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各省各地模拟卷压轴题解密
1．（学海大联考三）已知函数f(x)＝x·ax－1(a>0，x∈R) ．
⑴当a>1时，求f(x)的单调区间和值域，并证明方程f(x)＝0有唯一根；
⑵当02．（杭州已知等比数列的前n项之和.求：（1）求p的值；
（2）写出通项an的表达式；
（3）记求t的值；
（4）求和
3．（2005湖南师大附中）已知数列满足：.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，试推断是否存在常数A，B，C，使对一切都
有成立？说明你的理由；
（3）求证：
4．（黄冈中学）设定义在R上的函数，满足当时，且对任意有
（1）求；
（2）求证：对任意
（3）解不等式；
（4）解方程
5．（学海大联考二）若F1、F2分别为双曲线 －＝1下、上焦点，O为坐标原点，P在双曲线的下支上，点M在上准线上，且满足：，(?>0)。
(1)求此双曲线的离心率；
(2)若此双曲线过N(，2)，求此双曲线的方程
(3)若过N(，2)的双曲线的虚轴端点分别B1，B2(B2在x轴正半轴上)，点A、B在双曲线上，且，求时，直线AB的方程。
6．（唐山市）已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn+1=kSn+2，又a1=2，a2=1。
(1)求k的值；
（2)求Sn；
（3)是否存在正整数m，n，使 成立?若存在求出这样的正整数；若不存在说明理由．
7．（苏、锡、常、镇二）已知数集序列{1}, {3, 5}, {7, 9,11}, {13, 15, 17, 19},…,其中第个集合有个元素，每一个集合都由连续正奇数组成，并且每一个集合中的最大数与后一个集合中的最小数是连续奇数．
(Ⅰ)求数集序列第个集合中最大数的表达式；
（Ⅱ）设数集序列第个集合中各数之和为．
（i）求的表达式；
（ii）令= ，求证：2≤ ．
8．（中学学科网一）对于函数，若存在 ，使成立，则称点为函数的不动点。（1）已知函数有不动点（1，1）和（-3，-3）求与的值；（2）若对于任意实数，函数总有两个相异的不动点，求的取值范围；（3）若定义在实数集R上的奇函数存在（有限的） 个不动点，求证：必为奇数。
9．（中学学科网二））设点集L={,其中向量=(2,1),=(x,1)},点在L中,为L与y轴的交点,数列{}的前n项和.
求数列{}、{}的通项公式。
若，计算。
（3）设函数，是否存在，使f（k+10）=3f（k），若存在，求出k的值；若不存在，说明理由
10．（中学学科网三）已知两个函数，.
（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）若对任意[－3，3]，都有成立，求实数的取值范围．
11．（北京丰台）四边形ABCD是梯形，·＝0，与共线，A，B是两个定点，其坐标分别为（－1，0），（1，0），C、D是两个动点，且满足。
（Ⅰ）求动点C的轨迹E的方程；
（Ⅱ）设直线BC与动点C的轨迹E的另一交点为P，过点B且垂直于BC的直线交动点C的轨迹E于M，N两点，求四边形CMPN面积的最小值。
12．（北京石景山）已知函数对于任意（），都有式子成立（其中为常数）．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）利用函数构造一个数列，方法如下：
对于给定的定义域中的，令，，…，，…
在上述构造过程中，如果（=1，2，3，…）在定义域中，那么构造数列的过程继续下去；如果不在定义域中，那么构造数列的过程就停止.
（ⅰ）如果可以用上述方法构造出一个常数列，求的取值范围；
（ⅱ）是否存在一个实数，使得取定义域中的任一值作为，都可用上述方法构造出一个无穷数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（ⅲ）当时，若，求数列的通项公式．
13．（北京市朝阳）在各项均为正数的数列中，前n项和Sn满足。
（I）证明是等差数列，并求这个数列的通项公式及前n项和的公式；
（II）在XOY平面上，设点列Mn（xn，yn）满足，且点列Mn在直线C上，Mn中最高点为Mk，若称直线C与x轴、直线所围成的图形的面积为直线C在区间[a，b]上的面积，试求直线C在区间[x3，xk]上的面积；
（III）是否存在圆心在直线C上的圆，使得点列Mn中任何一个点都在该圆内部？若存在，求出符合题目条件的半径最小的圆；若不存在，请说明理由。
14．（北京东城一）已知函数,（ x>0）．
（I）当01；
（II）是否存在实数a，b（a（III）若存在实数a，b（a(m≠0),求m的取值范围．
15．（北京东城二）已知定义在R上的单调函数，存在实数，使得对于任意实数总有恒成立.
（1）求x0的值.
（2）若，且对任意正整数n，有，记
，比较与Tn的
大小关系，并给出证明；
（3）若不等式对任意不小
于2的正整数n都成立，求x的取值范围.
16．（北京西城）设M是由满足下列条件的函数构成的集合：“①方程有实数根；②函数的导数满足.”
