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小升初专项攻略：长方体和正方体（专项训练）数学六年级上册人教版
一、选择题
1．下列（ ）是正方体的表面展开图。
A． B． C． D．
2．一个长方体木料长5厘米，宽4厘米，高6厘米，把它加工成一个最大正方体，应削去的体积是（ ）立方厘米。
A．125 B．64 C．216 D．56
3．一个长方体的长和宽都扩大3倍，高不变．它的体积扩大（ ）倍．
A．9 B．27 C．3 D．6
4．一个长方体无盖鱼缸的长是30厘米，宽20厘米，高25厘米，这个鱼缸的用料是（ ）
A．21平方厘米 B．31平方分米 C．31平方厘米
5．如图分别是一个长方体的后面和上面，那么这个长方体的右面的面积是（　　）平方厘米．
A．50 B．70 C．35 D．100
6．把长10厘米、宽8厘米、厚5厘米的长方体肥皂两块包装在一起，至少用（ ）平方厘米的包装纸。
A．500 B．520 C．580 D．600
二、填空题
7．把1立方米的木材全部锯成1立方厘米的小正方体（耗损不计），再把这些小正方体排成一排，长( )厘米。
8．把一长3米的长方体木料截成1米长为一段，表面积增加36平方分米，原来这根木料的体积是( )．
9．将一个长5分米、宽4分米、高3分米的长方体切成两个长方体后，表面积最多增加( )平方分米，表面积最少增加( )平方分米。
10．一个长方体长是8厘米，宽和高都是长的一半，它的棱长总和是( )厘米，表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。
11．把一根长48厘米的铁丝焊成一个宽2厘米，高1厘米的长方体框架，这个框架的长是( )厘米．
12．一块长方体木材，长10分米、宽10厘米、厚5厘米，若锯成最大的正方体木块（要求不能割补，不能浪费），可以锯成( )块，每块体积应是( )立方厘米．
13．如图，有一个棱长是8厘米的正方体零件，从中挖去一个棱长3厘米的小正方体，这时余下部分的表面积比原来的正方体( )（填“增加”或“减少”）了( )平方厘米。
14．由64个相同的小正方体组成一个大正方体，把大正方体表面涂色，其中一面涂色的小正方体共有( )块，两面涂色的小正方体共有( )块。
三、解答题
15．把3立方米的沙铺在宽4米的公路上，如果沙子要铺5厘米厚，可以铺多少米的公路？（用方程解）
16．郑老师要焊接一个长方体框架模型，可供使用的铁条材料如下表。为了方便，不改变铁条的长度，郑老师选择了其中的12根作为长方体框架的棱。
铁条长度 25厘米 20厘米 15厘米 8厘米
铁条根数 5根 7根 3根 4根
（1）郑老师做的这个长方体框架模型的棱长和是（ ）厘米。
（2）要给这个长方体框架模型糊上一层塑料纸，至少需要塑料纸多少平方厘米？
17．一个花坛，底面是周长1.6米的正方形，四周用木条围成，高0.9米．
①这个花坛占地多少平方米？
②做这样一个花坛，四周大约需要多少平方米的木条？
③用泥土填满这个花坛，大约要多少立方米泥土？
18．有一张长24厘米、宽18厘米的长方形硬纸板，从它的四个角上分别剪去一个边长为3厘米的正方形后做成一个长方体纸盒，这个纸盒的容积是多少立方厘米？（不考虑纸板厚度）
19．春天来了，妹妹想养几只蚕宝宝，哥哥找来一张长8分米、宽4分米的长方形牛皮纸，准备给蚕宝宝们安一个没有顶的长方体状的家。

（1）在图中画出裁剪方案。
（2）蚕宝宝的家可以是长（ ）分米、宽（ ）分米、高（ ）分米的长方体，这个长方体家的容积是（ ）立方分米。
（3）这种设计方案的利用率是（ ）%。
20．五年级老师用一个从里面量长6分米，宽和高都是4分米的容器装饰办公室。他们在容器内倒进3分米高的水，再放进一块5立方分米的石头，这时容器内所装物体的体积是多少立方分米？
