资源简介

绝密 启用前
概率排列组合不逝应性考试
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第 I 卷（选择题）
请点击修改第 I卷的文字说明
一、单选题
1
1．（2023·浙江·二模）正数列 xn 通过以下过程确定： xn是 n 1 n 的最小值，其中n
n 1 nn 1 n n n 1 .则当 n 时， xn满足（ ）
A． xn lnxn 1 B． xn lnxn 2 C． xn lnxn 3 D． xn lnxn 4
2．（2023 春·浙江·高二期中）某校以劳动周的形式开展劳育工作的创新实践.学生可以参
加“民俗文化”“茶艺文化”“茶壶制作”“水果栽培”“蔬菜种植”“3D 打印”这六门劳动课中的
两门.则甲、乙、丙这 3 名学生至少有 2 名学生所选劳动课全不相同的方法种数共有
（ ）
A．2080 B．2520 C．3375 D．3870
3．（2023 春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）
1C1 4C2 9C3n n n n
2Cnn （ ）
A．n(n 1)2n 2 B． n2n 1 C．2n 1
D． n(n 1)(n 2)2n 3
4．（2023 春·安徽池州·高三池州市第一中学校考阶段练习）
a 1 sin0.1,b e0.1,c 1.0110 , d 17 , a,b,c,d 间的大小关系为（ ）
16
A． c b a d B．b c a d
C．b c d a D． c b d a
5．（2023 春·江苏常州·高二校联考期中）在空间直角坐标系O xyz中，
A 8,0,0 , B 0,8,0 ,C 0,0,8 ，则三棱锥O ABC 内部整点(所有坐标均为整数的点，不
包括边界上的点)的个数为（ ）
A．35 B．36 C．84 D．21
6．（2023 春·上海浦东新·高二上海市进才中学校考期中）将 110 表示成 3 的非负整数幂
的和的形式，其中加数的不同排列视作同一种表示方法，共有（ ）种不同的方法．
试卷第 1 页，共 29 页
A．247 B．402 C．485 D．508
7．（2022 秋·江西宜春·高三校联考期末）由 1，2，3，4，5 组成的没有重复数字的五位
数，从中任意抽取一个，则其恰好为“前 3 个数字保持递减，后 3 个数字保持递增”（如
五位数“43125”，前 3 个数字“431”保持递减，后 3 个数字“125”保持递增）的概率是
（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
20 12 10 6
8．（2023·高二课时练习）甲罐中有 5 个红球，2 个白球和 3 个黑球， 乙罐中有 4 个红
球，3 个白球和 3 个黑球(球除颜色外，大小质地均相同)．先从甲罐中随机取出一球放
入乙罐，分别以 A1, A2 和 A3表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙
罐中随机取出一球，以 B 表示由乙罐中取出的球是红球的事件．下列结论正确的个数是
（ ）
①事件 A1与 A2相互独立；
② A1， A2， A3是两两互斥的事件；
P(B | A ) 4③ 2 11 ；
④ P B 9 ；
22
P(A | B) 4⑤ 1 9
A．5 B．4 C．3 D．2
9．（2023 春·山东枣庄·高二枣庄八中校考期中）某校有 5 名大学生打算前往观看冰球，
速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有 1 名学生且至多 2 名学生前往，则甲同学不去观
看冰球比赛的方案种数有（ ）
A．48 B．54 C．60 D．72
10．（2023·全国·高三专题练习）如图，用五种不同的颜色给图中的 O，A，B，C，D，E
六个点涂色（五种颜色不一定用完），要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个
端点涂不同的颜色，则不同的涂法种数是（ ）
A．480 B．720 C．1080 D．1200
试卷第 2 页，共 29 页
11．（2021 秋·上海宝山·高三上海市行知中学校考开学考试）定义域为集合 1, 2,3, ,14
上的函数 f x 满足：① f 1 、 f 8 、 f 14 构成等比数列；② f 1 1；③
f x 1 f x 1 x 1,2, ,13 ；这样的不同函数 f x 的个数为（ ）
A．456 B．465 C．546 D．564
12．（2022 春·上海浦东新·高二华师大二附中校考期中）在以单循环的象棋比赛中（即
每两个人之间比赛场），一盘棋中胜者得 1 分，负者得 0 分，若平局则各得 0.5 分.若已
知比赛人数至少有 17 人，而最终得分不多于 5 分的人有 11 个，那么得 8.5 分的人有
（ ）个
A．6 B．5 C．2 D．0
13．（2023·上海·高二专题练习）用 1，2，3，4，5，6 组成六位数（没有重复数字），在
任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1 和 2 相邻的概率是（ ）
5 4 5 13
A． B． C． D．
18 9 9 18
14．（2023 春·广东茂名·高二广东高州中学校考期中）某教师准备对一天的五节课进行
课程安排，要求语文、数学、外语、物理、化学每科分别要排一节课，则数学不排第一
节，物理不排最后一节的情况下，化学排第四节的概率是（ ）
3 7 3 17
A． B． C． D．
20 39 13 78
15．（2022·全国·高三专题练习）如图，在某城市中，M N 两地之间有整齐的方格形道
路网，其中 A1 A2 A3 A4 是道路网中位于一条对角线上的 4 个交汇处，今在道路网 M
N 处的甲 乙两人分别要到 N M 处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以
相同的速度同时出发，直到到达 N M 处为止，则下列说法错误的是（ ）
A．甲从 M 必须经过 A2到达 N 处的方法有 9 种
81
B．甲 乙两人相遇的概率为
100
试卷第 3 页，共 29 页
81
C．甲乙两人在 A2处相遇的概率为 400
D．甲从 M 到达 N 处的方法有 20 种
16．（2023·全国·高三专题练习）阳春三月，草长莺飞；丝绦拂堤，尽飘香玉．三个家庭
的 3 位妈妈带着 3 名女宝和 2 名男宝共 8 人踏春．在沿行一条小溪时，为了安全起见，
他们排队前进，三位母亲互不相邻照顾孩子；3 名女宝相邻且不排最前面也不排最后面；
为了防止 2 名男宝打闹，2 人不相邻，且不排最前面也不排最后面．则不同的排法种数
共有( )
A．144 种 B．216 种 C．288 种 D．432 种
17．（2023·全国·高三专题练习）设集合 X a1,a2 ,a3,a 4 N ，定义：集合
Y ai a j ai ,a j X , i, j N *, i j ，集合 S x y x, y Y , x y ，集合
T x x

, y Y , x y ，分别用 | S |， |T |表示集合 S，T 中元素的个数，则下列结论可
y


能成立的是（ ）
A． | S | 6 B． | S | 16 C． |T | 9 D． |T | 16
18．（2023 春·高二课时练习）下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互
相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一
块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或
向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为 1，2，3，……，6，用 X
