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专题1.32 勾股定理（挑战综合压轴题分类专题）
【综合类】
【综合考点1】勾股定理 探究勾股数
（2023春·全国·八年级期中）
1．像15，8，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，，那么a，b，c为勾股数．你认为对吗？请说明理由．
（2022秋·江苏·八年级专题练习）
2．（1）3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；
（2）如果a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．
【综合考点2】勾股定理 勾股定理的证明
（2021·内蒙古呼和浩特·统考二模）
3．（1）如图①是一个重要公式的几何解释．请你写出这个公式；
（2）如图②，，且B、C、D三点在一条直线上．试证明；
（3）伽菲尔德（Garfield，1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图②证明了勾股定理（1876年4月1日，发表在《新英格兰教育日志》上），现请你尝试该证明过程．
（2022·广东·模拟预测）
4．如图是“弦图”的示意图，“弦图”最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就．它由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形，每个直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c．请你运用此图形证明勾股定理：a2+b2＝c2．
【综合考点3】勾股定理 三角形全等 求线段长
（2022·山东泰安·统考一模）
5．如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE．
（1）求证：△ABC≌△DCE；
（2）连结AE，当BC＝5，AC＝12时，求AE的长．
（2022·山东淄博·模拟预测）
6．如图，，，．
(1)求证：≌．
(2)若，，，求的长．
【综合考点4】勾股定理 三角形全等 求面积
（2023·湖南长沙·校考三模）
7．如图，已知平分，且．
(1)求；
(2)若，求的面积．
（2016·福建漳州·统考一模）
8．对某一种四边形给出如下定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．

(1)已知：如图1，四边形是“等对角四边形”，，，．则 度， 度．
(2)在探究“等对角四边形”性质时：
①小红画了一个“等对角四边形”(如图2)，其中，，此时她发现成立．请你证明此结论；
②在①的条件下，若，，，求等对角四边形的面积．
【综合考点5】勾股定理 探究线段关系 三角形全等
（2023·湖北武汉·统考模拟预测）
9．如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点在的斜边上．

(1)判断与间的数量关系，并说明理由；
(2)直接写出线段、、间满足的数量关系．
（2023·吉林长春·统考模拟预测）
10．已知：如图，中，，，点D在边上，点A关于直线的对称点为E，射线交直线于点F，连接．
(1)设，用含的代数式表示的大小，并求的度数；
(2)用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
【综合考点6】勾股定理 折叠问题
（2018·广东韶关·统考一模）
11．如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD交于点F．
（1）求证：△ABF≌△EDF；
（2）若AB=6，BC=8，求AF的长.
（2023·广东东莞·校考二模）
12．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使点C落在斜边上的点E处，试求的长．
【综合考点7】勾股定理 方程思想
（2022·江苏无锡·模拟预测）
13．如图，在超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台AC，利用旗杆顶部的绳索，荡过90°到达与高台AC水平距离为17米（即，米），高为3米的矮台BD的顶端B．
(1)求旗杆的高度OM；
(2)求玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN．
（2017·浙江金华·统考一模）
14．如图，一扇窗户用支架B-C-D固定，当窗户打开时，B、C、D三点在同一直线上，且，当窗户关上时A、D、B、C依次落在同一直线上，现测得AB=16cm，AD=12cm．
(1)求BC的长；
(2)经测算，当∠BAD=120°时窗户透光效果最好，为达到最佳效果，AD应调整为多少厘米？
【综合考点8】勾股定理 分类讨论思想
（2022·四川达州·模拟预测）
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝Rt∠，AC＝8，AB＝10，动点D从点A出发，沿线段AB以每秒2个单位的速度向B运动，过点D作DF⊥AB交BC所在的直线于点F，连结AF，CD．设点D运动时间为t秒．
（1）BC的长为　 　；
（2）当t＝2时，求△ADC的面积．
（3）当△ABF是等腰三角形时，求t的值．
（2023·江苏苏州·模拟预测）
