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2023年浙江省衢州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.手机信号的强弱通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强单位：，则下列信号最强的是( )
A. B. C. D.
2.如图是国家级非物质文化遗产衢州莹白瓷的直口杯，它的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
3.下列运算，结果正确的是( )
A. B. C. D.
4.某公司名员工在一次义务募捐中的捐款额为单位：元：，，，，若捐款最少的员工又多捐了元，则分析这名员工捐款额的数据时，不受影响的统计量是( )
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
5.下列各组数满足方程的是( )
A. B. C. D.
6.如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出角的大小，需将转化为与它相等的角，则图中与相等的角是( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，在中，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，交于内一点连结并延长，交于点连结，添加下列条件，不能使成立的是( )
A.
B.
C.
D.
8.某人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感设每一轮传染中平均每人传染了人，则可得到方程( )
A. B.
C. D.
9.如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆，，的最大仰角为当时，则点到桌面的最大高度是( )
A.
B.
C.
D.
10.已知二次函数是常数，的图象上有和两点若点，都在直线的上方，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11.计算： ______ ．
12.衢州飞往成都每天有趟航班小赵和小黄同一天从衢州飞往成都，如果他们可以选择其中任一航班，则他们选择同一航班的概率等于______ ．
13.在如图所示的方格纸上建立适当的平面直角坐标系，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为______ ．
14.如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽是矩形当餐盘正立且紧靠支架于点，时，恰好与边相切，则此餐盘的半径等于______ ．
15.如图，点，在轴上，分别以，为边，在轴上方作正方形，，反比例函数的图象分别交边，于点，作轴于点，轴于点若，为的中点，且阴影部分面积等于，则的值为______ ．
16.下面是勾股定理的一种证明方法：图所示纸片中，，四边形，是正方形过点，将纸片分别沿与平行、垂直两个方向剪裁成四部分，并与正方形，拼成图．
若，的面积为，则纸片Ⅲ的面积为______ ．
若，则 ______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
计算：．
化简：．
18.本小题分
小红在解方程时，第一步出现了错误：
解：，
请在相应的方框内用横线划出小红的错误处．
写出你的解答过程．
19.本小题分
已知：如图，在和中，，，，在同一条直线上下面四个条件：
；；；．
请选择其中的三个条件，使得≌写出一种情况即可．
在的条件下，求证：≌．
20.本小题分
【数据的收集与整理】
根据国家统计局统一部署，衢州市统计局对年我市人口变动情况进行了抽样调查，抽样比例为根据抽样结果推算，我市年的出生率为，死亡率为，人口自然增长率为，常住人口数为人表示千分号．
数据来源：衢州市统计局
【数据分析】
请根据信息推测人口自然增长率与出生率、死亡率的关系．
已知本次调查的样本容量为，请推算的值．
将我市及全国近五年的人口自然增长率情况绘制成如图统计图根据统计图分析：
对图中信息作出评判写出两条．
为扭转目前人口自然增长率的趋势，请给出一条合理化建议．
21.本小题分
如图，在中，，为边上一点，连结以为半径的半圆与边相切于点，交边于点．
求证：．
若，．
求半圆的半径．
求图中阴影部分的面积．
22.本小题分
视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“
”形图都是正方形结构，同一行的“
”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表．
素材国际通用的视力表以米为检测距离，任选视力表中个视力值，测得对应行的“”形图边长，在平面直角坐标系中描点如图．
