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2023-2024学年高一数学上学期单元测试基础卷（人教A版2019）
第五单元 三角函数
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．将转化为弧度为（ ）
A． B． C． D．
2．函数的一个对称中心是（ ）
A． B． C． D．
3．将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为（ ）
A． B．
C． D．
4．将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象.若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，均为锐角，则等于（ ）
A． B．1 C． D．
6．已知函数．则关于说法错误的是( )
A．的图象向右平移个单位长度后所得的函数为
B．的图象与的图象关于y轴对称
C．的单调递减区间为
D．在上有3个零点，则实数a的取值范围是
7．矩形中，，，为的中点，是边上一动点，当取得最大时，等于（ ）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系xOy中，P（x，y）（xy≠0）是角α终边上一点，P与原点O之间距离为r，比值叫做角α的正割，记作secα；比值叫做角α的余割，记作cscα；比值叫做角α的余切，记作cotα．四名同学计算同一个角β的不同三角函数值如下：甲：；乙：；丙：；丁：．
如果只有一名同学的结果是错误的，则错误的同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．已知角的终边与单位圆相交于点，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数的最小正周期为4π ，其图像关于直线轴对称，给出下面四个结论，其中正确的是（ ）
A．函数f(x)在区间上先增后减；
B．将函数f(x)的图像向右平移个单位长度后得到的图像关于原点对称
C．点是函数f(x)图像的一个对称中心；
D．函数f(x)在上的最大值为1．
11．已知是函数的图象与轴的两个不同的交点，若的最小值是，则（ ）
A． B．在上单调递增
C．的图象关于直线对称 D．在上有6个零点
12．2023年1月出版的《中国高考报告2023》中指出，高考数学试题将会全面的加入复杂情境，更加注重数学思维能力和思想方法的考察，考试难度加大.某教师从“丢手绢”游戏中抽象出以下数学问题，质点和在以坐标原点为圆心，半径为l的上逆时针匀速圆周运动，同时出发，的角速度大小为，起点为与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为5rad／s，起点为射线与的交点，则当与重合时，的坐标可以为（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13． .
14．已知角的终边在图中阴影所表示的范围内（不包括边界），那么 .
15．函数的部分图象如图所示，其中，，若对于任意的，，恒成立，则实数的取值范围为 ．
16．实数x，y满足，则的最大值 ．
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．一条长度等于半径的倍的弦所对的圆心角是多少弧度？
18．已知角，且求下列各式的值．
(1)
(2)
(3)
19．已知角的终边在直线上.
（1）求，的值
（2）求的值.
20．已知函数的部分图象如图所示.
(1)求的解析式；
(2)若当时，方程恰有两个不同的实根，求实数m的取值范围.
21．已知函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数的单调递增区间；
(3)若，求函数的最大值．
22．已知函数
（Ⅰ）求最小正周期和单调增区间
（II）当时，求函数的值域.
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2023-2024学年高一数学上学期单元测试基础卷（人教A版2019）
第五单元 三角函数
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．将转化为弧度为（ ）
A． B． C． D．
2．函数的一个对称中心是（ ）
A． B． C． D．
3．将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为（ ）
A． B．
C． D．
4．将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象.若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，均为锐角，则等于（ ）
A． B．1 C． D．
6．已知函数．则关于说法错误的是( )
A．的图象向右平移个单位长度后所得的函数为
B．的图象与的图象关于y轴对称
C．的单调递减区间为
D．在上有3个零点，则实数a的取值范围是
7．矩形中，，，为的中点，是边上一动点，当取得最大时，等于（ ）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系xOy中，P（x，y）（xy≠0）是角α终边上一点，P与原点O之间距离为r，比值叫做角α的正割，记作secα；比值叫做角α的余割，记作cscα；比值叫做角α的余切，记作cotα．四名同学计算同一个角β的不同三角函数值如下：甲：；乙：；丙：；丁：．
如果只有一名同学的结果是错误的，则错误的同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．已知角的终边与单位圆相交于点，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数的最小正周期为4π ，其图像关于直线轴对称，给出下面四个结论，其中正确的是（ ）
A．函数f(x)在区间上先增后减；
B．将函数f(x)的图像向右平移个单位长度后得到的图像关于原点对称
C．点是函数f(x)图像的一个对称中心；
D．函数f(x)在上的最大值为1．
11．已知是函数的图象与轴的两个不同的交点，若的最小值是，则（ ）
A． B．在上单调递增
C．的图象关于直线对称 D．在上有6个零点
12．2023年1月出版的《中国高考报告2023》中指出，高考数学试题将会全面的加入复杂情境，更加注重数学思维能力和思想方法的考察，考试难度加大.某教师从“丢手绢”游戏中抽象出以下数学问题，质点和在以坐标原点为圆心，半径为l的上逆时针匀速圆周运动，同时出发，的角速度大小为，起点为与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为5rad／s，起点为射线与的交点，则当与重合时，的坐标可以为（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13． .