表示小球落入格子的号码，则（ ）
A．P X 1 P X 6 1 B．E X 5
64 2
C．D X 3 5 D．D X
2 4
19．（2023·全国·高三专题练习）足球运动被誉为“世界第一运动”．深受青少年的喜
爱．为推广足球运动，某学校成立了足球社团，社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传
球训练，从甲开始随机地球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他
两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人
试卷第 4 页，共 29 页
为第 1 次触球者，第n次触球者是甲的概率为Pn，即P1 1．则下列说法正确的个数是
（ ）
（1）P2 0
1 1 1
；（2）P3 ；（3）Pn Pn 1 ；（4）P9 P ．2 2 2 10
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
1
20．（2023 春·浙江宁波·高二校联考期中）已知随机变量 B 9, ，若对任意的正实
3
x
x , x 1
lnx2 x2lnx1
数 1 2 m, ，满足当 x1 x2时， D mx1 x
恒成立，则 的取值范围
2
（ ）
A． e
2 , B． 3 e , C． e, D． e,e2
21．（2023·全国·模拟预测）从集合U {1,2,3,4}的非空子集中随机取出两个不同的集合A，
B ，则在 A B U 的条件下， A B 恰有1个元素的概率为（ ）
8 16 32 2
A． B． C． D．
39 39 79 5
22．（2023· 2全国·高三专题练习）已知 X N , ，则 P X 0.6827，
P 2 X 2 0.9545，P 3 X 3 0.9973 .今有一批数量庞大
的零件.假设这批零件的某项质量指标引单位：毫米）服从正态分布 N 5.40,0.052 ，现
从中随机抽取 N 个，这 N 个零件中恰有 K 个的质量指标 ξ 位于区间 5.35,5.55 .若
K 45，试以使得P K 45 最大的 N 值作为 N 的估计值，则 N 为（ ）
A．45 B．53 C．54 D．90
23．（2023·全国·高三专题练习）如图，在某城市中，M N 两地之间有整齐的方格形
道路网，其中 A1 A2 A3 A4 是道路网中位于一条对角线上的 4个交汇处．今在道路
网M N 处的甲 乙两人分别要到 N M 处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路
径，以相同的速度同时出发，直到到达 N M 处为止．则下列说法正确的是（ ）
试卷第 5 页，共 29 页
A．甲从M 到达 N 处的方法有120种
B．甲从M 必须经过 A2到达 N 处的方法有64 种
81
C．甲 乙两人在 A2处相遇的概率为 400
D 1．甲 乙两人相遇的概率为 2
24．（2023 春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨德强学校校考阶段练习）有甲、乙两个盒子，
甲盒子里有1个红球，乙盒子里有3个红球和3个黑球，现从乙盒子里随机取出
n 1 n 6, n N * 个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为
个，则随着 n 1 n 6, n N * 的增加，下列说法正确的是（ ）
A．E 增加，D 增加 B．E 增加，D 减小
C．E 减小，D 增加 D．E 减小，D 减小
25．（2022 春·全国·高二校联考期末）下列说法中正确的是（ ）
1 5
①设随机变量 X 服从二项分布B 6, ，则P X 3
2 16
②已知随机变量 X 2服从正态分布 N 2, 且P X 4 0.9，则P 0 X 2 0.4
③小赵、小钱、小孙、小李到 4 个景点旅游，每人只去一个景点，设事件 A “4 个人去
2
的景点互不相同”，事件B “小赵独自去一个景点”，则P A B ；
9
④ E 2X 3 2E X 3；D 2X 3 2D X 3 .
A．①②③ B．②③④ C．②③ D．①③
26．（2023·全国·高三专题练习）随着科技的不断发展，人民消费水平的提升，手机购物
逐渐成为消费的主流，当我们打开购物平台时，会发现其首页上经常出现我们喜欢的商
品，这是电商平台推送的结果．假设电商平台第一次给某人推送某商品，此人购买此商
2 1
品的概率为 ，从第二次推送起，若前一次不购买此商品，则此次购买的概率为 ；
11 4
1
若前一次购买了此商品，则此次仍购买的概率为 ．记第 n 次推送时不购买此商品的概
3
率为Pn，当n 2时，Pn M 恒成立，则 M 的最小值为（ ）
97 93 97 73
A． B． C． D．
132 132 120 120
27．（2015 春·福建泉州·高二统考期末）已知 ξ 的分布列如下：
ξ 0 1 2
1 1 1P 2 3 6
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并且 3 2，则方差D （ ）
A． B． C． D．５
28．（2023·全国·高三专题练习）如图，设 D 是图中边长分别为 1 和 2 的矩形区域，E
1
是 D 内位于函数 y＝ （x＞0）图象下方的区域（阴影部分），从 D 内随机取一个点
x
M，则点 M 取自 E 内的概率为
ln 2 1 ln 2
A． B．
2 2
1 ln 2 2 ln 2
C． D．
2 2
29．（2022 春·吉林长春·高二长春市第二实验中学校考阶段练习）已知
n1 x x2 T 0 T 1x T 2x2 n T 2n x2n i， n N* ，其中T 为 1 x x2 展开式中 xin n n n n 项
系数， i 0,1,2, , 2n，则下列说法不正确的有（ ）
A T i T 14 i． 7 7 ， i 0,1,2, ,14
B．T 2 T 3 37 7 T8
14 6
C． T i i7 2 3
i 1 i 0
D T 7 T 0 1 2 14． 7 是 7 ，T7 ，T7 ，…，T7 是最大值
30．（2022·全国·高三专题练习）设E X 是离散型随机变量的期望，则下列不等式中不
可能成立的是（ ）
A．E X lnX E X ln E X B．E X 2lnX E2 X ln E X
C．E X sinX E X sin E X D．E(X 2sinX ) E2 (X )sin E X
31．（2023·全国·高三专题练习）设集合 A 1,2, , 2022 ，集合S 是集合A 的非空子集，
S 中最大元素和最小元素的差称为集合S 的长度，那么集合S 所有长度为73的子集的元
素个数之和为（ ）
A． 272 38 1949 B． 274 1949 C． 273 37 1949 D． 270 76 1949
32．（2023 春·上海宝山·高二上海交大附中校考阶段练习）若
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(2x 1)5 a0 a1x a
2
2x a
3
3x a4x
4 a5x
5
，则 a1 a2 a3 a4 a5 （ ）
A．244 B．243
C．242 D．241
33．（2023 秋·上海·高二上海交大附中校考期末）等差数列 an 的通项是 an 3n 1，等
比数列 bn 满足b1 ap ，b2 aq，其中q p 1，且n、 p 、q均为正整数.有关数列 bn ，
有如下四个命题：
①存在 p 、q，使得数列 bn 的所有项均在数列 an 中；
②存在 p 、q，使得数列 bn 仅有有限项（至少 1 项）不在数列 an 中；
③存在 p 、q，使得数列 bn 的某一项的值为 2023；
④存在 p 、q，使得数列 bn 的前若干项的和为 2023.
