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4.4数学归纳法 导学案
一、明确目标
（一）学习目标
1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题
（二）学习重点
数学归纳法及其应用．
（三）学法指导
1．自学思考法； 2．复习类比法.
二、知识梳理
自学课本44-47页，并完成下列思考题.
知识点一　数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立；
(2)(归纳递推)以“ ”为条件，推出“ ”．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法．
知识点二 数学归纳法中的两个步骤之间的关系
记P(n)是一个关于正整数n的命题．我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下：
条件：(1)P(n0)为真；(2)若 为真，则 也为真．
结论：P(n)为真．
在数学归纳法的两步中，第一步验证(或证明)了当n＝n0时结论成立，即命题 为真；第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：若P(k)为真，则P(k＋1)也为真．完成这两步，就有P(n0)真，P(n0＋1)真……P(k)真，P(k＋1)真…….从而完成证明．
思考题
(1)数学归纳法证明中，在验证了n＝1时命题正确，假定n＝k时命题正确，此时k的取值范围是(　C　)
A．k∈N B．k>1，k∈N*
C．k≥1，k∈N* D．k>2，k∈N*
(2)用数学归纳法证明＋＋…＋<1(n∈N*，n≥2)时，从n＝k到n＝k＋1，不等式左边需添加的项是(　A　)
A．＋－ B．＋
C．－ D．
(3)用数学归纳法证明：“1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2，n∈N*”时，若n＝1，则左端应为______1×4__．
三、典例探究
题型一 利用数学归纳法证明恒等式
例1　证明：当n≥2，n∈N*时，…＝.
[证明]　①当n＝2时，左边＝1－＝，右边＝＝.
∴当n＝2时，等式成立．
②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时等式成立，即…＝.
当n＝k＋1时，…＝
＝·＝＝.
∴当n＝k＋1时，等式也成立．由①②知，对任意n≥2，n∈N*，等式成立．
题型二 利用数学归纳法证明不等式
例2　证明：2n＋2>n2，n∈N*.
[证明]　①当n＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，左边>右边；
当n＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边>右边；
当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边.
因此当n＝1，2，3时，不等式成立．
②假设当n＝k(k≥3，且k∈N*)时，不等式2k＋2>k2成立.
当n＝k＋1时，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2k2－2＝k2＋2k＋1＋k2－2k－3＝(k2＋2k＋1)＋(k＋1)(k－3)，
由于k≥3，则k－3≥0，k＋1>0，所以(k2＋2k＋1)＋(k＋1)(k－3)≥k2＋2k＋1＝(k＋1)2.
所以2k＋1＋2>(k＋1)2.
故当n＝k＋1时，原不等式也成立．
由①②，知原不等式对于任何n∈N*都成立．
题型三 利用数学归纳法证明几何命题
例3　有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任意三个圆不相交于同一点，求证：这n个圆将平面分成f(n)＝n2－n＋2个部分(n∈N*).
[证明]　①当n＝1时，一个圆将平面分成两个部分，且f(1)＝1－1＋2＝2，所以当n＝1时命题成立．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时命题成立．
即k个圆把平面分成f(k)＝k2－k＋2个部分．
则当n＝k＋1时，在k＋1个圆中任取一个圆O，剩下的k个圆将平面分成f(k)个部分，而圆O与k个圆有2k个交点，这2k个点将圆O分成2k段弧，每段弧将原平面一分为二，故得f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2.
所以当n＝k＋1时，命题成立．综合①②可知，对一切n∈N*，命题成立．
题型四 归纳—猜想—证明
例4　设Sn为数列{an}的前n项和，且对于n∈N*，都有Sn＝＋成立．
(1)求a1，a2，a3；
(2)猜测数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．
[解]　(1)∵对于n∈N*，都有Sn＝＋成立，∴S1＝＋，a1＝S1＝1，
S2＝＋，a1＋a2＝＋，a2＝2，S3＝＋，a1＋a2＋a3＝＋，a3＝3.
(2)由(1)猜想an＝n.
证明：①当n＝1时，a1＝1，显然成立；
②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，ak＝k成立，则
当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝＋－－
＝＋－－，∴ak＋1＝k＋1，即当n＝k＋1时，等式也成立，
由①②可知，an＝n对一切n∈N*都成立．
四、激情展示（8min）
1．自由展示：展示“同伴互助”环节本组还没解决的问题，其他组代表给出方案，代表回答不完善的，本组同学优先补充，其他组可以质疑.
2．预设展示：例4变式：数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2n－an，n∈N*，先计算前4项后猜想an，并用数学归纳法证明．解　当n＝1时，S1＝a1＝2－a1，∴a1＝1，
当n＝2时，S2＝a1＋a2＝4－a2，∴a2＝，
当n＝3时，S3＝a1＋a2＋a3＝6－a3，∴a3＝，
当n＝4时，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝8－a4，∴a4＝.
∴猜想an＝.
用数学归纳法证明：①当n＝1时，a1＝1，猜想成立．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时猜想成立，即ak＝成立.
那么，当n＝k＋1时，
Sk＋1＝2(k＋1)－ak＋1＝Sk＋ak＋1＝2k－ak＋ak＋1，
∴2ak＋1＝2＋ak＝2＋＝，
∴ak＋1＝，即当n＝k＋1时猜想成立．
由①②可知，对任意n∈N*，猜想均成立．
五、总结提升
数学归纳法的证明方法及应用
六、达标测评
1．用数学归纳法证明“n边形内角和定理：f(n)＝(n－2)·180°”时，第一步应验证n＝________时成立．(　　) A．1 B．2 C．3 D．4
答案　C
解析　∵多边形的边数最少是3，即三角形，∴第一步验证n＝3.故选C.
2．下列四个选项中，正确的是(　　)
A．式子1＋k＋k2＋…＋kn(n∈N*)，当n＝1时为1
B．式子1＋k＋k2＋…＋kn－1(n∈N*)，当n＝1时为1＋k
C．式子＋＋＋…＋(n∈N*)，当n＝1时为1＋＋
D．设f(n)＝＋＋…＋(n∈N*)，则f(k＋1)＝f(k)＋＋＋
答案　C
解析　A中，当n＝1时应为1＋k，A错误；B中，当n＝1时应为1，B错误；D中，f(k)＝＋＋…＋，而f(k＋1)＝＋＋…＋＋＋＋，所以f(k＋1)＝f(k)＋＋＋－，D错误．故选C.
3．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(　　)
A．k2＋1 B．(k＋1)2
C． D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2
答案　D
解析　∵当n＝k时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2，当n＝k＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2，∴当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2.
【课上选学】求证：x2n－y2n(x，y，n∈N*)能被x＋y整除．
附课上选学答案：[证明]　①当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)，能被x＋y整除．
②假设n＝k(k≥1，且k∈N*)时，x2k－y2k能被x＋y整除，
当n＝k＋1时，
x2k＋2－y2k＋2＝x2x2k－x2y2k＋x2y2k－y2y2k＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2).
∵x2k－y2k与x2－y2都能被x＋y整除，
∴x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)能被x＋y整除．
即n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除．
由①②可知，对任意的正整数n命题均成立．

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