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2022-2023学年广东省深圳市华中师大龙岗附中高一（上）期中数学试卷
一、选择题
1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≥0}，B＝{x|﹣2≤x＜2}，则A∩B＝（　　）
A．[1，2） B．[﹣1，1] C．[﹣1，2） D．[﹣2，﹣1]
2．函数f（x）＝的定义域为（　　）
A．[1，2）∪（2，+∞） B．（1，+∞）
C．[1，2） D．[1，+∞）
3．荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这句来自先秦时期的名言．此名言中的“积跬步”是“至千里”的（　　）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知集合，则集合A的子集的个数为（　　）
A．7 B．8 C．15 D．16
5．已知a，b为非零实数，且a＜b，则下列命题成立的是（　　）
A．＜ B．a2b＜ab2
C．a2＜b2 D．＜
6．已知函数f（x）的对应关系如表，函数y＝g（x）的图象为如图所示的曲线ABC，其中A（1，3），B（2，1），C（3，2），则f（g（2））＝（　　）
x 1 2 3
f（x） 2 3 0
A．3 B．2 C．1 D．0
7．下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（　　）
A．y＝x2 B．y＝x﹣1 C．y＝x﹣2 D．
8．函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）＝﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（　　）
A．[﹣2，2] B．[﹣1，1] C．[0，4] D．[1，3]
（多选）9．函数f（x）是定义在R上的奇函数，下列说法正确的是（　　）
A．f（0）＝0
B．若f（x）在[0，+∞）上有最小值﹣1，则f（x）在（﹣∞，0]上有最大值1
C．若f（x）在[1，+∞）上单调递增，则f（x）在（﹣∞，﹣1]上单调递减
D．若x＞0时，f（x）＝x2﹣2x，则x＜0时，f（x）＝﹣x2﹣2x
（多选）10．有以下判断，其中是正确判断的有（　　）
A．f（x）＝与g（x）＝表示同一函数
B．函数y＝f（x）的图象与直线x＝1的交点最多有1个
C．f（x）＝x2﹣2x+1与g（t）＝t2﹣2t+1是同一函数
D．若f（x）＝|x﹣1|﹣x，则f（f（））＝0
（多选）11．下列选项正确的是（　　）
A．若x≠0，则x的最小值为2
B．若正实数x，y满足x+2y＝1，则的最小值为8
C．的最小值为2
D．函数（x＜0）的最大值是0
（多选）12．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数f（x）＝，称为狄利克雷函数，则关于f（x），下列说法正确的是（　　）
A．f（x）的值域为[0，1] B．f（x）的定义域为R
C． x∈R，f（f（x））＝1 D．f（x）为偶函数
二、填空题
13．写出命题“ x＞0，x2﹣1≤0”的否定：　 　．
14．函数y＝﹣x2+2x+3（0≤x＜3）的值域是　 　．
15．函数y＝的定义域为R，则实数k的取值范围为 　 　．
16．设．
（1）当时，f（x）的最小值是　 　；
（2）若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围是　 　．
三、解答题
17．设全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤5}，集合B＝{x|﹣1﹣2a≤x≤a﹣2}．
（1）若“x∈A”是“x∈B“的充分条件，求实数a的取值范围；
（2）若命题“ x∈B，则x∈A“是真命题，求实数a的取值范围．
18．已知函数f（x）＝．
（1）证明函数f（x）在（0，+∞）上为增函数；
（2）若函数f（x）在定义域上为奇函数，求a的值．
19．（1）已知，求f（x）的解析式；
（2）已知函数f（x）是二次函数，且f（0）＝1，f（x+1）﹣f（x）＝4x，求f（x）的解析式．
20．已知函数f（x）＝|x﹣1|，g（x）＝﹣x2+2x+1．