探究检测距离为米时，归纳与的关系式，并求视力值所对应行的“”形图边长．
素材图为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“”形图所成的角叫做分辨视角视力值与分辨视角分的对应关系近似满足．
探究当时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角的范围．
素材如图，当确定时，在处用边长为的Ⅰ号“”测得的视力与在处用边长为的Ⅱ号“”测得的视力相同．
探究若检测距离为米，求视力值所对应行的“”形图边长．
23.本小题分
某龙舟队进行米直道训练，全程分为启航，途中和冲刺三个阶段图，图分别表示启航阶段和途中阶段龙舟划行总路程与时间的近似函数图象启航阶段的函数表达式为；途中阶段匀速划行，函数图象为线段；在冲刺阶段，龙舟先加速后匀速划行，加速期龙舟划行总路程与时间的函数表达式为．
求出启航阶段关于的函数表达式写出自变量的取值范围．
已知途中阶段龙舟速度为．
当时，求出此时龙舟划行的总路程．
在距离终点米处设置计时点，龙舟到达时，视为达标请说明该龙舟队能否达标．
冲刺阶段，加速期龙舟用时将速度从提高到，之后保持匀速划行至终点求该龙舟队完成训练所需时间精确到．
24.本小题分
如图，点为矩形的对称中心，，，点为边上一点，连结并延长，交于点四边形与关于所在直线成轴对称，线段交边于点．
求证：．
当时，求的长．
令，．
求证：．
如图，连结，，分别交，于点，记四边形的面积为，的面积为，当时，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，，，，
信号最强的是，
故答案为：．
先求出各个选项中数的绝对值，然后进行比较，根据绝对值越小表示信号越强，找出信号最强的即可．
本题主要考查了绝对值，解题关键是熟练掌握绝对值的性质．
2.【答案】
【解析】解：该直口杯的主视图为．
故选：．
根据视图的意义，从正面看所得到的图形即可．
本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义是正确判断的前提．
3.【答案】
【解析】解：因为，所以选项错误．
因为，所以选项错误．
因为，所以选项正确．
因为，所以选项错误．
故选：．
根据同底数幂的乘法法则和同底数幂的除法法则及合并同类项法则即可解决问题．
本题考查同底数幂的运算及合并同类项，熟知同底数幂的运算法则及合并同类项法则是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：依题意，捐款最少的员工又多捐了元，则从小到大的顺序不变，即中位数不变，而平均数，众数，方差都要用到第一个数，
故不受影响的统计量是中位数．
故选：．
根据捐款最少的员工又多捐了元，则从小到大的顺序不变，即中位数不变，据此即可求解．
本题考查了中位数，平均数，众数，极差，掌握以上知识是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：当，时，方程左边，方程右边，
方程左边方程右边，选项A符合题意；
B.当，时，方程左边，方程右边，，
方程左边方程右边，选项B不符合题意；
C.当，时，方程左边，方程右边，，
方程左边方程右边，选项C不符合题意；
D.当，时，方程左边，方程右边，，
方程左边方程右边，选项D不符合题意．
故选：．
代入，的值，找出方程左边方程右边的选项，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程的解，牢记“一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解”是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：由示意图可知：和都是直角三角形，
，，
，
故选：．
根据直角三角形的性质可知：与互余，与互余，根据同角的余角相等可得结论．
本题考查直角三角形的性质的应用，掌握直角三角形的两个锐角互余是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：根据题中所给的作图步骤可知，
是的角平分线，即．
当时，又，且，
所以≌，
所以，
故A选项不符合题意．
当时，
，
又，且，
所以≌，
所以，
故B选项不符合题意．
当时，
因为，，，
所以≌，
所以，
又，
所以，
即．
又，
所以，
则方法同可得出，
故C选项不符合题意．
故选：．
根据题意可知是三角形的角平分线，再结合选项所给的条件逐次判断能否得出即可．
本题考查全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：由题意得：，
故选：．
患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每一轮传染中平均每人传染了人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列方程：．