21．一个无水的观赏鱼缸中（如图）放有一块高28厘米，体积为4200立方厘米的假山石，如果用水管向鱼缸内注水，那么至少需要注入多少立方厘米的水才能将假山完全淹没？

参考答案：
1．C
【分析】根据正方体展开图的11种特征，C属于正方体展开图的“2－3－1”型，能折成正方体；其余选项不属于正方体的展开图，不能折成正方体。
【详解】C属于正方体展开图的“2－3－1”型，能折成正方体。
故答案为：C
【点睛】解答此题的关键是明确牢记正方体图形展开图的各种情况，考查空间想象能力。
2．D
【分析】由题分析可知，加工成的最大正方体的棱长是4厘米。据此，先后计算出长方体和正方体的体积，再利用减法求出削去的体积即可。
【详解】5×4×6－4×4×4
＝120－64
＝56（立方厘米）
所以，应削去56立方厘米。
故答案为：D
【点睛】本题考查了长方体和正方体的体积，灵活运用公式是解题的关键。
3．A
【详解】试题分析：长方体的体积=长×宽×高，根据体积公式和积的变化规律，一个长方体的长和宽都扩大3倍，高不变，体积就扩大（3×3）倍．
解：一个长方体的高不变，长和宽都扩大3倍，体积就扩大：3×3=9倍．
答：体积就扩大9倍．
故选A．
【点评】此题考查长方体体积的计算方法和积的变化规律的运用．
4．B
【详解】30×20+(30×25+20×25)×2
=600+(750+500)×2
=600+1250×2
=600+2500
=3100（平方厘米）
=31（平方分米）
故答案为B.根据题意，要求无盖鱼缸的表面积，用公式：长×宽+(长×高+宽×高)×2=无盖鱼缸的表面积，据此列式解答.
5．C
【详解】试题分析：因为长方体的上面的面积=长×宽，长方体的后面的面积=长×高，并结合图可知：长方体的长为10厘米，宽为7厘米，高为5厘米；求右面的面积，根据“长方体右面的面积=宽×高”进行解答，继而选择即可．
解：由分析可知：长方体的长为10厘米，宽为7厘米，高为5厘米，
长方体右面的面积为：7×5=35（平方厘米）；
故选C．
点评：解答此题应根据图，并结合长方体的各个面的计算方法进行解答即可．
6．B
【分析】最大的面叠在一起，就会形成一个长10厘米、宽8厘米、厚5×2＝10厘米的长方体，运用长方体的面积公式“（ab＋ah＋bh）×2”求出这个长方体的表面积即可。
【详解】5×2＝10（厘米）
（10×10＋8×10＋10×8）×2
＝（100＋80＋80）×2
＝260×2
＝520（平方厘米）
故答案为：B
【点睛】本题关键是要找出拼组后的长方体的长宽高各是多少，然后根据长方体表面积公式求解。
7．1000000
【分析】由于1立方米＝1000000立方厘米，由此即可知道可以锯1000000个小正方体，由于每个小正方体的长是1厘米，排成一排，则此时的长：1×1000000＝1000000（厘米）。
【详解】1立方米＝1000000立方厘米
1000000÷1＝1000000（个）
1000000×1＝1000000（厘米）
【点睛】本题主要考查体积的单位换算，相邻体积之间的进率是1000，要注意一个大正方体锯成小正方体，则小正方体的体积和等于大正方体体积。
8．270立方分米
【解析】略
9． 40 24
【分析】沿水平方向横切，表面积增加最多，增加的两个长方形的面积是5×4×2＝40（平方分米）；沿垂直方向竖切，表面积增加最少，增加的两个长方形的面积是4×3×2＝24（平方分米）。
【详解】将一个长5分米、宽4分米、高3分米的长方体切成两个长方体后，表面积最多增加40平方分米，表面积最少增加24平方分米。
【点睛】本题考查立体图形的切拼，增加长方体的2个最大的面，表面积增加最多；增加长方体的2个最小的面，表面积增加最少。
10． 64 160 128