其中正确的命题个数是（ ）个
A．0 B．1 C．2 D．3
34．（2023·贵州·统考模拟预测）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量 X 所有
n
可能的取值为1,2, , n，且P X i pi 0 i 1,2, ,n ， pi 1，定义 X 的信息熵
i 1
n
H X pi log2 pi ，若 n 2m，随机变量Y 所有可能的取值为1,2, , m，且
i 1
P Y j p j p2m 1 j j 1,2, , m ，则（ ）
A．H X H Y B．H X H Y
C．H X H Y D．H X H Y
35．（2022·全国·高三专题练习）小林同学喜欢吃 4 种坚果：核桃 腰果 杏仁 榛子，
他有 5 种颜色的“每日坚果”袋.每个袋子中至少装 1 种坚果，至多装 4 种坚果.小林同学
希望五个袋子中所装坚果种类各不相同，且每一种坚果在袋子中出现的总次数均为偶数，
那么不同的方案数为（ ）
A．20160 B．20220 C．20280 D．20340
36．（2023·全国·高三专题练习）李华在研究化学反应时，把反应抽象为小球之间的碰撞，
而碰撞又分为有效碰撞和无效碰撞，李华有 3 个小球 a和 3 个小球b ，当发生有效碰撞
时， a，b 上的计数器分别增加 2 计数和 1 计数， a，b 球两两发生有效碰撞的概率均
1
为 2 ，现在李华取三个球让他们之间两两碰撞，结束后从中随机取一个球，发现其上计
数为 2，则李华一开始取出的三个球里，小球 a个数的期望是（ ）个
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A．1.2 B．1.6 C．1.8 D．2
二、多选题
37．（2023 春·吉林长春·高二长春市第二实验中学校考阶段练习）为排查新型冠状病毒
肺炎患者，需要进行核酸检测．现有两种检测方式：（1）逐份检测：（2）混合检测：将
其中 k 份核酸分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴性，则这 k 份核酸全为阴性，
因而这 k 份核酸只要检测一次就够了，如果检测结果为阳性，为了明确这 k 份核酸样本
究竟哪几份为阳性，就需要对这 k 份核酸再逐份检测，此时，这 k 份核酸的检测次数总
共为 k 1次．假设在接受检测的核酸样本中，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是
独立的，并且每份样本是阳性的概率都为 p 0 p 1 ，若 k 10，运用概率统计的知识
判断下列哪些p值能使得混合检测方式优于逐份检测方式．（参考数据： lg 0.794 0.1）
（ ）
A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1
38．（2023 春·高二课时练习）随着春节的临近，小王和小张等 4 位同学准备互相送祝福.
他们每人写了一个祝福的贺卡，这四张贺卡收齐后让每人从中随机抽取一张作为收到的
新春祝福，则（ ）
1
A．小王和小张恰好互换了贺卡的概率为
6
1
B．已知小王抽到的是小张写的贺卡的条件下，小张抽到小王写的贺卡的概率为
3
1
C．恰有一个人抽到自己写的贺卡的概率为
3
5
D．每个人抽到的贺卡都不是自己写的概率为
8
39．（2020·海南·统考高考真题）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量 X 所有
n
可能的取值为1,2, , n，且 P(X i) pi 0(i 1,2, ,n), pi 1，定义 X 的信息熵
i 1
n
H (X ) pi log2 pi .（ ）
i 1
A．若 n=1，则 H(X)=0
B．若 n=2，则 H(X)随着 p1 的增大而增大
1
C．若 pi (i 1,2, ,n)n ，则 H(X)随着 n 的增大而增大
D．若 n=2m，随机变量 Y 所有可能的取值为1,2, ,m，且
P(Y j) p j p2m 1 j ( j 1,2, ,m) ，则 H(X)≤H(Y)
40．（2023 春·江苏常州·高二常州市第一中学校考阶段练习）下列关于排列组合数的等
试卷第 9 页，共 29 页
式或说法正确的有（ ）
A C3． 3 C
3
4 C
3
5 C
3
10 330
B x A90
2 3 4 89
．设 90 3 4 5 90 ，则 x 的个位数字是 6
A3 A4 A5 A90
Cm Cm 1C．已知 n m ，则等式 n n 1 对任意正整数n，m 都成立
m 1 n 1
0 2 1 2D．等式 C C C2 2 2n n n Cn Cn nn 2n 对任意正整数 都成立
41．（2023·辽宁沈阳·沈阳二中校考三模）已知数列 an 的前 n项和为 Sn ，且 ai 1或 ai 2
1
的概率均为 i 1,2,3, ．设 Sn 能被 3 整除的概率为Pn，则（ ）2
A．P2 1 P
1
B． 3 4
C．P
341
11 D．当n
1
25时，P
1024 n 3
42．（2023·全国·高三专题练习）泰勒公式通俗的讲就是用一个多项式函数去逼近一个给
定的函数，也叫泰勒展开式，下面给出两个泰勒展开式
x2 x3 x4 nex 1 x x
2! 3! 4! n!
3
sin x x x x
5 x7 x2n 1
1 n 1
3! 5! 7! 2n 1 !
