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专题2.38 有理数及其运算（全章知识梳理与考点分类讲解）
一、知识梳理
【知识点1】有理数及相关概念
1．有理数的分类：
（1）按定义分类：
（2）按性质分类：
要点说明：（1）用正数、负数表示相反意义的量；（2）有理数“0”的作用：
作用 举例
表示数的性质 0是自然数、是有理数
表示没有 3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示
表示某种状态 表示冰点
表示正数与负数的界点 0非正非负，是一个中性数
2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线．
要点说明：
（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如．
（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．
3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0．
要点说明：
（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．
（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可．
（3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负．
4．绝对值：
（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作．
（2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．
【知识点2】有理数的运算
1．法则：
（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．
（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即．
（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．
（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即．
（5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0．
（6）有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；
③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
要点说明：“奇负偶正”口诀的应用：
（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3．
（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．
（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： ， ．
2．运算律：
（1）交换律：① 加法交换律：； ②乘法交换律：；
（2）结合律：①加法结合律：； ②乘法结合律：
（3）分配律：
【知识点3】科学记数法
1．科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=．
2．近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值．如长江的长约为，这里的就是近似数．
要点说明：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入．
3．精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度．
要点说明：
（1）精确度是指近似数与准确数的接近程度．
（2）精确度有两种形式：①精确到哪一位．②保留几个有效数字．这两种的形式的意义不一样，一般来说精确到哪一位可以表示误差绝对值的大小，例如精确到米，说明结果与实际数相差不超过米，而有效数字往往用来比较几个近似数哪个更精确些．
【知识点4】有理数的大小比较
比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；（3）作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法．
二、考点分类讲解
【考点一】有理数 相关概念及其运用
①绝对值、相反数、倒数
【例1】
1．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，则代数式﹣cd+|m|的值为 ．
【举一反三】
【变式1】
2．＋3的绝对值是 ； 的相反数是0；与 互为相反数．
【变式2】
3．①0是绝对值最小的有理数；②相反数大于自身的数是负数；③任何一个有理数的绝对值都是非负数；④两个数相互比较，绝对值大的反而小；⑤符号不同的两个数是互为相反数；⑥绝对值等于本身的数是0和1．其中正确的有 （填序号）．
②科学记数法、近似数、有效数字
【例2】
4．-690000000用科学记数法表示 ，9.5×105的原数 .，将近似数207670保留三个有效数字，其近似值是 .
【举一反三】
【变式1】
5．今年是中国共青团建团100周年，据统计截止2021年12月31日，全国共有学生团员48310000名，48310000用科学记数法表示为 ．
【变式2】
6．近似数1.96精确到了 位；近似数3698000保留3个有效数字，用科学记数法表示为 ．
③绝对值的非负性
【例3】
7．已知x、y为有理数，且，
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
【举一反三】
【变式1】
8．已知与互为相反数，求的值．
【变式2】
9．已知点A在数轴上的对应的数为a，点B对应的数为b，且满足．