本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
9.【答案】
【解析】解：如图，过点作于，过点作于，
在中，，
在中，，
点到桌面的最大高度，
故选：．
过点作于，过点作于，利用解直角三角形可得，，根据点到桌面的最大高度，即可求得答案
本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是添加辅助线，构造直角三角形，利用解直角三角形解决问题．
10.【答案】
【解析】解：，
，
和两点都在直线的上方，且，
，
，
，
二次函数是常数，的图象上有和两点．
，
，
，，
，
，
由得．
故选：．
根据已知条件列不等式即可得到结论．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，正确地列出不等式是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
先计算，再进行计算即可．
本题考查实数的运算，掌握二次根式的定义是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：如图所示，
选择航班从衢州飞往成都共有种情况：，其中选择同一航班从市飞往市的有两种情况：
，．
选择同一航班从市飞往市．
故答案为：．
根据概率公式即可得到结论．
本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：如图：由的坐标为，点的坐标为，坐标可确定原点位置和坐标系：由图可得，故答案为：．
根据、两点的坐标确定平面直角坐标系的位置，即可得点的坐标．
本题考查平面直角坐标系与点的位置，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由题意得：，，
如图，连接，过点作，交于点，交于点，
则，
餐盘与边相切，
点为切点，
四边形是矩形，
，，，
四边形是矩形，，
，，，
设餐盘的半径为，
则，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
餐盘的半径为，
故答案为：．
连接，过点作，交于点，交于点，则点为餐盘与边的切点，由矩形的性质得，，，则四边形是矩形，，得，，，设餐盘的半径为，则，，然后由勾股定理列出方程，解方程即可．
本题考查了切线的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：设，
，
，
，则，
由于在正方形中，，
为中点，
，
，
在反比例函数上，
，
四边形是正方形，
，
在上，
点纵坐标为，
在反比例函数上，
点横坐标为：，
，
作轴于点，轴于点，
四边形是矩形，
，，
，
则，
故答案为：．
设，因为，所以，则，，由于正方形，，则，因为轴，在上，所以点纵坐标为，则点横坐标为：，由于为中点，切轴，所以，则，由于在反比例函数上，所以，根据已知阴影为矩形，长为，宽为：，面积为，所以可得，即可解决．
本题考查反比例函数图象的性质以及正方形的性质和长方形的面积公式，读懂题意，灵活运用说学知识是解决问题的关键．
16.【答案】
【解析】解：在图中，过作于，如图：
，
，
，
，即，
，
，
，即，
，
，
的面积为，
，
，
，
纸片Ⅲ的面积为；
故答案为：；
如图：
，
，
设，则，，
，，，
≌，
，
，，
∽，
，
，
，
解得或，
当时，，这情况不符合题意，舍去；
当时，，
而，，
．
故答案为：．
在图中，过作于，由，可得，，故C，而的面积为，即可得纸片Ⅲ的面积为；
标识字母如图，设，证明≌，可得，由∽，有，即，可得或，而，，即可得到答案．
本题考查相似三角形的性质与判定，涉及正方形性质及应用，全等三角形性质与判定，锐角三角函数等知识，解题的关键是掌握三角形相似的判定定理．
17.【答案】解：
；
．
【解析】根据平方差公式进行计算即可；
根据分式的加法法则进行计算即可．
本题考查了分式的加法和平方差公式，能正确根据平方差公式进行计算是解的关键，能正确根据分式的加法法则进行计算是解的关键．
18.【答案】解：如图：
去分母：，
去括号：，
移项：，
合并同类项：，
系数化：．
【解析】根据等式的性质，解一元一次方程的步骤即可判断；
首先去分母、然后去括号、移项、合并同类项、次数化成即可求解．
此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为，求出解．
19.【答案】解：由题知，
选择的三个条件是：；
或者选择的三个条件是：．
证明：当选择时，
，
，
即．
在和中，
，
≌．
当选择时，
，
，
即．
在和中，
，
≌．
【解析】根据两三角形全等的判定定理，选择合适的条件即可．
根据中所选条件，进行证明即可．