由此可以判断下列各式正确的是（ ）．
A． eix cos x i sin x （i 是虚数单位） B． eix i （i 是虚数单位）
C 2x 1 x ln 2 x ln 2
2 x2 x4
． x 0 D． cos x 1 x 0,1
2 2 24
1
43．（2023·江苏·统考三模）设A ， B 是一个随机试验中的两个事件，且 P A ，
3
P B 3 P A B 1 ， ，则（ ）4 2
A．P AB 1 B．P B A 3 6 4
7
C．P B P B A D．P AB AB 12
44．（2023 春·浙江·高二期中）已知红箱内有 5 个红球、3 个白球，白箱内有 3 个红球、
5 个白球，所有小球大小、形状完全相同.第一次从红箱内取出一球后再放回原袋，第二
次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后放回原袋，依次类推，第 k 1
次从与第 k 次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后放回去.记第n次取出的球是红
球的概率为Pn，数列 Pn 前n项和记为 Sn ，则下列说法正确的是（ ）
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P 17A． 2 B． 4Pn 2 Pn 5P32 n 1
3 1 1 nn

C．当 无限增大，Pn将趋近于 D． S5 n
3n 1
6 4


45．（2023·湖南长沙·长郡中学校联考模拟预测）“ x ”表示不大于 x 的最大整数，例如：
3.8 3， 1.4 2 ， 4 4 ．下列关于 x 的性质的叙述中，正确的是（ ）
A． x y x y
y
B．若 1，则 x y 1 x
64
C．若数列 b n 中，bn n n 1 ， n N
* ，则 bn 2080
n 1
2 22 23 22022
D．M 被 3 除余数为 0 3 3 3 3
46．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量 ~ B 2n, p ， n N* ， n 2， 0 p 1，
记 f t P t ，其中 t N， t 2n，则（ ）
2n 2n
A． f t 1 B． tf t 2np
t 0 t 0
n n
C． f 2t 1 f 2t 1 D．若 np 6，则 f t f 12
t 0 2 i 1
1 1 1
47．（2023·山西·校联考模拟预测）已知当 x 0时， ln(1 ) ，则（ ）
1 x x x
10 1A e9 9． B． ln 9 1
1 1
ln10
9 8 2 9
10
C ( )9 9! D C
0 1 9
． ． ( 9 )2 C ( 9 )2 (C 9 2
e 90 91 99
) e
48．（2022 春·江苏无锡·高二江苏省天一中学校考期中）已知
fn (a,b) ( 3a b)
n n N*,a,b R ，则下列结论正确的是（ ）
A．若 fn (1,1) an 3bn , an ,bn Z，则 a5 b5 32
B． fn (1,1) fn (1, 1) 是正整数
C． f2n 1(1, 1) 是 f2n 1(1,1) 的小数部分
D．设 fn 1, 1 cn 3d ,c ,d Z 2 n 1 n 2n n n ，则 cn ( 1) 2 3dn
49．（2022 秋·辽宁·高二校联考期末）电子计算机是二十世纪最伟大的发明之一，当之
无愧地被认为是迄今为止科学和技术所创造的最具影响力的现代工具，被广泛地应用于
试卷第 11 页，共 29 页
人们的工作和生活之中，计算机在进行数的计算和处理加工时，内部使用的是二进制计
数制，简称二进制.一个十进制数 n（n∈N*）可以表示为二进制数（a0a1a2…ak）2，即
n a0 2
k a1 2
k 1 ak 1 2
1 a 0k 2 ，其中 a0=1，ai∈{0，1}，i=0，1，2，…k，
k∈N*，用 f（n）表示十进制数 n 的二进制表示 1 的个数，则（ ）
A．f（7）=2
B．f（7）=3
2r 1 1
C．对于任意 r∈N* 2 f (n)， 2 3r
n 2r
2r 1 1
D．对于任意 r∈N*， 2 f (n) 2 3r 1
n 2r
n
50．（2022 春·全国·高二期末）已知 fn a,b 2a b n N , a,b R ，则下列结论正
确的是（ ）
A．若 fn 1,1 an 2bn ， an ,bn Z ，则 a5 b5 12
B． fn 1,1 fn 1, 1 与 fn 1,1 fn 1, 1 都是正整数
C． f2n 1 1, 1 是 f2n 1 1,1 的小数部分
D．设 fn 1, 1 cn 2dn ， cn , dn Z ，则 c2n 1
n 1 2d 2n
2022
51．（2022·江苏南通·校联考模拟预测）若 1 x2 a a x a x2 a x40440 1 2 4044 ，则
（ ）
2022
A． a0 1 B． a2i 0
i 0
4044 2022 2
C． ia 2i 1i 4044 32021 D． 1 i C i C10112022 2022
i 1 i 0
52．（2023·山西大同·大同市实验中学校考模拟预测）如图，已知正方体 ABCD A1B1C1D1
顶点处有一质点 Q，点 Q 每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶
点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点 Q 的
初始位置位于点 A 处，记点 Q 移动 n 次后仍在底面 ABCD 上的概率为Pn，则下列说法
正确的是（ ）
试卷第 12 页，共 29 页
5
A．P2 9
2
B．Pn 1 P
1
n 3 3
C．点 Q 移动 4 次后恰好位于点C1的概率为 0
1 1 1
D．点 Q 移动 10 10次后仍在底面 ABCD 上的概率为 ( )
2 3 2
53．（2023·全国·高三专题练习）下列不等式正确的有（ ）
10190 3 2 3A B 5 6 ． 91 ．100 125 4 5
e2 e 3 3C． D． tan1
2 2
54．（2023 春·江苏南京·高三南京市第一中学校考开学考试）已知数列 an 的前n项和为
n
S ，且 S a 1对于 n N * 恒成立，若定义 S (1) S S (k ) (k 1)n n n n n ， n Si k 2 ，则以下
i 1
说法正确的是（ ）
2
A． an 是等差数列 B S 3 n n 2 1． n 2 2n
k 1
C S k 2 S k
A 2021
n k 1． D．存在n使得 S 2022 nn n k 1 ! n 2022!
