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第二章 直线和圆的方程
——2023-2024学年数学人教A版(2019)选择性必修第一册
大单元思维强化
大单元思维知识整合
1.直线的有关问题
(1)直线的斜率公式
①已知直线的倾斜角为α(α≠90°)，则直线的斜率为k＝tan α．
②已知直线过点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x2≠x1)，则直线的斜率为k＝　(x2≠x1)．
(2)三种距离公式
①两点间的距离：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝．
②点到直线的距离：点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝．
③两平行线的距离：若直线l1，l2的方程分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两平行线的距离d＝．
(3)直线与圆相交时弦长公式
设圆的半径为R，圆心到弦的距离为d，则弦长l＝2．
(4)直线方程的五种形式
①点斜式：y－y0＝k(x－x0)．
②斜截式：y＝kx＋b．
③两点式：＝．
④截距式：＋＝1　 (a≠0，b≠0)．
⑤一般式：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)．
(5)直线的两种位置关系
①当不重合的两条直线l1和l2的斜率存在时：
(ⅰ)两直线平行：l1∥l2 k1＝k2．
(ⅱ)两直线垂直：l1⊥l2 k1·k2＝－1．
②当两直线方程分别为l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0时：
(ⅰ)l1与l2平行或重合 A1B2－A2B1＝0．
(ⅱ)l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0．
2.圆的三种方程
①圆的标准方程：．
②圆的一般方程：．
③圆的直径式方程：(圆的直径的两端点是)．
3.判断直线与圆的位置关系的方法
①代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：Δ>0 相交，Δ<0 相离，Δ＝0 相切．
②几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d，则dr 相离，d＝r 相切．(主要掌握几何方法)．
4.两圆圆心距与两圆半径之间的关系与两圆的位置关系
设圆O1半径为r1，圆O2半径为r2.
圆心距与两圆半径的关系 两圆的位置关系
|O1O2|<|r1－r2| 内含
|O1O2|＝|r1－r2| 内切
|r1－r2|<|O1O2|<|r1＋r2| 相交
|O1O2|＝|r1＋r2| 外切
|O1O2|>|r1＋r2| 外离
大单元综合试题训练
1.若直线与直线垂直，则过点( )
A. B. C. D.
2.若动点A，B分别在直线和上移动，则线段AB的中点M到原点的距离的最小值为( )
A. B. C. D.
3.圆关于直线对称的圆的方程为( )
A. B.
C. D.
4.已知直线l过点且与直线平行，则直线l的方程为( )
A. B. C. D.
5.直线分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.已知圆，过点的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7.已知圆和圆有且仅有4条公切线，则实数m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短 在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为( )
A. B.5 C. D.
9.（多选）已知直线与圆，则( )
A.直线l与圆C相离
B.直线l与圆C相交
C.圆C上到直线l的距离为1的点共有2个
D.圆C上到直线l的距离为1的点共有3个
10.（多选）已知动直线与圆相交于A，B两点，则下列说法正确的是( )
A.直线l过定点 B.圆C的圆心坐标为
C.弦AB的最小值为 D.弦AB的最大值为4
11.已知直线与相交于点，则_________.
12.已知直线在x轴上的截距为3，则直线在y轴上的截距为__________.
13.已知圆，点M的坐标为，过点作直线l交圆C于A，B两点，则的最小值为__________.
14.为保护环境，建设美丽乡村，镇政府决定为A，B，C三个自然村建造一座垃圾处理站，集中处理A，B，C三个自然村的垃圾，受当地条件限制，垃圾处理站M只能建在与A村相距，且与C村相距的地方.已知B村在A村的正东方向，相距，C村在B村的正北方向，相距，则垃圾处理站M与B村相距__________.
15.已知圆，点.
(1)若，半径为1的圆N过点P，且与圆M外切，求圆N的方程；
(2)若过点P的两条直线被圆M截得的弦长均为，且与y轴分别交于点S，T，，求t.
答案以及解析
1.答案：C
解析：依题意，得，所以，所以直线为，所以直线过点.故选C.
2.答案：A
解析：依题意知，线段AB的中点M的集合为与直线和距离都相等的直线，则点M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离.设点M所在直线的方程为，则根据平行线间的距离公式得，即，解得，所以.根据点到直线的距离公式得，点M到原点的距离的最小值为.故选A.
3.答案：D
解析：由圆可知其圆心为，半径为.设点关于直线对称的点为，则解得所以所求圆的圆心为.又所求圆的半径为，所以圆关于直线对称的圆的方程为.故选D.
4.答案：C
解析：方法一：因为直线l与直线平行，所以直线l的斜率为.又直线l过点，所以直线l的方程为，即.故选C.
方法二：因为，所以可设.又l过点，所以，解得.所以直线l的方程为.故选C.
5.答案：A
解析：由直线得，，所以.因为圆的圆心为，所以圆心到直线的距离为，所以点P到直线的距离的取值范围为，即，所以.故选A.
6.答案：B
解析：将点的坐标代入圆的方程，可得，则点在圆内.由垂径定理可知，过该点的直线被圆所截得的最短弦长为与过该点的直径垂直的直线交于圆的弦长.如图，圆心A到直线的距离.因为的半径为3，，所以在中，由勾股定理，得，所以弦长的最小值为2.故选B.
7.答案：A
解析：圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径.根据题意得，圆，外离，则，即，所以.故选A.
8.答案：A
解析：如图，设点关于直线的对称点为.在直线上取点P，连接PC，则.由题意，得解得则点，所以，当且仅当A，P，C三点共线时等号成立，所以“将军饮马”的最短总路程为.故选A.
9.答案：BD
解析：由圆，可知其圆心坐标为，半径，所以圆心到直线的距离，则，所以直线l与圆C相交，所以圆C上到直线l的距离为1的点共有3个，故A，C错误，B，D正确.选BD.
10.答案：ACD
解析：对于A，直线，即.令解得则直线l过定点，故A正确.对于B，圆，即，圆心坐标为，故B错误.对于C，因为，所以直线l所过定点在圆的内部.因为，所以弦AB的最小值为，故C正确.对于D，弦AB的最大值为圆C的直径4，故D正确.选ACD.
11.答案：-1
解析：把点M的坐标分别代入直线和直线的方程，得，，则，，所以.
12.答案：
解析：由题意知，直线过点，所以，解得.所以直线方程为，即.令，得.故直线在y轴上的截距为.
13.答案：8
解析：如图，取AB的中点H，连接CH，可得，点H的轨迹是以CN为直径的圆，圆心为，半径，则，可得，即的最小值为8.
14.答案：或
解析：如图，以A为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则，，.以A为圆心，5为半径作圆A，以C为圆心，为半径作圆C，则圆A的方程为，圆C的方程为，即，所以两圆的公共弦方程为.设，则解得或则或.所以或.
15.答案：(1)或
(2)
解析：(1)设圆N的圆心为.
由题意知，圆M的圆心为，半径，
则解得或
因此，圆N的方程为或.
(2)若过点P的直线斜率不存在，则该直线的方程为，
此时圆心M到直线的距离为3，直线与圆不相交，不符合题意.
设过点P且斜率存在的直线的方程为，即.
由题意，得，
整理，得.
设直线PS，PT的斜率分别为，，
则，为关于k的一元二次方程的两个根，，
所以，.
在直线PS的方程中，令，得，则点；
在直线PT的方程中，令，得，则点.
所以，
解得.
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