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第四章 数列
大单元思维知识整合
1.数列的通项公式：如果数列的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
2.数列的递推公式：若一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，则这个式子叫做这个数列的递推公式. 知道了首项和递推公式，就能求出数列的每一项了.
3.数列的前n项和：
①数列的前n项和的定义：数列从第1项起到第项止的各项之和，称为数列的前n项和，记作，即.
②数列的前n项和公式：如果数列的前项和与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前项和公式.
③由求通项公式：，，所以
4.等差数列的概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.例如，数列①的公差.
5.等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列. 这时，A叫做a与b的等差中项. 根据等差数列的定义可以知道，.
6.等差数列的通项公式：首项为，公差为d的等差数列的通项公式为.
7.等差数列前项和公式：，.
8.等比数列的概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（显然）.
9.等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项. 此时，.
10.等比数列的通项公式：首项为，公比为q的等比数列的通项公式为.
11.等比数列的前n项和公式：当时，或.
大单元综合试题训练
1.若数列的前4项分别是，，，，则此数列一个通项公式为( ).
A. B. C. D.
2.在等差数列中，，，则公差( ).
A.1 B.2 C.-1 D.-2
3.在等比数列中，若，，则的值为( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
4.已知等差数列，其前n项的和为，，则( ).
A.24 B.36 C.48 D.64
5.在等比数列中，，，则( )
A.512 B.1024 C.512或-512 D.1024或-1024
6.已知是等比数列的前n项和，若存在，满足，，则数列的公比为( )
A.-0 B.2 C.-3 D.3
7.定义：在数列中，若满足(，d为常数)，称为“等差比数列”，已知在“等差比数列”中，，，则等于( ).
A. B. C. D.
8.已知数列满足，，，数列满足，则数列的前2021项的和为( )
A. B. C. D.
9.（多选）等差数列是递增数列，满足，前n项和为，下列选项正确的是( ).
A. B.
C.当时最小 D.时n的最小值为8
10.（多选）已知正项等比数列满足，，若设其公比为q，前n项和为，则( )
A. B. C. D.
11.在等比数列中，设前n项和为，若，，则公比___________.
12.已知是等差数列，是其前n项和，，，则的值为___________.
13.数列中，已知，，若，则数列的前6项和为___________.
14.定义数列：，且当时，设，则_________.
15.已知数列的前n项和，为单调递增的等比数列，，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
答案以及解析
1.答案：A
解析：设所求数列为，可得出，，，，因此该数列的一个通项公式为.故选A.
2.答案：D
解析：因为，所以.
故选D.
3.答案：B
解析：.
4.答案：B
解析：由等差数列的性质可得，则，故.故选B.
5.答案：A
解析：设等比数列的公比为q，所以，所以.故选A.
6.答案：B
解析：设数列的公比为q，若，则，与题中条件矛盾，故.，.，，，.故选B.
7.答案：C
解析：由题意可得，，，根据“等差比数列”的定义可知数列是首项为1、公差为2的等差数列，则，所以，，则.故选C.
8.答案：D
解析：因为，故数列为等比数列，设公比为q，
由，，得，所以，则，
所以，故选D.
9.答案：ABD
解析：A，B：由题意可设等差数列的公差为d，因为，可得，解得，又由等差数列是递增数列，可知，则，故A，B正确.
C：，由可知，当或4时最小，故C错误.
D：令，解得或，即时n的最小值为8，故D正确.
故选ABD.
10.答案：ABD
解析：A项，由两端同除以，得，解得或-1.又是正项等比数列，所以，故A项正确；
B项，，故B项正确；
C项，，故C项错误；
D项，，故D项正确.
11.答案：3
解析：，，两式相减得，.
12.答案：168
解析：数列是等差数列，设其公差为d.由已知可得，，则，所以，即.
13.答案：32
解析：因为数列中，，，，所以，，，，，，解得，则数列的前6项和为.
14.答案：
解析：因为
所以，所以为等比数列.
由，可得，所以，从而.
所以
当n为偶数时，；
当n为奇数时，.
所以
15.答案：(1)，
(2)
解析：(1)当时，，
当时，，符合上式，
所以.
因为为等比数列，所以，解得.
设的公比为q，则，，而，
由得，
解得或.
因为单调递增，所以，
从而.
(2)因为，
所以
.
2

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