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遂宁市卓同教育2023-2024学年高三上学期10月月考数学（理科）
本卷满分150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数在上可导，且，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
3.直线的倾斜角是，则的值是（ ）
A． B． C． D．1
4.下列命题中错误的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．“，”是“”的必要不充分条件
C．对于命题p：，使得，则是：，均有
D．“”是“方程（）有正实数根”的充要条件
5.若为奇函数，则的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
6.为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：汽车驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL.据仪器监测，某驾驶员喝了二两白酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中每小时末的酒精含量都比上一个小时末减少25%，那么此人在开车前至少要休息（参考数据：，）（ ）
A．4.1小时 B．4.2小时 C．4.3小时 D．4.4小时
7.已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
8.函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若关于实数t的不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9.已知函数是奇函数的导函数，且满足时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
10.已知函数，若对，，都有成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11.已知，，，其中为自然对数的底数，则（ ）
A． B． C． D．
12.已知函数，，若有6个零点，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.函数的定义域为 .
14.____________．
15.已知函数，若对恒成立，则实数a的取值范围是 ．
16.若函数与函数的图象存在公切线，则实数的取值范围为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知命题：关于的方程有实数根， 命题．
(1)若命题是真命题， 求实数的取值范围；
(2)若是的必要不充分条件， 求实数的取值范围．
18.已知，且．
(1)求的值；
(2)求的值．
19. 已知函数（，且）是奇函数，且．
（1）求，的值；
（2）若对于，不等式成立，求的取值范围．
20.已知函数．
(1)若，求在处的切线方程；
(2)当时，恒成立，求整数a的最大值．
21.已知函数，.
(1)求证：；
(2)若函数在上有唯一零点，求实数的取值范围.
选做题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22.在平面直角坐标系中，射线的方程为，曲线的方程为.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求射线和曲线的极坐标方程；
(2)若射线与曲线交于点，将射线绕极点按逆时针方向旋转交于点，求的面积.
23．已知不等式的解集为．
(1)求实数的值；
(2)若，且，求的最小值．
卓同教育高2021级高三10月数学（理科)答案
一、选择题：
1．B 2．D 3. C 4.D 5. D 6.B 7. C 8.A 9.D 10. C 11.A 12.B
12.由题可得函数图象，当或时，有两个解；
当时，有4个解；当时，有3个解；
当时，有1个解；
因为最多有两个解.
因此，要使有6个零点，则有两个解，设为，.
则存在下列几种情况：
①有2个解，有4个解，即或，，显然，
则此时应满足，即 ，解得，
②有3个解，有3个解，设即，，
则应满足，无解，舍去，综上所述，的取值范围为.故选：B.
二、填空题：
13. 14. 15. 16.
16.解：由函数，可得，因为，设切点为，则，
则公切线方程为，即，与联立可得，所以，整理可得，
又由，可得，解得，令，其中，可得，令，可得，
函数在上单调递增，且（1），当时，，即，此时函数单调递减，当时，，即，此时函数单调递增，
所以（1），且当时，，
所以函数的值域为，，
所以且，解得，即实数的取值范围为．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.【详解】（1）解：因为命题是真命题，所以命题是假命题．
所以方程无实根，
所以．
即，即，解得或，
所以实数a的取值范围是．
（2）解：由（1）可知：，
记，，
因为是的必要不充分条件，所以 ，所以（等号不同时取得），
解得，所以实数的取值范围是．
18.【详解】（1）因为，，
所以，，
故
（2）因为，所以.
因为，所以，
所以
19.【小问1详解】因为函数是奇函数，所以，
即，得，所以，，得或（舍），综上，，；
【小问2详解】由（1）知，，则恒成立，，，
所以，对恒成立，即恒成立，
设，函数由外层函数和内层函数复合而成，
当，，单调递增，当，单调递增，
所以根据复合函数的单调性可知，函数单调递增，最小值为，
即，则.
20.【详解】（1）若，则，，则切点坐标为，
，则切线斜率，
所以切线方程为，即．
（2）由，得，
当时，，；当时，，
设，，
设，，则在单调递增，
，，所以存在使得，即．
时，，即；时，，即，
则有在单调递减，在单调递增，，
所以，
因为，所以，所以整数a的最大值为4．
21.【详解】（1）证明：由于，则等价于.
令，则，令，则，
因为，所以，即在上为增函数，
所以，故为增函数，
所以，即成立.
（2）设，由于，则，
所以在上为增函数，所以，即.
又由于，由，得，
由（1）知当时，，
此时，当时，函数没有零点，不合题意，故舍去.
当时，因为，所以，
设，.
当时，恒成立，所以即单调递增.
当时，设，.
因为，，所以，所以即单调递增.
又，，
因此在上存在唯一的零点，且.
当时，，所以即单调递减；
当时，，所以即单调递增.
又，，，
因此在上存在唯一的零点，且.
当时，，所以单调递减；
当时，，所以单调递增.
又，，，
所以在上没有零点，在上存在唯一零点，因此在上有唯一零点.
综上，的取值范围是.
选做题：共10分。
21.【详解】（1）将，代入得，
所以，所以射线的极坐标方程为，将，代入得，所以曲线的极坐标方程为.
（2）由题意可设点的极坐标为，点的极坐标为，
则，，因为，，所以，
所以.
22.【详解】（1）当时，不等式的解集为，不合题意；
当时，不等式的解集为，不合题意;当时，，即，
因为不等式的解集为，所以.
（2）由(1)知，，
设，，则.
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.

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