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专题6.3 等比数列
1．等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．
2．等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，
且G2＝ab或G＝±.
3．等比数列的通项公式
若{an}是等比数列，则通项an＝a1qn－1或an＝amqn－m.
4．等比数列的前n项和公式：等比数列{an}中，　.
5．等比数列的性质
(1)在等比数列中，若p＋q＝m＋n，则ap·aq＝am·an；若2m＝p＋q，则a＝ap·aq(p，q，m，n∈N*)．
(2)若{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，则数列，{p·an}(p≠0)，{an·bn}，仍为等比数列且公比分别为 ， q1， q1q2 ， .
(3)在等比数列中，按序等距离取出若干项，也构成一个等比数列，即an，an＋m，an＋2m，…仍为等比数列，公比为qm．
(4)公比不为－1的等比数列前n项和为Sn(Sn≠0)，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…构成等比数列，且公比为qn．
(5) 等比数列的单调性：
①当a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1时，等比数列{an}是递增数列；
②当a1＞0，0＜q＜1或a1＜0，q＞1时，等比数列{an}是递减数列；
③当q＝1时，它是一个常数列；
④当q＜0时，它是一个摆动数列．
一、 等比数列的概念及其通项公式
例1、对于无穷常数列7，7，…，7…，下列说法正确的是（ ）
A．该数列既不是等差数列也不是等比数列 B．该数列是等差数列但不是等比数列
C．该数列是等比数列但不是等差数列 D．该数列既是等差数列又是等比数列
【答案】D
【解析】由题意可知，对于无穷常数列7，7，…，7…是以7为首项，0为公差的等差数列；同时也是以7为首项，1为公比的等比数列，故选：D.
例2、已知成等比数列，则x的值为（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知，，解得，故选：C.
例3、在等比数列中，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，，故选：C．
例4、已知正项等比数列中，公比，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】因为，所以，所以，因为，所以，
所以，故选：A.
例5、已知数列是等比数列，，，成等差数列，则数列的公比q= .
【答案】2或4
【解析】因为，，成等差数列，所以，即，所以，解得或4，故答案为：2或4.
例6、在等比数列中，若，，q=2，则项数n为 ．
【答案】9
【解析】在等比数列中，，q=2，则，而，即有，解得，
所以项数n为9，故答案为：9.
1、等比数列中，已知：，，则公比（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【解析】因为是等比数列，所以，故，故选：B.
2、若是与的等比中项，则的值为（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．
【答案】C
【解析】由等比中项定义，知，所以，所以，故选：C.
3、已知、、成等比数列，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为、、成等比数列，所以，解得，故选：C.
4、已知数列的通项公式为，那么9是它的（ ）
A．第10项 B．第4项 C．第3项 D．第2项
【答案】C
【解析】因为数列的通项公式为，令，解得，所以9是数列的第3项，故选：C.
5、等比数列的前n项和为，已知，，成等差数列，则的公比为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【解析】设等比数列的公比为，因为，，成等差数列，所以，所以，化为：，解得，故选：D.
6、在数列中，，，则 ．
【答案】64
【解析】在数列中，，即，又因为，所以，所以，
所以数列是以2为首项，公比为2的等比数列，所以，故答案为：64.
二、等比数列的性质及前n项和
例1、是等比数列的前项和，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意，根据等比数列的性质，，于是，于是，故选：A.
例2、设是等比数列的前n项和，，，则首项（ ）
A． B．12 C．1或 D．3或12
【答案】D
【解析】是等比数列的前n项和，，，∴当公比q＝1时，，此时满足题意，
当公比q≠1时，，解得，∴首项的值为3或12．故选：D．
例3、已知数列满足，且，为其前n项的和，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题可知是首项为2，公比为3的等比数列，则，故选：B.
例4、设是各项为正数的等比数列，且，则 .
【答案】1
【解析】，而，∴，故答案为：1.
例5、在等比数列中，是数列的前n项和．若，则 .
【答案】6
【解析】设的公比为q，则，得，∴，即，故答案为：6.
例6、已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．255 B．127 C．63 D．31
【答案】A
【解析】因为，，公比，所以，，解得，，则，故选：A.