第 II 卷（非选择题）
请点击修改第 II卷的文字说明
三、填空题
55．（2023 春·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期中）袋中装有 5 个相同的红球和 2
个相同的黑球，每次从中抽出 1 个球，抽取 3 次按不放回抽取，得到红球个数记为 X，
得到黑球的个数记为 Y；按放回抽取，得到红球的个数记为 ．下列结论中正确的是
________．
① E X : E Y 5 : 2；② D X D Y ；③ E X E ；④ D X D ．
（注：随机变量 X 的期望记为E X 、方差记为D X ）
试卷第 13 页，共 29 页
56．（2023 春·上海徐汇·高二上海中学校考期中）如图，在5 5的方格表中按照下面的
条件填入 6 个圆圈，满足各行．各列至少有一个圆圈；同一格不能填 2 个圆圈．则不同
的符合条件的填入方法有______种．
57．（2023·全国·高三专题练习）引得无数球迷心情澎湃的世界杯，于今年在卡塔尔举行，
为了弘扬顽强拼搏的体育竞技精神，某学校的足球社团利用课余时间展开“三人足球”的
比赛，比赛的第一阶段为“传球训练赛”，即参赛的甲、乙、丙三名同学，第一次传球从
乙开始，随机地传球给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的
任意一人，则第 6 次传球，重新由乙同学传球的概率为___________．
58．（2023·湖北·校联考模拟预测）对于 n∈N*，将 n 表示为
n=a0×2k+a ×2k﹣1+a k﹣2 1 01 2×2 +…+ak﹣1×2 +ak×2 ，i=0 时，ai=1，当 1≤i≤k 时，ai为 0 或 1，
记 I（n）为上述表示中 ai为 0 的个数；例如 4=1×22+0×21+0×20，
11=1×23+0×22+1×21+1×20，故 I（4）=2，I（11）=1；则 2I（1）+2I（2）+…+2I（254）+2I
（255）=_____．
59．（2017 春·上海宝山·高三统考期中）设 x1，x2， ，x10 为1，2， ，10的一个排列，则满足
对任意正整数m，n ，且1 m n 10，都有 xm m xn n成立的不同排列的个数为
_______．
60．（2021·全国·高一专题练习）已知非空集合 M 满足 M {0，1，2，…n}（n≥2，
n∈N+）．若存在非负整数 k（k≤n），使得当 a∈M 时，均有 2k-a∈M，则称集合 M 具有性
质 P．设具有性质 P 的集合 M 的个数为 f（n），求 f (9) f (8)的值为______．
61．（2022 春·陕西西安·高二校联考期中）水痘是一种传染性很强的病毒性疾病，易在
春天爆发．市疾控中心为了调查某校高一年级学生注射水症疫苗的人数，在高一年级随
机抽取 5 个班级，每个班抽取的人数互不相同，若把每个班级抽取的人数作为样本数
据．已知样本平均数为 7，样本方差为 4，则样本数据中的最大值是_____．
x y 1 1 162．（2019 春·江苏连云港·高二统考期末）已知 ， N*，满足 x y 2019 ，则所有
数对 (x, y)的个数是____．
63．（2022 春·全国·高二期中）杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种排列，在欧洲
试卷第 14 页，共 29 页
这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在 1654 年发现这一规律的，我国南宋数学家杨辉
在 1261 年所著的《详解九章算法》一书中出现了如图所示的表，这是我国数学史上的
一次伟大成就，如图所示，在“杨辉三角”中去除所有为 1 的项，依次构成数列，2，3，
3，4，6，4，5 ，10 ，10，5，……，则此数列的前 119 项的和为__________．(参考
数据： 216 65536， 217 131072， 218 262144 )
64．（2022·全国·高三专题练习）某校高二年级共有 10 个班级，5 位教学教师，每位教
师教两个班级，其中姜老师一定教 1 班，张老师一定教 3 班，王老师一定教 8 班，秋老
师至少教 9 班和 10 班中的一个班，曲老师不教 2 班和 6 班，王老师不教 5 班，则不同
的排课方法种数______．
65．（2021 秋·浙江宁波·高三镇海中学校考开学考试）已知 a，b，c，d，e 为 5 个实数，
若 a，b，c，d、a，b，c，e、a，b，d，e 的方差均为 1，则 b，c，d，e 方差的最大值
是________.
66．（2023·全国·高三专题练习）设整数数列 a1， a2，…， a10 满足 a10 3a1，
a2 a8 2a5，且 ai 1 1 ai , 2 ai ， i 1,2, ,9，则这样的数列的个数为___________.
67．（2022·全国·高三专题练习）“迎冬奥，跨新年，向未来”，水球中学将开展自由式滑
雪接力赛．自由式滑雪接力赛设有空中技巧、雪上技巧和雪上芭蕾三个项目，参赛选手
每人展示其中一个项目．现安排两名男生和两名女生组队参赛，若要求相邻出场选手展
示不同项目，女生中至少一人展示雪上芭蕾项目，且三个项目均有所展示，则共有___
种出场顺序与项目展示方案．（用数字作答）
68．（2022 春·上海浦东新·高二上海市进才中学校考期中）从集合U a1, a2 , a3 , , an 的
子集中选出 4 个不同的子集，需同时满足以下两个条件：① U 都要选出；②对选
出的任意两个子集 A 和 B，必有 A B 或 A B .则选法有___________种.
69．（2022 秋·湖北·高三校联考开学考试）已知 y, f , d 为正整数，
f x (1 x) y (1 x) f (1 x)d .其中 x 的系数为 10，则 x2 的系数的最大可能值与最小
可能值之和为___________.
70．（2023· · n *上海高二专题练习）若 fn (x, y) ( 5x 2y) n N , x, y R ，则下列结论中
试卷第 15 页，共 29 页
正确的有_____．
①若 fn (1,1) an 5bn ,an ,bn 为整数，则 a3 b3 21；
② fn (1,1) fn (1, 1) 是正整数；
③ f2n 1(1, 1) 是 f2n 1(1,1) 的小数部分；
④设 fn (1, 1) cn 5d c
2 n 1 2
n ，若 n 、 dn 为整数，则 cn ( 1) 5dn .
71．（2023·河北承德·统考模拟预测）某校高三年级有 n(n 2, n N )个班，每个班均有
(n 30)人，第 k （ k 1,2,3, ,n）个班中有 (k 10) 个女生，余下的为男生.在这 n 个班
8
中任取一个班，再从该班中依次取出三人，若第三次取出的人恰为男生的概率是 ，
13
则 n _________.
