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专题 等差数列
1. 等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，即an－an－1＝d(n∈N＋，且n≥2)或an＋1－an＝d(n∈N＋)．
2．等差中项 三个数a，A，b成等差数列，这时A叫做a与b的等差中项．
3．等差数列的通项公式
若{an}是等差数列，则其通项公式an＝a1＋(n－1)d.
单调性：d＞0时，{an}为单调递增数列；d＜0时，{an}为单调递减数列；d＝0时，{an}为常数列．
4．等差数列的前n项和公式
(1)等差数列前n项和公式Sn＝＝na1＋，其推导方法是倒序相加法．
(2){an}成等差数列，求Sn的最值：
若a1＞0，d＜0，且满足时，Sn最大；( ≥0　≤0 )
若a1＜0，d＞0，且满足时，Sn最小；(≤0　≥0 )
或利用二次函数求最值；或利用导数求最值．
5．等差数列的性质
(1)am－an＝(m－n)d，即d＝.
(2)在等差数列中，若p＋q＝m＋n，则有ap＋aq＝am＋an；若2m＝p＋q，则有2am＝ap＋aq(p，q，m，n∈N*)．但要注意：在等差数列an＝kn＋b中，若m＝p＋q，易证得am＝ap＋aq成立的充要条件是b＝0，故对一般等差数列而言，若m＝p＋q，则am＝ap＋aq并不一定成立．
(3)若{an}，{bn}均为等差数列，且公差分别为d1，d2，则数列{pan}，{an＋q}，{an±bn}也为等差数列，且公差分别为pd1，d1，d1±d2.
(4)在等差数列中，按序等距离取出若干项也构成一个等差数列，即an，an＋m，an＋2m，…为等差数列，公差为md.
(5)等差数列的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…为等差数列，公差为n2d.
一、 等差数列的概念及其通项公式
例1、已知等差数列、、、，则错误的是（ ）
A．公差 B．该数列的通项公式为
C．数列的前项和为 D．是该数列的第项
【答案】B
【解析】对于A选项，等差数列的公差为，A对；
对于B选项，该数列的通项公式为，B错；
对于C选项，数列的前项和为，C对；
对于D选项，由，解得，D对，故选：B.
例2、在等差数列中，若，，则公差d＝ .
【答案】2
【解析】由题意，，故答案为：2．
例3、等差数列的前三项依次是，，，则值为（ ）
A．2 B．1 C．4 D．8
【答案】C
【解析】由题意，解得，故选：C．
例4、已知数列满足，，则此数列的通项公式 .
【答案】
【解析】因为，，所以，故答案为：
例5、已知为等差数列，，则（ ）．
A．14 B．16 C．18 D．20
【答案】A
【解析】因为，所以，故选：A．
1、若、、成等差数列，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为、、成等差数列，则，可得，故选：A.
2、在等差数列中，若，，则数列的公差d＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】由，，得，解得，故选：A.
3、已知等差数列中首项，公差，则（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】D
【解析】因为等差数列的首项，公差，所以，故选：D.
4、等差数列中，若，则等于（ ）
A． B．0 C． D．1
【答案】B
【解析】因为，所以，所以，所以；故选：B
5、已知数列满足，，则 .
【答案】32
【解析】由题意可知，对任意的，，故数列是公差为的等差数列，所以，，故答案为：.
二、等差数列的性质及前n项和
例1、等差数列的前n项和为，若，则公差( )
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】由题可知，故选：B．
例2、设为等差数列的前n项和，若，公差，，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】因为，，所以，解得（舍负），故选：B.
例3、记分别为等差数列的前项和，若，则 .
【答案】100
【解析】，所以前10项的和为，故答案为：100.
例4、设等差数列的前n项和为，若，则 ．
【答案】20
【解析】由题意得，故，故答案为：20.
例5、已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．8 B．12 C．14 D．20
【答案】D
【解析】等差数列的前n项和为，，，则，，，构成首项为2，公差为2的等差数列，则+()+ ()+ ()=2+4+6+8=20，故选：D.
例6、已知等差数列的前项和为若则的值为（ ）
A．18 B．17 C．16 D．15
【答案】D
【解析】因为，故，又，故，所以，故选：D.
1、记为等差数列的前项和，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设等差数列的公差为，由，得，即，又，所以，故，故选：D.