14．已知角的终边在图中阴影所表示的范围内（不包括边界），那么 .
15．函数的部分图象如图所示，其中，，若对于任意的，，恒成立，则实数的取值范围为 ．
16．实数x，y满足，则的最大值 ．
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．一条长度等于半径的倍的弦所对的圆心角是多少弧度？
18．已知角，且求下列各式的值．
(1)
(2)
(3)
19．已知角的终边在直线上.
（1）求，的值
（2）求的值.
20．已知函数的部分图象如图所示.
(1)求的解析式；
(2)若当时，方程恰有两个不同的实根，求实数m的取值范围.
21．已知函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数的单调递增区间；
(3)若，求函数的最大值．
22．已知函数
（Ⅰ）求最小正周期和单调增区间
（II）当时，求函数的值域.
参考答案：
1．D
【解析】将角度转化为弧度只需将角度的数值乘以即可；
【详解】解：
故选：D
2．A
【分析】解方程，，即得解.
【详解】函数中，
令，；
解得，；
所以时，的一个对称中心是，．
故选：A．
【点睛】方法点睛：求函数，只需解方程. 注意是不是.
3．D
【分析】根据函数图象左右平移的法则即可得到平移后的图象对应的函数的解析式.
【详解】把函数的图象向右平移个单位长度后，
得到函数的图象.
故选：D.
4．A
【分析】根据三角函数的图象变换，得到，由函数在区间上单调递增，得到不等式组，即可求解.
【详解】将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，
则，
因为，可得，
由函数在区间上单调递增，
则满足，即，
当时，可得，所以的取值范围是.
故选：A.
5．C
【分析】由利用两角差的正弦公式求解即可.
【详解】因为为锐角，，
所以，
所以
，
故选：C
6．D
【分析】利用三角恒等变换公式化简f(x)解析式.根据图象平移对解析式的影响即可判断A，根据正弦函数对称性即可判断B，根据正弦函数单调性即可判断C，根据正弦函数图象的性质可判断D．
【详解】﹒
对于选项A，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，∴选项A正确；
对于选项B，∵，
∴与图象关于y轴对称，∴选项B正确；
对于C，由得，
即的单调递减区间为，∴选项C正确；
对于D，如图为的图象，
由图可知，在上有3个零点，则，解得，
∴选项D错误．
故选：D．
7．C
【分析】设，用t表示出，再借助差角的正切变形计算作答.
【详解】如图，矩形中，令，显然，，，
则有，因此，
，当且仅当，即时取“=”，
因此，当时，取最大值，而是锐角，函数在上单调递增，
即最大，当且仅当最大，
所以当取得最大时，等于.
故选：C
8．D
【分析】当甲错误时，乙一定正确，从而推导出丙、丁均错误，与题意不符，故甲一定正确；再由丙丁必有一个错误，得到乙一定正确，由此利用三角函数的定义能求出结果．
【详解】解：当甲：错误时，乙：正确，
此时，r＝5k，y＝3k，则|x|＝4k，（k＞0），
或，
∴丙：不正确，丁：不正确，故错误的同学不是甲；
甲：，从而r＝5k，x＝﹣4k，|y|＝3k，（k＞0），
此时，乙：；丙：；丁：必有两个正确，一个错误，
∵丙和丁应该同号，∴乙正确，丙和丁中必有一个正确，一个错误，
∴y＝3k＞0，x＝﹣4k＜0，，
故丙正确，丁错误，
综上错误的同学是丁．
故选：D．
9．ABC
【分析】根据三角函数定义得到正弦，余弦及正切值，进而利用诱导公式进行计算，作出判断.
【详解】根据三角函数的定义得：，，，故AB正确；
，C正确；
，D错误.
故选：ABC
10．AC
【分析】三角函数综合性质，利用周期与对称性先求出表达式，再判断函数的单调区间，中心对称点，以及在给定范围上的最值问题.
【详解】函数的最小正周期为，
可得=．∴ ．其图象关于直线对称．
即，可得．
∵ ．∴．
∴f(x)的解析式为f(x)＝2sin；
对于A：令．
可得．
∴是f(x)的单调递增区间， 令．
可得．
∴是f(x)的单调递减区间，
∴函数f(x)在区间上先增后减；
对于B：将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到，不关于原点对称；
对于C：令，可得，
∴点是函数f(x)图象的一个对称中心；
对于D：由，得，
∴当时取得最大值为．
∴故选：AC．
11．AC
【分析】根据题设条件，结合三角函数的图象与性质，求得函数，利用三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.
【详解】设的最小正周期为，由三角函数的图象与性质，可得，
即，解得，则，
由，解得，
当时，，
因为，所以在上不单调，
由，解得，
即的对称轴方程是，
当时，，则的图象关于直线对称，
因为，所以，
由，即，可得，，
即，故在上有7个零点.