【分析】已知长是8厘米，宽和高都是长的一半，用8除以2求出该长方体的宽和高。根据长方体棱长的特征，其有12条棱，分成4组，即棱长总和＝4（a＋b＋h），再分别根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，长方体的体积公式：V＝abh，代入数据求解即可。
【详解】由分析可得：
宽为：8÷2＝4（厘米）
高为：8÷2＝4（厘米）
棱长总和：
4×（8＋4＋4）
＝4×（12＋4）
＝4×16
＝64（厘米）
表面积：
（8×4＋8×4＋4×4）×2
＝（32＋32＋16）×2
＝（64＋16）×2
＝80×2
＝160（平方厘米）
体积：
8×4×4
＝32×4
＝128（立方厘米）
综上所述：一个长方体长是8厘米，宽和高都是长的一半，它的棱长总和是64厘米，表面积是160平方厘米，体积是128立方厘米。
【点睛】本题主要考查了长方体的棱长特征、体积和表面积公式，需要熟练掌握并且能够结合实际灵活运用。
11．9
【详解】48÷4－2－1
＝12－2－1
＝9（厘米）
答：这个框架的长是9厘米。
故答案为：9。
12． 40 125
【详解】10分米＝100厘米
因为100、10和5的最大公约数是5，要使木块的体积最大，木料又不能有剩余，
所以正方体木块的棱长应该是5厘米，
（100÷5）×（10÷5）×（5÷5）
＝20×2×1
＝40（块）
每一块的体积是：5×5×5＝125（立方厘米），
答：可以锯成40块，每一块的体积是125立方厘米。
故答案为：40；125。
13． 增加 18
【分析】观察图形可知，挖去一个棱长是3厘米的小正方体，少了2个面，多了4个面，实际增加了2个小正方形的面的面积；将数据代入正方形面积公式求出1个面的面积，再×2，即可解答。
【详解】根据分析可知：增加的面积是：3×3×2＝18（平方厘米）
【点睛】本题考查正方体的表面积的计算；关键明确挖去一个小正方形实际增加2个小正方形的面积。
14． 24 24
【分析】根据正方体体积公式：V＝棱长×棱长×棱长，可以求出该正方体的棱长是多少；再根据正方体特征可知：三面涂色的是每条棱顶点处的小正方体，在每条棱上，除去顶点处的正方体，剩下的就是两面涂色的，在每个面上，除去棱上的所有正方体，剩下的都是一面涂色，所有的小正方体的块数减去有色的小正方体的块数，就是没有涂色的小正方体块数，据此解答即可。
【详解】由分析可得：
4×4×4
＝16×4
＝64（个）
所以该正方体的每条棱长为4个小正方体组成；
因为三面涂色的是各顶点处的小正方体，根据正方体的特征，其有8个顶点，所以三面涂色的有8块；
两面涂色块数为：
（4－2）×12
＝2×12
＝24（块）
一面涂色的有：
（4－2）×（4－2）×6
＝2×2×6
＝4×6
＝24（块）
综上所述：由64个相同的小正方体组成一个大正方体，把大正方体表面涂色，其中一面涂色的小正方体共有24块，两面涂色的小正方体共有24块。
【点睛】本题主要考查了正方体表面涂色的问题，需要学生首先熟练掌握正方体的特征，其次要会结合正方体的特征知道表面涂色的规律。
15．15米
【分析】将沙子铺在公路上，沙子的体积没有变，其中公路的宽为长方体的宽，沙子的厚度为长方体的高，要铺的公路的长度是长方体的长，根据长方体的体积＝长×宽×高，设可以铺x米的公路，根据题意列方程解答即可。
【详解】解：设可以铺x米的公路，根据题意列方程入下：
5厘米＝0.05米
4×0.05x＝3
0.2x＝3
x＝15（米）
答：可以铺15米的公路。
【点睛】本题考查用方程解决问题，关键是利用沙子铺在公路上前后的体积不变。
16．（1）212；（2）1720平方厘米
【分析】（1）根据长方体的特征，长方体的6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对面的面积相等，12条棱分为互相平行的3组，每组4条棱的长度相等。由此可以选择25厘米的4根，20厘米的4根，8厘米的4根，焊接一个长方体框架模型。根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，把数据代入公式解答。