2、记为等差数列的前n项和.若，，则（ ）
A．-54 B．-18 C．18 D．36
【答案】C
【解析】设公差为，则，解得，所以，所以，故选：C.
3、在等差数列中，，则此等差数列的前9项之和为（ ）
A．5 B．27 C．45 D．90
【答案】C
【解析】依题意，即，即，所以，故选：C.
4、设等差数列的前n项和为，若，，则 .
【答案】36
【解析】由，解得，，故答案为：.
5、设公差不为零的等差数列的前n项和为，，则（ ）
A． B．-1 C．1 D．
【答案】C
【解析】在等差数列中，，，故，又，故，
则，故，故选：C.
6、一个等差数列的第4项为12，第8项为4，则此数列的第12项为___________.
【答案】
【解析】设等差数列为，由题意，，，又，所以由等差数列的性质有，即，解得，故答案为：.专题 等差数列
1. 等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，即an－an－1＝d(n∈N＋，且n≥2)或an＋1－an＝d(n∈N＋)．
2．等差中项 三个数a，A，b成等差数列，这时A叫做a与b的等差中项．
3．等差数列的通项公式
若{an}是等差数列，则其通项公式an＝a1＋(n－1)d.
单调性：d＞0时，{an}为单调递增数列；d＜0时，{an}为单调递减数列；d＝0时，{an}为常数列．
4．等差数列的前n项和公式
(1)等差数列前n项和公式Sn＝＝na1＋，其推导方法是倒序相加法．
(2){an}成等差数列，求Sn的最值：
若a1＞0，d＜0，且满足时，Sn最大；( ≥0　≤0 )
若a1＜0，d＞0，且满足时，Sn最小；(≤0　≥0 )
或利用二次函数求最值；或利用导数求最值．
5．等差数列的性质
(1)am－an＝(m－n)d，即d＝.
(2)在等差数列中，若p＋q＝m＋n，则有ap＋aq＝am＋an；若2m＝p＋q，则有2am＝ap＋aq(p，q，m，n∈N*)．但要注意：在等差数列an＝kn＋b中，若m＝p＋q，易证得am＝ap＋aq成立的充要条件是b＝0，故对一般等差数列而言，若m＝p＋q，则am＝ap＋aq并不一定成立．
(3)若{an}，{bn}均为等差数列，且公差分别为d1，d2，则数列{pan}，{an＋q}，{an±bn}也为等差数列，且公差分别为pd1，d1，d1±d2.
(4)在等差数列中，按序等距离取出若干项也构成一个等差数列，即an，an＋m，an＋2m，…为等差数列，公差为md.
(5)等差数列的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…为等差数列，公差为n2d.
一、 等差数列的概念及其通项公式
例1、已知等差数列、、、，则错误的是（ ）
A．公差 B．该数列的通项公式为
C．数列的前项和为 D．是该数列的第项
例2、在等差数列中，若，，则公差d＝ .
例3、等差数列的前三项依次是，，，则值为（ ）
A．2 B．1 C．4 D．8
例4、已知数列满足，，则此数列的通项公式 .
例5、已知为等差数列，，则（ ）．
A．14 B．16 C．18 D．20
1、若、、成等差数列，则（ ）
A． B． C． D．
2、在等差数列中，若，，则数列的公差d＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3、已知等差数列中首项，公差，则（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
4、等差数列中，若，则等于（ ）
A． B．0 C． D．1
5、已知数列满足，，则 .
二、等差数列的性质及前n项和
例1、等差数列的前n项和为，若，则公差( )
A．1 B． C．2 D．
例2、设为等差数列的前n项和，若，公差，，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
例3、记分别为等差数列的前项和，若，则 .
例4、设等差数列的前n项和为，若，则 ．
例5、已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．8 B．12 C．14 D．20
例6、已知等差数列的前项和为若则的值为（ ）
A．18 B．17 C．16 D．15
1、记为等差数列的前项和，若，，则（ ）
A． B． C． D．
2、记为等差数列的前n项和.若，，则（ ）
A．-54 B．-18 C．18 D．36
3、在等差数列中，，则此等差数列的前9项之和为（ ）
A．5 B．27 C．45 D．90
4、设等差数列的前n项和为，若，，则 .
5、设公差不为零的等差数列的前n项和为，，则（ ）
A． B．-1 C．1 D．
6、一个等差数列的第4项为12，第8项为4，则此数列的第12项为___________.

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