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第四章 指数函数与对数函数
——2023-2024学年数学人教A版(2019)必修第一册
大单元思维强化
大单元思维知识整合
1.分数指数幂：规定正分数指数幂（，，）；负分数指数幂（，，）；0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.
2.指数幂的运算性质：
（1）；
（2）；
（3）.
3.指数函数的定义：一般地，函数，且叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域为R.
4.指数函数的图象和性质
图象
性质 定义域 R
值域
过定点 ，即时，
单调性 减函数 增函数
奇偶性 非奇非偶
5.对数的概念：一般地，如果，且，那么数x叫作以a为底N的对数，记作，其中a叫作对数的底数，N叫作真数.
6.对数的运算性质：如果，且，，，那么
（1）；
（2）；
（3）.
7.对数换底公式：，且；；，且
8.对数函数的概念：一般地，函数，且叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是.
9.对数函数的图象和性质
图象
定义域
值域 R
单调性 减函数 增函数
过定点 过定点，即时，
10.反函数：一般地，指数函数，且和对数函数，且互为反函数，它们的定义域和值域正好互换，图象关于直线对称.
11.函数的零点：对于一般函数，使的实数叫做函数的零点.
12.函数零点存在定理：如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解.
13.二分法的概念：对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
大单元综合试题训练
1.已知指数函数（且），，则( )
A.3 B.2 C. D.
2.已知，，，则( )
A. B. C. D.
3.设函数，若，则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，函数是奇函数，且当时，，则( ).
A.-18 B.-12 C.-8 D.-6
5.若函数在上存在零点，则实数m的取值范围为( ).
A. B. C. D.
6.在用二分法求方程在内近似根的过程中，已经得到，，，则方程的根落在区间( ).
A. B. C. D.不能确定
7.果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度.已知某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t（天）满足的函数关系式为.若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%.那么采摘下来的这种水果在多长时间后失去50%的新鲜度（已知，结果取整数）( )
A.23天 B.33天 C.43天 D.50天
8.已知函数，且，则实数m的取值范围是( ).
A. B. C. D.
9.（）多选若a是函数的一个零点，b是函数的一个零点，已知函数，则( )
A. B.
C.方程有两个实数解 D.方程没有实数解
10.（多选）关于函数，下列描述正确的有( ).
A.函数在区间上单调递增
B.函数的图象关于直线对称
C.若，但，则
D.函数有且仅有两个零点
11.已知函数且的图象恒过定点A，且点A在幂函数的图象上，则___________.
12.酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100 mL血液中酒精含量达到20~79 mg的驾驶员即为酒后驾车，80 mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6 mg/mL，如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，那么他至少要经过t小时后才可以驾驶机动车.则整数t的值为_________.（参考数据：，）
13.已知函数若函数有两个零点，则实数k的取值范围是__________.
14.已知函数与的图像上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是_____________.
15.已知函数与，其中是偶函数.
(1)求实数k的值；
(2)求函数的定义域；
(3)若函数与的图像有且只有一个公共点，求实数a的取值范围.
答案以及解析
1.答案：A
解析：，则，则.
2.答案：A
解析：，，，所以.
3.答案：D
解析：当时，单调递减，当时，单调递减，且，所以是定义域R上连续的递减函数，所以.
4.答案：D
解析：由题意知，所以当时，，又因为函数是奇函数，所以.故选D.
5.答案：C
解析：令，则，设，易知函数在上单调递增，而当时，，且，故实数m的取值范围为.
6.答案：B
解析：设，，，，在R上连续且单调递增，在区间内，函数存在一个零点，又，，同理可知，在区间内，函数存在一个零点，由此可得方程的根落在区间内，故选B.
7.答案：B
解析：由题意可得故，故，令，则，即，故，故选B.
8.答案：D
解析：的定义域为，，所以是偶函数，当时，是增函数，当时，是减函数，且，所以由，得，即或，解得或，所以实数m的取值范围是.故选D.
9.答案：BC
解析：依题意，a是方程的解，b是方程的解，根据图象可知，a，b分别是直线与函数、函数图象交点的横坐标的值，和图象关于对称，则，所以.方程，即，解得或.所以方程有两个实数解.
10.答案：ABD
解析：函数的图象如图所示.
由图可得函数在区间上单调递增，A正确；
函数的图象关于直线对称，B正确；
若，但，若，关于直线对称，则，C错误；函数有且仅有两个零点，D正确.故选ABD.
11.答案：16
解析：当，即时，得出，点A的坐标是.幂函数的图象过点，，解得，幂函数为，则.
12.答案：5
解析：经过t小时后，血液中的酒精含量为，故需才可驾驶机动车，.
又t为整数，故时，满足题意.故整数t的值为5.
13.答案：
解析：有两个零点，即有两个根，即函数的图象与直线有两个交点，如图所示，显然，当或时，函数与有两个交点，故k的取值范围为.
14.答案：
解析：函数与的图像上存在关于y轴对称的点，即有解，也就是函数与函数的图像有交点.在同一坐标系内画出函数与函数的图像如图所示.
函数的图像是把函数的图像向左平移，且平移到过点后开始，两函数的图像没有交点.
把点代入得，解得，
所以实数a的取值范围是.
15.答案：(1)
(2)当时，的定义域为；当时，的定义域为
(3)
解析：(1)由函数是偶函数可知，
，
，，
即对一切恒成立，.
(2)当时，函数的解析式有意义.
当时，，得；
当时，，得.
综上，当时，的定义域为；
当时，的定义域为.
(3)函数与的图像有且只有一个公共点，
即方程有且只有一个实根.
，
方程有且只有一个实根.
令，则方程有且只有一个正根.
①当时，，不合题意.
②当时，由得或.
若，则，不合题意；
若，则，满足要求.
若，则此时方程应有一个正根与一个负根，
，.又由得或，.
综上，实数a的取值范围是.
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