（1）在同一坐标系中画出函数f（x），g（x）的图象；
（2）定义函数h（x）＝min{f（x），g（x）}，分别用函数图像法和解析法表示函数h（x），并写出h（x）的单调区间和值域（不需要证明）．
21．高铁、网购、移动支付和共享单车被誉为中国的“新四大发明”，彰显出中国式创新的强劲活力，某科技企业生产高速动车器械部件的月固定成本为400万元，每生产x台，另需投入成本P（x）（万元），当月产量不足70台时，p（x）＝x2+40x（万元）：当月产量不小于70台时，p（x）＝101x+﹣2060（万元）．若每台机器售价100万元，且该机器能全部卖完．
（1）求月利润y（万元）关于月产量x（台）的函数关系式；
（2）月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润．
22．已知函数f（x）＝x |x﹣a|+bx．（a，b∈R）
（Ⅰ）a＝b＝0时，
（1）求不等式f（x）＜4的解集；
（2）若对任意的x≥0，f（x+m）﹣m2f（x）＜0，求实数m取值范围；
（Ⅱ）若存在实数a，对任意的x∈[0，m]都有f（x）≤（b﹣1）x+4恒成立，求实数m的取值范围．
2022-2023学年广东省深圳市华中师大龙岗附中高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≥0}，B＝{x|﹣2≤x＜2}，则A∩B＝（　　）
A．[1，2） B．[﹣1，1] C．[﹣1，2） D．[﹣2，﹣1]
【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．
【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≥0，
解得：x≥3或x≤﹣1，即A＝（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），
∵B＝[﹣2，2），
∴A∩B＝[﹣2，﹣1]．
故选：D．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．函数f（x）＝的定义域为（　　）
A．[1，2）∪（2，+∞） B．（1，+∞）
C．[1，2） D．[1，+∞）
【分析】利用分式分母不为零，偶次方根非负，得到不等式组，求解即可．
【解答】解：由题意 解得x∈[1，2）∪（2，+∞）
故选：A．
【点评】本题是基础题，考查函数定义域的求法，注意分母不为零，偶次方根非负，是解题的关键．
3．荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这句来自先秦时期的名言．此名言中的“积跬步”是“至千里”的（　　）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据充要条件的定义即可判断．
【解答】解：由已知设“积跬步”为命题P，“至千里”为命题q，
“故不积跬步，无以至千里”，即“若 P，则 q”，
其逆否命题为“若q则P”，
反之不成立，
所以命题P是命题q的必要不充分条件，
故选：C．
【点评】本题考查了充要条件的应用，属于基础题．
4．已知集合，则集合A的子集的个数为（　　）
A．7 B．8 C．15 D．16
【分析】由≤0，可得（x+1）（x﹣2）≤0，且x≠2，解得x，根据x∈Z，可得x，A．即可得出．
【解答】解：由≤0，可得（x+1）（x﹣2）≤0，且x≠2，解得﹣1≤x＜2，
又x∈Z，可得x＝﹣1，0，1，∴A＝{﹣1，0，1}．
∴集合A的子集的个数为23＝8．
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的解法、集合之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5．已知a，b为非零实数，且a＜b，则下列命题成立的是（　　）
A．＜ B．a2b＜ab2
C．a2＜b2 D．＜
【分析】通过作差变形，利用不等式的基本性质一一判断．
【解答】解：对于A，＜0，不等式成立；
对于B，a2b﹣ab2＝ab（a﹣b），无法判断正负情况；
对于C，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），无法判断正负情况；
对于D，，无法判断正负情况．
故选：A．
【点评】本题考查不等式的基本性质，解题时应充分利用条件进行判断
