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专题2.1 有理数（知识梳理与考点分类讲解）
【知识要点】1：用正数和负数表示相反意义的量；2：有理数的分类．
【知识点1】用正数和负数表示相反意义的量
为了区分具有相反意义的量，我们把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，则与它具有相反意义的量用负数表示．
特别指出：相反意义的量的“两要素”
（1）具有相反意义的量是成对出现的，单独的一个量不能称为相反意义的量；
（2）具有相反意义的量必须是同类量，只要求具有相反意义和数量．不要求数量一定相等，所以与一个量具有相反意义的量不止一个．
1．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果表示向东走，那么表示（ ）
A．向东走 B．向西走 C．向东走 D．向西走
【知识点2】有理数
1.有理数 整数和分数统称为有理数；
2.有理数的分类
（1）按定义分类 （2）按性质分类
3.有理数分类的三原则
（1）分类不重复：所分的各类应当互不包含原则；
（2）分类不遗漏：所分各类之“和”必须是原来的全部；
（3）标准要统一：按同一分类标准进行分类．
2．把下列各数分别填入相应的集合内：2，，，，，，
(1)正数集合：{ …}；
(2)负数集合：{ …}；
(3)整数集合：{ …}；
(4)分数集合：{ …}；
【知识点3】“0”的意义及非负（正）数
（1）“0”的部分意义：表示数的某位上没有计数单位，起占位作用；表示起点；表示分界点；表示基准数．
（2）非负（正）数：若a表示实数，则非负数表示为：非正数表示为：
3．下面关于0的说法：
（1）0是最小的正数；
（2）0是最小的非负数；
（3）0既不是正数也不是负数；
（4）0既不是奇数也不是偶数；
（5）0是最小的自然数；
（6）海拔0m就是没有海拔．
其中正确说法的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点一】正负数的意义
4．任意写出 个正数和 个负数，并分别把它们填入相应的集合里．
5．下列各数中，负数是（　　）
A． B． C． D．
6．如果收入80元记作元，那么支出50元记作 元．
【考点二】相反意义的量
7．某人用400元购买了8套儿童服装，准备以一定价格出售．他以每套55元的价格为标准，将超出的记作正数，不足的记作负数，记录如下：＋2，－3，＋2，＋1，－2，－1，0，－2（单位：元）．他卖完这8套儿童服装后是盈利还是亏损？他盈利（或亏损）了多少钱？
8．如果收入3万元，记作＋3万元，那么万元表示（ ）
A．收入2万元 B．支出万元
C．支出2万元 D．利润是2万元
9．一次考试中，老师采取一种记分制：得分记为分，得分记为分，那么得分应记为 分．
【考点三】正负数的实际应用
10．如图，一名跳水运动员参加跳台的跳水比赛（跳台是指跳台离水面的高度为），这名运动员举高手臂时身长为，跳水池池深为（规定向上为正）．
(1)若以水面为基准，则这名运动员指尖的高度及池底的深度分别如何表示？
(2)若以跳台为基准，则池底的深度与水面的高度分别如何表示？
11．我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”、如：粮库把运进30吨粮食记为“”，则“”表示（ ）
A．运出30吨粮食 B．亏损30吨粮食 C．卖掉30吨粮食 D．吃掉30吨粮食
12．某商店出售的一种袋装大米，在包装上标有：，这袋大米最轻的重量是 kg．
【考点四】有理数的概念认识
13．阅读与探究：
我们把整数和分数统称为“有理数”，那为什么叫有理数呢？有理数在英语中是“rationalnumber”，而“rational”通常的意思是“理性的”，中国近代译著者在翻译时参考了这种方法，而“rational”这个词的词根“ratio”源于古希腊，是“比率”的意思，这个词的意思就是整数的“比”，所谓有理数，就是可以写成两个整数之比的形式的数．比如：整数5可以写成，分数就是整数12和整数5的比．
(1)【探究】对于是不是有理数呢？我们不妨设，由，于是可得：；等式两边同乘以10，可得：；即：；
化简，得：；解方程，得：；所以，由此得：得_________有理数（填“是”或“不是”）；
(2)【类比】请你把无限循环小数写成两个整数之比的形式即分数的形式，即_________；
(3)【迁移】你能化无限循环小数为分数吗？请完成你的探究过程．
(4)【拓展】请按照这个方法把无限循环小数化为分数，即_________
(5)【应用】在中，属于非负有理数的是__________________．
14．在数0，，，0.13，0.1010010001…(相邻两个1之间依次增加1个0)，中，有理数有（ ）
A．5个 B．4 个 C．3 个 D．2 个
15．下列各数中：，，0，，，，有理数有 个．
【考点五】0的意义
16．请写四句话，说明数“零”（0）的数学特性．（例：0是绝对值最小的数．例句除外）
17．下列四个选项中，不正确的是（ ）
A．0是自然数 B．0是偶数
C．0没有倒数 D．0是最小的整数
18．某栏目有一竞猜游戏：两人搭档，一人用语言描述，一人回答，要求描述者不能说出答案中的字或数.如果现在给的数是0，那么你给搭档描述的是 .
