里
3．下列命题中正确的是（　　）
A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
B．互补的两个角是邻补角
C．在同一平面内，如果，，则
D．两直线平行，同旁内角相等
4．数学活动课上，小明想用三根木棒首尾顺次相接制作一个三角形模型，现有两根长度分别为和的木棒，则第三根木棒的长度可取（　　）
A． B． C． D．
5．已知，为实数，且，则的立方根是（　　）
A． B． C． D．
6．（2023七下·秦安期末）如图，小明在操场上从点出发，沿直线前进米后向左转，再沿直线前进米后，又向左转，这样走下去，他第一次回到出发地点时，一共走了（　　）米
A． B． C． D．
7．如图，在五边形中，，，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
8．已知是方程组的解，则的值是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，，平分，，，，则下列结论：
；平分；；．
其中正确结论的个数是（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
10．对，定义一种新的运算，规定，若关于正数的不等式组恰好有个整数解，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11．若点在轴上，则　 　．
12．已知，，那么的平方根是　 　．
13．（2023七下·乾安期末）如图，长方形的长为8，宽为6，将这个长方形向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得到长方形，则阴影部分的面积为　 　．
14．如图，为的中线，的周长为，的周长为，，则为　 　．
15．空竹是我国传统的一项游戏，其器材简单但是动作花样繁多，深受大众喜爱彤彤在跑步时发现广场上抖空竹的老奶奶的某个动作可以抽象成一个简单的数学图形，如图所示，，，，则的度数是　 　．
16．（2021七下·武汉开学考）的两边与的两边分别平行，且是的余角的4倍，则　 　.
三、解答题（本大题共7小题，共52.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．计算：
．
18．解不等式组，把它的解集在数轴上表示出来，并写出它的整数解．
19．某社区随机抽取了部分家庭，调查他们每月用于“信息消费”的金额单位：元，将数据分组如下：A.；B.；C.；D.；E.，并将数据整理成如图所示的不完整统计图已知、两组户数在频数分布直方图中的高度比为：．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）组的频数是多少？本次调查的样本容量是多少？
（2）抽取的家庭中每月用于“信息消费”的金额不少于元的有多少户？
（3）求扇形统计图中组所占扇形的圆心角的大小．
20．如图，四边形中，，，点，分别在，上，将沿翻折，得，若，，求的度数．
21．现在以及未来，会有更多的高科技应用在我们日常的生产生活中，比如：无人机放牧，机器狗导盲，智能化无人码头装卸等某快递公司为了提高工作效率，计划购买，两种型号的机器人来搬运货物，已知每台型机器人比每台型机器人每天多搬运吨，并且台型机器人和台型机器人每天共搬运货物吨．
（1）求每台型机器人和每台型机器人每天分别搬运货物多少吨？
（2）每台型机器人售价万元，每台型机器人售价万元，该公司采购，两种型号的机器人若干台，费用恰好是万元，求出，两种机器人分别采购多少台？
22．如图，，，．
（1）求证：；
（2）求证：．
23．阅读下面资料：小明遇到这样一个问题：如图，对面积为的逐次进行以下操作：分别延长、、至、、，使得，，，顺次连接、、，得到，记其面积为，求的值．
小明是这样思考和解决这个问题的：如图，连接C、A、，因为，，，根据等高两三角形的面积比等于底之比，所以，由此继续推理，从而解决了这个问题．
（1）直接写出　 　用含字母的式子表示．
（2）请参考小明同学思考问题的方法，解决下列问题：
如图，为内一点，连接、、并延长分别交边、、于点、、，则把分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，求的面积．
（3）如图，若点为的边上的中线的中点，求与的比值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【分析】根据轴对称图形，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合。因此，只有选项A符合。故选A。
2．【答案】C
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：A、B、D能确定具体位置，不符合题意；
C、不能确定具体位置，符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据坐标确定位置需要两个数据，对各项逐项判断即可.
3．【答案】A
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、在同一坪面内，过一点有且只有一条直线和已知直线垂直，正确；
B、互补的两个角不一定是邻角，错误；
C、在同一坪面内，如果，则，错误；
D、两直线平行，同旁内角互补，错误.
故答案为：A.
【分析】根据命题的真假性即可逐项判断.
4．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：由题意得， 现有两根长度分别为和的木棒 ，
∴设第三根木棒的长度为x，
∴，
∴第三根木棒的长度可能取4，5，6.
故答案为：D.
【分析】根据三角形三边之间的关系，第三边大于其中两边之差小于两边之和即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】立方根及开立方；偶次幂的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
∴x-3=0，y+2=0，
∴x=3，y=-2.
