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第二章 一元二次函数、方程和不等式
——2023-2024学年数学人教A版(2019)必修第一册
大单元思维强化
大单元思维知识整合
1.不等式的基本性质
性质1 如果，那么；如果，那么.即.
性质2 如果，，那么.即.
性质3 如果，那么.
性质4 如果，，那么；如果，，那么.
性质5 如果，，那么.
性质6 如果，，那么.
性质7 如果，那么.
2.两个实数比较大小的方法
（1）作差法
；；.
（2）作商法
；；.
3．不等式的倒数和分式性质
（1）倒数性质：，.
（2）有关分式的性质：若，
则；.
4.基本不等式
（1）若，，当且仅当时，等号成立.
其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数.
（2）基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
5.利用基本不等式求最值
已知，
（1）当时，，，当且仅当a=b时等号成立.
（2）当时，，，当且仅当a=b时等号成立.
（3）连续使用基本不等式时，等号要同时成立.
6.不等式的恒成立，能成立，恰成立等问题
（1）恒成立问题：若在区间D上存在最小值，则不等式在区间D上恒成立.
若在区间D上存在最大值，则不等式在区间D上恒成立.
（2）能成立问题：若在区间D上存在最大值，则在区间D上存在实数x使不等式成立.
若在区间D上存在最小值，则在区间D上存在实数x使不等式成立.
（3）恰成立问题：不等式恰在区间D上成立，的解集为D,
不等式恰在区间D上成立，的解集为D,
大单元综合试题训练
1.若，，则与的大小关系是( )
A. B.
C. D.随x值变化而变化
2.一元二次不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
3.已知，则的最小值为( )
A.16 B.18 C.20 D.22
4.下列命题正确的是( )
A.若，则
B.若，，则
C.若，，则
D.若，，则
5.对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为900元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为了使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )
A.30件 B.60件 C.80件 D.100件
7.关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围是( )
A.或 B.
C. D.
8.已知，，若不等式恒成立，则实数m的最大值为( )
A.6 B.9 C.12 D.15
9.（多选）已知a，b，c均为实数，则下列说法正确的是( )
A.若，则 B.若，则
C.若，则， D.若，，则
10.（多选）已知关于x的不等式，则下列说法中正确的是( )
A.若，则不等式的解集为R
B.若，则不等式的解集为或
C.若，则不等式的解集为或
D.若，则不等式的解集为或
11.若，，则的最小值为__________.
12.给出下列四个命题：
①若，，则；
②若，则；
③若，则；
④若，则.
其中是正确命题的为____________(填所有正确命题的序号).
13.已知，，其中.若q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是__________.
14.已知正实数x，y满足，且恒成立，则t的取值范围是___________.
15.为发展空间互联网，抢占6G技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入，据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入为万元.
（1）要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少人？
（2）是否存在实数m，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
答案以及解析
1.答案：A
解析：因为，所以，故选A.
2.答案：D
解析：即，解得.因此，不等式的解集是.故选D.
3.答案：B
解析：方法一：因为，所以，则，当且仅当，即时取等号，故的最小值为18.
方法二：因为，所以，则，当且仅当，即时取等号，故的最小值为18.
4.答案：B
解析：取，，则，故A错误.若，因为，所以；若，因为，所以，所以.综上所述，当时，成立，故B正确.取，，，，则，故C错误.取，，，，则，故D错误.选B.
5.答案：D
解析：因为对任意的，都有恒成立，所以对任意的恒成立.设，因为，所以，所以当，即时，，所以实数a的取值范围是.故选D.
6.答案：B
解析：根据题意，生产x件产品的生产准备费用与仓储费用之和为，则平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为.由基本不等式，得，当且仅当，即时，取得最小值，所以当时，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小.故选B.
7.答案：C
解析：因为关于x的不等式的解集为，所以关于x的不等式的解集为R.当，即时，，解集为R成立；当，即时，，解得.综上所述，实数a的取值范围是.故选C.
8.答案：C
解析：因为，，不等式恒成立，所以恒成立，
又，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为12，所以，即实数m的最大值为12.
9.答案：ABD
解析：因为，所以，，所以，故A正确；若，则，，所以，故B正确；令，，满足，不满足，故C错误；因为，，所以，故D正确.
10.答案：BCD
解析：关于x的不等式可转化为，即①.若，则①式转化为，此时不等式的解集为，故A错误；若，则①式转化为，此时不等式的解集为或，故B正确；若，则，此时不等式的解集为或，故C正确；若，则，此时不等式的解集为或，故D正确.
11.答案：
解析：因为，，所以，当且仅当且，即时等号成立，所以的最小值为.
12.答案：②④
解析：对于①，只有a，b，c，d同时为正数，不等式才具有同向可乘性，此题没有说明a，b，c，d的符号，故①错误；对于②，由，可得，所以可以得出，故②正确；对于③，若，则，，故③错误；对于④，由可得，，故④正确.
13.答案：
解析：p：即，解得，即不等式的解集为.，其中，解得，即不等式的解集为.因为q是p的必要不充分条件，所以p能推出q，但q推不出p，所以，即且等号不同时成立，解得.
14.答案：或
解析：由，得.因为，所以，所以，，当且仅当时，等号成立，故.因为恒成立，所以，解得或.故t的取值范围是或.
15.答案：（1）调整后的技术人员最多有75人
（2）存在实数m满足条件，且实数m的值为7
解析：（1）依题意可得调整后研发人员人数为，年人均投入为万元，
则，解得，
又，，所以调整后的技术人员最多有75人.
（2）假设存在实数m满足条件.
由条件①，得，解得.
又，，所以当时，取得最大值7，所以.
由条件②，得，不等式两边同除以ax，
得，
整理得，
因为，当且仅当时等号成立，所以.
综上，得.
故存在实数m满足条件，且实数m的值为7.
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