16．如图，在四边形ABCD中，ADBC，∠B＝90°，AD＝2cm，AB＝3cm，BC＝6cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C匀速运动，设线段DP扫过四边形ABCD所形成的阴影面积为S（cm2），点P运动的时间为t（s）（0≤t≤9），请解答以下问题：
（1）边DC的长为 　 　cm；
（2）当点P在BC上运动时，求出阴影面积S（cm2）与运动时间t（s）之间的关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使线段DP把四边形ABCD分成面积相等的两部分？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由；
（4）是否存在某一时刻t，使DPC恰好是直角三角形？如果存在，请直接写出t的值；如果不存在，请说明理由．
【挑战类】
【综合考点1】勾股定理 探究勾股数
（2023·河北·一模）
17．已知：整式，，，整式．
(1)当时，写出整式的值______（用科学记数法表示结果）；
(2)求整式；
(3)嘉淇发现：当取正整数时，整式、、满足一组勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？请说明理由．
（2018·福建漳州·统考一模）
18．阅读：所谓勾股数就是满足方程x2+y2=z2的正整数解，即满足勾股定理的三个正整数构成的一组数．我国古代数学专著《九章算术》一书，在世界上第一次给出该方程的解为：，y=mn，，其中m>n>0，m、n是互质的奇数．应用：当n=5时，求一边长为12的直角三角形另两边的长．
【综合考点2】勾股定理 勾股定理的证明
（2022秋·广东佛山·八年级校联考阶段练习）
19．一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法：如图1，火柴盒的一个侧面ABCD（是一个长方形）倒下到AEFG的位置，连接CF，此时，∠FAC＝90°，设AB＝a，BC＝b，AC＝c．请利用直角梯形BCFG的面积证明勾股定理：a2+b2＝c2．
（2018秋·江苏镇江·八年级校联考期中）
20．把一个直立的火柴盒放倒（如图），请你用不同的方法计算梯形ACED的面积，再次验证勾股定理？（设火柴盒截面宽为a，长为b，对角线为c）
【综合考点3】勾股定理 三角形全等 求线段长 证明
（2023·湖南娄底·校考一模）
21．已知：在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90 ，D为△ABC外一点，且满足∠ADB=90°．
（1）如图1，若，AD=1，求DB的长．
（2）如图1，求证：．
（3）如图2所示，过C作CE⊥AD于E，BD=2，AD=6，求CE的长．
（2017·河北·模拟预测）
22．问题情景：一节数学课后，老师布置了一道练习题：
如图1，已知Rt△ABC中，AC＝BC，∠ABC＝90°，CD⊥AB于点D，点E，F分别在AD和BC上，∠1＝∠2，FG⊥AB于点G，求证：△CDE≌△EGF
（1）阅读理解，完成解答：本题证明的思路可以用下列框图表示：
根据上述思路，请你完整地写出这道练习题的证明过程；
（2）特殊位置，证明结论：如图2，若CE平分∠ACD，其余条件不变，判断AE和BF的数量关系，并说明理由；
（3）知识迁移．探究发现：如图3，已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若点E是DB的中点，点F在直线CB上，且EC＝EF，请直接写出BF与AE的数量关系．（不必写解答过程）
【综合考点4】勾股定理 探究猜想与证明
（2018·吉林长春·校联考一模）
23．在中，，，点为直线上一动点（点不与点、重合），以为直角边在右侧作等腰三角形，使，连接．
探究：如图①，当点在线段上时，证明．
应用：在探究的条件下，若，,则的周长为　 　．
拓展：（1）如图②，当点在线段的延长线上时，E之间的数量关系为　 　．
（2）如图③，当点在线段的延长线上时，之间的数量关系为　 　．

（2023·福建·模拟预测）
24．【知识感知】我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
(1)【概念理解】如图2，在四边形中，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由．
(2)【性质探究】如图1，试探索垂美四边形两组对边与之间的数量关系，并证明你的猜想．
(3)【性质应用】如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接已知，求长．
【综合考点5】勾股定理 问题情景与拓展延伸
（2019·吉林长春·东北师大附中校考一模）
25．[问题提出]
如图①，在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，求BC边上的中线AD的取值范围．
[问题解决]
解决此问题可以用如下方法，延长AD到点E使DE＝AD，再连结BE（或将△ACD绕着点D逆时针装转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断，由此得出中线AD的取值范围是　 　
[应用]
如图②，如图，在△ABC中，D为边BC的中点，已知AB＝5，AC＝3，AD＝2．求BC的长
[拓展]
如图③，在△ABC中，∠A＝90°，点D是边BC的中点，点E在边AB上，过点D作DF⊥DE交边AC于点F，连结EF，已知BE＝4，CF＝5，则EF的长为　 　
（2023·江西·模拟预测）
26．【问题情境】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