【考点六】有理数的分类
19．下列各数填在相应的大括号里．
7 0 2020 7.8
正数集合： ……；
负数集合： ……；
整数集合： ……；
分数集合： ……；
20．下列说法错误的是( )
A．任何有理数都有相反数
B．正数和负数统称有理数
C．任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示
D．不是有理数
21．把下列的数填入相应的集合中：7，，，，0，，，
正分数集合：（ ）；
非负整数集合：（ ）；
负分数集合：（ ）．
【考点七】带“非”字的有理数
22．把下列各数分别填入相应的括号内：，，，，，，0，
正数：
负数：
分数：
非负数：
23．在，，，0，，2，，．这八个有理数中非负数有（　　）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
24．在0，1，，，这五个数中，是非负整数的有 ．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】正数与负数即意义相反的两个数，表示向东走，那么则表示向西走．
【详解】表示向东走，那么表示向西走．
故选：D
【点睛】此题考查相反意义的量，解题关键是表示意义相反的量，表示向东走，那么表示反方向走，即向西走．
2．(1)2，，
(2)，，
(3)2，
(4)，
【分析】根据有理数的分类方法求解即可．
【详解】（1）解：正数有：2，，，
故答案为：2，，；
（2）解：负数有：，，；
故答案为：，，；
（3）解：整数有：2，；
故答案为：2，；
（4）解：分数有：，；
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了有理数的分类，熟知有理数的分类方法是解题的关键．
3．D
【分析】0既不是正数也不是负数，是最小的非负数，最小的自然数，是偶数，判断即可得到结果．
【详解】解：（1）0是最小的正数，错误，0不是正数也不是负数；
（2）0是最小的非负数，正确，非负数即为正数与0；
（3）0既不是正数也不是负数，正确；
（4）0既不是奇数也不是偶数，错误，0是偶数；
（5）0是最小的自然数，正确；
（6）海拔0m就是没有海拔，错误，海拔0m就是与海平面高度相同；
则正确的说法有3个．
故选：D．
【点睛】此题考查了有理数的分类和意义，掌握有理数的分类和0的意义是解本题的关键．
4．5个正数：1、2、3、4、5；5个负数：-1、-2、-3、-4、-5；
【分析】根据正数和负数的定义，写出 个正数和 个负数，再按要求进行分类即可．
【详解】5个正数：1、2、3、4、5；5个负数：-1、-2、-3、-4、-5；
【点睛】本题主要考查了正数和负数的分类，熟练地掌握正数和负数的定义是解题的关键．
5．A
【分析】根据负数的定义即可得出答案．
【详解】解：是负数，既不是正数也不是负数，和是正数．
故选：A．
【点睛】本题考查了实数，掌握在正数前面添加“”得到负数是解题的关键．
6．
【分析】根据正负数的含义，可得：收入记住“＋”，则支出记作“－”，据此即可求解．
【详解】解：如果收入元记作元，那么支出元记作：元．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正负数在实际生活中的应用，解题的关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
7．37元
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负来表示，利用“正”和“负”的相对性即可求解．
【详解】解：（元），
（元），
答：他盈利了37元．
【点睛】本题考查了相反意义的量，理解“正”和“负”的相对性是解题的关键．
8．C
【分析】根据正负数的意义解答即可.
【详解】解：如果收入3万元，记作＋3万元，那么万元表示支出2万元；
故选：C.
【点睛】本题考查了正负数的意义，理解正负数可以表示具有相反意义的量是关键.