72．（2023 春·上海徐汇·高二上海中学校考期中）已知 A, B,C, D, E, F 六个字母以随机顺
序排成一行，若小明每次操作可以互换 2 个字母的位置，则小明必须进行 5 次操作才能
将六个字母排成 ABCDEF 的顺序的排列情况有______种．
四、解答题
73．（2023 春·江西景德镇·高二景德镇一中校考期中）马尔科夫链是概率统计中的一个
重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、
天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，
X t 2 ， X t 1， X t ， X t 1，…，那么 X t 1时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态 X t ，即
P X t 1 , X t 2 , X t 1, X t P X t 1 X t ．
现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．
假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为50%，且每局赌赢
可以赢得 1 元，每一局赌徒赌输的概率为50%，且赌输就要输掉 1 元．赌徒会一直玩下
去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为 0 元，即赌徒输光；
*
一种是赌金达到预期的 B 元，赌徒停止赌博．记赌徒的本金为 A A N , A B ，赌博
过程如下图的数轴所示．
试卷第 16 页，共 29 页
当赌徒手中有 n 元（0 n B，n N ）时，最终输光的概率为P n ，请回答下列问题：
(1)请直接写出P 0 与 P B 的数值．
(2)证明 P n 是一个等差数列，并写出公差 d．
(3)当 A 100时，分别计算B 200，B 1000时，P A 的数值，并结合实际，解释当
B 时，P A 的统计含义．
74．（2023·全国·模拟预测）某校 20 名学生的数学成绩 xi (i 1,2, , 20) 和知识竞赛成绩
yi (i 1, 2, , 20)如下表：
学生编号 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
数学成绩 xi 100 99 96 93 90 88 85 83 80 77
知识竞赛成绩
290 160 220 200 65 70 90 100 60 270
yi
学生编号 i 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
数学成绩 xi 75 74 72 70 68 66 60 50 39 35
知识竞赛成绩
45 35 40 50 25 30 20 15 10 5
yi
计算可得数学成绩的平均值是 x 75，知识竞赛成绩的平均值是 y 90，并且
20 20 20
x 2i x 6464， yi y 2 149450， xi x yi y 21650 ．
i 1 i 1 i 1
(1)求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数（精确到0.01）．
(2)设 N N* ，变量 x 和变量 y 的一组样本数据为 xi , yi | i 1,2, , N ，其中
xi (i 1,2, , N ) 两两不相同， yi (i 1,2, , N )两两不相同．记 xi 在 xn | n 1,2, , N 中
的排名是第Ri 位， yi 在 yn | n 1,2, , N 中的排名是第 Si位， i 1,2, , N ．定义变量 x
和变量 y 的“斯皮尔曼相关系数”（记为 ）为变量 x 的排名和变量 y 的排名的样本相关
系数．
6 N
（i）记 di Ri Si ， i 1, 2, , N 1 d
2
．证明： N N 2 1 i ．i 1
试卷第 17 页，共 29 页
（ii）用（i）的公式求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的“斯皮尔曼相关系数”（精
确到0.01）．
(3)比较（1）和（2）（ii）的计算结果，简述“斯皮尔曼相关系数”在分析线性相关性时的
优势．
n
xi x yi y n
r i 1 k 2 n(n 1)(2n 1)注：参考公式与参考数据． ； n n ；
x x 2 y y 2 k 1 6i i
i 1 i 1
6464 149450 31000．
75．（2022·河北·校联考模拟预测）近年来，新能源汽车产业大规模发展，某汽车产品自
生产并投入市场以来，受到多位消费者质疑其电池产品质量，汽车厂家提供甲 乙两家
第三方检测机构对产品进行质量检测，邀请多位车主进行选择，每位车主只能挑选一家.
若选择甲机构记 1 分，若选择乙机构记 2 分，每位车主选择两个机构的概率相等，且相
互独立.
(1)若参加的车主有 3 人，记总得分为 X，求 X 的分布列与数学期望；
(2)对所有车主选择的结果进行调查,记总得分恰好为 n分的概率为 an ,求数列 an 的通项
公式；
(3)在(2)的条件下，汽车厂商决定总得分为 99 分或 100 分时就停止计分，若总得为 99
分就选甲机构，总得分为 100 分就选乙机构，请分析这种方案是否合理.
76．（2023·全国·高三专题练习）如图，过抛物线E : x2 2 py( p 0)的焦点 F 作直线 l
交 E 于 A，B 两点，点 A，B 在 x 轴上的射影分别为 D，C，当 AB 平行于 x 轴时，四边
形 ABCD 的面积为 4．
(1)求 p 的值；
(2)过抛物线上两点的弦和抛物线弧围成一个抛物线弓形，古希腊著名数学家阿基米德建
立了这样的理论：以抛物线弓形的弦为底，以抛物线上平行于弦的切线的切点为顶点作
4
抛物线弓形的内接三角形，则抛物线弓形的面积等于该内接三角形面积的 倍．已知点
3
P 在抛物线 E 上，且 E 在点 P 处的切线平行于 AB，根据上述理论，从四边形 ABCD 中
试卷第 18 页，共 29 页
任取一点，求该点位于图中阴影部分的概率的取值范围．
77．（2023·全国·校联考模拟预测）卡特兰数是组合数学中一个常在各种计数问题中出现
的数列．以比利时的数学家欧仁·查理·卡特兰（1814-1894）命名．历史上，清代数学家
明安图（1692 年-1763 年）在其《割圜密率捷法》最早用到“卡特兰数”，远远早于卡塔
兰．有中国学者建议将此数命名为“明安图数”或“明安图-卡特兰数”．卡特兰数是符合以
下公式的一个数列： an a0an 1 a1an 2 an 1a0 且 a0 1．如果能把公式化成上面这种
形式的数，就是卡特兰数．卡特兰数是一个十分常见的数学规律，于是我们常常用各种
例子来理解卡特兰数．比如：在一个无穷网格上，你最开始在 0,0 上，你每个单位时
间可以向上走一格，或者向右走一格，在任意一个时刻，你往右走的次数都不能少于往
上走的次数，问走到 n, n ，0≤n 有多少种不同的合法路径．记合法路径的总数为bn
(1)证明bn 是卡特兰数；
(2)求bn 的通项公式．
78．（2023·湖北·统考二模）五一小长假到来，多地迎来旅游高峰期，各大旅游景点都推
出了种种新奇活动以吸引游客，小明去成都某熊猫基地游玩时，发现了一个趣味游戏，
游戏规则为：在一个足够长的直线轨道的中心处有一个会走路的机器人，游客可以设定
机器人总共行走的步数，机器人每一步会随机选择向前行走或向后行走，且每一步的距
离均相等，若机器人走完这些步数后，恰好回到初始位置，则视为胜利.
