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专题2.4 圆的对称性（垂径定理）（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点1】垂径定理
1.垂径定理
2.推论
特别指出：
【知识点2】垂径定理的推论
特别指出：

【考点一】与圆相关的概念
【例1】
1．垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是证明线段和角相等以及垂直关系的重要依据，同时也为圆的计算和作图问题提供了方法和依据．下列可以运用垂径定理解决问题的图形是（ ）
A． B． C． D．
【举一返三】
【变式1】．
2．学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平分的弦也与直径垂直”，小熹说：“用反例就能说明这是假命题” ．下列判断正确的是（ ）
A．两人说的都对
B．小铭说的对，小熹说的反例不存在
C．两人说的都不对
D．小铭说的不对，小熹说的反例存在
【变式2】
3．如图，A是⊙O上的一点，OA与BC交于点E，已知AO＝．当EO＝BE且∠OEC＝45°时，弦BC的长为（　　）
A．2 B．4 C． D．
【考点二】垂径定理 求值★★证明
【例2】
4．弦心距：圆心到 的距离（即圆心到弦的垂线段的距离）．
在直角三角形中，由勾股定理得： 2＋半弦2＝半径2
【举一返三】
【变式1】
5．如图，已知中，弦，点P是弦上一点，，．
(1)求的长；
(2)过点P作弦与弦垂直，求证：．
【变式2】
6．已知：在圆O内，弦与弦交于点分别是和的中点，联结．
（1）求证：；
（2）联结，当时，求证：四边形为矩形．
【考点三】垂径定理的推论 求值★★证明
【例3】
7．如图，是的弦，根据下列条件填空：
（1）如果是的直径，且于点，那么有________，________，________；
（2）如果是的直径，且，那么有________，________，________；
（3）如果，且，那么有________，________，________．
【举一返三】
【变式1】
8．如图，AB为圆O直径，F点在圆上，E点为AF中点，连接EO，作CO⊥EO交圆O于点C，作CD⊥AB于点D，已知直径为10，OE＝4，求OD的长度．
【变式2】
9．如图，点P是⊙O内一定点．
（1）过点P作弦AB，使点P是AB的中点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若⊙O的半径为13，OP=5，
①求过点P的弦的长度m范围；
②过点P的弦中，长度为整数的弦有______条．
【考点四】垂径定理及其推论 应用
【例4】
10．如图，已知弓形的弦长AB＝12，弓高CD＝2（CD⊥AB并经过圆心O）．求弓形所在⊙O的半径的长．
【举一返三】
【变式1】
11．如图是一根圆形下水管道的横截面，管内有少量的污水，此时的水面宽为米，污水的最大深度为米．
(1)求此下水管横截面的半径：
(2)随着污水量的增加，水位又被抬升米，求此时水面的宽度增加了多少？
【变式2】
12．赵州桥是一座位于河北省石家庄市赵县城南汶河之上的石拱桥（如图1），因赵县古称赵州而的得名．赵州桥始建于硝代，是世界上现存年代久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥．现有一座仿赵州桥建造的圆拱桥，已知在某个时间段这座桥的水面跨度是16米（即米，如图2），拱顶到水面的距离4米（即弧的中点C到的距离等于4米）．
(1)在图2中画出线段（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)问一艘宽12米，水面以上高1.87米的货轮能否顺利通过？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】过圆心作弦的垂线，则可运用垂径定理解决问题，从而对各选项进行判断．
【详解】解：可以运用垂径定理解决问题的图形是．
故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理，解题的关键是熟记垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
2．D
【分析】根据垂径定理可直接进行排除选项．
【详解】解：由垂径定理的推论“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧”可知：
小铭忽略了垂径定理中的“弦不能是直径”这一条件，因为一个圆中的任意两条直径都互相平分，但不垂直，所以小铭说法错误，小熹所说的反例即为两条直径的情况下；
故选D．
【点睛】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
3．B
【分析】作OH⊥BC于H，连接OB，可知△OEH是等腰直角三角形，设EH＝OH＝a，则OE＝，BE＝a，利用勾股定理得OB＝，从而解决问题．
【详解】解：作OH⊥BC于H，连接OB，
∵∠OEC＝45°，∠OHE＝90°，
∴∠OEC＝∠EOH＝45°，
∴EH＝OH，
设EH＝OH＝a，则OE＝，
∵EO＝BE，
∴BE＝a，
∴BH＝2a，
由勾股定理得，OB＝＝OA=，
∴a＝1，
∴BH＝2，
∵OH⊥BC，
∴BC＝2BH＝4，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了圆的相关性质，垂径定理，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，判断出BH=2OH是解题的关键．
4． 弦 弦心距
【分析】由垂径定理和勾股定理求解即可．
【详解】解：弦心距：圆心到弦的距离（即圆心到弦的垂线段的长度）．
由题意得：，
，
在中，由勾股定理得：，
即弦心距半弦半径．
故答案为：弦，弦心距．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理和勾股定理．
5．(1)5
(2)见解析
【分析】（1）过点作于，根据垂径定理得到，根据 ，得到的长，根据勾股定理即可得出的长；
（2）根据角平分线的性质先证明，再证明，结合垂径定理即可解决问题．
【详解】（1）解：过点作于，
则，
∵ ，， ，
∴，
∴；
