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专题2.8 圆的对称性（弧、弦、圆心角）（分层练习）
一、单选题
1．下列图形中的角，是圆心角的为（ ）
A． B． C． D．
2．中的一段劣弧的度数为，则（ ）
A． B． C． D．
3．给出下列命题：①圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；②垂直于弦的直径平分这条弦；③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，其中真命题是( )
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
4．如图，是的直径，已知，，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示，在中，，则在①；②；③；④中，正确结论的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图所示，是⊙O的内接三角形，点B是的中点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，，则的是（ ）．
A． B． C． D．
8．下列命题正确的是（　　）
A．相等的圆心角所对的两条弦相等 B．圆既是中心对称图形又是轴对称图形
C．两个圆中，如果弦相等，则弦所对的圆心角也相等 D．等弧就是长度相等的弧
9．如图，已知，点是平分线 上一点，当点是的外心时，（ ）
A．95° B．100° C．110° D．115°
10．如图，点A，B，C，D均在以点O为圆心的圆O上，连接，及顺次连接O，B，C，D得到四边形，若，，则的度数为（　　）

A． B． C． D．
11．下列说法正确的是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等 B．在同圆中，等弧所对的圆心角相等
C．弦相等，圆心到弦的距离相等 D．圆心到弦的距离相等，则弦相等
12．如图，是的直径，点C，D在上，，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
13．将半径为5的如图折叠，折痕长为8，C为折叠后的中点，则长为（ ）
A．2 B． C．1 D．
14．如图，已知的半径为，、是直径的同侧圆周上的两点，，是的中点，动点在线段上，则的最小值为(　　)
A． B． C． D．
15．如图，为的直径，点是的中点，过点作于点，延长交于点．若，，则的直径长为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
16．如图，在中，劣弧的度数为，则圆心角 .
17．如图，在两个同心圆中，为60°，则的度数为 ．
18．如图，A、B、C、D是上的点，如果，，那么 ．

19．如图，OE、OF分别为⊙O的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF， 那么 （只需写一个正确的结论）．
20．如图，是△ABC的外接圆，∠BAC=90°，AB=AC，为上一点，连接、OD，延长AC和交于点，若∠E=25°，则∠ODE= ．
21．若弦长等于半径，则弦所对弧的度数是 ．
22．如图，正内接于，的半径为10，则的弧长为 ．
23．如图，⊙O的半径为，四边形ABCD内接于⊙O，AC⊥BD，垂足为E，且BC=2AD，则AD+BC的值为 ．
24．如图，在扇形OAB中，，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上的点D处，折痕交OA于点C，则弧AD的度数为 ．
25．弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作．已知，则与的大小关系是 ．
26．如图，是的外接圆，，，则的直径为 ．
27．如图，的两条弦、互相垂直，垂足为，且，已知，，则的半径为 ．
28．如图，等腰中，，用尺规按（1）到（4）的步骤操作：（1）以O为圆心，为半径画圆：（2）在上任取一点C（不与重合），连接；（3）作的垂线平分线交于点；（4）作的垂直平分线交于点，交于；则下列结论：
①顺次连接四点必能得到矩形；
②连接，当时，；
③当时，点到点的距离为；
④上存在唯一的点，使得；
其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
29．四边形ABCD中，，，，则
30．如图，是半圆O的直径，半圆的半径为4，点C，D在半圆上，，点P是上的一个动点，则的最小值为 ．
三、解答题
31．已知：如图，等边三角形的三个顶点都在上
求证：．

32．已知，如图，A、B、C、D是⊙O上的点，∠AOB＝∠COD，求证：AC＝BD
33．如图，中，P是的中点，C、D是、的中点，过C、D的直线交于E、F．求证：．
34．已知AB是⊙O的直径，点C，D是半圆O的三等分点．连接AC，DO．
(1)如图①，求∠BOD及∠A的大小；
(2)如图②，过点C作CF⊥AB于点F，交⊙O于点H，若⊙O的半径为2．求CH的长．