∴，
∴
故答案为：C.
【分析】先根据非负性求出x和y的值，再开立方即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：多边形的边数=360°÷40°=9，
总路程=8×9=72（米），
故答案为：D.
【分析】先求出多边形的边数，再乘以边长即可得到答案.
7．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：过点B作，如图所示，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴.
故答案为：C.
【分析】根据平行线的性质求出度数以及，利用平角定义即可求出度数.
8．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵是方程组的解，
∴，
∴4a+2b-4b-2a=1，
∴2a-2b=4，
∴a-b=2.
故答案为：B.
【分析】将x和y的值代入二元一次方程组中，形成关于a和b的二元一次方程组，利用加减消元法即可求出a-b的值.
9．【答案】C
【知识点】垂线；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴正确.
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴平分正确.
∵，
∴，
∴，
∴.
∴ 正确.
∵，，
∴，
∴ 不正确.
∴正确的是.
故答案为：C.
【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义即可判断的正确性；结合的结果，利用垂直的定义和平角的定义求出，即可证明的正确性；结合的结果，利用线段互相垂直即可判断的正确性；通过角度的计算即可证明的不正确性.
10．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；定义新运算
【解析】【解答】解：当时， 不等式组 得，
∴，与不符，舍去.
当时， 不等式组 得，
∴，
∵不等式组有4个整数解，
∴，
∴
故答案为：B.
【分析】分和两种情况，并由得到两个关于x的不等式组，解出x的取值范围，最后根据不等式组的整数解即可求出m的取值范围.
11．【答案】-3
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解： ∵点在轴上，
∴2a+6=0，
∴a=-3.
故答案为：-3.
【分析】根据点的坐标的特性可判断2a+6=0，按照一元一次方程的解法求出a即可.
12．【答案】
【知识点】平方根；算术平方根；计算器在数的开方中的应用
【解析】【解答】解：∵， 1.7201→172.01扩大了100倍，
∴的平方根 是.
故答案为：.
【分析】观察根号里的数的变化，合理选择，即可求出的平方根.
13．【答案】30
【知识点】平移的性质；图形的平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】如图：
根据平移的性质可得：FN=3，HM=2，
∵AB=HG=8，AD=FG=6，
∴MG=HG-HM=8-2=6，GN=GF-FN=6-3=3，
∴S矩形AMGN=MG×GN=6×3=18，
∴S阴影=S矩形EHGF-S矩形AMGN=6×8-18=48-18=30，
故答案为：30.
【分析】先利用平移的性质求出FN=3，HM=2，再利用线段的和差求出MG=HG-HM=8-2=6，GN=GF-FN=6-3=3，最后利用割补法求出阴影部分的面积即可.
14．【答案】5
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：∵为的中线，
∴BD=CD.
∵的周长为，的周长为，
∴AB+AD+BD=23，AC+AD+CD=18，
∴AB-AC=23-18=5.
故答案为：5.
【分析】根据中线的性质求出BD=CD，利用周长公式相减即可求出AB-AC的长度.
15．【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；邻补角
【解析】【解答】解：延长BA交EC于点F，如图所示，
∵， ，
∴，
∵，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】利用平行线的性质求出度数，利用邻补角的定义求出的度数，最后利用三角形内角和定理即可求出度数.
16．【答案】或
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵的两边与的两边分别平行
∴或
又∵是的余角的4倍
∴
（1）当时，
（2）当时，
∴综上所述，或
故答案为：或.
【分析】由已知条件可得∠1=∠2或∠1+∠2=180°，根据∠2是∠1的余角的4倍可得∠2=4(90°-∠1)，据此求解.
17．【答案】解：
．
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】分别按照有理数乘方，开立方，开平方和绝对值化简分别计算，然后按照实数的运算法则计算即可.
18．【答案】解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为，
将解集表示在数轴上如下：
不等式组的整数解为、、．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先分别求出两个不等式的解，按照大小小大取中间的口诀即可知道不等式组的解题，将不等式组的解在数轴上表示出来即可，利用不等式组的解集即可知道其整数解.
19．【答案】（1）解：、两组户数直方图的高度比为：，
两组的频数的比是：，
组的频数为，
组的频数是，
本次调查的样本容量为：，
答：组的频数是，本次调查的样本容量．
（2）解：户，
答：每月用于“信息消费”的金额不少于元的有户；
（3）解：，
答：扇形统计图中组所占扇形的圆心角为．
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；频数（率）分布直方图；扇形统计图
【解析】【分析】（1）根据AB两组直方图的高度比判断出两组的频数之比，利用已知条件即可知道A组的频数；用A和B的频数除以其对应的百分比即为本次调查的样本你容量；
（2）用本次调查的样本容量乘 金额不少于元 的百分比即可求出不少于元有多少户；
（3）先求出B组所占百分比，乘圆的度数即可求出B组所占的圆心角度数.