（2）证明：过点作于，连接，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
∵，，
∴，，，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了垂径定理，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定及性质，掌握垂径定理及全等三角形的判定是解题的关键．
6．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）连结，由M、N分别是和的中点，可得OM⊥BC，ON⊥AD，由， 可得，可证，，根据等腰三角形三线合一性质;
（2）设OG交MN于E，由，可得，可得，，可证可得，由CN∥OG，可得，由可得AM∥CN，可证是平行四边形，再由可证四边形ACNM是矩形．
【详解】证明：（1）连结，
∵M、N分别是和的中点，
∴OM，ON为弦心距，
∴OM⊥BC，ON⊥AD，
，
在中，，
，
在Rt△OMG和Rt△ONG中，
，
，
∴，
;
（2）设OG交MN于E，
，
∴，
∴，即，
，
在△CMN和△ANM中
，
，
，
∵CN∥OG，
，
，
，
∴AM∥CN，
是平行四边形，
，
∴四边形ACNM是矩形．
【点睛】本题考查垂径定理，三角形全等判定与性质，等腰三角形判定与性质，平行线判定与性质，矩形的判定，掌握垂径定理，三角形全等判定与性质，等腰三角形判定与性质，平行线判定与性质，矩形的判定是解题关键．
7．（1） ；（2） ；（3）是的直径
【分析】（1）根据垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧求解即可；
（2）根据垂径定理的推论：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧求解即可；
（3）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧求解即可．
【详解】解：（1）∵AB是⊙O的直径，且AB⊥CD于点E，
∴， ，；
（2）AB是⊙O的直径，且CE=DE，
∴， ，；
（3）∵AB⊥CD，且CE=DE，
∴AB是⊙O的直径，，．
【点睛】本题主要考查了垂径定理和垂径定理的推论，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
8．3
【分析】根据垂径定理的逆定理得到OE⊥AF，由CO⊥EO，得到OC∥AF，即可得到∠OAE＝∠COD，然后通过证得△AEO≌△ODC，证得CD＝OE＝4，然后根据勾股定理即可求得OD．
【详解】解：∵E点为AF中点，
∴OE⊥AF，
∵CO⊥EO，
∴OC∥AF，
∴∠OAE＝∠COD，
∵CD⊥AB，
∴∠AEO＝∠ODC，
在△AEO和△ODC中，
，
∴△AEO≌△ODC（AAS），
∴CD＝OE＝4，
∵OC＝5，
∴OD＝＝＝3．
【点睛】本题考查垂径定理的逆定理、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握垂径定理和全等三角形的判定与性质是解答的关键．
9．（1）见解析；（2）①过点P的弦的长度m范围为24≤m≤26；②4
【分析】（1）连接OP并延长，过点P作AB⊥OP即可；
（2）①过点P的所有弦中，直径最长为26，与OP垂直的弦最短，由垂径定理和勾股定理求出AB=24，即可得出答案；
②过P点最长的弦为直径26，最短的弦24，长度为25的弦有2条，即可得出结论．
【详解】解：（1）如图1，连接OP并延长，过点P作AB⊥OP，
则弦AB即为所求；
（2）①过点P的所有弦中，直径最长为直径26，与OP垂直的弦最短，
连接OA，如图2所示：
∵OP⊥AB，
∴AP=BP===12，
∴AB=2AP=24，
∴过点P的弦的长度m范围为24≤m≤26；
②∵过P点最长的弦为直径26，
最短的弦24，
长度为25的弦有两条，
∴过点P的弦中，长度为整数的弦共有4条，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理以及作图；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
10．⊙O的半径的长为10．
【分析】设⊙O的半径为r，根据垂径定理得到AD＝6，由于OD＝r 2，则利用勾股定理得到62＋（r 2）2＝r2，然后解方程即可．
【详解】设⊙O的半径为r，
∵CD⊥AB并经过圆心O，
∴AD＝BD＝AB＝×12＝6，OD＝OC﹣CD＝r﹣2，
在Rt△OAD中，62+（r﹣2）2＝r2，解得r＝10，
即⊙O的半径的长为10．
【点睛】本题考查了垂径定理：直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
11．(1)米
(2)米
【分析】（1）过点O作于点C，交圆O于点D，连接，则米，根据垂径定理可得米，设此下水管横截面的半径为r米，则米，可得米，在中，由勾股定理，即可求解；
（2）过点O作于点H，根据垂径定理可得，再由勾股定理求出的长，即可求解．
【详解】（1）解：过点O作于点C，交圆O于点D，连接，则米，
∴米，
设此下水管横截面的半径为r米，则米，
∴米，
在中，，
∴，
解得：，
即此下水管横截面的半径为米；
（2）解：如图，过点O作于点H，
∴，
根据题意得：米，米，
∴米，
∴米，
∴米，
∴此时水面的宽度增加了米．
【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理的应用，掌握垂径定理的推论是解题的关键．
12．(1)见解析
(2)能顺利通过
【分析】（1）作线段的垂直平分线即可；
（2）设圆O的半径为，画出草图，结合勾股定理，即可求解．
【详解】（1）分别以A、B为圆心，大于的长度为半径画弧，交于M、N两点，连接交于C，交于D，如图所示，线段即为所求，
（2）在上方作一个矩形，其中点在上，在上，交于，且
∵
∴
设圆心为，连接，设半径为，
在中，，，
∴
解得：
∴
在中，
∴
∴
∴一艘宽12米，水面以上高1.87米的货轮能顺利通过
【点睛】本题主要考查圆的实际应用，考查数形结合的能力，正确的画出图形结合垂径定理和勾股定理计算是解题的关键．
答案第1页，共2页
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