（I）判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由；
（II）集合M中的元素具有下面的性质：若的定义域为D，则对于任意
[m，n]D，都存在[m，n]，使得等式成立”，
试用这一性质证明：方程只有一个实数根；
（III）设是方程的实数根，求证：对于定义域中任意的.
17．（豫南五市）设曲线在点x处的切线斜率为k(x),且k (－1)=0.对一切实数x,不等式x≤k (x)≤恒成立(≠0).
(1) 求(1)的值;
(2) 求函数k (x)的表达式;
(3) 求证:＞
18．（山东省实验）如图所示，曲线段OMB是函数f (x)=x2(0（1）试用t表示切线PQ的方程;
（2）试用t表示ΔQAP的面积g(t)在（m,n）上单调递减，试求出m的最小值.
（3）若
19．（陕西）已知点A1，A2，…，An，…依次在x轴上，A1（1，0），A2（5，0），=(n=2,3，…)；点B1，B2，…，Bn…依次在射线y=x（x≥0）上，且B1（3，3），||+2（n=2,3，…）.
（1）用n表示An与Bn的坐标；
（2） 设直线AnBn的斜率为kn,求
(3)若四边形AnAn+1Bn+1Bn的面积为S，求证：9＜S≤12.
20．（上海）在等差数列中，，，其中是数列的前项之和，曲线的方程是，直线的方程是。
（1）求数列的通项公式；
（2）当直线与曲线相交于不同的两点，时，令，求的最小值；
（3）对于直线和直线外的一点P，用“上的点与点P距离的最小值”定义点P到直线的距离与原有的点到直线距离的概念是等价的，若曲线与直线不相交，试以类似的方式给出一条曲线与直线间“距离”的定义，并依照给出的定义，在中自行选定一个椭圆，求出该椭圆与直线的“距离”。
21．（石家庄市）设H是的外心，，O为坐标原点，动点G满足：,且
(1)求顶点C的轨迹E的方程；
(2)如图，从点发射出一个质点m沿抛物线C1：
向上飞行到点P时，立即得到变轨指令，
即开始沿着曲线E运动，两曲线C1和E在公共点P处的
切线相同，求抛物线C1的方程．
22．（保定市）已知函数f(x)=,其中向量
设g(x)=,(其中是f(x)的导数)
⑴试比较的大小
⑵设数列满足；是否存在最大的实数t，使函数，当≤t时，对于一切正整数，都有0．(其中e=2.71828……)
23．（江苏南京）过曲线上的点作曲线C的切线l1与曲线C交于，过点P2作曲线C的切线l2与曲线C交于点，依此类推，可得到点列：，
（1）求点P2、P3的坐标.
（2）求数列的通项公式.
（3）记点到直线的距离为，
求证：.
24．（宜昌市）已知抛物线内一点的坐标为
（1）过点作直线与抛物线交于、两点，若点刚好为弦的中点，求直线的方程；
（2）若过线段上任一点（不含端点）作倾斜角为的直线与抛物线交于两点，求证：.
（3）过作斜率分别为（）的直线，交抛物线于，，交抛物线于，，若，求的值.
参考答案
1．解：(理)⑴f ′(x)＝ax＋x·axlna＝(1＋xlna)ax(a>1)…………①
由f ′(x)>0得1＋xlna>0，解得x>－；由f ′(x)<0得1＋xlna<0，解得x<－
∴f(x)的单调增区间为(－，＋∞)，单调减区间为(－∞，－)…………………2分
当x＝－时，f(x)min＝f(－)＝－·a－－1＝－·－1＝－－1，
又f(x)＝－1，f(x)＝＋∞，∴f(x)的值域为[－－1，＋∞)……………4分
又∵f(0)＝－1<0，f(x)＝＋∞，又f(x)在[0，＋∞)上递增，
∴方程f(x)＝0在[0，＋∞)上有唯一实根………………………………………………6分
而f(x)＝－1<0，∴方程f(x)＝0在(－∞，0)上无实根
∴方程f(x)＝0有唯一实根，y＝f(x)在(－∞，0)上函数值y均小于0………………7分
⑵∵函数f(|x|)为偶函数，故只需讨论x≥0时，方程f(|x|)＝0亦可求f(x)＝0的实根的个数。
Ⅰ.当a＝1时，方程f(x)＝0有唯一实根x＝1；………………………………………8分
Ⅱ.当0又∵f(0)＝－1<0，f(x)＝－1，故有
当－－1<0即0当－－1＝0即a＝时，方程f(x)＝0有唯一实根；
当－－1>0即综上可知：
当0当a＝或1时，方程f(|x|)＝0有两个实根；
当2． （1）n≥2时an=Sn－Sn－1=2n－1,
∵|an| 成G、P，且公比q==2，a1=2+p也应满足an=2n－1,
∴p=－1（2分）（文科4分）
（2）通项an=2n－1, (n∈N*). （4分）（文科8分）
（3）∵bn=n－1, 且Qn=a1b1+a2b2+…+anbn,
则Qn=0·1+1·2+2·22+3·23+…+(n－1)·2n－1
2Qn=1·22+2·23+…+(n－2)·2n－1+(n－1)·2n，
相减可得Qn=(n－2)·2n+2. 于是 （9分）
（4）n=2k时(k∈N*)，
=－(b1+b2+…+b2k)=－[1+2+…+(2k－1)] =－2k2+k
n=2k－1时(k∈N*), Tn=
=－[1+2+…+(2k－3)] =－2k2－3k+1,

