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2024人教版高中数学选择性必修第三册同步
第七章　随机变量及其分布
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P a 0.4 0.1 0.2 0.2
若离散型随机变量Y满足Y=2X+1,则下列结论正确的是(　　)
A.a=0.01　　B.E(X)=3　　C.D(Y)=7.4　　D.E(Y)=5
2.一个盒子里有7只好的晶体管,5只坏的晶体管,依次不放回地任取两次,则第二次才取到好的晶体管的概率为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
3.某校高二年级有1 000名学生,一次考试后数学成绩X~N(110,102),若P(100≤X≤110)=0.35,则估计高二年级学生的数学成绩在120分以上的人数为(　　)
A.130　　B.140　　C.150　　D.160
4.已知随机变量X的分布列为P(X=n)=(n=1,2,3,4),其中a是常数,则P=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
5.设随机变量ξ~B(2,p),η~B(4,p),若P(ξ≥1)=,则P(η≥1)=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
6.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立,设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,D(X)=2.4,P(X=4)A.0.7　　B.0.6　　C.0.4　　D.0.3
7.甲、乙两人进行乒乓球比赛,采用三局两胜的比赛制度,规定每局比赛都没有平局(必须分出胜负),若每一局甲赢的概率都是p,且0A.E(X)=　　　　B.E(X)> C.D(X)>　　　　D.D(X)<
8.为了提升全民身体素质,学校十分重视学生的体育锻炼.某校一位篮球运动员进行投篮练习,若他前一球投进,则他后一球投进的概率为,若他前一球投不进,则他后一球投进的概率为.若他第1个球投进的概率为,则他第4个球投进的概率为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
9.某工厂加工一种零件,有两种不同的工艺选择,用这两种工艺加工一个零件所需时间t(单位:小时)均近似服从正态分布,用工艺1加工一个零件所用时间X~N(μ1,),用工艺2加工一个零件所用时间Y~N(μ2,),X,Y的正态曲线如图,则下列结论正确的是(　　)
A.μ1<μ2,>
B.若加工时间只有a个小时,应选择工艺2
C.若加工时间只有c个小时,应选择工艺2
D. t0∈(b,c),P(XP(Y10.已知袋中有除颜色外完全相同的2个黑球和8个红球,现从中随机取出3个球,记其中黑球的数量为X,红球的数量为Y,则以下说法正确的是　(　　)
A.P(X=1)>P(Y=2)　　　　B.P(Y=2)=P(Y=3)
C.E(Y)=4E(X)　　　　D.D(X)=D(Y)
11.一个不透明的纸箱中放有大小、形状均相同的10个小球,其中白球6个、红球4个,现分两次从纸箱中不放回取球,第一次从箱中随机取出1个球,第二次从箱中随机取出2个球,分别用A1,A2表示事件“第一次取出白球”“第一次取出红球”,分别用B,C表示事件“第二次取出的都为红球”“第二次取出的两球为一红一白”.下列结论正确的是(　　)
A.P(B|A2)=　　　　B.P(C|A1)=　　
C.P(B)=　　　　D.P(A2C)=
12.设随机变量ξ的分布列如表所示:
ξ 1 2 3 … 2 021 2 022
P a1 a2 a3 … a2 021 a2 022
则下列说法正确的是(　　)
A.当{an}为等差数列时,a2+a2 021=
B.数列{an}的通项公式可能为an=
C.当数列{an}满足an=(n=1,2,…,2 021)时,a2 022=
D.当数列{an}满足P(ξ≤k)=k2ak(k=1,2,…,2 022)时,(n+1)an=(n-1)(n≥2,n∈N*)
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)
13.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加淮南文明城市创建志愿服务活动,服务活动共有“走进社区”“环境监测”“爱心义演”“交通宣传”四个项目,每人限报其中的一项,记事件A为“四名同学所报项目各不相同”,事件B为“只有甲同学报‘走进社区’项目”,则P(A|B)的值为　　　　.
14.已知离散型随机变量X的分布列为
X 6 3 2
P a b c
其中a,b,c成等差数列,则E(X)的取值范围为　　　　.
15.甲、乙两个盒子中分别装有大小、形状完全相同的三个小球,且均各自标号为1,2,3,分别从两个盒子中随机取一个球,用X表示两球上数字之积,则D(2X-1)=　　　　.