35．如图，是的直径，点C为的中点，为的弦，且，垂足为点E，连接交于点G，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
36．请仔细阅读以下材料：
定理一：一般地，如图，四边形中，如果连接两条对角线后形成的，则四点共圆．
我们由定理可以进一步得出结论：，，．
定理二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
温馨提示：下面问题的关键地方或许能够用到上述定理，如果用到，请直接运用相关结论；如果你有自己更好的做法，那就以自己的做法为主，只要正确，一样得分．
探究问题：如图，在和中，
，，，连接交于点，交于点，连接．
(1)求证；
(2)请直接写出___________度，___________度；
(3)若，求证．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】根据圆心角的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意；
B、顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意；
C、是圆心角，故本选项符合题意；
D、顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了圆心角的定义，能熟记圆心角的定义（顶点在圆心上，并且两边与圆相交的角，叫圆心角）是解此题的关键．
2．B
【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系得出答案即可．
【详解】解：中的一段劣弧的度数为，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，注意：在同圆或等圆中，如果厂内人个圆心角、两条弧、两条弦，其中有一对相等，那么对应的其余两对也分别相等．
3．D
【分析】根据圆的相关性质逐一判断即可.
【详解】解：圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，所以①正确；
垂直于弦的直径平分这条弦，所以②正确；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以③正确．
故选D．
【点睛】本题考查圆的相关性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键.
4．C
【分析】根据等弧对等角，进行计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴；
故选C．
【点睛】本题考查等弧对等角．熟练掌握等弧等对角是解题的关键．
5．D
【分析】利用同圆或等圆中弧，弦以及所对的圆心角之间的关系逐项分析即可．
【详解】解：在⊙O中，，
，故①正确；
为公共弧，
，故④正确；
，故②正确；
，故③正确；
综上分析可知，正确的有4个．
故选：D．
【点睛】本题考查了弧，弦、圆心角之间的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等以及推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
6．D
【分析】根据等弧对等弦，三角形内角和逐项判断即可．
【详解】A． ，故选项错误，不符合题意；
B． ，故选项错误，不符合题意；
C． ，故选项错误，不符合题意；
D． ，选项正确，符合题意；
故选：D ．
【点睛】此题考查了圆和三角形，解题的关键是熟悉圆和三角形的相关知识．
7．C
【分析】根据圆周角与弧的关系即可求解．
【详解】解：根据同圆或等圆，相等的弧所对的圆周角相等，只有C选项符合题意；
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角与弧的关系，掌握同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等是解题的关键．
8．B
【分析】利用圆的有关性质及定理，对称的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A．同圆或等圆中，相等的圆心角所对的两条弦相等，故原命题错误，不符合题意；
B．圆既是中心对称图形又是轴对称图形，正确，符合题意；
C．同圆或等圆中，如果弦相等，则弦所对的圆心角也相等，故原命题错误，不符合题意；
D．等弧是能够完全重合的弧，长度相等不一定是等弧，故原命题错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆的有关性质及定理、对称的性质等知识，难度不大．
9．B
【分析】根据圆周角，圆心角的性质解答即可．
【详解】解：如图示，∵点是的外心，
∴，，三点共圆，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角，圆心角的性质，熟悉相关性质是解题的关键．
10．C
【分析】连接，证明是等边三角形，再利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得出答案．