6．已知函数f（x）的对应关系如表，函数y＝g（x）的图象为如图所示的曲线ABC，其中A（1，3），B（2，1），C（3，2），则f（g（2））＝（　　）
x 1 2 3
f（x） 2 3 0
A．3 B．2 C．1 D．0
【分析】根据题意，由曲线ABC可得g（2）的值，进而由图表可得f（g（2））的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，由曲线ABC可得：g（2）＝1，
则f（g（2））＝f（1）＝2；
故选：B．
【点评】本题考查函数值的计算，涉及函数的表示方法，属于基础题．
7．下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（　　）
A．y＝x2 B．y＝x﹣1 C．y＝x﹣2 D．
【分析】根据函数奇偶性的定义和函数的单调性逐项进行判断即可得到答案．
【解答】解：A、令f（x）＝x2，f（﹣x）＝x2＝f（x），所以函数为偶函数，在（0，+∞）上单调递增，A不符合题意；
B、令f（x）＝x﹣1，定义域是{x|x≠0}，则f（﹣x）＝﹣x﹣1＝﹣f（x），所以函数是奇函数，B不符合题意；
C、令f（x）＝x﹣2，定义域是{x|x≠0}，且f（﹣x）＝x﹣2＝f（x），函数则是偶函数，但在（0，+∞）上单调递减，C符合题意；
D、令f（x）＝，且f（﹣x）＝﹣＝﹣f（x），函数则是奇函数，D不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，熟练掌握各种基本初等函数的单调性和奇偶性是解答的关键．
8．函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）＝﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（　　）
A．[﹣2，2] B．[﹣1，1] C．[0，4] D．[1，3]
【分析】由已知中函数的单调性及奇偶性，可将不等式﹣1≤f（x﹣2）≤1化为﹣1≤x﹣2≤1，解得答案．
【解答】解：∵函数f（x）为奇函数．
若f（1）＝﹣1，则f（﹣1）＝1，
又∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，﹣1≤f（x﹣2）≤1，
∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1），
∴﹣1≤x﹣2≤1，
解得：x∈[1，3]，
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数的单调性，函数的奇偶性，难度中档．
（多选）9．函数f（x）是定义在R上的奇函数，下列说法正确的是（　　）
A．f（0）＝0
B．若f（x）在[0，+∞）上有最小值﹣1，则f（x）在（﹣∞，0]上有最大值1
C．若f（x）在[1，+∞）上单调递增，则f（x）在（﹣∞，﹣1]上单调递减
D．若x＞0时，f（x）＝x2﹣2x，则x＜0时，f（x）＝﹣x2﹣2x
【分析】根据题意，由奇函数的性质依次分析选项，即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，函数f（x）是定义在R上的奇函数，则f（0）＝﹣f（0），即f（0）＝0，A正确；
对于B，若f（x）在[0，+∞）上有最小值﹣1，即当x＞0时，f（x）≥﹣1，当x＜0时，有f（﹣x）＝﹣f（x）≥﹣1，变形可得f（x）≤1，即f（x）在（﹣﹣∞，0]上有最大值1，B正确；
对于C，奇函数的图象关于原点对称，若f（x）在[1，+∞）上单调递增，则f（x）在（﹣∞，﹣1]上单调递增，C错误；
对于D，当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）＝x2+2x，又由f（x）为奇函数，f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣x2﹣2x，D正确；
故选：ABD．
【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数的最值与函数的解析式，属于基础题．
（多选）10．有以下判断，其中是正确判断的有（　　）
A．f（x）＝与g（x）＝表示同一函数
B．函数y＝f（x）的图象与直线x＝1的交点最多有1个