（14分）（文科14分）
3．（1）由已知…………………………（2分）
是公比为2的等比数列，又
……………………………………………………（4分）
（2）……………………（6分）
若恒成立.
，故存在常数A、B、C满足条件…………（9分）
（3）…（11分）


4．（1）
（2）.
假设存在某个，
则对任何与已知矛盾，
均为满足
（3）任取
时，为单调递增函数
∴不等式的解集为
（4）
方程
即（舍），由（1）得x=0.
故原方程的解为x=0.
5．： (1) ，∴PF1OM为平行四边形，
又知M在∠PF1O的角平分线上，
∴四边形PF1OM为菱形，且边长为＝c…………………………………2分
∴＝2a+＝2a+c，由第二定义＝e即＝e，∴+1＝e且e>1
∴e=2…………………………………………………………………………………4分
　(2)由e=2，∴c=2a即b2=3a2，双曲线方程为 －＝1
又N(，2)在双曲线上，∴－＝1，∴a2＝3∴双曲线的方程为－＝1…7分
　(3)由知AB过点B2，若AB⊥x轴，即AB的方程为x=3，此时AB1与BB1不垂直；设AB的方程为y=k(x－3)代入－＝1得
(3k2－1)x2－18k2x+27k2－9=0………………………………………………9分
由题知3k2－1≠0且△>0即k2> 且k2≠，
设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，＝(x1+3，y1)，＝(x2+3，y2)，
∵，∴＝0即x1x2+3(x1+x2)+9+y1y2＝0………………11分
此时x1+x2＝，x1·x2=9，
y1y2＝k2(x1－3) (x2－3)＝k2[x1x2－3(x1+x2)+9]= k2[18－]＝－
∴9＋3＋9－＝0，∴5 k2＝1，∴k＝±
∴AB的方程为y=±(x－3) .………………………………………………14分
6．(I)∵S2=kS1+2
∴a1+a2=ka1+2
又a1=2，a2=1,2+1=2k+2

∴ …………………………………………………………………………2分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

①
当n≥2时，
②
①-②，得

(n≥2)．．……………………………………………………………………4分

于是{an}是等比数列，公比为 ，所以
…………………………………………………………6分
(Ⅲ)

整理得2＜2n(4-m)＜6………………………………………………………………………8分
假设存在正整数m，n使得上面的不等式成立，由于2n为偶数，4-m为整数，则只能是
2n(4-m)=4
…………………………………………………10分