1、设是公比为的等比数列，且.则（ ）
A． B． C．8 D．11
【答案】B
【解析】是公比为的等比数列，且，则 ，解之得，则，故选：B.
2、已知正项等比数列首项为1，且成等差数列，则前6项和为（ ）
A．31 B． C． D．63
【答案】C
【解析】∵成等差数列，∴，∴，即，解得 或 ，又∵，∴，∴，故选：C.
3、若等比数列满足，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】B
【解析】由题意知，，则，故选：B.
4、递增的等比数列的每一项都是正数，设其前项的和为，若 则
.
【答案】364
【解析】设等比数列的公比为，由得，由，解得或，
因为数列为递增数列，所以，所以，得，因为等比数列的每一项都是正数，所以，所以，所以，故答案为：364.
5、已知等比数列的前项和为，若，，则 ．
【答案】
【解析】由已知条件得 ，解得，∴，故答案为：.
6、已知等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．20 B．30 C．40 D．50
【答案】B
【解析】因为是等比数列，所以成等比数列，即成等比数列，
显然，故选：B.专题 等比数列
1．等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．
2．等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，
且G2＝ab或G＝±.
3．等比数列的通项公式
若{an}是等比数列，则通项an＝a1qn－1或an＝amqn－m.
4．等比数列的前n项和公式：等比数列{an}中，　.
5．等比数列的性质
(1)在等比数列中，若p＋q＝m＋n，则ap·aq＝am·an；若2m＝p＋q，则a＝ap·aq(p，q，m，n∈N*)．
(2)若{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，则数列，{p·an}(p≠0)，{an·bn}，仍为等比数列且公比分别为 ， q1， q1q2 ， .
(3)在等比数列中，按序等距离取出若干项，也构成一个等比数列，即an，an＋m，an＋2m，…仍为等比数列，公比为qm．
(4)公比不为－1的等比数列前n项和为Sn(Sn≠0)，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…构成等比数列，且公比为qn．
(5) 等比数列的单调性：
①当a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1时，等比数列{an}是递增数列；
②当a1＞0，0＜q＜1或a1＜0，q＞1时，等比数列{an}是递减数列；
③当q＝1时，它是一个常数列；
④当q＜0时，它是一个摆动数列．
一、 等比数列的概念及其通项公式
例1、对于无穷常数列7，7，…，7…，下列说法正确的是（ ）
A．该数列既不是等差数列也不是等比数列 B．该数列是等差数列但不是等比数列
C．该数列是等比数列但不是等差数列 D．该数列既是等差数列又是等比数列
例2、已知成等比数列，则x的值为（ ）
A．8 B． C． D．
例3、在等比数列中，则（ ）
A． B． C． D．
例4、已知正项等比数列中，公比，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例5、已知数列是等比数列，，，成等差数列，则数列的公比q= .
例6、在等比数列中，若，，q=2，则项数n为 ．
1、等比数列中，已知：，，则公比（ ）
A． B．2 C． D．3
2、若是与的等比中项，则的值为（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．
3、已知、、成等比数列，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4、已知数列的通项公式为，那么9是它的（ ）
A．第10项 B．第4项 C．第3项 D．第2项
5、等比数列的前n项和为，已知，，成等差数列，则的公比为（ ）
A． B． C．3 D．
6、在数列中，，，则 ．
二、等比数列的性质及前n项和
例1、是等比数列的前项和，，则（ ）
A． B． C． D．
例2、设是等比数列的前n项和，，，则首项（ ）
A． B．12 C．1或 D．3或12
例3、已知数列满足，且，为其前n项的和，则（ ）
A． B． C． D．
例4、设是各项为正数的等比数列，且，则 .
例5、在等比数列中，是数列的前n项和．若，则 .
例6、已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．255 B．127 C．63 D．31
1、设是公比为的等比数列，且.则（ ）
A． B． C．8 D．11
2、已知正项等比数列首项为1，且成等差数列，则前6项和为（ ）
A．31 B． C． D．63
3、若等比数列满足，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
4、递增的等比数列的每一项都是正数，设其前项的和为，若 则
.
5、已知等比数列的前项和为，若，，则 ．
6、已知等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．20 B．30 C．40 D．50

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