20．【答案】解：，，
，，
沿翻折得，
，
，
在中，
．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】利用平行线的性质求出，，根据折叠的性质求出度数，利用三角形的内角和定理即可求出 的度数．
21．【答案】（1）解：设每台型机器人每天搬运货物吨，每台型机器人每天搬运货物吨，根据题意得：
，
解得：，
则每台型机器人每天搬运货物吨，每台型机器人每天搬运货物吨；
（2）解：设种机器人采购台，种机器人采购台，
根据题意得：，
整理得：，即，
与都是大于或等于的整数，
当时，；
当时，；
当时，；
、两种机器人分别采购台，台或台，台或台，台．
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】（1）根据题意，找出等量关系式，列二元一次方程组，求x和y的值，即可知道A和B型机器人每天搬的货物的吨数；
（2）根据题意，设种机器人采购台，种机器人采购台，列关于m和n的方程，利用m和n都是整数，即可求出其值.
22．【答案】（1）证明：，
，
，
在和中，
，
≌，
；
（2）证明：≌，
，，
≌，
，
，
．
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）利用，结合等量代换求出，最后根据角边角即可证明≌，从而求出AB=AD；
（2）利用第一问的三角形全等推出AB=AD和，结合，通过ASA证明≌，从而推出AM=MN，利用等量代换即可证明EM=CN.
23．【答案】（1）
（2）解：过点作于点，
设，，
，
，
，
，即；
同理，，
．
，，
由，得，
；
（3）解：设，，如图所示．
依题意，得，，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得，，
∴.
【分析】（1）根据题意，求得，依次得到，则即可求得的值；
（2）根据等高部等地的三角形的面积比等于底边的比，列出方程组，从而求得△ABC的面积；
（3）设，依题意得和，利用面积法即可列出关于m和n的方程，从而求出的值，即求得的值.
1 / 1广西柳州十五中2023-2024学年八年级上册数学开学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．下面所给的交通标志图中是轴对称图形的是
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【分析】根据轴对称图形，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合。因此，只有选项A符合。故选A。
2．根据下列表述，不能确定一点的具体位置的是（　　）
A．东经，北纬
B．礼堂排号
C．重庆市宏帆路
D．港口南偏东方向上距港口海里
【答案】C
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：A、B、D能确定具体位置，不符合题意；
C、不能确定具体位置，符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据坐标确定位置需要两个数据，对各项逐项判断即可.
3．下列命题中正确的是（　　）
A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
B．互补的两个角是邻补角
C．在同一平面内，如果，，则
D．两直线平行，同旁内角相等
【答案】A
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、在同一坪面内，过一点有且只有一条直线和已知直线垂直，正确；
B、互补的两个角不一定是邻角，错误；
C、在同一坪面内，如果，则，错误；
D、两直线平行，同旁内角互补，错误.
故答案为：A.
【分析】根据命题的真假性即可逐项判断.
4．数学活动课上，小明想用三根木棒首尾顺次相接制作一个三角形模型，现有两根长度分别为和的木棒，则第三根木棒的长度可取（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：由题意得， 现有两根长度分别为和的木棒 ，
∴设第三根木棒的长度为x，
∴，
∴第三根木棒的长度可能取4，5，6.
故答案为：D.
【分析】根据三角形三边之间的关系，第三边大于其中两边之差小于两边之和即可求出答案.
5．已知，为实数，且，则的立方根是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】立方根及开立方；偶次幂的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
∴x-3=0，y+2=0，
∴x=3，y=-2.
∴，
∴
故答案为：C.
【分析】先根据非负性求出x和y的值，再开立方即可求出答案.
6．（2023七下·秦安期末）如图，小明在操场上从点出发，沿直线前进米后向左转，再沿直线前进米后，又向左转，这样走下去，他第一次回到出发地点时，一共走了（　　）米
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：多边形的边数=360°÷40°=9，
总路程=8×9=72（米），
故答案为：D.
【分析】先求出多边形的边数，再乘以边长即可得到答案.
7．如图，在五边形中，，，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：过点B作，如图所示，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴.
故答案为：C.
【分析】根据平行线的性质求出度数以及，利用平角定义即可求出度数.