【详解】解：连接，

∵，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了等比三角形的判定与性质，同弧所对的圆周角和圆心角的关系，解题的关键是证明是等边三角形．
11．B
【分析】圆心角、弧、弦、圆心到弦的距离的关系的前提“在同圆和等圆中”，据此逐项判定即可．
【详解】解：A、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故此选项不符合题意；
B、在同圆中，等弧所对的圆心角相等，故此选项符合题意；
C、在同圆和等圆中，弦相等，圆心到弦的距离相等，故此选项不符合题意；
D、在同圆和等圆中，圆心到弦的距离相等，则弦相等，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦、圆心到弦的距离的关系，解题关键是熟练掌握在同圆或等圆中，圆心角、圆心角所对弧、圆心角所对弦、圆心到弦的距离中有一组量相等，则其余各组量也相等．
12．B
【分析】首先由可得，再由可得出．
【详解】解：∵在中，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】此题考查了弧与圆心角的关系、等腰三角形的性质及三角形外角的性质，掌握数形结合思想的应用是解题的关键．
13．C
【分析】延长交于点D，交于点E，连接、、、，根据圆心角、弧、弦、的关系由得到，可以判断是的垂直平分线，则，再利用勾股定理求出，所以，然后利用点C和点D关于对称得出，最后计算即可得出答案．
【详解】解：延长交于点D，交于点E，连接、、、，如图，
∵C为折叠后的中点，
∴，
∴，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
在中，,
∴，
∵沿折叠得到，，
∴点C和点D关于对称，
∴，
∴，
故选C
【点睛】本题主要考查了图形的折叠变换，圆的对称性，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系以及勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握圆的对称性及折叠前后的对应关系．
14．C
【分析】作点关于的对称点，连接，由轴对称确定最短路线问题，与的交点即为所求的点，的长度为的最小长度，连接，过点作，则，垂直平分，根据即可求解．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，
由轴对称确定最短路线问题，与的交点即为所求的点，的长度为的最小长度，
，
，
是的中点，
，
，
连接，过点作，
则，垂直平分，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称求线段和最小值问题，垂径定理，得出的长度为的最小长度是解题的关键．
15．B
【分析】连接，首先证明，设,在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题
【详解】解：如图，连接．
，
，，
点D是弧的中点，
，
，
，
，
设,
在中，则有，
解得，
，
故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理，垂径定理，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
16．
【分析】的度数即为所对圆心角的度数；
【详解】解：的度数即为所对圆心角的度数；
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了弧与圆心角的关系；正确理解圆心角的定义是解题的关键．
17．60°
【分析】根据圆心角定理可得∠AOB=60°，即∠COD=60°，则的度数为60°.
【详解】∵为60°，
∴∠AOB=60°，
∴∠COD=60°，
则的度数为60°.
故答案为60°.
【点睛】本题主要考查圆心角定理：圆心角的度数和它们对的弧的度数相等．
18．
【分析】根据圆心角、弧、弦三者的关系可解答．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查圆心角、弧、弦三者的关系，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．
19．AB=CD（答案不唯一）
【分析】根据圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理的推论可以直接得到所求的结论．
【详解】解：∵OE=OF，OE、OF分别为⊙O的弦AB、CD的弦心距，
∴AB=CD．
故答案为：AB=CD（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系．熟练掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解题的关键．
20．160°
【分析】根据等腰直角三角形的定义得到∠ACB=45°，根据三角形的外角性质求出∠CBE，再求解即可得到答案．