16.江先生朝九晚五上班,上班通常乘坐公交加步行或乘坐地铁加步行.江先生从家到公交站或地铁站都要步行5分钟.公交车多且路程近一些,但乘坐公交路上经常拥堵,所需时间Y(单位:分钟)服从正态分布N(33,42),下车后从公交站步行到单位要12分钟;乘坐地铁畅通,但路线长且乘客多,所需时间Z(单位:分钟)服从正态分布N(44,22),下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟.有下列说法:①若8:00出门,则乘坐公交上班不会迟到;②若8:02出门,则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大;③若8:06出门,则乘坐公交上班不迟到的可能性更大;④若8:12出门,则乘坐地铁上班几乎不可能不迟到.从统计的角度分析,以上所有合理说法的序号是　　　　.
附:若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)≈0.997 3.
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)甲、乙、丙3台车床加工同一型号的零件,甲加工的次品率为6%,乙、丙加工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起,已知甲、乙、丙加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%.
(1)任取一个零件,求它是次品的概率;
(2)如果取到的零件是次品,求它是丙车床加工的概率.
18. (12分)在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示.
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率;
(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列与数学期望E(X).
19.(12分)某市教育局对该市普通高中学生进行学业水平测试,试卷满分120分.现从该市学生中随机抽查10名学生,他们的成绩分别为78,81,84,86,86,87,92,93,96,97.
(1)计算这10名学生的成绩的中位数和方差;
(2)已知该市学生的测试成绩服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本的平均数,σ2近似为样本的方差.某校实验班有学生30人.
①依据(1)的结果,试估计该班学生的学业水平测试成绩在(94,100)内的人数(结果取整数);
②为参加学校举行的数学知识竞赛,该班决定推荐成绩在(94,100)内的学生参加预选赛,若每名学生通过预选赛的概率均为,且是否通过预选赛相互独立.用随机变量X表示通过预选赛的人数,求X的分布列和数学期望.
参考数据:若随机变量X~N(μ,σ2),则P(μ-σ20.(12分)某校总务处的主任要购买学校教学用的粉笔,并且有非常明确的判断一盒粉笔是“优质产品”还是“非优质产品”的方法.某品牌的粉笔整箱出售,每箱共有20盒,根据以往的经验,其中会有某些盒的粉笔为非优质产品,其余的都为优质产品.并且每箱含有0,1,2盒非优质产品的概率依次为0.7,0.2,0.1.为了购买该品牌的粉笔,校总务处主任设计了一种购买的方案:欲买一箱粉笔,随机查看该箱中的4盒粉笔,如果没有非优质产品,则购买,否则不购买.设“买下所查看的一箱粉笔”为事件A,“箱中有i(i=0,1,2)盒粉笔为非优质产品”为事件Bi.
(1)求P(A|B0),P(A|B1),P(A|B2);
(2)随机查看某一箱该品牌粉笔中的4盒,设X为其中非优质产品的盒数,求X的分布列及期望;
(3)假设购买100箱该品牌粉笔,若按照主任所设计的方案进行购买,箱中每盒粉笔都是优质产品的箱数的期望比随机购买的箱中每盒粉笔都是优质产品的箱数的期望大10,则所设计的方案有效.讨论该方案是否有效.
21.(12分)某保险公司针对一个拥有20 000人的企业推出一款意外险产品,每年每位职工只需交少量保费,发生意外后可一次性获得若干赔偿金.保险公司把企业的所有岗位共分为A,B,C三类工种,从事三类工种的人数分布比例饼图如图所示,根据历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表(并以此估计赔付概率).
工种类别 A B C
赔付频率
已知A,B,C三类工种职工每人每年的保费分别为a元,a元,b元,出险后的赔偿金额分别为100万元,100万元,50万元,保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年10万元.
(1)若保险公司要求收益的期望不低于保费的20%,试确定保费a,b所要满足的条件;
(2)现有如下两个方案供企业选择:
方案Ⅰ:企业不与保险公司合作,企业自行拿出与保险提供的等额的赔偿金额赔付给出险职工;
方案Ⅱ:企业与保险公司合作,企业负责职工保费的60%,职工个人负责保费的40%,出险后赔偿金由保险公司赔付.