如图①，中，若，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．
请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到，依据是______．
A. ；B. ；C. ；D.
由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是______．
【初步运用】
（2）如图②，是的中线，交于E，交于F，且，若，，求线段的长．
【灵活运用】
（3）如图③，在中，，D为中点，，交于点E，交于点F，连接，试猜想线段，，三者之间的数量关系，并证明你的结论．
【综合考点6】勾股定理 动点问题 分类讨论与探究问题
（2016·河南·模拟预测）
27．已知：△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解决下列问题：
（1）如图①，若点P在线段AB上，且AC=1+，PA=，则：
①线段PB= ，PC= ；
②猜想：PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系为 ；
（2）如图②，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程；
（3）若动点P满足，求的值．（提示：请利用备用图进行探求）
28．如图在中，，，直线，点是直线上的一个动点，连接，将绕逆时针旋转90°得到，连接交直线于点．
（1）如图1，当点与点重合时，线段和线段的数量关系是______；
（2）如图2，当点在点的右侧时，（1）问中的关系是否成立，请证明，若不成立，请写出你的结论并说明理由；
（3）连接，若，请直接写出面积大小．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．a，b，c为勾股数；理由见解析．
【分析】根据完全平方公式求出，根据a，b，c是三个正整数可知a，b，c为勾股数．
【详解】解：a，b，c为勾股数，
理由：∵
，
又∵，
∴，
∵m表示大于1的整数，
∴a，b，c是三个正整数，
∴a，b，c为勾股数．
【点睛】本题考查了勾股数，完全平方公式，熟练掌握勾股数的定义及整式的混合运算法则是解题的关键．
2．（1）3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数，理由见解答；
（2）ak，bk，ck（k是正整数）是一组勾股数，理由见解答．
【分析】（1）根据勾股数的定义：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数，即可判断3k，4k，5k（k是正整数）是不是一组勾股数；
（2）根据勾股数的定义：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数，即可判断ak，bk，ck（k是正整数）是不是一组勾股数．
【详解】证明：（1）3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数，理由如下：
∵k是正整数，
∴3k，4k，5k都是正整数，
∵（3k）2+（4k）2=（5k）2，
∴3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数；
（2）ak，bk，ck（k是正整数）是一组勾股数，理由如下：
∵a，b，c是一组勾股数，且k是正整数，
∴ak，bk，ck是三个正整数，
假设c最大，则a2+b2=c2，
∴（ak）2+（bk）2=a2k2+b2k2=（a2+b2）k2=c2k2=（ck）2，
∴ak，bk，ck（k是正整数）是一组勾股数．
【点睛】本题考查了勾股数的定义，欲判断是否为勾股数，必须满足是正整数，同时还需验证两小边的平方和等于最长边的平方．
3．（1） ；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）用两种方式表示大正方形的面积，即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质，即可得到结论；
（3）用两种方式表示梯形的面积，即可得到结论．
【详解】（1）解：由题意得：大正方形面积= ，大正方形面积=．
∴
（2）证明：
，
，
由于B、C、D在一条直线上，
∴；
（3）证明：梯形的面积= ．
另一方面，梯形可分成三个直角三角形，其面积=．
∴，即．
【点睛】本题主要考查勾股定理的推理，全等三角形的性质以及完全平方公式，根据图形的特征用两种方式变式同一个图形的面积是关键．
4．见解析
【分析】根据大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积证明即可
【详解】解：由题意得大正方形面积，小正方形面积，
4个小直角三角形的面积，
∵大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积，
∴．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明，解题的关键在于能够根据题意知晓大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积．
5．（1）见解析；（2）13
【分析】根据题意可知，本题考查平行的性质，全等三角形的判定和勾股定理，根据判定定理，运用两直线平行内错角相等再通过AAS以及勾股定理进行求解．
【详解】解：（1）∵
∴
在△ABC和△DCE中
∴△ABC≌△DCE
（2）由（1）可得BC=CE=5
在直角三角形ACE中