【详解】解：∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠ACB=45°，
由三角形的外角性质可知，∠CBE=∠ACB-∠E=20°，
故答案为：160°．
【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握三角形的外角的性质等腰三角形的性质是解题的关键．
21．或
【分析】由于弦长等于半径，则可判断由弦和经过弦的端点的两半径组成等边三角形，所以弦所对的圆心角的度数是；由于弦所对弧有劣弧和优弧，而弧的度数定义它所对的圆心角的度数，所以弦所对弧的度数是或．
【详解】解：∵弦长等于半径，
∴由弦和经过弦的端点的两半径组成等边三角形，
∴弦所对弧的度数是或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的判定和性质，熟练掌握在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那它们所对应的其余各组的量都分别相等的关系是解决问题的关键．
22．##
【分析】同圆或等圆中，两弦相等，所对的优弧或劣弧也对应相等，据此求解即可．
【详解】∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴的长等于周长的三分之一，
∵的半径为，
∴的周长，
∴的长等于，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆中弧与弦之间的关系，熟练掌握相关概念是解题关键．
23．12
【分析】作直径BF，连接DF，FC．证明AD=FC，设FC=2k，BC=3k，利用勾股定理构建方程求解即可．
【详解】解：如图，作直径BF，连接DF，FC．
∵BF是直径，
∴∠BDF=∠BCF=90°，
∴BD⊥DF，
∵AC⊥BD，
∴DF∥AC
∴∠CDF=∠ACD，
∴，
∴AD=FC，
∵BC=2AD，
∴BC=2FC，
∴可以假设FC=k，BC=2k，
∴k2+（2k）2=（4）2，
∴k=4或-4（舍弃），
∴BC=8，FC=4，
∴AD=FC=4，
∴AD+BC=4+8=12，
故答案为：12．
【点睛】本题考查圆周角定理，弧、弦的关系，平行线的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
24．##50度
【分析】连接，先根据折叠的性质、等边三角形的判定与性质可得，再根据角的和差可得，由此即可得．
【详解】解：如图，连接，则，
由折叠的性质得：，
，
是等边三角形，
，
，
，
则弧的度数为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、折叠的性质、圆弧的度数，熟练掌握折叠的性质是解题关键．
25．
【分析】根据弧度的定义，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作，当时，三角形为等边三角形，所以圆心角所对的弧长比半径大，即可判断大小．
【详解】解：根据弧度的定义，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作，
当时，易知三角形为等边三角形，弦长等于半径，
圆心角所对的弧长比半径大，
，
故答案是：．
【点睛】本题考查了弧度的定义，解题的关键是：理解弧度的定义，从而利用定义来判断．
26．
【分析】连接，，依据是等腰直角三角形，即可得到，进而得出的直径为．
【详解】如图，连接
，
，
是等腰直角三角形，
又，
∴，
∴的直径为，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理和勾股定理，熟知同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角的度数是圆心角度数的一半是解题的关键．
27．
【分析】过作于，于，连接，由推出，根据正方形的判定推出是正方形，再求出的长，最后在中，根据勾股定理即可求出．
【详解】解：过作于，于，连接，
，
，
过圆心，，
，
，
，，，
，
，
四边形是正方形，
，
在中，由勾股定理得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查对垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，勾股定理，正方形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能根据性质求出和的长是解此题的关键．
28．①
【分析】根据圆的直径相等且互相平分，判定四边形MENF是矩形即可判断①；根据题意作出图形可得当时，与的长有关，即可判断②，当时，点到点的距离的长有关，即可判断③，可得根据，判断点不唯一，即可判断④
【详解】解：顺次连接四点必能得到矩形，
∵，且与互相平分，
∴四边形是矩形，故①正确；
连接，当时，
∵
∴；
∴与的长有关，而的长未知，故②错误，
如图，当时，点到点的距离为，点的位置不固定，故③错误
∵，
当时，，
∴点是的中点，
此时，若有不同的，就有不同的，