若企业选择方案Ⅱ的支出(不包括职工支出)期望低于选择方案Ⅰ的支出期望,求保费a,b所要满足的条件,并判断企业是否可能与保险公司合作.(若企业选择方案Ⅱ的支出期望低于选择方案Ⅰ的支出期望,且与(1)中保险公司所提条件不矛盾,则企业可能与保险公司合作)
22.(12分)一个猜谜语活动有A和B两道谜语,小明猜对A谜语的概率为0.8,猜对获得奖金10元,猜对B谜语的概率为0.5,猜对获得奖金20元,猜不出不给奖金.
(1)设事件D:两道谜语中小明恰好答对一道,求事件D发生的概率;
(2)按照如下规则猜谜:只有在猜对一道谜语的情况下,才有资格猜下一道.
①若猜谜语顺序由小明选择,小明应该先猜哪一道谜语
②若小明已经获得30元奖金,此时主办方临时增加了一道终极谜语C,猜对奖金为60元,参赛者可以自行选择是否继续猜谜.假设小明猜对C谜语的概率为a,若小明不继续,可以直接拿走奖金.若继续且答错C谜语,则没收全部奖金;若继续且答对C谜语,则可获得A谜语、B谜语和C谜语的所有奖金.问:a至少为何值,值得小明继续猜谜
答案全解全析
1.D　
2.C　令Ai表示第i次取到好的晶体管,i=1,2,
则P()=,P(A2|)=,
∴P(A2)=P()P(A2|)=×=.故选C.
3.C　因为X~N(110,102),P(100≤X≤110)=0.35,
所以P(110≤X≤120)=P(100≤X≤110)=0.35,
所以P(X>120)=P(X≥110)-P(110≤X≤120)=0.5-0.35=0.15,所以估计高二年级学生的数学成绩在120分以上的人数为1 000×0.15=150.故选C.
4.A　由题意得+++=1,解得a=.
所以P=P(X=1)+P(X=2)=×=.故选A.
5.A　因为随机变量ξ~B(2,p),P(ξ≥1)=,所以P(ξ≥1)=1-P(ξ=0)=,则P(ξ=0)=.因为P(ξ=0)=p0(1-p)2,即p0(1-p)2=,所以(1-p)2=,因为随机变量η~B(4,p),所以P(η≥1)=1-P(η=0)=1-p0(1-p)4=1-=,故选A.
6.B　由题意得X~B(10,p).因为D(X)=2.4,所以10p·(1-p)=2.4,解得p=0.6或p=0.4.因为P(X=4)0.5,所以p=0.6.故选B.
7.D　随机变量X的可能取值为2,3,
P(X=2)=p2+(1-p)2=2p2-2p+1,
P(X=3)=p(1-p)p+p(1-p)(1-p)=2p-2p2,
故E(X)=2(2p2-2p+1)+3(2p-2p2)=-2p2+2p+2=-2+,因为0D(X)=E(X2)-(E(X))2=4(2p2-2p+1)+9(2p-2p2)-(-2p2+2p+2)2,
令t=2p-2p2=-2+,因为08.B　设该篮球运动员投进第(n-1)(n≥2,n∈N*)个球的概率为Pn-1,则他投进第n个球的概率为Pn=Pn-1+(1-Pn-1)=+Pn-1,
∴Pn-=,又P1-=-=≠0,∴是以为首项,为公比的等比数列,
∴Pn-=·=,∴Pn=+(n∈N*),∴P4=.故选B.
9.AC　对于A,由X~N(μ1,),Y~N(μ2,)及题图可知X的正态曲线的对称轴为直线t=μ1=a,Y的正态曲线的对称轴为直线t=μ2=b,且ac),P(Y≤c)=1-P(Y>c),而P(X>c)>P(Y>c),可知P(X≤c)10.BCD　由题意得X+Y=3,X的可能取值为0,1,2,则P(X=0)=P(Y=3)==,P(X=1)=P(Y=2)==,P(X=2)=P(Y=1)==,所以E(X)=0×+1×+2×=,E(Y)=3×+2×+1×=,所以E(Y)=4E(X),故A错误,B、C正确;
易知Y=3-X,所以D(Y)=(-1)2D(X)=D(X),故D正确.故选BCD.
11.ABD　由题意得P(A1)==,P(A2)==,所以P(B|A2)===,
P(C|A1)===,故A、B正确.
易得P(B|A1)===,所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=×+×=,故C错误.
P(A2C)=×=,故D正确.故选ABD.