【点睛】本题考查平行的性质，全等三角形的判定和勾股定理，熟练掌握判定定理运用以及平行的性质是解决此类问题的关键．
6．(1)证明见解析
(2)
【分析】由全等三角形的判定定理证得≌；
由全等三角形的性质得出，由勾股定理可求出答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴．
在与中，
，
∴≌；
（2）解：∵≌，
∴，
∵，，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，证明≌是解题的关键．
7．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据全等三角形的判定方法证明即可；
（2）根据全等三角形的性质，得，再根据勾股定理求出，即可得答案．
【详解】（1）解：平分，
，
，
，
又，
；
（2）由（1）得：，
，
，
，，，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是证明．
8．(1)，
(2)①，证明见解析；②．
【分析】（1）根据四边形是“等对角四边形”得出，根据多边形内角和定理求出即可；
（2）①连接，根据等边对等角得出，求出，根据等腰三角形的判定得出即可；
②连接，求出，求出，解直角三角形求出和，根据三角形的面积公式求出即可．
【详解】（1）∵四边形是“等对角四边形”，，，，
，
，
故答案为，；
（2）①证明：如图1，连接，
，
，
，
．
，
；

②解：如图，连接，
在和中
，
，
，
在中，，，
，
，
四边形．
【点睛】本题考查了四边形综合题；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
9．(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）根据已知条件得出，即，即可得出；
（2）证明，得出，，进而根据四边形内角和为，求得，进而勾股定理即可得证．
【详解】（1）理由如下，
∵和都是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2），
如图所示，连接，

由（1）可得
∵
∴
∴，，
∵
∴
∵
在四边形中，
∴是直角三角形，
∴
又是等腰直角三角形，
∴，即,
又∵，
∴
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
10．(1)，
(2)，证明见解析．
【分析】（1）由轴对称的性质得，，再由直角三角形的性质得，进而可证，则，再利用三角形外角的性质即可求出的度数；
（2）过C作于C交的延长线于点M，证明，得CM=CF，再证明，得，则MF=AF+MA=AF+BF，然后在由勾股定理即可得出结论．
【详解】（1）A、E关于直线对称，
，．
，
．
，
．
．
．
（2）线段，，之间的数量关系．
过C作于C交的延长线于点M．
A、E关于对称
．
．
．
．
又
．
．
．
，
．
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造全等明三角形是解题的关键．
11．（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据矩形的性质可得AB=CD，∠C=∠A=90°，再根据折叠的性质可得DE=CD，∠C=∠E=90°，然后利用“角角边”证明即可；
（2）设AF=x，则BF=DF=8-x，根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）证明：在矩形ABCD中，AB=CD，∠A=∠C=90°，
由折叠得：DE=CD，∠C=∠E=90°，
∴AB=DE，∠A=∠E=90°，
∵∠AFB=∠EFD，
∴△ABF≌△EDF（AAS）；
（2）解：∵△ABF≌△EDF，
∴BF=DF，
设AF=x，则BF=DF=8﹣x，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：
BF2=AB2+AF2，即（8﹣x）2=x2+62，
x=，即AF=
【点睛】本题考查了翻折变换的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，翻折前后对应边相等，对应角相等，利用勾股定理列出方程是解题的关键．
12．
【分析】由勾股定理求得，然后由翻折的性质求得，设，则，在中，利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：设，
∵，，
勾股定理得：，
根据翻折的性质可得，
，，
∴，，
在中，
，
，
解得：（），
∴的长为．
【点睛】本题主要考查的是翻折变换以及勾股定理的应用，熟练掌握翻折的性质和勾股定理是解题的关键．
13．(1)旗杆的高度OM为15米
(2)玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN为2米
【分析】（1）如图，过点作，过点作，设，由题意知四边形均为矩形，，由得，，，得的值，由计算即可．
（2）在中，，，由计算求解即可．
【详解】（1）解：如图，过点作，过点作，设
∴
∴四边形均为矩形
∴
∵
∴
在和中
∴
∴
∴
解得：
∴
∴旗杆的高度为15米．
（2）解：由题意知
在中，
∴
∴
∴玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN为2米．
【点睛】本题考查了三角形全等，勾股定理等知识．解题的关键在于灵活运用三角形全等，勾股定理求线段长．
14．(1)8cm
(2)cm
【分析】（1）根据题意，设BC=x，则DC=x+4，根据勾股定理计算即可求解；
