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【知识剖析】
“数列”就是一些数排成一列。“等差”，就是相邻两数的差相等。比如：1，5，9，13，17，21，25，29……，这个数列中，从第二个数开始，每个数都比前一个数大4，这样的数列我们就叫它等差数列。“等差数列”就是相邻两数之间的差都相等的一列数，要注意的是，同一个等差数列中，要么每一项都比前一项大，要么每一项都比前一项小，不能既有后一项比前一项大，又有后一项比前一项小的情况出现。如：2，0，2，0，2，0……这个数列就不是等差数列。
在等差数列中，第1个数称为“第1项”，又叫“首项”，第2个数称为第2项，第3个数称为第3项……以此类推。数列的最后一项称为“末项”，数列中所有数的个数称为项数，相邻两项的差称为“公差”。
等差数列因为其特殊性，数列中所有数的和也是非常特殊且重要的。在等差数列求和时，一般用倒叙求和的方法来推导。如：求1＋5＋9＋13＋17＋21＋25＋29的和。
把上下两行相加（注意上下对齐），就会发现每一对上下对齐的数的和都等于首项加末项（1＋29），而且共有项数（8）那么多对，所以所有数的和＝（首项＋末项）×项数；因为我们把原来的等差数列写了两遍，所以原来等差数列所有数的和等于该结果除以2，即推导出等差数列的求和公式：和＝（首项＋末项）×项数÷2。
等差数列相关公式
末项＝首项＋（项数－1）×公差
首项＝末项－（项数－1）×公差
公差＝（末项－首项）÷（项数－1）
项数＝（末项－首项）÷公差＋1
和＝（首项＋末项）×项数÷2
【基础巩固】
1．一个等差数列的首项为11，第10项为200，这个等差数列的公差等于多少？第19项等于多少？
2．计算:11+13+15+......+97．
3．小悦读一本课外书，第一天读了15页，以后每天都比前一天多读3页，最后一天读了36页，刚好把书读完．请问：小悦一共读了多少天？这本课外书共有多少页？
4．某剧院有25排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有70个座位．问：这个剧院一共有多少个座位？
5．小王和小高同时开始工作，小王第一个月得到1000元工资，以后每月多得60元；小高第一个月得到500元工资，以后每月多得45元。两人工作一年后，所得的工资总数相差多少元？
6．观察数列的规律：1，3，1，7，1，11，1，15，1，19，1，23，…，39。观察上面数列的规律，请问：
（1）数列中有多少个1？
（2）数列中所有数的总和是多少？
7．有一堆粗细均匀的圆木，堆成如图的形状，已知最上面一层有6根，共堆了25层．请问：这堆圆木共有多少根？
8．有 A、B、C、D 四条直线（如图），从直线 A 开始，按直线方向从1开始依次在A、B、C、D上写自然数 1，2，3，…
（1）106 在哪条直线上？
（2）直线 B 上第 56 个数是多少？
【勇攀高峰】
9．计算：2012-2010+2008-2006+......+4-2
10．三年级一班期末数学考试中，前10名的成绩恰好构成一个等差数列，已知考试满分100分，每个同学的得分都是整数，而且第3、4、5、6名同学一共得了354分，又知道小悦得了96分，那么第10名同学得了多少分？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．公差等于21；第19项等于389．
【详解】试题分析：（1）根据一个等差数列的首项为11，第10项为200，公差=（第n项﹣首项）÷（n﹣1），用200减去11，再除以10﹣1，求出这个等差数列的公差等于多少即可；
（2）根据第n项=首项+（n﹣1）×公差，用首项加上公差乘19﹣1，求出第19项等于多少即可．
解：（1）（200﹣11）÷（10﹣1）
=189÷9
=21
即这个等差数列的公差等于21；
（2）11+（19﹣1）×21
=11+18×21
=389
即第19项等于389．
答：这个等差数列的公差等于21，第19项等于多389．
点评：此题主要考查了等差数列的性质的应用，解答此题的关键是要明确：公差=（第n项﹣首项）÷（n﹣1），第n项=首项+（n﹣1）×公差．
2．2376
【详解】首项为11,末项为97,公差为2
即项数=（97-11）÷2+1
=86÷2+1
=44
11+13+15+……+97
=（11+97）×44÷2
=108×44÷2
=2376
3．小悦一共读了8天，这本课外书共有204页．