(1)若小明设定机器人一共行走 4 步，记机器人的最终位置与初始位置的距离为 X 步，
求 X 的分布列和期望；
(2) p *记 i i N 为设定机器人一共行走2i步时游戏胜利的概率，求 pi ，并判断当 i为何
值时，游戏胜利的概率最大；
(3)该基地临时修改了游戏规则，要求机器人走完设定的步数后，恰好第一次回到初始位
置，才视为胜利.小明发现，利用现有的知识无法推断设定多少步时获得胜利的概率最
大，于是求助正在读大学的哥哥，哥哥告诉他，“卡特兰数”可以帮助他解决上面的疑惑：
将n个 0 和n个 1 排成一排，若对任意的1 k 2n，在前 k 个数中，0 的个数都不少于 1
n n 1 n n 1
的个数，则满足条件的排列方式共有C2n C2n 种，其中，C2n C2n 的结果被称为卡特
兰数.若记 Pi 为设定机器人行走 2i步时恰好第一次回到初始位置的概率，证明：对（2）
p *
中的 p ii ，有Pi i N2i 1
79．（2023·全国·高三专题练习）某市正在创建全国文明城市，学校号召师生利用周末从
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事创城志愿活动．高三（1）班一组有男生 4 人，女生 2 人，现随机选取 2 人作为志愿
者参加活动，志愿活动共有交通协管员、创建宜传员、文明监督员三项可供选择．每名
1
女生至多从中选择参加 2 项活动，且选择参加 1 项或 2 项的可能性均为 2 ；每名男生至
1
少从中选择参加 2 项活动，且选择参加 2 项或 3 项的可能性也均为 2 ．每人每参加 1 项
活动可获得综合评价 10 分，选择参加几项活动彼此互不影响，求
(1)在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生的概率；
(2)记随机选取的两人得分之和为 X，求 X 的期望．
80．（2015 春·河北唐山·高二统考期中）（本小题满分 10 分）已知
（ ）的展开式中 的系数为 11．
（1）求 的系数的最小值；
（2）当 的系数取得最小值时，求 展开式中 的奇次幂项的系数之和．
81．（2016·湖北·统考一模）某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，
在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图 1 的频率分布
直方图．
（1）若直方图中后四组的频数成等差数列,计算高三全体学生视力在5. 0以下的人数，
并估计这100名学生视力的中位数（精确到0. 1）；
（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力
与学习成绩是否有关系，对高三全体学生成绩名次在前50名和后50名的学生进行了调
查，得到如表 1 中数据，根据表 1 及临界值表 2 中的数据，能否在犯错的概率不超过0. 05
的前提下认为视力与学习成绩有关系
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附：临界值表 2
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（参考公式： ， 其中
n n 1 n 2 n m 1
82．（2022 · m, n N* f m 春高二课时练习）已知 ，定义 n .m!
（1）求 f4 2 , f4 5 的值；
2n
2 k 2k f k 2n 3n 1（ ）证明： n .
k 1
83．（2021·上海·统考模拟预测）对于数列 an ，称
P(a 1k ) ( a1 a2 a2 a3 ak 1 ak )（其中 k 2,k N ）为数列 an 的前 k 项k 1
“波动均值”.若对任意的 k 2,k N ，都有P(ak 1) P(ak ) ，则称数列 an 为“趋稳数列”.
（1）若数列 1， x ，2 为“趋稳数列”，求 x 的取值范围；
（2）已知等差数列 an 的公差为d ，且a1 0,d 0 ，其前n项和记为 Sn ，试计算：
C2 3 nn P S2 Cn P S3 Cn P Sn （ n 2,n N ）；
（3）若各项均为正数的等比数列 bn 的公比 q (0,1) ，求证: bn 是“趋稳数列”.
84．（2019·全国·高考真题）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种
新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比
试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，
再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只时，就停止
试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施
以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分，乙药得 1分；若施以乙药的
白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分，甲药得 1分；若都治愈或都未治愈则
两种药均得 0 分．甲、乙两种药的治愈率分别记为 α 和 β，一轮试验中甲药的得分记为
X．
（1）求 X 的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分， pi (i 0,1, ,8)表示“甲药的累计得分为 i
时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则 p0 0， p8 1， pi api 1 bpi cpi 1
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(i 1,2, ,7)，其中a P(X 1) ，b P(X 0)， c P(X 1) ．假设 0.5，
0.8．
(i)证明：{pi 1 pi} (i 0,1, 2, ,7) 为等比数列；
(ii)求 p4，并根据 p4的值解释这种试验方案的合理性．
2
85．（2017· ax 1上海闵行·上海市七宝中学统考模拟预测）已知函数 f x b 0 .
bx
（1）指出 f x 的单调区间；（不要求证明）
（2）若 a 0, x1, x2 , x3 满足 x1 x2 0, x2 x3 0, x1 x3 0，且 x
a
i i 1,2,3 ，求证：a
f x1 f x2 f x
2 a
3 ；b
n
（3）证明：当a b 1 n n 时，不等式 f x f x 2 2 n N 对任意
x ,0 0, 恒成立.