（2）过点作于点，设AE=x，根据含30度角的直角三角形的性质、勾股定理可得DE=，在中，勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：设BC=x，
当窗户关上时A、D、B、C依次落在同一直线上，AB=16cm，AD=12cm，
，
DC=x+4，
当窗户打开时，B、C、D三点在同一直线上，且，
由勾股定理得，
得x=8cm，
即BC 的长为8cm；
（2）解：如图，，过点作于点，
设AE=x，则DE=，
在中，由勾股定理得：，
得x=，
则AD=cm．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，含30度角的直角三角形的性质，掌握勾股定理是解题的关键．
15．（1）6；（2）；（3）或或2
【分析】（1）根据勾股定理计算即可；
（2）过点C作CH⊥AB于H，根据等面积法计算即可；
（3）根据等腰三角形的性质分类讨论即可；
【详解】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，
由勾股定理得：BC＝，
故答案为：6；
（2）如图1，过点C作CH⊥AB于H，
S△ABC＝AC BC＝AB CH，
则×8×6＝×10×CH，
解得：CH＝，
当t＝2时，AD＝2×2＝4，
则S△ADC＝×4×＝；
（3）当FA＝FB时，DF⊥AB，
∴AD＝AB＝×10＝5，
∴t＝5÷2＝；
当AF＝AB＝10时，∠ACB＝90°，
则BF＝2BC＝12，
∴AB DF＝BF AC，即×10×DF＝×12×8，
解得：DF＝，
由勾股定理得：AD＝，
∴t＝÷2＝；
当BF＝AB＝10时，
∵BF＝10，BC＝6，
∴CF＝BF﹣BC＝10﹣6＝4，
由勾股定理得：AF＝，
∵BF＝BA，FD⊥AB，AC⊥BF，
∴DF＝AC＝8，
∴AD＝，
∴t＝4÷2＝2；
综上所述，△ABF是等腰三角形时，t的值为或或2．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用和等腰三角形的性质，准确计算是解题的关键．
16．（1）5；（2）（3≤t≤9）；（3）存在，；（4）5或．
【分析】（1）过点D作DE⊥BC于点E，根据勾股定理求解即可；
（2）当点P在BC上运动时，画出相应图形，利用梯形的面积公式计算即可；
（3）假设存在，先计算梯形ABCD的面积以及ABD的面积，由此可判断使线段DP把四边形ABCD分成面积相等的两部分，则点P在线段BC上，再结合（2）的关系式计算即可；
（4）假设存在，分两种情况讨论，当点P在AB上时，当点P在BC上时，结合图形逐个计算即可．
【详解】解：（1）如图，过点D作DE⊥BC于点E，
由题意可得：四边形ABED为长方形，
∴AD＝BE＝2cm，AB＝DE＝3cm，∠DEC＝90°，
又∵BC＝6cm，
∴CE＝BC－BE＝4cm，
在中，cm，
故答案为：5；
（2）如图，当点P在BC上运动时，3≤t≤9，
∴
，
∴阴影面积S（cm2）与运动时间t（s）之间的关系式为（3≤t≤9）；
（3）假设存在某一时刻t，使线段DP把四边形ABCD分成面积相等的两部分，
由题意可得：
，
当t＝3时，点P与点B重合，
此时，
∴＜，
∴点P在线段BC上，
∵线段DP把四边形ABCD分成面积相等的两部分，
∴，
即：，
解得：，
∴存在某一时刻t，使线段DP把四边形ABCD分成面积相等的两部分，此时；
（4）假设存在某一时刻t，使DPC恰好是直角三角形，
当点P在线段AB上时，则0≤t＜3，AP＝t，BP＝3－t，
∵∠A＝∠B＝90°，
∴，，
由图可知，若DPC是直角三角形，则∠PDC＝90°，
∴，
∴，
解得：（符合题意），
当点P在线段BC上时，则3≤t≤9，BP＝t－3，CP＝9－t，
∴PE＝BE－BP＝2－(t－3)＝5－t，
∵∠DEC＝∠DEB＝90°，
∴，
由图可知，若DPC是直角三角形，则∠DPC＝90°，
此时点P与点E重合，
∴t＝AB+BE＝3+2＝5，
综上所述，存在某一时刻t，使DPC恰好是直角三角形，此时t的值为5或．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用以及梯形与三角形的面积公式，能够根据题意画出相应图形，对（3）进行分类讨论是解决本题的关键．
17．(1)
(2)
(3)正确，理由见解析
【分析】根据题意可得，，把代入计算应用科学记数法表示方法进行计算即可得出答案；
把，，代入中，可得，应用完全平方公式及因式分解的方法进行计算即可得出答案；
先计算，计算可得，应用勾股定理的逆定理即可得出答案．
【详解】（1）解：，
当时，
原式
；
故答案为：；
（2）
；
（3）嘉淇的发现正确，理由如下：
，
，
当取正整数时，整式、、满足一组勾股数．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及逆定理，科学记数法，熟练掌握勾股定理及逆定理，科学记数法的计算方法进行求解是解决本题的关键．
18．当时，一边长为12的直角三角形另两边的长分别为35，37
【分析】分类讨论：；；，结合已知条件，借助于方程解答．
【详解】解：，直角三角形一边长为12，
有三种情况：
①当 时，．
解得，（舍去）．
．
．
该情况符合题意．
②当时，
，
．
为奇数，
舍去．
③当时，，
，
此方程无实数解．
综上所述：当时，一边长为12的直角三角形另两边的长分别为35，37．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握分类讨论的思想来求解．
19．见解析
【分析】用两种方法求出梯形CBFG的面积，列出等式，即可证明.
