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第一章 空间向量与立体几何
——2023-2024学年数学人教A版(2019)选择性必修第一册
大单元思维强化
大单元思维知识整合
1.空间向量的概念
（1）空间向量及空间向量的模：空间中具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.
（2）空间向量的表示：用字母a，b，c，…表示，或用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，a的起点是A，终点是B，则a也可记作，其模记为或.
（3）零向量：规定长度为0的向量叫零向量，记为0.
（4）单位向量：模为1的向量叫单位向量.
（5）相反向量：与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为-a.
（6）共线向量：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.
规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有.
（7）相等向量：方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.
2.空间向量的运算律
a.空间向量的加法、减法及数乘运算：
（1）；
（2）；
（3）当时，；
当时，；
当时，.
b.空间向量线性运算的运算律：
交换律：；
结合律：，；
分配律：，.（其中，）
3.共线向量和共面向量
（1）共线向量：对任意两个空间向量a，b（），的充要条件是存在实数，使.
（2）直线的方向向量： O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得.把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量.
（3）共面向量：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l. 如果直线OA平行于平面或在平面内，那么称向量a平行于平面.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使.
4.空间向量的数量积运算
1.空间向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作，，则叫做向量a，b的夹角，记作. 如果，那么向量a，b互相垂直，记作.
2.空间向量的数量积：已知两个非零向量a，b，则叫做a，b的数量积，记作.即. 特别地，零向量与任意向量的数量积为0.
由向量的数量积定义，可以得到：；.
3.空间向量数量积的运算律：，；（交换律）；（分配律）.
5.空间向量基本定理
（1）空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z）.使得.
（2）如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是.这个集合可看作由向量a，b，c生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
（3）单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示.
（4）正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解
6.空间向量及其运算的坐标表示
（1）空间直角坐标系
在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}.以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分.
（2）空间向量运算的坐标表示
空间向量运算的坐标表示：设，，则
，
，
，，
.
空间向量的平行、垂直、长度和夹角余弦的坐标表示：
当时，，，；
；
；
.
空间两点间的距离公式：设，是空间中任意两点，则.
7.用空间向量研究直线、平面的位置关系
（1）空间直线的向量表示式
取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使 ①，将代人①式，得 ②，①式和②式都称为空间直线的向量表示式. 由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.
（2）空间平面的向量表示式
取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，使 ③. 我们把③式称为空间平面ABC的向量表示式. 由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.
（3）空间中直线、平面的平行
①直线与直线平行：设，分别是直线，的方向向量，由方向向量的定义可知，如果两条直线平行，那么它们的方向向量一定平行；反过来，如果两条直线的方向向量平行，那么这两条直线也平行，所以，使得.
②直线与平面平行：设u是直线l的方向向量，n是平面的法向量，，则.
③平面与平面平行：设，分别是平面，的法向量，则，使得.
（4）空间中直线、平面的垂直
①直线与直线垂直：设直线，的方向向量分别为，，则.
②直线与平面垂直：直线l的方向向量为u，平面的法向量为n，则，使得.
③平面与平面垂直：设平面，的法向量分别为，，则.
8.点到直线的距离
如图，向量在直线l上的投影向量为，设，则向量在直线l上的投影向量. 在中，由勾股定理，得.
9.点到平面的距离
如图，已知平面的法向量为n，A是平面内的定点，P是平面外一点. 过点P作平面的垂线l，交平面于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面的距离就是在直线l上的投影向量的长度. 因此
.
10.异面直线所成的角
若异面直线，所成的角为，其方向向量分别是u，v，则.
11.直线与平面所成的角
直线AB与平面相交于点B，设直线AB与平面所成的角为，直线AB的方向向量为u，平面的法向量为n，则.
12.二面角
若平面，的法向量分别是和，则平面与平面的夹角即为向量和的夹角或其补角.设平面与平面的夹角为，则
大单元综合试题训练
1.已知点，，则线段AB上靠近点A的三等分点的坐标为( )
A. B. C. D.
2.如图，在正方体中，点E是的中点，点F在线段AE上，且，则( )
A. B.
C. D.
3.空间四边形OABC中，，，则的值是( )
A. B. C. D.0
4.如图，在平行六面体中，M是与的交点，若，，，且，则( )
A.1 B. C.0 D.-1
5.已知向量，单位向量b满足，则a，b的夹角为( )
A. B. C. D.
6.如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面ABCD，E为PD的中点，，，建立恰当的空间直角坐标系，则下列向量是平面ACE的一个法向量的是( )
A. B. C. D.
7.如图，在直三棱柱中，，，D为上一点.若二面角的大小为，则AD的长为( )
A. B. C.2 D.
8.已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为4，E为的中点，则点到平面BDE的距离为( )
A. B.2 C. D.
9.（多选）如图所示，在一个密封的长方体装置中放一个棱长为1的正方体礼盒，已知，，的长分别为2，3，4.现以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系Dxyz，则( )
A.