12.ABD　设数列a1,a2,a3,…,a2 021,a2 022的前n项和为Sn.对于A,因为{an}为等差数列,所以S2 022==1,则有a2+a2 021=a1+a2 022=,故A正确;对于B,若数列{an}的通项公式为an==,则S2 022=×=×=1,符合分布列的性质,故B正确;对于C,因为an=(n=1,2,…,2 021),所以S2 022=+a2 022=1-+a2 022=1,则有a2 022=,故C错误;对于D,令Tk=P(ξ≤k)=k2ak,则ak+1=Tk+1-Tk=(k+1)2ak+1-k2ak,故=,所以=(n≥2,n∈N*),即(n+1)an=(n-1)an-1(n≥2,n∈N*),故D正确.故选ABD.
13.答案　
解析　根据题意得P(B)==,P(AB)==,所以P(A|B)==.
14.答案　
解析　由题意得∴b=,a+c=,
∴E(X)=6a+3b+2c=6+1+2c=5-4c,
易知0≤c≤,∴E(X)∈.
15.答案　
解析　X的可能取值为1,2,3,4,6,9,
P(X=1)=×=,P(X=2)=2××=,P(X=3)=2××=,P(X=4)=×=,P(X=6)=2××=,P(X=9)=×=,
所以E(X)=1×+2×+3×+4×+6×+9×=4,所以D(X)=(1-4)2×+(2-4)2×+(3-4)2×+(4-4)2×+(6-4)2×+(9-4)2×=,
所以D(2X-1)=4D(X)=4×=.
16.答案　③④
解析　对于说法①,江先生乘坐公交的时间不大于43分钟才不会迟到,因为P(Y≤43)43)>1-0.998 65=0.001 35,所以“江先生8:00出门,乘坐公交上班迟到”还是有可能发生的,所以说法①不合理.
对于说法②,若江先生乘坐地铁上班,则其乘坐地铁的时间不大于48分钟才不会迟到,因为P(44-4≤Z≤44+4)≈0.954 5,所以P(Z≤48)≈0.5+0.954 5×0.5=0.977 25,所以“江先生8:02出门,乘坐地铁上班不迟到”发生的可能性约为0.977 25;若江先生乘坐公交上班,则其乘坐公交的时间不大于41分钟才不会迟到,因为P(33-8≤Y≤33+8)≈0.954 5,所以P(Z≤41)≈0.5+0.954 5×0.5=0.977 25,所以“江先生8:02出门,乘坐公交上班不迟到”发生的可能性约为0.977 25,二者可能性相近,所以说法②不合理.
对于说法③,若江先生乘坐公交上班,则其乘坐公交的时间不大于37分钟才不会迟到,因为P(33-4≤Y≤33+4)≈0.682 7,所以P(Y≤37)≈0.5+0.5×0.682 7=0.841 35,所以“江先生8:06出门,乘坐公交上班不迟到”发生的可能性约为0.841 35;若江先生乘坐地铁上班,则其乘坐地铁的时间不大于44分钟才不会迟到,因为P(Z≤44)=0.5,所以“江先生8:06出门,乘坐地铁上班不迟到”发生的可能性为0.5,又0.841 35>0.5,所以说法③合理.
对于说法④,江先生乘坐地铁的时间不大于38分钟才不会迟到,因为P(44-6≤Z≤44+6)≈0.997 3,所以P(Z≤38)≈(1-0.997 3)×0.5=0.001 35,所以“江先生8:12出门,乘坐地铁上班不迟到”发生的可能性约为0.001 35,非常小,所以说法④合理.
所以四个说法中合理的是③④.
17.解析　(1)设B=“任取一个零件是次品”,A甲=“零件为甲车床加工”,A乙=“零件为乙车床加工”,A丙=“零件为丙车床加工”,则A甲,A乙,A丙两两互斥.
由题意得P(A甲)=0.25,P(A乙)=0.3,P(A丙)=0.45,P(B|A甲)=0.06,P(B|A乙)=P(B|A丙)=0.05,(3分)
所以P(B)=P(A甲)P(B|A甲)+P(A乙)P(B|A乙)+P(A丙)P(B|A丙)=0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05=0.052 5.(6分)
(2)由题意得P(A丙|B)===.(10分)
18.解析　(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1为事件M,则P(M)==.(4分)
(2)由题意知X的可能取值为0,1,2,3,4,
则P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,P(X=4)==.(8分)
因此X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
(9分)
X的数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=2.(12分)
19.解析　(1)这10个数据从小到大依次为78,81,84,86,86,87,92,93,96,97,所以中位数为=86.5.(2分)
平均数为×(78+81+84+86+86+87+92+93+96+97)=88,方差为×[(-10)2+(-7)2+(-4)2+(-2)2+(-2)2+(-1)2+42+52+82+92]=36.