9．
【分析】先根据题意求出分为基准点，比分低即为负，据此表示即可．
【详解】∵得分记为分，得分记为分，
∴分为基准点，
∴得分应记为分，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正负数的含义，明确基准点是解题的关键．
10．(1)这名运动员指尖的高度为，池底的深度为；
(2)池底的深度为，水面的高度为．
【分析】（1）利用正数和负数的意义来表示；
（2）利用正数和负数的意义来表示．
【详解】（1）解：（米）
∴以水面为基准，这名运动员指尖的高度为，池底的深度为；
（2）解：（米）
∴以跳台为基准，池底的深度为，水面的高度为．
【点睛】本题考查了正负数的意义，解题的关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
11．A
【分析】根据题意明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意即可求解．
【详解】解：粮库把运进30吨粮食记为“”，则“”表示运出30吨粮食．
故选：A
【点睛】本题考查了正负数的意义，理解“正”和“负”分别表示相反意义的量是解题关键．
12．
【分析】根据正负数的意义计算即可．
【详解】∵包装上标有：，
∴这袋大米最轻的重量是．
故答案为: ．
【点睛】本题考查了正负数的意义,正确理解是解题的关键．
13．(1)是
(2)
(3)是，过程见解析
(4)
(5)，0，，16.2
【详解】解：（1）是
（2）
设，由，得．
可知，，即，
解得：，
（3）设，由，
可得：，
等式两边同乘以100，可得，
即：，
化简，得：
解方程，得：．
（4）
由（1）知：
所以．
（5）在中，属于非负有理数的是，0，，16.2，
故答案为：，0，，16.2．
14．B
【分析】根据无理数的三种形式：（1）开不尽方的数；（2）无限不循环小数；（3）含有π的数，结合所给数据进行判断即可．
【详解】解：根据题意可得：
有理数有0，，0.13，，共4个，
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数定义，属于基础题型，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式．
15．5
【分析】根据有理数的概念进行判断即可．
【详解】解：有理数包括整数和分数，
∴是有理数的有，共5个
故答案为：5
【点睛】本题主要考查有理数的概念，熟练掌握有理数的概念是解决本题的关键．
16．见解析
【分析】根据题意可以写出零的数学特性，本题得以解决．
【详解】解：①零既不是正数也不是负数；
②零小于正数，大于负数；
③零不能做分母；
④零是最小的非负数；
⑤零的相反数是零;
⑥任何不为零的数的零次幂为1；
⑦零乘以任何数都是零等．
【点睛】本题考查有理数，解题的关键是明确题意，可以仿照例句写出关于零的别的数学特性．
17．D
【分析】根据0的性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、0是自然数，选项正确，不符合题意；
B、0是偶数，选项正确，不符合题意；
C、0没有倒数，选项正确，不符合题意；
D、0不是最小的整数，选项错误，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查0的性质．熟练掌握0是自然数，是整数，是偶数，没有倒数，是解题的关键．
18．既不是正数也不是负数的数（答案不唯一）
【详解】试题解析：既不是正数也不是负数 .
故答案为既不是正数也不是负数的数.
19．见解析
【分析】根据有理数的分类解答即可．
【详解】解：正数集合： 7；；2020；7.8……；
负数集合：；；；……；
整数集合：7；；0；2020；；……；
分数集合：；；7.8……．
【点睛】本题考查了有理数的分类，属于基础题型，熟知有理数的概念是解答的关键．
20．B
【分析】根据有理数的概念，无理数的概念计算即可．
【详解】A. 任何有理数都有相反数，不符合题意；
B. 正数，零和负数统称有理数，符合题意；
C. 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示，不符合题意；
D. 不是有理数，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了有理数即整数和分数的统称，无理数即无限不循环小数，正确理解定义是解题的关键．
21．，，；7，0，；
【分析】根据有理数的分类即可解答．
【详解】解：正分数集合：（，，）；
非负整数集合：（7，0，）；
负分数集合：（）．
故答案为：，，；7，0，；．
【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解决本题的关键．
22．正数：，，；负数：，，，；分数：，，，，；非负数：，，，0．
【分析】根据有理数的分类方法进行求解即可．
【详解】解：是负数，是分数；
是正数，是分数，是非负数；
是负数；
是正数，是非负数；
是负数，是分数；
是正数，是分数，是非负数；
0是非负数；
是负数，是分数；
∴正数：，，；
负数：，，，；
分数：，，，，；
非负数：，，，0．
【点睛】本题主要考查了有理数的分类，熟知有理数的分类方法是解题的关键．
23．B
【分析】正数与0为非负数，根据非负数的概念逐一分析即可得到答案．
【详解】解：在，，，0，，2，，．这八个数中，
非负数为，0，，2，有5个．
故选：B．
【点睛】本题考查的是有理数的分类，带“非”字的有理数，理解概念是解本题的关键．
24．，
【分析】找出不是负数的整数即可求解．
【详解】在0，1，，，这五个数中，0，1是非负整数，
故答案为：，
【点睛】本题考查了有理数的分类，掌握有理数的分类是解题的关键．
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