（2）根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，把数据代入公式解答。
【详解】选择25厘米的4根，20厘米的4根，8厘米的4根，焊接一个长方体框架模型。
（1）（25＋20＋8）×4
＝53×4
＝212（厘米）
答：这个长方体框架模型的棱长的和212厘米。
（2）（25×20＋25×8＋20×8）×2
＝（500＋200＋160）×2
＝860×2
＝1720（平方厘米）
答：至少需要1720平方厘米的纸。
【点睛】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征，以及长方体的棱长总和公式、表面积公式的灵活运用，要熟练掌握相关公式。
17．①0.16平方米；
②1.44平方米；
③0.144立方米
【详解】①1.6÷4=0.4
0.4×0.4=0.16（平方米）
②0.4×0.9×4=1.44（平方米）
③0.4×0.4×0.9=0.144（立方米）
18．648立方厘米
【分析】根据题意，做成长方体后，长方体的长是24－3×2厘米，宽是18－3×2厘米，高是3厘米，根据长方体的体积公式：长×宽×高，代入数据，即可解答。
【详解】（24－3×2）×（18－3×2）×3
＝（24－6）×（18－6）×3
＝18×12×3
＝216×3
＝648（立方厘米）
答：这个纸盒的容积是648立方厘米。
【点睛】本题考查长方体体积公式的应用，关键先求出长方体的长、宽、高的的长度，再求容积。
19．（1）见详解
（2）6；2；1；12
（3）87.5
【分析】（1）没有顶的长方体只有前、后、左、右、下面5个面，在长方形的4个角裁去4个大小相同的正方形，可以折成一个长方体，据此作图。
（2）根据上题中的裁剪方案，确定长、宽、高，根据长方体体积＝长×宽×高，求出容积即可。
（3）长方形剩余面积÷原长方形面积×100%＝利用率，据此列式计算。
【详解】（1）
（2）蚕宝宝的家可以是长6分米、宽2分米、高1分米的长方体。
6×2×1＝12（立方分米）
这个长方体家的容积是12立方分米。
（3）8×4＝32（平方分米）
（32－4）÷32
＝28÷32
＝0.875
＝87.5%
这种设计方案的利用率是87.5%。
【点睛】关键是熟悉长方体特征，掌握并灵活运用长方体体积公式，掌握百分率的求法。
20．77立方分米
【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，求出容器内水的体积，再将水的体积加上石头的体积，即可求出此时容器内所装物体的体积。
【详解】6×4×3＋5
＝24×3＋5
＝72＋5
＝77（立方分米）
答：这时容器内所装物体的体积是77立方分米。
【点睛】熟练掌握长方体的体积公式是解题的关键。
21．28000立方厘米
【分析】由于将假山完全淹没，那么此时的水的高度应该是28厘米，水和假山组成的体积相当于长是46厘米，宽是25厘米，高是28厘米的长方体体积，根据长方体的体积公式：长×宽×高，把数代入公式，再减去假山的体积即可求出需要注入多少立方厘米的水。
【详解】46×25×28－4200
＝32200－4200
＝28000（立方厘米）
答：至少需要注入28000立方厘米的水才能将假山完全淹没。
【点睛】本题主要考查长方体的体积公式，熟练掌握它的公式并灵活运用。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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