C．f（x）＝x2﹣2x+1与g（t）＝t2﹣2t+1是同一函数
D．若f（x）＝|x﹣1|﹣x，则f（f（））＝0
【分析】根据函数的定义，对选项中的命题分析、判断正误即可．
【解答】解：对于A，f（x）＝＝的定义域是{x|x≠0}，g（x）＝的定义域是R，两函数的定义域不同，不是同一函数，A错误；
对于B，若函数y＝f（x）在x＝1处有定义，则f（x）的图象与直线x＝1的交点有1个；
若函数y＝f（x）在x＝1处没有定义，则f（x）的图象与直线x＝1没有交点；所以B正确；
对于C，f（x）＝x2﹣2x+1的定义域是R，g（t）＝t2﹣2t+1的定义域是R，两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数，所以C正确；
对于D，若f（x）＝|x﹣1|﹣x，则f（f（））＝f（|﹣1|﹣）＝f（0）＝1，所以D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查了函数的定义与应用问题，也考查了判断两函数是否为同一函数的问题，是基础题．
（多选）11．下列选项正确的是（　　）
A．若x≠0，则x的最小值为2
B．若正实数x，y满足x+2y＝1，则的最小值为8
C．的最小值为2
D．函数（x＜0）的最大值是0
【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可依次求解．
【解答】解：对于A，当x＜0时，，故A错误，
对于B，∵x＞0，y＞0，x+2y＝1，
则＝＝2++＝，当且仅当，即x＝，y＝时，等号成立，
故的最小值为8，故B正确，
对于C，令，t，
y＝在[，+∞）上单调递增，
则y的最小值为y＝，故C错误，
对于D，当x＜0时，
，当且仅当，即x＝﹣1时，等号成立，
故y＝2+x+≤0，即函数y的最大值为0，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题主要考查基本不等式的公式，属于基础题．
（多选）12．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数f（x）＝，称为狄利克雷函数，则关于f（x），下列说法正确的是（　　）
A．f（x）的值域为[0，1] B．f（x）的定义域为R
C． x∈R，f（f（x））＝1 D．f（x）为偶函数
【分析】根据函数解析式逐一判断即可．
【解答】解：因为函数f（x）＝，所以函数的定义域为R，值域为{0，1}，故A错误，B正确；
因为f（x）＝0或f（x）＝1且0与1均为有理数，所以f（f（x））＝f（0）＝1或f（f（x））＝f（1）＝1，故C正确；
函数f（﹣x）＝＝＝f（x），故f（x）为偶函数，D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查分段函数的应用，属于中档题．
二、填空题
13．写出命题“ x＞0，x2﹣1≤0”的否定：　 x＞0，x2﹣1＞0　．
【分析】根据特称命题的否定是全称命题，写出其否定命题．
【解答】解，根据特称命题的否定是全称命题，
∴命题的否定是： x＞0，x2﹣1＞0．
故答案是： x＞0，x2﹣1＞0．
【点评】本题考查了特称命题的否定．
14．函数y＝﹣x2+2x+3（0≤x＜3）的值域是　（0，4]　．
【分析】根据已知中函数的解析式及定义域，分析出函数的最大值及下界，可得函数的值域．
【解答】解：函数y＝f（x）＝﹣x2+2x+3的图象是开口朝下，且以直线x＝1为对称轴的抛物线，
由0≤x＜3得：
当x＝1时，函数取最大值4，
由f（0）＝3，f（3）＝0，得：函数值的下界为0，
故函数y＝﹣x2+2x+3（0≤x＜3）的值域是（0，4]，
故答案为：（0，4]
【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．
15．函数y＝的定义域为R，则实数k的取值范围为 　[0，4]　．
【分析】根据题意可得出kx2﹣2kx+4≥0恒成立，显然k＝0时，满足题意；k≠0时，可得出Δ＝4k2﹣16k≤0，解出k的范围，这样即可得出k的取值范围．
【解答】解：函数y＝的定义域为R等价于kx2﹣2kx+4≥0恒成立，
当k＝0时，显然成立；当k≠0时，由Δ＝4k2﹣16k≤0，得0＜k≤4，
综上，实数k的取值范围为[0，4]．
故答案为：[0，4]．
【点评】本题考查了函数定义域的定义及求法，分类讨论的思想，考查了计算能力，属于基础题．
