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深圳实验学校高中部2023-2024学年度第一学期第一阶段考试
高二数学
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．若直线与平行，则与的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
3. 已知为平面的一个法向量，点为内的一点，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．点到直线的距离最大时，直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
5．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面
的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，
且，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，二面角等于，是棱上两点，
分别在半平面内，，，且，
则的长等于（ ）
A． B． C． D．
8．正四面体的棱长为，点,是它内切球球面上的两点，为正四面体表面上的动点，当线段最长时，的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．下列命题中，正确的是（ ）
A．两条不重合直线的方向向量分别是，则
B．直线的方向向量，平面的法向量是，则
C．两个不同的平面的法向量分别是，则
D．直线的方向向量，平面的法向量是，则直线与平面 所成角的大小为
10. 如图,在底面为正方形的四棱锥中,平面,,则下列说法正确的是（ ）
A．异面直线与所成的角为
B．直线与平面所成的角为
C．平面与平面的夹角为
D．点到面的距离为
11. 设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则下列说法正确的是（ ）
A．平面上存在定点使得的长度为定值 B．的最大值为
C．的最大值为 D．点到直线的距离的最大值为
12. 如图，矩形中，，，为边的中点，沿将折起，点折至处（平面），若为线段的中点，平面与平面所成锐二面角，直线与平面所成角为，则在折起过程中，下列说法正确的是（ ）
A．存在某个位置，使得
B．面积的最大值为
C．
D．三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球的表面积
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．直线，，若，则实数的值为 .
14．已知向量，，，若三向量共面，则实数 .
15．在棱长为的正方体中，点在侧面内，是的中点，若，则的面积的最小值为 .
16. 已知正方体的棱长为，是正方体表面上一动点，且，则点形成的轨迹的长度为 .
四、解答题: 本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本题满分10分）
请求出满足题意的直线方程：
（1）过定点且在两坐标轴上截距相等的直线；
（2）求经过直线和的交点，且与直线垂直的直线的方程．
18．（本题满分12分）
如图，已知平行六面体的底面是矩形，且，，，为与的交点，
设，，.
（1）用，，表示，；
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
19．（本题满分12分）
如图，在正四棱柱中，，．点分别在棱上，，，．
（1）证明：；
（2）求点到平面的距离；
20.（本题满分12分）
如图，四棱柱中，侧棱⊥底面，，
，，，为棱的中点．
（1）求平面与平面夹角的余弦值；
（2）线段上是否存在点使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．
21.（本题满分12分）
已知点和非零实数，若两条不同的直线均过点，且斜率之积为，则称直线是一组“共轭线对”，如直线 是一组“共轭线对”，其中O是坐标原点.规定相交直线所成的锐角或直角为两条相交直线的夹角.
（1）已知是一组“共轭线对”，求的夹角的最小值；
（2）已知点，直线是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点O到直线的距离之积的取值范围.
22.（本题满分12分）
如图，在四棱锥中，，且，底面是边长为的菱形，.
（1）证明：面面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，点为棱上的动点，求平面与平面夹角的正弦值的最小值.
深圳实验学校高中部2023-2024学年度第一学期第一阶段考试
高二数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1 2 3 4 5 6 7 8
C D A A B B D C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
9 10 11 12
AC ABD ABD BD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 或 14. 15. 16.
四、解答题
17.解：（1）， （2）
（1）①截距均为：设直线方程：，
直线过定点， …………………………2分
②截距不为0：设直线方程：,直线过定点
即 …………………………4分
综上，满足题意直线方程为， …………………………5分
（2）设的交点为，直线斜率为
联立，解得，
所以的交点为, …………………………7分
直线与直线垂直，直线的斜率为
…………………………8分
由点斜式可得，整理得. …………10分
18. 解：（1）因为是平行六面体，
所以， …………………2分
…………………4分
（2）因为，底面是矩形，所以，
又因为，，所以，，
因此， …………………………6分
， …………………………8分
， …………………………10分
若异面直线与所成角为，
则， ……………………………11分
因此异面直线与所成角的余弦值为． …………………………………12分
19．（1）以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，则,
, …………………2分
,， ………………4分
不在一条直线上，. …………6分
（2）法一：设平面的一个法向量为，
,
所以，设，则，
所以， …………………………8分
又因为, …………………………9分
所以点到平面的距离. …………………………12分
法二：
点到平面的距离可转化为点到平面的距离，设为， …………7分
,为等腰三角形， …………………………9分
又 , …………………………10分
即 ，所以点到平面的距离为 ……………12分
20.如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
依题意得
（1）． …………………………1分
设平面的法向量，则
令，则，
平面的一个法向量为． …………………………3分
设平面的法向量，则令，则，
平面的一个法向量为． …………………………5分
于是
平面与平面夹角的余弦值为. …………………………6分
（2），设存在符合题意的点，且，则． ……………7分
平面的一个法向量为， ……………8分
设为直线与平面所成的角，
则
……………………10分
，或（舍去） …………11分
存在点使得直线与平面所成角的正弦值为，此时.…12分
21. （1）设的斜率为，则的斜率为，两直线的夹角为，
则 ，
……………………2分
等号成立的条件是，所以直线的夹角最小值为； ……………………4分
（2）设，，其中k，
故 ……………………7分
…………………9分
由于（等号成立的条件是），故，.
………………………………………………………12分
22. 解：（1）连接交于点，连接.
因为是菱形，所以,且为的中点.
，所以. …………………1分
又平面，且，
所以平面. …………………2分
又平面，所以，平面平面. …………………3分
（2）法一：设点，则
． …………………………4分
直线与平面所成角的正弦值为，平面的一个法向量
即，解得或（舍去） …………………6分
法二：过做交于点，
平面平面，，平面平面，
面，
，
面,面,，
为的交点，为等边三角形为的重心，……………4分
， ………………………5分
面，即为直线与平面所成角，
在中，,解得, ………6分
以为原点，所在直线为轴建立如图所示坐标系
，
设平面的一个法向量为，则
，令，则，
平面的一个法向量为． …………………………7分
设,
则,,
设平面的一个法向量为，则
，令，则，
平面的一个法向量为． …………………………8分
设平面与平面夹角为，
于是，…9分
令，
则， ……………10分
当即时，， ………………11分
此时，平面与平面夹角的正弦值的最小值为. ……12分

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