故这10名学生的成绩的中位数为86.5分,方差为36.(4分)
(2)①由(1)知μ=88,σ=6,
设该班学生的学业水平测试成绩为x分.
故P(94=
≈=0.135 5,(6分)
故估计该班学生的学业水平测试成绩在(94,100)内的人数为30×0.135 5=4.065≈4.(8分)
②易知X~B,P(X=k)=,
故X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
(10分)
E(X)=4×=.(12分)
20.解析　(1)由已知得P(A|B0)=1,P(A|B1)==,P(A|B2)==.(3分)
(2)由题意可知X的可能取值为0,1,2,
P(X=0)=0.7+0.2×+0.1×=,
P(X=1)=0.2×+0.1×=,
P(X=2)=0.1×=.(5分)
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
(7分)
E(X)=0×+1×+2×=.(9分)
(3)由题意知,P(A)=P(B0)P(A|B0)+P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)=0.7×1+0.2×+0.1×=,
按照主任所设计的方案购买的一箱粉笔中,箱中每盒粉笔都是优质产品的概率为P(B0|A)===,
因为100×-100×0.7≈6<10,所以该方案无效.(12分)
21.解析　(1)设A,B,C三类工种职工的每份保单给保险公司带来的收益分别为X元,Y元,Z元,则X,Y,Z的分布列分别为
X a a-100×104
P 1-
Y a a-100×104
P 1-
Z b b-50×104
P 1-
(3分)
则各类工种职工为保险公司带来的期望收益分别为E(X)=a×+(a-100×104)×=a-10,
E(Y)=a×+(a-100×104)×=a-20,
E(Z)=b×+(b-50×104)×=b-50.(6分)
根据题意得(a-10)×20 000×0.6+(a-20)×20 000×0.3+(b-50)×20 000×0.1-10×104≥(a×20 000×0.6+a×20 000×0.3+b×20 000×0.1)×0.2,
解得9a+b≥275,
所以保费a,b需要满足9a+b≥275.(7分)
(2)若该企业选择方案Ⅰ,即不与保险公司合作,则企业的支出期望为20 000×0.6××100×104+0.3××100×104+0.1××50×104=17×20 000=3.4×105(元).
若该企业选择方案Ⅱ,即与保险公司合作,则企业的支出期望为20 000×(0.6a+0.3a+0.1b)×0.6=(0.9a+0.1b)×0.6×20 000=(10 800a+1 200b)元.(9分)
由题意得10 800a+1 200b<3.4×105,整理得9a+b<≈283.33,此结果与(1)中保险公司所提条件不矛盾,所以企业可能与保险公司合作.(12分)
22.解析　(1)设“小明猜对A谜语”为事件A1,“小明猜对B谜语”为事件B1,则P(A1)=0.8,P(B1)=0.5,D=A1+B1,
∴P(D)=0.8×(1-0.5)+(1-0.8)×0.5=0.5.(2分)
(2)①设先猜A谜语得到的奖金为X元,X的可能取值为0,10,30,
P(X=0)=1-0.8=0.2,
P(X=10)=0.8×(1-0.5)=0.4,
P(X=30)=0.8×0.5=0.4,
∴E(X)=0×0.2+10×0.4+30×0.4=16.(5分)
设先猜B谜语得到的奖金为Y元,Y的可能取值为0,20,30,
P(Y=0)=1-0.5=0.5,
P(Y=20)=0.5×(1-0.8)=0.1,
P(Y=30)=0.5×0.8=0.4,
∴E(Y)=0×0.5+20×0.1+30×0.4=14.(8分)
∵E(X)>E(Y),∴小明应该先猜A谜语.(9分)
②设小明继续猜谜得到的奖金为Z元,则Z的分布列为
Z 0 90
P 1-a a
∴E(Z)=90a.(10分)
令E(Z)≥30,得a≥,∴当a至少为时,值得小明继续猜谜.(12分)
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