【详解】证明：∵
∴
整理得：
【点睛】本题考查勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理以及梯形面积公式是解题关键.
20．见解析.
【分析】四边形ACED的面积从大的一方面来说属于直角梯形，可利用直角梯形面积公式进行表示；从组成来看，由三个直角三角形组成，应利用三角形的面积公式来进行表示.
【详解】
【点睛】本题考查勾股定理的证明，利用面积的不同表示方式列出等式是解答本题的关键.
21．（1）；（2）见解析；（3）2
【分析】（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB=2，在Rt△ABD中，根据勾股定理，得；
（2）过C点作CF⊥CD，构造手拉手模型，运用等腰直角三角形的性质可得证；
（3）过C点作CF⊥CD，构造手拉手模型，运用三角形全等可得证．
【详解】（1）解：在Rt△ABC中，
∵，
∴，
∴在Rt△ABD中，．
（2）证明：如图，过C点作CF⊥CD交DB的延长线于点F．
∵∠ACB=∠DCF=90°，
∴∠ACD=∠BCF，
∵∠CAD+∠CBD=360°－(∠ACB+∠ADB)=180°，∠CBF+∠CBD=180°，
∴∠CAD=∠CBF，
又∵CA=CB，
∴△CAD≌△CBF(ASA)，
∴CD=CF，AD=BF，
∴，
∵DF=DB+BF=DB+DA，
∴．
（3）解：如图，过C点作CF⊥CD交AD与F点，
∵∠ACB=∠DCF=90°，即∠ACF+∠BCF=∠BCD+∠BCF=90°，
∴∠ACF=∠BCD，
∵∠AFC=∠FCD+∠CDA=90°+∠CDA，∠CDB=∠CDA+∠ADB=90°+∠CDA，
∴∠AFC=∠CDB，
又∵CA=CB，
∴△CAF≌△CBD(AAS)，
∴CF=CD，AF=BD，
∴△CDF是等腰直角三角形，
又∵CE⊥AD，
∴E为DF中点，
∵AD=6，AF=BD=2，
∴FD=AD－AF=4，
∴．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的全等，手拉手模型的构造，熟练构造手拉手模型是解题的关键.
