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第五章 一元函数的导数及其应用
——2023-2024学年数学人教A版(2019)选择性必修第二册
大单元思维强化
大单元思维知识整合
1.基本初等函数的八个导数公式
原函数 导函数
αxα－1
2.导数的四则运算法则
（1）；
（2）；
（3）.
3.复合函数的求导公式
设函数均可导，则复合函数也可导，且.
即：因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量求导，乘以中间变量对自变量求导.（链式法则）.
4.切线的斜率
函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，因此曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).
5.函数的单调性
在某个区间(a，b)内，如果f′(x0)>0那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x0)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减.
6.函数的极值
a.函数的极值的定义：一般地，设函数f（x）在点x=x0及其附近有定义，
（1）若对于x0附近的所有点，都有f（x）（2）若对于x0附近的所有点，都有f（x）f（x0），则f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0）.
极大值与极小值统称为极值，在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.
b.求函数极值的基本步骤：
（1）确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）求方程的根；
（4）检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f（x）在这个根处取得极大值；如果左正右负，则f（x）在这个根处取得极小值（最好通过列表法）.
7.函数的最值
（1）函数的最小值与最大值定理
若函数y=f（x）在闭区间[a，b]上连续，则f（x）在[a，b]上必有最大值和最小值；在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值，如.
（2）通过导数求数最值的的基本步骤：
若函数y=f（x）在闭区间[a，b]有定义，在开区间（a，b）内有导数，则求函数
y=f（x）在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：
①求函数f（x）在（a，b）内的导数；
②求方程f（x）=0在（a，b）内的根；
③求在（a，b）内使f（x）=0的所有点的函数值和f（x）在闭区间端点处的函数值f（a），f（b）；
④比较上面所求的值，其中最大者为函数y=f（x）在闭区间[a，b]上的最大值，最小者为函数y=f（x）在闭区间[a，b]上的最小值.
大单元综合试题训练
1.已知函数，则的值为( )
A.-2 B.0 C.-4 D.-6
2.已知函数的图象在点处的切线过点，则( )
A.-1 B.-2 C.1 D.2
3.已知函数，则( )
A. B.1 C. D.
4.已知函数在区间上有极值，则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.已知函数在上为减函数，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.已知函数(e为自然对数的底数)，若在区间上有两个不相等的实数根，则m的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.已知函数若函数有三个零点，则( ).
A. B. C. D.
8.定义在上的函数的导函数为，满足，，且当时，，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
9.（多选）已知是的导函数，且，则( )
A.
B.
C.的图象在处的切线的斜率为0
D.在上的最小值为1
10.（多选）已知函数有两个极值点，，则下列说法正确的是( )
A.
B.曲线在点处的切线可能与直线垂直
C.
D.
11.已知函数，过点作曲线的切线l，则l的方程为________.
12.若定义在R上的函数满足，，则不等式的解集为__________________.
13.已知函数的极小值为a，则a的值为_________.
14.已知函数有2个不同零点(其中e是自然对数的底数)，则m的取值范围是___________.
15.已知函数.
(1)若在定义域内单调递增，求a的取值范围；
(2)当时，若存在唯一零点，极值点为，证明：.
答案以及解析
1.答案：D
解析：因为，所以，解得，所以，所以，故选D.
2.答案：C
解析：由题意得，，则函数的图象在点处的切线方程为.因为函数的图象在点处的切线过点，所以，解得，故选C.
3.答案：C
解析：，，，当时，.
4.答案：B
解析：由题意，得，设.因为函数在区间上有极值，所以在上有变号零点，即在上有解，令，由，得，即，得到，解得.
5.答案：B
解析：，.
因为函数在上为减函数，
所以在上恒成立，即，
所以.
设，，
所以当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，故，
所以，故选B.
6.答案：C
解析：因为，记，则.
当时，，所以函数在上单调递减.
又，所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
当时，有极大值也是最大值，.
若在上有两解，应有，，
所以，此时，所以在上有两解成立，故选C.
7.答案：C
解析：由题意可得，的图象与直线有三个交点，
当时，，则，
在上，单调递增，在上，单调递减，
当时，有最大值，最大值为，且在上，，在上，，当时，，函数单调递增，
的图象如图所示.
由图知，要使函数有三个零点，则.故选C.
8.答案：A
解析：令，则，可得，所以是上的奇函数，，当时，，所以，在上单调递增，所以在上单调递增.因为，所以由可得，即.由在上单调递增，可得解得，所以不等式的解集为，故选A.
9.答案：BC
解析：，，令，则，故B正确；则，，
，故A错误；
的图象在处的切线的斜率为，故C正确；
，当时，，单调递减，当时，，单调递增，在上的最小值为，故D错误.故选BC.
10.答案：ACD
解析：对于A项，由题得，令，则，令得，易得在上单调递增，在上单调递减，所以，由题意可知有两个变号零点，故，即，故A项正确；对于B项，曲线在点处的切线的斜率，若该切线与直线垂直，则，即，与矛盾，故B项不正确；对于C项，由题易知，即，则，由A项可知，所以利用二次函数的性质可得，故C项正确；对于D项，由题易知，即，则，即，要证，只需证，即证，设，则只需证，构造函数，则，所以在上单调递增，故，所以，故D项正确.故选ACD.
11.答案：
解析：由题意可设切点坐标为，因为，所以，所以切线l的斜率，
整理得，，则，所以l的方程为，即.
12.答案：
解析：构造函数，则，
函数满足，
，故在R上单调递增.
又，，不等式，即，
由在R上单调递增，可知.
13.答案：e
解析：由题，，若，则当时，，单调递增，此时不存在极值，不符合题意，所以，易知在上单调递增，且当时，，当时，，所以存在唯一的，使得.当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以的极小值，因为，所以，即，设，因为，所以在上单调递减，又1，所以，从而.
14.答案：
解析：设
则函数有2个不同零点，即函数与有2个不同交点.
当时，，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，作出函数的大致图象如图所示，
根据图象可知，实数m的取值范围是.
15.答案：(1)取值范围为.
(2)证明过程见解析.
解析：(1)由题，，
因为在定义域内单调递增，因此恒成立.
当时，，不满足题意.
当时，，满足题意.
当时，即，得，
设，则，
注意到函数单调递减，
且时，，因此在时，单调递增，
在时，单调递减，得，
从而，得.
综上，a的取值范围为.
(2)，当时单调递增，
而，，
因此存在，使得，
且时，）单调递减，
当时，单调递增，
且，
故存在，使得.
要证明，只需证明，
即证.
由，得，
因此只需证明，
即证，
先证明：，
即证，
即证，
设，
则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，
即.
接下来证明.
即证，
设，
则，
设，
则，
故单调递减，，
从而单调递减，故，即.
因此，
即不等式成立，故.
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