16．设．
（1）当时，f（x）的最小值是　　；
（2）若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围是　[0，]　．
【分析】（1）当时，分别求出当x≤0和x＞0时函数的最小值，进行比较即可．
（2）先判断当x＞0时，函数的最小值为2，然后讨论a的取值范围，结合一元二次函数的最值性质进行比较即可．
【解答】解：（1）当时，当x≤0时，f（x）＝（x﹣）2≥（﹣）2＝，
当x＞0时，f（x）＝x+≥2＝2，当且仅当x＝1时取等号，
则函数的最小值为，
（2）由（1）知，当x＞0时，函数f（x）≥2，此时的最小值为2，
若a＜0，则当x＝a时，函数f（x）的最小值为f（a）＝0，此时f（0）不是最小值，不满足条件．
若a≥0，则当x≤0时，函数f（x）＝（x﹣a）2为减函数，
则当x≤0时，函数f（x）的最小值为f（0）＝a2，
要使f（0）是f（x）的最小值，则f（0）＝a2≤2，即0≤a≤，
即实数a的取值范围是[0，]，
故答案为：，[0，]．
【点评】本题主要考查函数最值的应用，解一元二次函数以及基本不等式分别求出当x＞0和当x≤0时的最值，进行比较是解决本题的关键．注意合理分类讨论．
三、解答题
17．设全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤5}，集合B＝{x|﹣1﹣2a≤x≤a﹣2}．
（1）若“x∈A”是“x∈B“的充分条件，求实数a的取值范围；
（2）若命题“ x∈B，则x∈A“是真命题，求实数a的取值范围．
【分析】（1）将充分条件转化为子集关系，利用子集的定义即可列出不等式求解．
（2）将真命题转化成B是A的子集，然后分情况讨论集合B为空集和非空集合，即可求解．
【解答】解：（1）因为“x∈A”是“x∈B“的充分条件，所以A B．
故，解得a≥7．
所以实数a的取值范围是{a|a≥7}．
（2）因为命题“ x∈B，则x∈A“是真命题，所以B A．
①当B＝ 时，﹣1﹣2a＞a﹣2，解得a＜；
②当B≠ 时，，解得，所以a∈ ．
综上所述，实数a的取值范围是{a|a＜}．
【点评】本题考查了充分条件与集合间的关系，属于基础题．
18．已知函数f（x）＝．
（1）证明函数f（x）在（0，+∞）上为增函数；
（2）若函数f（x）在定义域上为奇函数，求a的值．
【分析】（1）先设0＜x1＜x2，利用作差法比较f（x1）与f（x2）的大小即可判断；
（2）由奇函数定义可知f（﹣x）＝﹣f（x），代入即可求解a．
【解答】证明：（1）设0＜x1＜x2，
所以x1﹣x2＜0，﹣＜0，
则f（x1）﹣f（x2）＝x1﹣x2＜0，
所以f（x1）＜f（x2），
所以f（x）在（0，+∞）上为增函数；
（2）解：若函数f（x）在定义域{x|x≠0}上为奇函数，
则f（﹣x）＝﹣f（x），
所以+a＝﹣x+﹣a，
所以2a＝0，即a＝0．
【点评】本题主要考查了函数的单调性及奇偶性的应用，属于基础题．
19．（1）已知，求f（x）的解析式；
（2）已知函数f（x）是二次函数，且f（0）＝1，f（x+1）﹣f（x）＝4x，求f（x）的解析式．
【分析】（1）由＝（）2﹣1可求f（x）；
（2）先设f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），把已知条件代入可得关于a，b，c的方程，求出a，b，c，进而可求函数解析式．
【解答】解：（1）因为＝（）2﹣1，
所以f（x）＝x2﹣1，（x≥1）；
（2）设f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），
因为f（0）＝c＝1，f（x+1）﹣f（x）＝a（x+1）2+b（x+1）+c﹣ax2﹣bx﹣c＝2ax+a+b＝4x，
所以2a＝4，a+b＝0，c＝1，
所以a＝2，b＝﹣2，c＝1，f（x）＝2x2﹣2x+1．
【点评】本题主要考查了配凑法及待定系数法在函数解析式求解中的应用，属于基础题．
20．已知函数f（x）＝|x﹣1|，g（x）＝﹣x2+2x+1．
（1）在同一坐标系中画出函数f（x），g（x）的图象；
（2）定义函数h（x）＝min{f（x），g（x）}，分别用函数图像法和解析法表示函数h（x），并写出h（x）的单调区间和值域（不需要证明）．
【分析】（1）直接画图即可，