因此，存在正整数m=2，n=1；或
7．(Ⅰ)∵第n个集合有n个奇数，∴在前n个集合中共有奇数的个数为
．…………………………………… 2分
则第n个集合中最大的奇数=．………………4分
（Ⅱ）（i）由(Ⅰ)得 ，
从而得．……………………………………6分
（ii）由（i）得 ， ∴ ．…7分
（１）当时，，显然2≤．……………………………………8分
（２）当≥2 时， ………9分
> ，……………………………………………10分
≤．………………………………………………12分
∴
< …………………………………13分
．……………………………………………………………………14分
即．……………………………………………………………………15分
综上所述，2≤ ． ……………………………………………………16分
8。（1）由不动点的定义：，
∴，代入知，又由及知。
∴，。
（2）对任意实数，总有两个相异的不动点，即是对任意的实数，方程总有两个相异的实数根。
∴中，
即恒成立。故，∴。
故当时，对任意的实数，方程总有两个相异的不动点。
（3）是R上的奇函数，则，∴（0，0）是函数的不动点。若有异于（0，0）的不动点，则。
又，∴是函数的不动点。
∴有限个不动点除原点外，都是成对出现的，有个（），加上原点，共有个。
9．（1）L中=2x+1，点在L中, ∴，……3’
又{}的前n项和，利用
∴……5’
（2）
∴……8’
∴……文科10’
∴=……理科10’
（3）设存在，使f（k+10）=3f（k），
当k为奇数时，
由-k-10=-3k得k=5
当k为偶数时，
由3k+28=3（3k-2）得k=
故存在k=5，使f（k+10）=3f（k）……14’
10．（Ⅰ）设函数的图象上任一点关于原点的对称点为,
则
∵点在函数的图象上.
， 即， 故．　（３分）
由，可得　．
当时，，此时不等式无解．
当时，，．
因此，原不等式的解集为.　　　　　　（７分）
（Ⅱ）依题意．
，
11．四边形ABCD是直角梯形，且CD⊥DA，又，
所以动点C的轨迹为以B为焦点，DA为准线，对称轴为x轴的抛物线。设动点C的轨迹E的方程，则p==2
所以动点C的轨迹E的方程是 …………3分
（另解：设依题意
）
（Ⅱ）设直线BC斜率为k，由题意知，k存在且，直线BC的方程y=k(x－1)
依题意

直线MN垂直于直线BC，以－替代上式中的k，得 ……7分
所以

四边形CMPN面积的最小值等于32 …………12分
12．（Ⅰ）令（），则，而，
故=，
∴ =（）． ………………………………3分
（Ⅱ）（ⅰ）根据题意，只需当时，方程有解， ………………4分
亦即方程 有不等于的解．
将代入方程左边，左边为1，与右边不相等．故方程不可能有解．
………………5分
由 △=，得 或，
即实数a的取值范围是． …………………………7分
（ⅱ）假设存在一个实数，使得取定义域中的任一值作为x1，都可以用上述方法构造出一个无穷数列，那么根据题意可知，=在R中无解，
……………8分
亦即当时，方程无实数解．
由于不是方程的解，
所以对于任意x∈R，方程无实数解，
因此解得．
∴ 即为所求的值． ……………………………………11分
（ⅲ）当时，，所以，．
两边取倒数，得，即．
所以数列{}是首项为，公差的等差数列．
故，所以，，
即数列的通项公式为． ……………………………………14分
13．：（1）由已知得 ①
故 ②
②－①得
结合，得
是等差数列 ……2分
又时，，解得或
……3分
又，故 ……4分
……5分
（II）
即得点
设，消去n，得
即直线C的方程为 ……7分
又是n的减函数
∴M1为Mn中的最高点，且M1（1，1）
又M3的坐标为（，）
∴C与x轴、直线围成的图形为直角梯形
从而直线C在[，1]上的面积为 ……10分
（III）由于直线C：上的点列Mn依次为
M1（1，1），M2（，），M3（，），……，Mn（），……
而
因此，点列Mn沿直线C无限接近于极限点M（，） ……12分
又
M1M的中点为（，）
∴满足条件的圆存在
事实上，圆心为（，），半径的圆，就能使得Mn中任何一个点都在该圆的内部，其中半径最小的圆为 ……14分
14．：（I） ∵x>0，∴
∴f(x)在（0，1）上为减函数，在上是增函数．
由0可得 0即．
∴2ab=a+b>．……………………………………3分
故，即ab>1．……………………………………4分
（II）不存在满足条件的实数a，b．
若存在满足条件的实数a，b，使得函数y=的定义域、值域都是
[a，b]，则a>0．

当时，在（0，1）上为减函数．
故 即
解得 a=b．
故此时不存在适合条件的实数a，b．………………………………6分
当时，在上是增函数．
故 即
此时a，b是方程的根，此方程无实根．
故此时不存在适合条件的实数a，b．………………………………8分
当，时，
由于，而，
故此时不存在适合条件的实数a，b．
综上可知，不存在适合条件的实数a，b．………………………………10分
（III）若存在实数a，b（a 则a>0，m>0．
当时，由于f(x)在（0，1）上是减函数，故．此时刻得a,b异号，不符合题意，所以a，b不存在．
当或时，由（II）知0在值域内，值域不可能是[ma，mb]，所以a，b不存在．
故只有．
∵在上是增函数，
∴ 即
b是方程的两个根．
即关于x的方程有两个大于1的实根．……………………12分
设这两个根为，．
则+=，·=．
∴ 即
解得 ．
故m的取值范围是．…………………………………………14分
15（1）令，得 ①
令，得 ②
由①，②得 为单调函数，…………3分
（2）由（1）得，
………………4分
又
又，
………………5分
……………………6分