B.的中点坐标为
C.在方向上的投影的数量为
D.的长为
10.（多选）如图，菱形ABCD的边长为2，，E为边AB的中点，将沿DE折起，使A到，且，平面与平面的交线为l，则下列结论中正确的是( )
A.平面平面
B.
C.BC与平面所成角的余弦值为
D.二面角的余弦值为
11.设，，若，则___________.
12.已知，，，若且，则点Q的坐标为_________.
13.如图，已知四边形ABCD为圆柱的轴截面，，E，F为上底面圆上的两个动点，且EF过圆心G，当三棱锥的体积最大时，直线AC与平面BEF所成角的正弦值为_________.
14.如图，某空间几何体由一个直三棱柱和一个长方体组成，若，，P，Q，M，N分别是棱，，，的中点，则异面直线PQ与MN所成角的余弦值是___________.
15.如图1，在平面图形ABCDE中，，，，，沿BD将折起，使点C到F的位置，且，，如图2.
(1)求证：平面平面AEG.
(2)线段FG上是否存在点M，使得平面MAB与平面AEG所成角的余弦值为 若存在，求出GM的长；若不存在，请说明理由.
答案以及解析
1.答案：B
解析：设线段AB上靠近点A的三等分点为，由题可得，即，所以解得即点.故选B.
2.答案：D
解析：由题意知，，，，，，所以.
3.答案：D
解析：因为，所以，所以.故选D.
4.答案：A
解析：，又，所以由空间向量基本定理，知，，，所以.
5.答案：C
解析：因为，所以.又，所以，即，所以，则.所以.又，所以.故选C.
6.答案：C
解析：因为底面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直.如图，以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Axyz，
则，，，所以，.设为平面ACE的一个法向量，则即令，得，故A，B均不正确；令，得，故C正确，D不正确.
7.答案：A
解析：如图，以C为原点，CA，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
设，则，，，，，
所以，，.
易知平面的一个法向量为.
设平面的法向量为，
则即取，则，，
所以平面的一个法向量为.
由题意知，解得.故选A.
8.答案：D
解析：如图，以D为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，.
设平面BDE的法向量为，则
令，则，，即.
所以点到平面BDE的距离.故选D.
9.答案：AD
解析：对于A，因为，所以，故A正确.
对于B，，，则的中点坐标为，故B错误.
对于C，，，，所以在方向上的投影的数量为，故C错误.
对于D，，，，，故D正确.
10.答案：ABD
解析：对于A，在菱形ABCD中，连接，，是正三角形，E为边AB的中点，.又，，，，平面，又，平面，平面，平面平面，故A正确.
对于B，，平面，平面，平面与平面的交线为l，平面，，故B正确.
对于C，，，平面，，以E为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，平面，是平面的一个法向量，设BC与平面所成角为，则，，故C错误.
对于D，平面，是平面的一个法向量，，，设平面的一个法向量为，则取，得，，由图形可知二面角为锐角，其余弦值为，故D正确.
11.答案：9
解析：由，得，
解得，，，.
12.答案：或
解析：设，则，.因为且，所以或，所以或，所以或解得或故点Q的坐标为或.
13.答案：
解析：连接AG，BG，因为，的值不变，所以当EF垂直CD时，三棱锥的体积最大.设下底面中心为O，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，.设平面BEF的一个法向量为，则可得令，则.设直线AC与平面BEF所成角为，则.
14.答案：
解析：以D为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，.因为，，所以为等腰直角三角形，所以也为等腰直角三角形.又平面与平面均与x轴垂直，所以，.又P，Q，M，N分别是，，，的中点，所以，，，，所以，，所以，所以直线PQ与直线MN所成角的余弦值为.
15.答案：(1)证明见解析
(2)线段FG上存在点M，使得平面MAB与平面AEG所成角的余弦值为，且
解析：(1)因为，所以，
又，所以.
因为，，
所以四边形ABDE为等腰梯形，
又，所以，
所以，所以，即，
因为，，平面AEG，所以平面AEG，
又平面GEBF，所以平面平面AEG.
(2)由(1)知EA，EB，EG两两互相垂直.
以E为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，四边形GEBF是矩形，所以，
即，，.
假设线段FG上存在点M满足题意，
令，则，，.
设平面MAB的一个法向量为，
则令，则.
由题知平面AEG的一个法向量为.
设平面MAB与平面AEG所成角为，
则，，
所以，所以，即.
综上，线段FG上存在点M，使得平面MAB与平面AEG所成角的余弦值为，且.
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