22．（1）见解析；（2）AE＝BF；理由见解析；（3）AE＝BF．
【分析】（1）先证明CE＝EF，利用AAS定理证明△CDE≌△EGF（AAS）即可；
（2）先证∠ACE＝∠2，再证明△ACE≌△BEF（AAS），即可得证AE＝BF；
（3）作EH⊥BC与H，设DE＝x，求出AE＝3x，再证出BF＝x，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠B＝45°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴∠DCB＝45°，
∵∠ECF＝∠DCB+∠1＝45°+∠1，∠EFC＝∠B+∠2＝45°+∠2，∠1＝∠2，
∴∠ECF＝∠EFC，
∴CE＝EF，
∵CD⊥AB，FG⊥AB，
∴∠CDE＝∠EGF＝90°，
在△CDE和△EGF中，，
∴△CDE≌△EGF（AAS）；
（2）证明：由（1）得：CE＝EF，∠A＝∠B，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠1，
∵∠1＝∠2，
∴∠ACE＝∠2，
在△ACE和△BEF中，，
∴△ACE≌△BEF（AAS），
∴AE＝BF；
（3）解：AE＝BF，作EH⊥BC与H，如图3所示：
设DE＝x，根据题意得：BE＝DE＝x，AD＝BD＝2x，CD＝AD＝2x，AE＝3x，
根据勾股定理得：BC＝AC＝2x，
∵∠ABC＝45°，EH⊥BC，
∴BH＝x，
∴CH＝BC﹣BH＝x，
∵EC＝EF，
∴FH＝CH＝x，
∴BF＝x﹣x＝x，
∴＝＝，
∴AE＝BF．
【点睛】本题考查了全等三角形的问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理、勾股定理是解题的关键．
23．探究：证明见解析；应用：；拓展：（1），（2）
【分析】探究：判断出，再用即可得出结论；
应用：先算出，进而算出，再用勾股定理求出，即可得出结论；
拓展：（1）同探究的方法得出，得出，即可得出结论；
（2）同探究的方法得出，得出，即可得出结论．
【详解】解：探究：∵，，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
应用：在中，，
∴，
∵，
∴，
由探究知，，
∴，
∴，
在中，，
根据勾股定理得，，
∴的周长为
故答案为
拓展：（1）同探究的方法得，．
∴
∴，
故答案为；
（2）同探究的方法得，．
∴
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，能够在复杂图形中找出全等三角形是解题关键.
24．(1)是，见解析
(2)，见解析
(3)
【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；
（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；
（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算．
【详解】（1）如图2，四边形是垂美四边形．
证明：连接交于点E，
∵，
∴点A在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点C在线段的垂直平分线上，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴，即四边形是垂美四边形；
（2）猜想结论．
如图1，已知四边形中，∵，
∴，
由勾股定理得，，
，
∴；
（3）如图3，连接，
∵，
∴，即，
在B和中，
，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，即，
∴四边形是垂美四边形，
由（2）得，，
∵，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
25．（1）1＜AD＜5；（2）2；（3）．
【分析】证明≌得，再根据三角形三边关系求得AE的取值范围，进而得结论；
延长AD到E，使得，连接BE，证明≌得，再证明，由勾股定理求得BD，进而得BC；
延长FD到G，使得，连接BG，EG，证明≌，得，，再证明，由勾股定理求得EG，由线段垂直平分线性质得EF．
【详解】解：在和中，
，
≌，
，
，，
，
，
故答案为；
延长AD到E，使得，连接BE，如图，
在和中，
≌，
，
，，
，
，
，
；
延长FD到G，使得，连接BG，EG，如图，
在和中，
，
≌，
，，，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为．
【点睛】本题考查几何变换综合题、三角形的中线、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，体会出现中点的辅助线的添加方法，属于中考压轴题．
26．(1)，；(2)7；(3)；证明见解析．
【分析】(1)根据判定，选择即可．根据，运用三角形三边关系定理计算即可．
(2)延长到，使，连接，仿照（1）和等腰三角形的性质证明即可．
(3)延长到，使，连接．利用全等三角形的性质，直角三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理证明即可．
【详解】(1) 延长至点E，使，连接．
∵边上的中线，
∴，

∵，
∴，
故选A．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
故答案为：．
(2)延长到，使，连接．
∵，，，
∴，
∵是的中线，
∴，

∵，∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
(3)延长到，使，连接．
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，

∵，，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了倍长中线，三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握倍长中线的作法，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理，三角形的全等判定是解题的关键．
27．（1）①，2；②；（2）证明见试题解析；（3）或．
【详解】试题分析：
（1）①由已知条件求出AB的长，再减去PA就可得PB的长；如图1，连接BQ，先证△APC≌△BQC，可得：BQ=AP=，∠CBQ=∠A=45°，由此可得△PBQ是直角三角形，即可计算出PQ=，从而根据△PCQ是等腰直角三角形可得PC=2；
②由①中的证明可知：AP=BQ，△PBQ是直角三角形，由此即可得到：PB2+BQ2=AP2+PB2=PQ2；
（2）如图2，连接PB，先证△APC≌△BQC，得到BQ=AP，∠CBQ=∠A=45°，由此可得△PBQ是直角三角形，从而可得：PB2+BQ2=PB2+AP2=PQ2，即（1）中所猜想结论仍然成立；
（3）如图3，分点P在点A、B之间和在点A、B的同侧两种情况讨论即可；
试题解析：
（1）如图①：
①∵△ABC是等腰直直角三角形，AC=1+，∠ACB=90°，
∴AB=，
∵PA=，
∴PB=AB-PA=.
