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第五章 三角函数
——2023-2024学年数学人教A版(2019)必修第一册
大单元思维强化
大单元思维知识整合
1.终边相同的角：一般地，所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.
2.角度与弧度的换算：；；.
3.扇形的弧长及面积公式：设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为，为圆心角，则扇形的弧长公式为，；扇形的面积公式为，.
4.三角函数及其定义域：将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常记为：正弦函数，；余弦函数，；正切函数，.
5.诱导公式一：，，，其中，即终边相同的角的同一三角函数值相等.
6.同角三角函数的基本关系：
（1）；
（2）.
7.诱导公式二：；；.
诱导公式三：；；.
诱导公式四：；；.
诱导公式五：；.
诱导公式六：；.
8.三角函数的单调性：
（1）求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式进行化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”.
（2）求形如或（其中）的单调区间时，要视“”为一个整体，通过解不等式求解.但如果，那么一定先借助诱导公式将化为正数.
（3）已知三角函数的单调区间求参数，先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.
9.三角函数的奇偶性：对于，若为奇函数，则；若为偶函数，则.对于，若为奇函数，则；若为偶函数，则.对于，若为奇函数，则.
10.三角函数的周期性：求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变换化为或或（为常数，）的形式，再应用公式（正弦、余弦型）或（正切型）求解.
11.三角函数的对称性：函数（为常数，）图象的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线或点是不是函数图象的对称轴或对称中心时，可通过检验的值进行.
12.两角差的余弦公式：
两角和的余弦公式：
两角和与差的正弦公式：，
13.两角和与差的正切公式：:，
14.二倍角的正弦公式：.
二倍角的余弦公式：.
二倍角的正切公式：.
15.对函数图象的影响：一般地，当动点M的起点位置Q所对应的角为时，对应的函数是，把正弦曲线上的所有点向左（当时）或向右（当时）平移个单位长度，就得到函数的图象.
16.对函数图象的影响：一般地，函数的周期是，把图象上所有点的横坐标缩短（当时）或伸长（当时）到原来的倍（纵坐标不变），就得到的图象.
17.对函数图象的影响：一般地，函数的图象，可以看作是把图象上所有点的纵坐标伸长（当时）或缩短（当时）到原来的A倍（横坐标不变）而得到.从而，函数的值域是，最大值是A，最小值是.
18.函数的图象与的图象的关系：函数的图象向左（或右）平移个单位长度，得到函数的图象；然后把曲线上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍（横坐标不变），这时的曲线就是函数的图象.
大单元综合试题训练
1.若扇形的圆心角，弦长，则弧长( )
A. B. C. D.
2.函数（，）的部分图象如图所示，则的值是( )
A. B. C. D.
3.已知，且是第一象限角，则( ).
A. B. C. D.
4.将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于y轴对称，则正数的最小值是( )
A. B. C. D.
5.设为锐角，若，则的值为( )
A. B. C. D.
6.若将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，则函数图象的对称轴可能是( )
A.直线 B.直线 C.直线 D.直线
7.设函数，，，若在区间上单调，且，则的最小正周期为( )
A. B. C. D.
8.已知函数(，，)的部分图象如图所示，( )
A. B.-1 C. D.
9.（多选）已知函数，则下列选项正确的是
A.的最小正周期为
B.曲线关于点成中心对称
C.的最大值为
D.曲线关于直线对称
10.（多选）函数在一个周期内的函数图象如图所示，则( )
A.该函数的解析式为
B.该函数的对称中心为，
C.该函数的单调递增区间是，
D.把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，可得该函数的图象
11.已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则___________.
12.若函数向右平移个单位长度后得到的图象，函数的零点到y轴的最近距离小于，且在上单调递增，则的取值范围为__________.
13.一扇形是从一个圆中剪下的一部分，其半径为圆半径的，面积为圆面积的，则扇形的弧长与圆的周长的比值为____________.
14.已知函数在上有最大值，无最小值，则的取值范围是__________.
15.设函数的最小正周期为.
(1)求；
(2)若且，求的值；
(3)求在区间上的最值并求取得最值时x的值.
答案以及解析
1.答案：B
解析：扇形的圆心角，弦长，半径，又，弧长.故选B.
2.答案：D
解析：由题意得函数的最小正周期，所以，于是.由题中图象知，，所以，，解得，，又，所以，故选D.
3.答案：A
解析：根据题意，得，即，
是第一象限角，，
故.故选A.
4.答案：D
解析：将函数的图象向左平移个单位后，可得函数的图象，再根据得到的图象关于y轴对称，可得，，即，，令，可得正数的最小值是，故选D.
5.答案：B
解析：因为为锐角，且，
所以，
所以，故选B.
6.答案：C
解析：由题得，将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，令，，得，，当时，得函数图象的一条对称轴为直线.故选C.
7.答案：D
解析：因为在区间上单调，，所以，所以.又因为，所以直线为图象的一条对称轴；因为，所以为图象的一个对称中心.因为，所以直线与为同一周期里相邻的对称轴和对称中心，所以.故选D.
8.答案：B
解析：根据图像可得，，所以，
而，所以，代入点，得到
即，所以，即，
因为，所以，所以，
代入得，故选B.
9.答案：ACD
解析：A项，的最小正周期，故A项正确；
B项，不是曲线的对称中心，故B项错误；
C项，的最大值为的最大值为，故C项正确；
D项，是曲线的对称轴，故D项正确.
10.答案：ACD
解析：A项，由图可知，，，结合知，即，故A项正确；
B项，由图可知是该函数图象的一个对称中心，结合可得图象的对称中心为，，故B项错误；
C项，根据将所给图象往左边补充一段，如图，由图知的一个单调递增区间是，所以全部的单调递增区间是，，故C项正确；
D项，把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，得到的图象，即的图象，故D项正确.
11.答案：
解析：由题意可得，，所以.
12.答案：
解析：设的最小正周期为T，依题意为的一个零点，
且，所以.
因为的零点到y轴的最近距离小于，所以，化简得，
故的取值范围为.
13.答案：
解析：设圆的半径为r，扇形的圆心角为，弧长为l，则扇形的半径为扇形的弧长与圆的周长的比值为.
14.答案：
解析：要求函数在上有最大值，但没有最小值，所以，解得.又函数在上有最大值，但没有最小值，所以存在，使得.因为，所以，所以，又，所以，所以，由，解得.由，解得，所以.
15.答案：(1)
(2)
(3)时，y有最大值1，时，y有最小值
解析：(1)函数的最小正周期为，
，.
(2)由(1)知，由得，
，
，.
(3)由题意得，
当时，，，
当，即时，y有最大值1，当，即时，y有最小值.
2

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