本题考查全等三角形的证明，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．
20.【答案】解：根据题意可知，人口自然增长率出生率死亡率．
，解得．
近年来，我市及全国人口自然增长率逐年下降；自年起，我市人口呈现负增长答案不唯一，合理即可；
建议国家加大政策优惠力度和补贴力度，降低生育成本，鼓励人们多生育答案不唯一，合理即可．
【解析】根据自然增长率与出生率、死亡率的数值即可推测它们之间的关系；
根据样本容量总体抽样比例求出的值即可；
根据统计图进行解答，合理即可；
根据目前人口自然增长率的趋势，提出建议改善现状，合理即可．
本题考查总体、个体、样本、样本容量，理解并掌握它们的概念是本题的关键．
21.【答案】证明：如图，连结．
是圆的切线，为切点，
，
，，，
≌，
．
解：，
，
≌，
，
，
，
，
在中，，
．
，
，
，
半圆的半径为．
在中，，，
，
，
，
，
．
【解析】连结由切线的性质得出，证明≌，由全等三角形的性质得出．
证出，由直角三角形的性质得出答案；
由勾股定理求出，，由三角形面积公式和扇形的面积公式可得出答案．
此题考查了切线的性质，扇形的面积，锐角三角函数定义，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
22.【答案】解：探究：
由图象中的点的坐标规律得到与成反比例关系，
设，将其中一点代入得：，
解得：，
，将其余各点一一代入验证，都符合关系式；
将代入得：；
答：检测距离为米时，视力值所对应行的“”形图边长为，视力值所对应行的“”形图边长为；
探究：
，
在自变量的取值范围内，随着的增大而减小，
当时，，
，
；
探究：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，由相似三角形性质可得，
由探究知，
，
解得，
答：检测距离为时，视力值所对应行的“”形图边长为．
【解析】探究：由图象中的点的坐标规律得到与成反比例关系，由待定系数法可得，将代入得：；
探究：由，知在自变量的取值范围内，随着的增大而减小，故当时，，即可得；
探究：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，可得，即可解得答案．
本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，函数图象上点坐标的特征，相似三角形的性质等知识，解题的关键是读懂题意，能将生活中的问题转化为数学问题加以解决．
23.【答案】解：把代入得，
解得，
启航阶段总路程关于时间的函数表达式为；
设，把代入，得，
解得，
．
当时，．
当时，龙舟划行的总路程为．
，
把代入，
得．
，
该龙舟队能达标．
加速期：由可知，
把代入，
得．
函数表达式为，
把代入，
解得．
，
．
答：该龙舟队完成训练所需时间为，．
【解析】把代入得出的值，则可得出答案；
设，把代入，得出，求得，当时，求出，则可得出答案；
把代入，求得，则可得出答案；
由可知，把代入，求得求出，则可得出答案．
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的应用，一次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法，根据条件准确得到表达式是解题关键．
24.【答案】证明：四边形是矩形，
，
，
四边形与关于所在直线成轴对称，
，
，
；
解：过作于，如图：
设，则，
，
，
四边形是矩形，
，，
点为矩形的对称中心，
，
，
在中，，
，
解得此时大于，舍去或，
；
的长为；
证明：过作于，连接，，，如图：
点为矩形的对称中心，过点，
为中点，，，
，
，
，
，
∽，
，即，
，
，，
，
，，
；
解：连接，，，如图：
四边形与关于所在直线成轴对称，
，
点为矩形的对称中心，
，
，
同理，
由知，
，即，
，
≌，
，
，，
≌，
，，
，即，
，
≌，
，
，
，
，，，
，
，
∽，∽，
，
，
，
∽，
，
当时，由知，
，
，，
，
，
的值为．
【解析】由四边形是矩形，可得，而四边形与关于所在直线成轴对称，有，故，；
过作于，设，可知，，根据点为矩形的对称中心，可得，故FH，在中，，解得的值从而可得的长为；
过作于，连接，，，由点为矩形的对称中心，过点，可得为中点，，，证明∽，得，即，故G，即可得；
连接，，，证明，，可得≌，，从而≌，，，即可证≌，得，有，而，，，知，可得∽，∽，得，，又∽，有，当时，，即，，即可得．
本题考查四边形综合应用，涉及轴对称变换，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理及应用等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形和相似三角形解决问题．
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