∵△ABC和△PCQ均为以点C为直角顶点的等腰直角三角形，
∴AC=BC，PC=CQ，∠ACP=∠BCQ，
∴△APC≌△BQC．
∴BQ=AP=，∠CBQ=∠A=45°．
∴△PBQ为直角三角形．
∴PQ=．
∴PC=PQ=2．
故答案为，2；
②如图1，猜想PA2+PB2=PQ2，理由如下：
由①中证明可知：△APC≌△BQC，
∴BQ=AP，∠CBQ=∠A=45°，
又∵∠CBA=45°，
∴∠CBQ+∠CBA=∠PCQ=90°，
∴BQ2+PB2=PQ2，
∴PA2+PB2=PQ2.
（2）如图②：连接BQ，
∵△ABC和△PCQ均为以点C为直角顶点的等腰直角三角形，
∴AC=BC，PC=CQ，∠ACP=∠BCQ，
∴△APC≌△BQC．
∴BQ=AP，∠CBQ=∠A=45°．
又∵∠ABC=45°，
∴∠ABC+∠CBQ=∠ABQ=90°，
∴∠PBQ=90°，
∴在Rt△PBQ中，BQ2+PB2=PQ2，
∴PA2+PB2=PQ2.
（3）如图③：过点C作CD⊥AB，垂足为D．由△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC可得：AD=BD=CD=AB；设AB=，则AD=BD=CD=，
①当点P位于点A、D之间的点P1处时．
∵，
∴P1A=AB=DC= ，
∴P1D=AD=，
在Rt△CP1D中，由勾股定理得：CP1=，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC= ，
∴；
②当点P位于点A和点B的同侧的点P2处时．
∵，
∴P2A=AB=AD=．
∴P2D=P2A+AD=，
在Rt△CP2D中，由勾股定理得：P2C=，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC=，
∴；
综上所述，的比值为或．
点睛：（1）本题第1小题②问和第2小题的解题要点是一致的，就是连接BQ，利用等腰直角三角形的性质证得△APC≌△BQC，得到PA=QB，∠CBQ=∠CAP=45°，就可把PA、PB、BQ三条分散的线段集中到Rt△PBQ中，由勾股定理就可得到三条线段间的数量关系；（2）讨论本题第3小题时，需注意点P的位置存在两种情形，讨论时不要忽略了其中任何一种.
28．（1）；（2）成立，理由见解析；（3）6或12
【分析】（1）根据题意得：等腰直角三角形ABC与等腰直角三角形BEF全等，易证；
（2）过点作交于点，连接HF，易证，从而可证，记得求解本题；
（3）过点C向BF作垂线交于点P，过点B向AC作垂线交于点Q，结合勾股定理算得的BE和BF的长度，即可求得BQ的长度和BG的长度，从而算出QG和CG，由（2）知，故求的面积就是求的面积，即可求解本题（注意分情况考虑）．
【详解】（1）当点与点重合时，等腰直角三角形ABC与等腰直角三角形BEF全等，
易得BF⊥AC且平分AC；
故；
（2）成立，
理由：过点作交于点，连接HF，
∴
∵，
∴
∵
∴，
∵
∴
∴
∵绕逆时针旋转90°得到
∴，
∵
∴
∴
∴，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
（3）当E在A右侧时，
如图：过点C向BF作垂线交于点P，过点B向AC作垂线交于点Q，
∵为等腰直角三角形，且BQ⊥AC，
∴G为AC的中点，
由勾股定理计算得：
，
，
，
∵Q为AC的中点，BG=GF，
∴，，
∴，
∴，
∴，
又∵BG=GF且和同高，
∴；
同理可求当E在A左侧时，；
故的面积为6或12．
【点睛】本题是全等三角形以及勾股定理的结合考查，解题的难度比较大，解题的关键是做出合适的辅助线．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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