∴点C不唯一，故④错误．
故答案为：①．
【点睛】本题考查了基本作图，矩形的判定，垂径定理，弧中点，解决问题的关键是熟练线段垂直平分线的作法，矩形的判定定理，垂径定理．
．
29．
【分析】以为圆心，长为半径作圆，延长交于，连接．在中，由勾股定理即可求出的长．
【详解】解：以为圆心，长为半径作圆，延长交于，连接．
，
，在圆上，
，
弧弧，
，，
是的直径，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是作出以为圆心，长为半径的圆，构建直角三角形，从而求解．
30．
【分析】依题意，作点关于的对称点为，连接，长即为最小值；过点作，构造和进行对应线段求解；
【详解】作点关于的对称点为，连接，；过点作；
由题知，，，∴，可得对应的圆心角；
又点关于的对称点为，
∴，，∴长为的最小值
在中，，∴，；
在中，，，∴；
故填：；
【点睛】本题综合性考查圆的对称性及“将军饮马问题”的求解，关键在于熟练使用辅助线进行对应的直角三角形构造进行计算；
31．见解析
【分析】连接，，，根据弧、弦、圆心角的关系证明即可．
【详解】证明：连接，，．

，
．
【点睛】本题考查弧、弦、圆心角的关系，掌握定理是解题的关键．
32．见解析
【分析】根据角之间的关系，得到，再根据弦与圆心角的关系，即可求解．
【详解】证：∵
∴
∴
【点睛】此题考查了弦、弧以及圆心角的关系，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧、弦相等，解题的关键是掌握它们之间的关系．
33．证明见详解
【分析】连结OC，OD，OP交EF于G，由P是的中点，可得，根据弧等相等可得AP=BP，由C、D是、的中点，根据垂径定理可得OC⊥PA，OD⊥PB，CP=，DP=，可求∠PCO=∠PDO=90°，CP=DP，由勾股定理OC==OD，根据线段垂直平分线判定可得OP是CD的垂直平分线，可得CG=DG，根据垂径定理可得EG=FG即可．
【详解】证明：连结OC，OD，OP交EF于G，
∵P是的中点，
∴，
∴AP=BP，
∵C、D是、的中点，
∴OC⊥PA，OD⊥PB，CP=，DP=，
∴∠PCO=∠PDO=90°，CP=DP，
∴OC==OD，
∴OP是CD的垂直平分线，
∴CG=DG，
∵CD在EF上，EF是弦，OP为半径，OP⊥EF，
∴EG=FG，
∴EC=EG-CG=GF-GD=DF．
∴EC= DF．
【点睛】本题考查弧了垂径定理，等腰三角形判定与性质，线段垂直平分线判定与性质，线段和差，掌握垂径定理，等腰三角形判定与性质，线段垂直平分线判定与性质，线段和差是解题关键．
34．(1)，
(2)
【分析】（1）直接利用半圆所对的圆心角为，半圆所对的圆周角为求解即可；
（2）先求出是等边三角形，再求出，，最后利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）∵点C，D是半圆O的三等分点，且半圆所对的圆心角为，圆周角为
∴，，
∴，．
（2）如图，连接，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴，，
∴，
∴，即的长为．
【点睛】本题考查了圆的相关概念，涉及圆周角和圆心角、垂径定理、等边三角形的判定与性质等知识，解题关键是牢记相关概念，正确作出辅助线构造直角三角形并利用勾股定理求解．
35．(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用AAS证明；
（2）连接，根据得到，利用勾股定理解题即可．
【详解】（1）∵为直径，
∴平分
∵C为的中点
∴
∴
∵
∴
（2）连接
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴，
【点睛】本题考查圆的相关知识、垂径定理以及全等三角形的判定和勾股定理，解一元二次方程等知识,解决问题的关键在圆内通过等弧进行角或边的转换．
36．(1)证明过程见详解
(2)，
(3)证明过程见详解
【分析】（1）根据题意，证明即可求证；
（2）由（1）可知，在，中即可求解；根据定理一，可知四点共圆，由此即可求解；
（3）根据定理二，如图所示（见详解），，证明是等腰三角形，即可求证．
【详解】（1）证明：∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：由（1）可知，，
∴，
在，，
∴在中，，
∴；
∵，根据定理一，可知四点共圆，如图所示，
∵，，
∴是等腰直角三角形，即，
∵是圆周角，且与圆周角所对弧相同，
∴，
故答案为：，．
（3）解：如图所示，取的中点，连接，
由（2）可知，，，
∴在中，点是的中点，
∴根据定理二，可知，即，
∴是等腰三角形，且，
∵是外角，
∴，
在中，，
∴，
∴是等腰三角形，即，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查圆、直角三角形、等腰三角形的综合，掌握圆的基础知识，定理一，定理二，等腰三角形的性质是解题的关键．
答案第1页，共2页
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