(1)点A到点B的距离为_________；
(2)如图，点P是数轴上一点，点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍（即），求点P在数轴上对应的数．
④有理数的大小比较
【例4】
10．如图，已知数轴上点A表示的数为a．
(1)比较大小：______．（填“”“ ”或“”）．
(2)用“”将0，，1，a，，连接起来．
【举一反三】
【变式1】
11．比较和的大小
【变式2】
12．比较大小：
和；
和
【考点三】有理数 有理数的运算
【例5】
13．计算
(1)
(2)
【举一反三】
【变式1】
14．计算：
(1)；
(2)．
【变式2】
15．计算：
(1)
(2)
【例6】
16．用简便算法计算：
(1)
(2)
【举一反三】
【变式1】
17．用简便方法计算：
(1)
(2)
【变式2】
18．用简便方法计算：
(1)
(2)
【考点四】有理数 用数形结合思想解决问题
【例7】
19．数a，b，c在数轴上的位置如图所示：化简：．
【举一反三】
【变式1】
20．1厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上互为相反数的点A和点B刚好对着直尺上的刻度2和刻度8
(1)写出点A和点B表示的数；
(2)写出与点B距离为9.5厘米的直尺左端点C表示的数；
(3)在数轴上有一点D，其到A的距离为2，到B的距离为4，求点D关于原点点对称的点表示的数．
【变式2】
21．已知数轴上的点A，B分别表示和．
(1)在数轴上画出A，B两点；
(2)写出数轴上点A和点B之间的所有整数，并求它们的和．
【考点五】有理数 用整体思想、分类讨论思想解决问题
【例8】
22．阅读材料：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”．如：|x|＝2，|2x﹣1|＝3，…都是含有绝对值的方程．怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程．我们知道，由|x|＝2，可得x＝2或x＝﹣2．
【例】解方程：|2x﹣1|＝3．我们只要把2x﹣1看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题．
解：根据绝对值的意义，得2x﹣1＝3或2x﹣1＝﹣3．
解这两个一元一次方程，得x＝2或x＝﹣1．
根据以上材料解决下列问题：
(1)解方程：|3x﹣2|＝4；
(2)拓展延伸：解方程|x﹣2|＝|3x+2|．
【举一反三】
【变式1】
23．阅读理解：在解形如这类含有绝对值的方程时，
解法一：我们可以运用整体思想来解．移项得，，
，，或．
解法二：运用分类讨论的思想，根据绝对值的意义分和两种情况讨论：
①当时，原方程可化为，解得，符合；
②当时，原方程可化为，解得，符合．
原方程的解为或．
解题回顾：本解法中2为的零点，它把数轴上的点所对应的数分成了和两部分，所以分和两种情况讨论．
问题：结合上面阅读材料，解下列方程：
(1)解方程：
(2)解方程：
【变式2】
24．数轴上、两点对应的数分别为、，且、满足．表示点与点之间的距离．
（1）求、两点之间的距离；
（2）若点、同时出发在数轴上运动，速度都是个单位长度/秒，点向右运动，点向左运动，设经过秒时，求的值；
（3）为原点，点、同时出发，在数轴上运动，分别以个单位长度/秒和个单位长度/秒的速度运动．设经过秒时，点到达点，点到达点．当点、到原点的距离相等时（即），求的值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．1
【分析】利用相反数、倒数的性质，以及绝对值的代数意义分别求出各自的值，代入原式计算即可求出值．
【详解】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，
∴a+b＝0，cd＝1，m＝2或﹣2，
则原式＝0﹣1+2＝1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了相反数和倒数的性质，绝对值的意义，熟练各性质定义是解答此题的关键．
2． 3 0
【分析】根据绝对值和相反数的定义即可求解．
【详解】解：＋3的绝对值是3；0的相反数是0；与互为相反数．
故答案为：3，0，．
【点睛】本题考查了绝对值和相反数的定义，熟练掌握绝对值和相反数的定义是解决本题的关键．
3．①②③
【分析】由绝对值，相反数的概念即可判断．
【详解】解：0是绝对值最小的有理数，正确，故①符合题意；
相反数大于自身的数是负数，正确，故②符合题意；
任何一个有理数的绝对值都是非负数，正确，故③符合题意；
两个负数相互比较，绝对值大的反而小，故④不符合题意；
只有符号不同的两个数是互为相反数，故⑤不符合题意；
绝对值等于本身的数是非负数，故⑥不符合题意，
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查绝对值，相反数的概念，关键是掌握：只有符号不同的两个数叫做互为相反数；正有理数的绝对值是它本身，负有理数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零．
4． -6.9×108 950000 2.08×105.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．由此即可填前两个空.
有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数开始，后面所有的数字都是有效数字．用科学记数法表示的数，有效数字只与前面a有关，而与n的大小无关．由此可填第三个空.
【详解】-690000000用科学记数法表示为：-6.9×108,
9.5×105的原数为：950000.
将207670保留三个有效数字其近似值为：2.08×105.
故答案为 -6.9×108，950000，2.08×105.
【点睛】本题考查科学记数法与有效数字. 能通过科学记数法的定义准确确定a和n的值是解决本题的关键.理解有效数字的计算方法是填写第三个空的关键.