（2）根据函数h（x）的定义做出图像，结合图像写出单调区间与值域．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）函数h（x）＝min{f（x），g（x）}的图像如图所示：
解析式为h（x）＝
函数h（x）单调增区间为（﹣∞，0）和[1，2]；
单调减区间为[0，1）和（2，+∞），
（﹣∞，1]．
【点评】本题考查函数的图像，及定义域值域，属于中档题．
21．高铁、网购、移动支付和共享单车被誉为中国的“新四大发明”，彰显出中国式创新的强劲活力，某科技企业生产高速动车器械部件的月固定成本为400万元，每生产x台，另需投入成本P（x）（万元），当月产量不足70台时，p（x）＝x2+40x（万元）：当月产量不小于70台时，p（x）＝101x+﹣2060（万元）．若每台机器售价100万元，且该机器能全部卖完．
（1）求月利润y（万元）关于月产量x（台）的函数关系式；
（2）月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润．
【分析】（1）根据已知条件，分0＜x＜70，x≥70，结合利润＝销售收入﹣月固定成本﹣投入成本，即可求解．
（2）根据已知条件，结合二次函数的性质，以及基本不等式的公式，分别求解分段函数的最大值，再通过比较大小，即可求解．
【解答】解：（1）当0＜x＜70时，
，
当x≥70时，，
∴．
（2）当0＜x＜70时，，
当x＝60时，y取最大值1400万元，
当x≥70时，，
当且仅当x＝时，即x＝80，等号成立，
综上所述，当月产量为80台时，该企业能获得最大月利润，其利润为1500万元．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，以及基本不等式的公式，属于中档题．
22．已知函数f（x）＝x |x﹣a|+bx．（a，b∈R）
（Ⅰ）a＝b＝0时，
（1）求不等式f（x）＜4的解集；
（2）若对任意的x≥0，f（x+m）﹣m2f（x）＜0，求实数m取值范围；
（Ⅱ）若存在实数a，对任意的x∈[0，m]都有f（x）≤（b﹣1）x+4恒成立，求实数m的取值范围．
【分析】（I）（1）分x≥0和x＜0两种情况求解即可，（2）先判断函数的单调性，然后分m＝0，m＞0和m＜0三种情况求解；
（Ⅱ）当x＝0时，0≤4恒成立，所以当x∈（0，m]时，|x﹣a|≤﹣1恒成立，则﹣1≥0，得0＜m≤4，由|x﹣a|≤﹣1，得x﹣+1≤a≤x+﹣1，然后分0＜m≤2和2＜m≤4求出（x﹣+1）max和（x+﹣1）min，可求得结果．
【解答】解：（I）当a＝b＝0时，f（x）＝x|x|，
（1）由f（x）＜4，得x|x|＜4，
当x≥0时，x2＜4，解得0≤x＜2，
当x＜0时，﹣x2＜4恒成立，得x＜0，
综上所述：x＜2，
所以不等式f（x）＜4的解集为（﹣∞，2）；
（2）因为f（x）＝x |x|＝，
所以f（x）在R上单调递增，
当m＝0时，f（x）＜0不恒成立，
当m＞0时，由f（x+m）＝m2f（x）＜0，得f（x+m）＜m2f（x）＝f（mx），
所以x+m＜mx，所以（m﹣1）x﹣m＞0恒成立，
所以，此时m不存在，
当m＜0时，由f（x+m）＝m2f（x）＜0，得f（x+m）＜m2f（x）＝f（﹣mx），
所以x+m＜﹣mx，所以（m+1）x+m＞0恒成立，
所以，解得m＜﹣1，
综上，m＜﹣1，即实数m取值范围（﹣∞，﹣1）；
（Ⅱ）由f（x）≤（b﹣1）x+4，得x|x﹣a|≤4﹣x，
当x＝0时，0≤4恒成立，当x∈（0，m]时，|x﹣a|≤﹣1恒成立，所以|﹣1≥0，
所以﹣1≥0，得0＜m≤4，
由|x﹣a|≤﹣1，得x﹣+1≤a≤x+﹣1，
然后当0＜m≤2时，（x﹣+1）max＝m﹣+1，（x+﹣1）min＝m+﹣1，
所以m﹣+1≤a≤m+﹣1，
所以存在a满足以上不等式，则m﹣+1≤m+﹣1，解得m≤4，此时0＜m≤2，
当2＜m≤4时，（x﹣+1）max＝m﹣+1，（x+﹣1）min＝2+﹣1＝3，
所以m﹣+1≤a≤3有解，所以m﹣+1≤3，解得2＜m≤1+，
当m＝0时，x∈[0，0]，即x＝0，不等式为≤4恒成立，
综上可得0＜m≤1+，即实数m的取值范围（0，1+]．
【点评】本题考查不等式恒成立问题，通过分离变量，转化为恒成立问题，考查数学的转化能力和计算能力，属难题

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