故选：AC.
【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中根据题意求得函数的解析式，熟练应用三角函数的图象与性质，逐项判定是解答的关键，着重考查推理论证能力，属于中档试题.
12．ABD
【分析】设两个质点重合时，所用时间为，则重合时点，的坐标均为，由，可用含的式子表示，再根据的取值，代入运算，得解．
【详解】设两个质点重合时，所用时间为，则重合时点，的坐标均为，
由题意可得，，解得，
当时，，，所以点的坐标均为，故选项A正确；
当时，，，所以点的坐标均为，故选项B正确；
当时，，，所以点的坐标均为，故选项D正确，选项C错误；
故选：ABD.
13．
【分析】根据两角和的正弦公式即可求值．
【详解】由正弦的两角和公式逆运算可得
，
故答案为：．
14．.
【分析】首先确定范围内角的范围，根据终边相同角的定义可求得满足题意的角的范围.
【详解】在范围内，终边落在阴影内的角满足：或
满足题意的角为：
，，
本题正确结果：
【点睛】本题考查根据终边位置确定角所处的范围，重点考查了终边相同的角的定义，属于基础题.
15．
【分析】由题知，进而待定系数得，即，进而得，再根据三角函数的值域得，，故，解不等式即可得答案.
【详解】解：因为，所以的图象关于直线对称．
又，由图知，
所以，从而，
由得，
所以．
可化为，
当，时，，，
所以，解得，即．
故答案为：
16．5.
【详解】分析：根据题意，设，，则有，进而分析可得，由三角函数的性质分析可得答案．
详解：根据题意，实数x，y满足，即，
设，，
则，，
又由，
则，
即的最大值5；
故答案为5．
点睛：本题考查三角函数的化简求值，关键是用三角函数表示x、y．
17．
【分析】利用垂径定理作直角三角形，通过解直角三角形求得长度等于半径的倍的弦所对的圆心角的弧度数.
【详解】设圆的半径为，弦长，过圆心作，则，在直角三角形和直角三角形中，，所以，故.所以长度等于半径的倍的弦所对的圆心角是弧度.
【点睛】本小题主要考查圆的几何性质，考查已知弦长求弦所对圆心角，属于基础题.
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用同角三角函数关系和商数关系即可得到答案；
（2）利用两角和与差的正弦公式即可得到答案；
（3）利用二倍角的余弦公式即可.
【详解】（1）由角，且，则，
可知，故.
（2）由.
（3）由.
19．（1）角的终边在第一象限，，，角的终边在第三象限，，；
（2）.
【分析】（1）分角的终边在第一象限和第三象限两种情况分类讨论，分别在直线上取一点，再求得，再根据，的定义可求得，的值；
（2）运用三角函数的诱导公式化简所求的表达式，再根据同角三角函数的关系将所求的表达式转化为关于角的正切的关系式，代入其值可得解.
【详解】（1）若角的终边在第一象限，取直线上一点，则，
所以，，
若角的终边在第三象限，取直线上一点，则，
所以，，
综上：角的终边在第一象限，，，
角的终边在第三象限，，，
（2）由（1），所以
，
所以的值为.
【点睛】本题考查三角函数的定义和三角函数的诱导公式和同角三角函数的关系，在求三角函数的值时，注意分终边在第一象限和第三象限两种情况讨论，属于基础题.
20．(1)；
(2).
【分析】（1）由题图，、及五点法求相关参数，即可得的解析式；
（2）令，将问题化为在上有两个不同的解，数形结合法求参数m的取值范围.
【详解】（1）设的最小正周期为T，由函数图象可得：，
∴，由得：.
由，解得，
令，可得，又，
令，可得.
∴.
（2）由（1）知：方程可化为.
令，又，则，
∴在上恰有两个不同的解，即在上有两个不同的解，等价于函数与的图象有两个不同的交点，
由图可得：，即，可得.
21．(1)最小正周期为
(2)函数的单调递增区间为
(3)函数的最大值为
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为，利用正弦型函数的周期公式可求得结果；
（2）解不等式可得出函数的单调递增区间；
（3）由可求得的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得函数的最大值.
【详解】（1）解：
，
所以，函数的最小正周期为.
（2）解：由，解得，
故函数的单调递增区间为.
（3）解：当时，，故当时，函数取得最大值，
即.
22．（I）；增区间为；（Ⅱ）值域为.
【分析】（Ⅰ）利用正弦函数的周期公式可得函数的周期，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数的递增区间; （Ⅱ）当时，，结合正弦函数的图象与单调性可得结果.
【详解】（I）最小正周期
由，得，
单调增区间为
（Ⅱ）当时，，，故值域为.
【点睛】函数的单调区间的求法：若,把看作是一个整体，由求得函数的减区间，求得增区间；②若,则利用诱导公式先将的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.
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