5．
【分析】科学记数法的表示形式为a×的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：48310000＝；
故答案为：．
【点睛】此题考查了科学记数法．解题的关键是掌握科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
6． 百分 3.70×106
【分析】根据近似数与科学记数法即可求解．
【详解】解：近似数1.96精确到了百分位；
近似数3698000保留3个有效数字，用科学记数法表示为3.70×106，
故答案为：百分，3.70×106．
【点睛】本题考查了科学记数法与近似数．把一个数M记成a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）的形式，这种记数的方法叫做科学记数法．规律：（1）当|a|≥1时，n的值为a的整数位数减1；（2）当|a|＜1时，n的值是第一个不是0的数字前0的个数，包括整数位上的0．
7．(1)16
(2)
(3)6
【分析】由非负数的性质可求得，，再代入（1）（2）（3）中的式子运算即可．
【详解】（1）解：，
，，
解得：，，
∴；
（2）
；
（3）
．
【点睛】本题主要考查实数的运算，解答的关键是由非负数性质求得，．
8．
【分析】直接利用偶次方的性质以及绝对值、互为相反数的定义得出，，进而求出答案．
【详解】解：与互为相反数，即，
，，
解得：，，
．
【点睛】此题主要考查了偶次方以及绝对值和互为相反数的定义，正确把握相关定义是解题关键．
9．(1)8
(2)3或9
【分析】（1）根据，可以求得a、b的值，从而可以求得点A、B表示的数；
（2）分两种情况：①当点P在线段上时；②当点P在线段延长线上时；分别 求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴，，
即点A表示的数是，点B表示的数是5，
∴
（2）解：分两种情况：①点P在线段之间时，如图，
由 (1)知: ，
∵，,
∴，
∴，
∴点P在数轴上对应的数是3；
②点P在点B右侧时，如图，
由 (1)知: ，
∵，,
∴，
∴，
∴点P在数轴上对应的数是9．
综上所述：点P对应的数为3或9．
【点睛】本题考查数轴、非负数性质，线段和差倍分计算，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题，注意分类讨论思想的应用．
10．(1)
(2)
【分析】（1）根据数轴上右边的数比左边的数大判断即可；
（2）根据有理数大小比较法则进行判断即可．
【详解】（1）由题意得，为a的相反数，
在的左侧，
，
故答案为：；
（2）且，，
，
．
【点睛】本题考查数轴和有理数的大小比较，解题的关键是明确正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小．
11．
【分析】先化简各数，根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可求解．
【详解】解：∵，．
∴．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较，掌握有理数的大小比较的方法是解题的关键．
12．，
【分析】求出，，再根据有理数的大小比较法则比较即可；根据两个负数比较大小，其绝对值大的反而小比较即可．
【详解】解：，，
，
；
，，
，
．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较，相反数，绝对值等知识点，能熟记有理数的大小比较法则是解此题的关键，正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
13．(1)－7
(2)
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
14．(1)
(2)
【分析】（1）按照有理数混合运算的顺序依次计算即可得出答案．
（2）按照有理数混合运算的顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的．
【详解】（1）原式
（2）原式
【点睛】本题考查了有理数的运算能力，解题的关键是正确掌握有理数混合运算的顺序：先乘方后乘除最后算加减，有括号的先算括号里面的；同级运算按从左到右的顺序．
15．(1)5
(2)﹣68
【分析】（1）根据有理数的加减乘除混合运算法则计算即可．
（2）根据有理数的加减乘除乘法混合运算法则计算即可．
【详解】（1）解：
（2）
【点睛】本题考查有理数的混合运算，关键在于熟练掌握基础运算法则．
16．(1)
(2)
【分析】（1）将改写为，再用乘法分配律进行计算即可；