【详解】试题分析：根据题意，可得小悦每天读课外书的页数是一个等差数列，数列的首项是15，末项是36，公差是3，所以求出等差数列的项数，即可求出一共读了多少天；然后根据等差数列的求和公式，求出这本课外书共有多少页即可．
解：（36﹣15）÷3+1
=21÷3+1
=8（天）
（15+36）×8÷2
=51×8÷2
=204（页）
答：小悦一共读了8天，这本课外书共有204页．
点评：此题主要考查了等差数列的性质的应用，解答此题的关键是要明确：项数=（末项﹣首项）÷公差+1，前n项和=（首项+末项）×项数÷2．
4．1150个
【详解】第一排有70-（25-1）×2=22个座位
所以总座位数是(22+70)×25÷2 =1150（个）
5．6990元
【分析】先分别求出12个月相差的钱数，再根据等差数列求和公式即可求解。
【详解】1000﹣500＝500（元）
500＋（60﹣45）×11
＝500＋15×11
＝500＋165
＝665（元）。
（500＋665）×12÷2
＝1165×12÷2
＝6990（元）
答：所得的工资总数相差6990元。
【点睛】考查了等差数列及等差数列求和公式，关键是得到第12个月小王和小高的工资差。
6．（1）10；（2）220
【分析】（1）奇数项都是1，偶数项是公差为4的等差数列，偶数项是3，7，11，15，…，39，共有（39－3）÷4＋1＝10项，所以奇数项也有10项，有几项就是几个1；
（2）分别算出奇数项和偶数项之和，相加即可。
【详解】（1）奇数项有：（39－3）÷4＋1
＝36÷4＋1
＝9＋1
＝10
答：数列中有10个1。
（2）奇数项之和：10×1＝10
偶数项之和：（39＋3）×10÷2
＝42×10÷2
＝210
10＋210＝220
答：数列中所有数的总和是220。
【点睛】找到数列的规律，即“奇数项都是1，偶数项是公差为4的等差数列”是解答此题的关键。
7．450.
【详解】试题分析：一堆圆木，从上往下，上面一层比下面一层少一根，也就是这些圆木堆成的是个梯形，求这堆圆木一共有多少根，也就是求这个梯形的面积是多少，两者数据应该是相等关系，已知共有25层即高为25，下底为6+25﹣1=30，再根据梯形面积=（上底+下底）×高÷2即可解答．
解：（6+6+25﹣1）×25÷2
=36×25÷2
=900÷2
=450（根）．
答：这堆圆木共有450根．
点评：明确这堆圆木的根数与这堆圆木堆成梯形的面积数据，应该是相等关系是解答本题的关键．
8．（1）B直线 （2）222
【详解】（1）106÷4=26……2，所以106 在B直线上
（2）2+（56-1）×4
=2+55×4
=2+220
=222
答：直线 B 上第 56 个数是222。
9．1006
【详解】将两个数字看成一组：
2012-2010+2008-2006+……+4-2=（2012-2010）+（2008-2006）+……+（4-2）
2是这个式子的第 （2012-2）÷2 +1=1006项
则一共可以配成503组；
原式=503×2=1006
10．61分或72分．
【详解】试题分析：首先设第10名同学得了a分，前10名的成绩由低到高构成的等差数列公差是d，则第3、4、5、6名同学分别得了a+7d、a+6d、a+5d、a+4d；然后根据第3、4、5、6名同学一共得了354分，小悦得了96分，列出等量关系，求出第10名同学得了多少分即可．
解：设第10名同学得了a分，前10名的成绩由低到高构成的等差数列公差是d，
则第3、4、5、6名同学分别得了a+7d、a+6d、a+5d、a+4d，
第3、4、5、6名同学一共得分为：
（a+7d）+（a+6d）+（a+5d）+（a+4d）=4a+22d=354，
整理，可得2a+11d=177…①，
设小悦第m名，则1≤m≤10，
则a+（10﹣m）d=96…②，
②×2﹣①，可得（9﹣2m）d=15，
（1）当9﹣2m=3，d=5时，
解得，此时a=61；
（2）当9﹣2m=5，d=3时，
解得，此时a=72；
（3）当9﹣2m=1，d=15时，
解得，
此时小悦第4名，第三名的得分是96+15=111（分），
因为111＞100，所以不符合题意；
综上，可得第10名同学得了61分或72分．
答：第10名同学得了61分或72分．
点评：此题主要考查了等差数列的性质的应用，解答此题的关键是要明确：第n项an=首项+（n﹣1）×公差．
答案第1页，共2页
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