…………………………7分
，
………………9分
（3）令，
则……10分
∴当时，
即
解得或……………………14分
16．（1）因为，…………2分
所以满足条件………………3分
又因为当时，，所以方程有实数根0.
所以函数是集合M中的元素.…………4分
（2）假设方程存在两个实数根），
则，………5分 不妨设，根据题意存在数
使得等式成立，……………………7分
因为，所以，
与已知矛盾，所以方程只有一个实数根；…………9分
（3）不妨设，因为所以为增函数，所以，
又因为，所以函数为减函数，………………10分
所以，…………11分
所以，即…………12分
所以
…………………………13分
17．（1）由，所以
（2），由，得

又恒成立，则由恒成立得
，同理由恒成立也可得
综上，，所以
（3）
要证原不等式式，即证
因为
所以
=
所以
本小问也可用数学归纳法求证。证明如下：
由
当时，左边=1，右边=，左边>右边，所以，不等式成立
假设当时，不等式成立，即

当时，左边=
由
所以
即当时，不等式也成立
综上得
18．（1）切线斜率k=2t，则切线方程为y = t 2 = 2 t ( x - t ),即切线PQ方程为y=2tx-t2(0（2）令y=0得
19．（1）设An(an,0)，Bn(bn,bn),a1=5,b1=3.

∴{an-an-1}=(a2-a1)·（）n-2=4·()n-2,
即
∴an=1+4×=1+8[1-(
又由|
∴{bn}是以b1=3为首项，以d=2为公式的等差数列.
(2)由斜率计算公式可得kn=
(3)如图易知，S=S△An+1Bn+1-S△OAnBn
=
=9+(8n-4)(
　因n=2,3，…，（8n-4）(
当n≥2时可用数学归纳法或二项式定理证明（8n-4）(
故9＜S≤12.
20．（1）∵，∴，又∵，∴，
∵，∴，，∴。
（2），由题意，知，即，
∴或，即或，即或时，直线与曲线相交于不同的两点。

，∴时，的最小值为。
（3）若曲线与直线不相交，曲线与直线间“距离”是：曲线上的点到直线距离的最小值。
曲线与直线不相交时，，即，即，∴，
∵时，曲线为圆，∴时，曲线为椭圆。
选，椭圆方程为，设椭圆上任一点，它到直线的距离
，
∴椭圆到直线的距离为。 （椭圆到直线的距离为）
21．(1)令, ,　则．由
得， ∴．
又，　∴，　∴ ………………（3分）
∵H是的外心，∴，∴
整理得，顶点C的轨迹E的方程为：． ………（6分）
(2)设 ∵，,则抛物线C1在P处的切线斜率为．
对于椭圆，当时，，
则椭圆E在处的切线斜率为．　
两曲线C1和E在公共点P处的切线相同 ∴＝． ………（10分）
当时，．
又因点及点在抛物线上，
∴
∴抛物线C1的方程为． ………………………（12分）
当时， 因点在抛物线上，则；
又点在抛物线上，
∴抛物线C1的方程为 ………………………（14分）
22．⑴f(x) ==,f(x)=,所以g(x)=，因为g(x)==0得x=e可以得出（0，e）是递增区间；(e, 是递减区间，因为，而4，

⑵
由⑴g(x)=在（0，e）是递增区间；(e, 是递减区间；
的最大值为，
解不等式得x或x
最大的实数t
23．（1） …………………………………………4分
（2）曲线C上点处的切线的斜率为，
故得到的方程为 ……………………………………6分
联立方程消去y得：
化简得： 所以：………………8分
由得到点Pn的坐标由就得到点的坐标所以： 故数列为首项为1，公比为－2的等比数 列所以： …………………………………………10分
（3）由（2）知：
所以直线的方程为：
化简得： …………………………………………12分
所以
∴≥ …………………15分
24．（1）设则
①②
①－②得
……………………2′
直线的方程是 整理得………………4′
（2）联立解得
设
则且的方程为与联立消去，整理得
………………………………6′

又
…………………………………………8′
（3）直线的方程为，代入，得即
………………………………………………10′
三点共线，三点共线，且在抛物线的内部。
令为、为
故由可推得
而
同理可得：
而得………………………………14′

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