8．已知是方程组的解，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵是方程组的解，
∴，
∴4a+2b-4b-2a=1，
∴2a-2b=4，
∴a-b=2.
故答案为：B.
【分析】将x和y的值代入二元一次方程组中，形成关于a和b的二元一次方程组，利用加减消元法即可求出a-b的值.
9．如图，，平分，，，，则下列结论：
；平分；；．
其中正确结论的个数是（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【知识点】垂线；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴正确.
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴平分正确.
∵，
∴，
∴，
∴.
∴ 正确.
∵，，
∴，
∴ 不正确.
∴正确的是.
故答案为：C.
【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义即可判断的正确性；结合的结果，利用垂直的定义和平角的定义求出，即可证明的正确性；结合的结果，利用线段互相垂直即可判断的正确性；通过角度的计算即可证明的不正确性.
10．对，定义一种新的运算，规定，若关于正数的不等式组恰好有个整数解，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；定义新运算
【解析】【解答】解：当时， 不等式组 得，
∴，与不符，舍去.
当时， 不等式组 得，
∴，
∵不等式组有4个整数解，
∴，
∴
故答案为：B.
【分析】分和两种情况，并由得到两个关于x的不等式组，解出x的取值范围，最后根据不等式组的整数解即可求出m的取值范围.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11．若点在轴上，则　 　．
【答案】-3
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解： ∵点在轴上，
∴2a+6=0，
∴a=-3.
故答案为：-3.
【分析】根据点的坐标的特性可判断2a+6=0，按照一元一次方程的解法求出a即可.
12．已知，，那么的平方根是　 　．
【答案】
【知识点】平方根；算术平方根；计算器在数的开方中的应用
【解析】【解答】解：∵， 1.7201→172.01扩大了100倍，
∴的平方根 是.
故答案为：.
【分析】观察根号里的数的变化，合理选择，即可求出的平方根.
13．（2023七下·乾安期末）如图，长方形的长为8，宽为6，将这个长方形向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得到长方形，则阴影部分的面积为　 　．
【答案】30
【知识点】平移的性质；图形的平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】如图：
根据平移的性质可得：FN=3，HM=2，
∵AB=HG=8，AD=FG=6，
∴MG=HG-HM=8-2=6，GN=GF-FN=6-3=3，
∴S矩形AMGN=MG×GN=6×3=18，
∴S阴影=S矩形EHGF-S矩形AMGN=6×8-18=48-18=30，
故答案为：30.
【分析】先利用平移的性质求出FN=3，HM=2，再利用线段的和差求出MG=HG-HM=8-2=6，GN=GF-FN=6-3=3，最后利用割补法求出阴影部分的面积即可.
14．如图，为的中线，的周长为，的周长为，，则为　 　．
【答案】5
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：∵为的中线，
∴BD=CD.
∵的周长为，的周长为，
∴AB+AD+BD=23，AC+AD+CD=18，
∴AB-AC=23-18=5.
故答案为：5.
【分析】根据中线的性质求出BD=CD，利用周长公式相减即可求出AB-AC的长度.
15．空竹是我国传统的一项游戏，其器材简单但是动作花样繁多，深受大众喜爱彤彤在跑步时发现广场上抖空竹的老奶奶的某个动作可以抽象成一个简单的数学图形，如图所示，，，，则的度数是　 　．
【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；邻补角
【解析】【解答】解：延长BA交EC于点F，如图所示，
∵， ，
∴，
∵，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】利用平行线的性质求出度数，利用邻补角的定义求出的度数，最后利用三角形内角和定理即可求出度数.
16．（2021七下·武汉开学考）的两边与的两边分别平行，且是的余角的4倍，则　 　.
【答案】或
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵的两边与的两边分别平行
∴或
又∵是的余角的4倍
∴
（1）当时，
（2）当时，
∴综上所述，或
故答案为：或.
【分析】由已知条件可得∠1=∠2或∠1+∠2=180°，根据∠2是∠1的余角的4倍可得∠2=4(90°-∠1)，据此求解.
三、解答题（本大题共7小题，共52.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．计算：
．
【答案】解：
．
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】分别按照有理数乘方，开立方，开平方和绝对值化简分别计算，然后按照实数的运算法则计算即可.
18．解不等式组，把它的解集在数轴上表示出来，并写出它的整数解．
【答案】解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为，
将解集表示在数轴上如下：
不等式组的整数解为、、．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先分别求出两个不等式的解，按照大小小大取中间的口诀即可知道不等式组的解题，将不等式组的解在数轴上表示出来即可，利用不等式组的解集即可知道其整数解.