（2）将改写为，再根据乘法分配律的逆用，进行计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题主要考查了有理数的简便运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则，加法运算律和乘法运算律在有理数范围依然适用．
17．(1)
(2)
【详解】（1）
（2）
【点睛】本题考查了有理数的四则混合运算，熟练掌握混合运算的顺序是解答本题的关键．混合运算的顺序是先算乘除，后算加减；同级运算，按从左到右的顺序计算．如果有括号，先算括号里面的，并按小括号、中括号、大括号的顺序进行．有时也可以根据运算定律改变运算的顺序．
18．(1)50
(2)
【分析】（1）先把带分数化成假分数，再把互为倒数的两数相乘，另外两个数相乘，所得乘积再相乘；
（2）按照有理数混合运算的运算顺序计算即可．
【详解】（1）解：原式
（2）原式
【点睛】本题考查有理数的混合运算，掌握相关法则是解题的关键．
19．
【分析】根据数轴标注的大小关系可以确定，去掉绝对值要变号，去掉绝对值不变号，去掉绝对值后合并同类项即可．
【详解】解：原式=
=
=
【点睛】本题考查了去绝对值化简，理解绝对值的含义并熟练掌握去绝对值的方法是解题的关键．
20．(1)A表示-3，B表示3
(2)-6.5
(3)1
【分析】(1)根据AB=8-2=6，点A和B互为相反数，即可得到结果；（2）利用B点表示的数减去9.5即可得到答案；（3）利用到点A和B的距离求出D的数值，再关于原点对称即可得到答案．
【详解】（1）∵A对应刻度2，B对应刻度8，
∴，
∵A，B在数轴上互为相反数，A在左，B在右，
∴A表示-3，B表示3；
（2）∵B表示3，C在点B左侧，并与点B距离为9.5厘米，
∴C表示的数为；
（3）因为点D到A的距离为2，
所以点D表示的数为-1和-5．
因为点D到B的距离为4，
所以点D表示的数为-1和7．
综上，点D表示的数为-1．
所以点D关于原点对称的点表示的数为1．
【点睛】此题考查了利用数轴表示数，数轴上两点之间距离，数轴上点移动的规律，熟记数轴上点移动的规律是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)点A和点B之间的整数有、、0、1、2、3；它们的和为3
【分析】（1）利用数轴表示数方法求解；
（2）利用数轴找出两点之间的6个整数，然后计算它们的和．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：∵数轴上点A和点B之间的整数有、、0、1、2、3，
∴它们的和为．
【点睛】本题主要考查了用数轴上点表示有理数，有理数加减混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数加减混合运算法则．
22．(1)x=2或x=
(2)x=-2或x=0
【分析】先去绝对值转化成一元一次方程求解．
【详解】（1）解：根据绝对值的意义得：3x-2=4或3x-2=-4．
解得：x=2或x=；
（2）由绝对值的意义得：x-2=3x+2或x-2+3x+2=0．
解得：x=-2或x=0．
【点睛】本题考查含绝对值的一元一次方程的解法，理解绝对值的意义是求解本题的关键．
23．(1)或
(2)或
【分析】（1）类比解法一即可求解；
（2）类比解法二，分，，三种情况进行讨论，脱去绝对值，解方程，舍去不合题意的方程的解，问题得解．
【详解】（1）解：移项得，
合并得，
两边同时除以得，
所以，
所以或；
（2）解：当时，原方程可化为，解得，符合；
当时,原方程可化为，解得，符合；
当时，原方程可化为，解得，不符合．
所以原方程的解为或．
【点睛】本题考查了绝对值方程、一元一次方程的解法，理解题意，能根据题意脱去绝对值是解题关键，注意第（2）问要根据题意分三类进行讨论．
24．（1）8；（2）或；（3）或或或秒
【分析】（1）根据绝对值以及平方式的非负性求得、即可得出答案；
（2）分相遇前和相遇后两种情况进行讨论即可；
（3）动点问题，分类讨论点的运动过程，用绝对值表示两点的距离，找出之间关系，求出解即可．
【详解】解：（1），，
又．
，
，，
，，
；
（2）当点与点没有相遇，（秒）；
当点与点相遇后，（秒）；
当时，的值为或；
（3）①当、都向右运动时，
点的速度小于点的速度，且，
不成立；
②当、都向左运动时，
点表示的数为，点表示的数为，
，，
，
，
或，
即或秒；
③当、相向运动，即向右，向左时，
，，
，，
，
，
即或，
即或秒；
④当、相背即向左， 向右时，
点的速度小于点的速度且，
不成立．
综上所述或或或秒时，点、到原点的距离相等．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、绝对值的意义、数轴，解本题的关键熟练掌握绝对值得意义，以及理解题意．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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