19．某社区随机抽取了部分家庭，调查他们每月用于“信息消费”的金额单位：元，将数据分组如下：A.；B.；C.；D.；E.，并将数据整理成如图所示的不完整统计图已知、两组户数在频数分布直方图中的高度比为：．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）组的频数是多少？本次调查的样本容量是多少？
（2）抽取的家庭中每月用于“信息消费”的金额不少于元的有多少户？
（3）求扇形统计图中组所占扇形的圆心角的大小．
【答案】（1）解：、两组户数直方图的高度比为：，
两组的频数的比是：，
组的频数为，
组的频数是，
本次调查的样本容量为：，
答：组的频数是，本次调查的样本容量．
（2）解：户，
答：每月用于“信息消费”的金额不少于元的有户；
（3）解：，
答：扇形统计图中组所占扇形的圆心角为．
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；频数（率）分布直方图；扇形统计图
【解析】【分析】（1）根据AB两组直方图的高度比判断出两组的频数之比，利用已知条件即可知道A组的频数；用A和B的频数除以其对应的百分比即为本次调查的样本你容量；
（2）用本次调查的样本容量乘 金额不少于元 的百分比即可求出不少于元有多少户；
（3）先求出B组所占百分比，乘圆的度数即可求出B组所占的圆心角度数.
20．如图，四边形中，，，点，分别在，上，将沿翻折，得，若，，求的度数．
【答案】解：，，
，，
沿翻折得，
，
，
在中，
．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】利用平行线的性质求出，，根据折叠的性质求出度数，利用三角形的内角和定理即可求出 的度数．
21．现在以及未来，会有更多的高科技应用在我们日常的生产生活中，比如：无人机放牧，机器狗导盲，智能化无人码头装卸等某快递公司为了提高工作效率，计划购买，两种型号的机器人来搬运货物，已知每台型机器人比每台型机器人每天多搬运吨，并且台型机器人和台型机器人每天共搬运货物吨．
（1）求每台型机器人和每台型机器人每天分别搬运货物多少吨？
（2）每台型机器人售价万元，每台型机器人售价万元，该公司采购，两种型号的机器人若干台，费用恰好是万元，求出，两种机器人分别采购多少台？
【答案】（1）解：设每台型机器人每天搬运货物吨，每台型机器人每天搬运货物吨，根据题意得：
，
解得：，
则每台型机器人每天搬运货物吨，每台型机器人每天搬运货物吨；
（2）解：设种机器人采购台，种机器人采购台，
根据题意得：，
整理得：，即，
与都是大于或等于的整数，
当时，；
当时，；
当时，；
、两种机器人分别采购台，台或台，台或台，台．
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】（1）根据题意，找出等量关系式，列二元一次方程组，求x和y的值，即可知道A和B型机器人每天搬的货物的吨数；
（2）根据题意，设种机器人采购台，种机器人采购台，列关于m和n的方程，利用m和n都是整数，即可求出其值.
22．如图，，，．
（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）证明：，
，
，
在和中，
，
≌，
；
（2）证明：≌，
，，
≌，
，
，
．
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）利用，结合等量代换求出，最后根据角边角即可证明≌，从而求出AB=AD；
（2）利用第一问的三角形全等推出AB=AD和，结合，通过ASA证明≌，从而推出AM=MN，利用等量代换即可证明EM=CN.
23．阅读下面资料：小明遇到这样一个问题：如图，对面积为的逐次进行以下操作：分别延长、、至、、，使得，，，顺次连接、、，得到，记其面积为，求的值．
小明是这样思考和解决这个问题的：如图，连接C、A、，因为，，，根据等高两三角形的面积比等于底之比，所以，由此继续推理，从而解决了这个问题．
（1）直接写出　 　用含字母的式子表示．
（2）请参考小明同学思考问题的方法，解决下列问题：
如图，为内一点，连接、、并延长分别交边、、于点、、，则把分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，求的面积．
（3）如图，若点为的边上的中线的中点，求与的比值．
【答案】（1）
（2）解：过点作于点，
设，，
，
，
，
，即；
同理，，
．
，，
由，得，
；
（3）解：设，，如图所示．
依题意，得，，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得，，
∴.
【分析】（1）根据题意，求得，依次得到，则即可求得的值；
（2）根据等高部等地的三角形的面积比等于底边的比，列出方程组，从而求得△ABC的面积；
（3）设，依题意得和，利用面积法即可列出关于m和n的方程，从而求出的值，即求得的值.
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