86．（2021 秋·北京·高三统考期末）已知集合 A {1,2, , 2n}(n N*)，集合 A1， A2 … Am
（m N * ，m 2）都是集合 A 的子集．如图，作 m 行 2n列数表，其中第 k 行第 l 列
1, l Ak
的数为 ak ,i
0, l
．
Ak
1 2 … 2n
A1 a1,1 a1,2 … a1,2n
A2 a2 ,1 a2 ,2 … a2 ,2n
… … … … …
Am am ,1 am ,2 … am ,2n
记R i ai ,1 ai ,2 ai ,2n ，1 i m；
C j a1, j a2 , j am , j ，1 j 2n ；
对于 m，n 和 t t N ，若存在集合 A1， A2 … Am 满足下列条件：
① R 1 R 2 R m n ；
② C 1 C 2 C 2n ；
试卷第 22 页，共 29 页
③对任意的1 i j m， Ai Aj 的元素个数均为 t．
则称有序数组 n,m, t 是相容的．
（1）求出所有相容的有序数组 n,m,0 ；
（2）若 3, 4, t 是相容的，请直接给出 t 的值，并给出一个满足条件的数表．
（3）求出所有相容的有序数组 n,m, 2
87．（2022 春· n全国·高二期中）已知函数 fn x 1 x a a x a 20 1 2x a nnx ，其中
R ．
（1）若 2,n 2020 ，求 a0 a2 a4 a2020 的值；
（2）若 n 8,a7 1024 ，求 ai i 0,1,2,3, ,8 的最大值；
n
（3 k）若 1，求证： C k xkn fn k x x
k 0 n
．
88．（2022 秋·吉林长春·高三长春市第二实验中学校考期末）在合理分配团队合作所得
时，我们往往会引入 Shapley 值来评判一个人在团队中的贡献值.首先，对员工编号（1，
2，…， k ）.我们假定个人单独工作时带来的贡献是，， v 1 ,v 2 , ,v k ，考虑到在个
人工作的基础上如果分出小组可能会得到更高的效率，记集合S 的元素为一个小组中成
员的编号，例如：集合 S ={1, 2,3, 4}表示编号为 1，2，3，4 的员工结为一个小组，并
记这个组为S .再记 v Si 为小组 Si合力工作可产生的总贡献，并对编号为 i的员工引入边
界贡献 i S v S i v S ，表示如果员工 i加入小组S 中可以为小组带来的贡献值.
S S
那么一个员工的Shapley值为 Sh i i 1 i n 其中 Si i 1,2, , n 为其他组员n
（可以不是所有的其他组员）的一种成组方式，一个员工的 Shapley 值越大意味着它在
整个团队中贡献越大，最后我们将依靠它来评定团队合作下（相当于所有人是一个组）
一个人的贡献值.现在有三名淘宝带货主播A ， B ，C 在一次三人联动带货活动（一种
直播方式，要求三个人中一个人先直播，然后加入一个人两个人联动，最后再加入一个
人三个人联动）中共有 50000 份订单任务要完成，A 单独直播能完成 10000 份， B 单独
直播能完成 12500 份，C 单独直播能完成 5000 份，如果A ， B 联动带货可以完成 27000
份，A ，C 联动带货能完成 37500 份， B ，C 联动带货能完成 35000 份，A ， B ，C 联
动带货能完成 50000 份.现在你作为这次任务的策划，你需要考虑A ， B ，C 三人最终
的奖金分配.请回答以下问题：
（1）请你通过语言表述以及适当的数学语言解释 Shapley 值的合理性；
试卷第 23 页，共 29 页
（2）根据A ， B ，C 三人 Shapley 值的大小合理地给出奖金分配方案（用百分数表示，
精确到小数点后一位）.
89．（2023·全国·高三专题练习）某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗.该病毒
一般通过病鼠与白鼠之间的接触传染，现有n只白鼠，每只白鼠在接触病鼠后被感染的
1
概率为 2 ，被感染的白鼠数用随机变量 X 表示，假设每只白鼠是否被感染之间相互独
立．
（1）若P(X 3) P(X 97)，求数学期望E(X )；
（2）接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为 p ，现有两个不同的研究团队理论研究发
现概率 p 与参数 (0 1)
2
的取值有关．团队A 提出函数模型为 p ln(1 ) ，团
3
队 B 提出函数模型为 p
1
(1 e ) ．现将白鼠分成 10 组，每组 10 只，进行实验，随机
2
变量 X i (i 1,2, ,10)表示第 i组被感染的白鼠数，现将随机变量 X i (i 1,2, ,10)的实验
结果 xi (i 1,2, ,10)绘制成频数分布图，如图所示．假设每组白鼠是否被感染之间相互
独立．
①试写出事件“ X1 x1, X 2 x , , X p2 10 x10 ”发生的概率表达式（用 表示，组合数不必
计算）；
②在统计学中，若参数 0时使得概率P(X1 x1, X 2 x2 , , X10 x10 )最大，称 0是
的最大似然估计．根据这一原理和团队A ， B 提出的函数模型，判断哪个团队的函数
模型可以求出 的最大似然估计，并求出估计值．
3
参考数据： ln 0.4065．
2
90．（2023·全国·高三专题练习）为抢占市场，特斯拉电动车近期进行了一系列优惠促销
方案.要保证品质兼优，特斯拉上海工厂在车辆出厂前抽取 100 辆 Model3 型汽车作为样
本进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布
直方图：
试卷第 24 页，共 29 页
（1）估计这 100 辆汽车的单次最大续航里程的平均值(同一组中的数据用该组区间的中
点值代替).
（2）根据大量的测试数据，可以认为 Model3 这款汽车的单次最大续航里程 X 近似地
2
服从正态分布 N , ，经计算第（1）问中样本标准差 s 的近似值为 50.用样本平均数
x 作为 的近似值，用样本标准差 s 作为 的估计值，现从生产线下任取一辆汽车，求
它的单次最大续航里程恰在 250 千米到 400 千米之间的概率.
（3）为迅速抢占市场举行促销活动，特斯拉销售公司现面向意向客户推出“玩游戏，赢
大奖，送车模”活动，客户可根据拋掷硬币的结果，指挥车模在方格图上行进，若车模
最终停在“幸运之神”方格，则可获得购车优惠券 6 万元；若最终停在“赠送车模”方格时，
则可获得车模一个.已知硬币出现正 反面的概率都是 0.5，方格图上标有第 0 格 第 1
格 第 2 格 …… 第 20 格.车模开始在第 0 格，客户每掷一次硬币，车模向前移动一
次.若掷出正面，车模向前移动一格(从 k 到 k+1)，若掷出反面，车模向前移动两格(从 k
到 k+2)，直到移到第 19 格(幸运之神)或第 20 格(赠送车模)时游戏结束.设车模移到第
n 1 n 19 格的概率为Pn，试证明 Pn Pn 1 , n 2 是等比数列；若有 6 人玩游戏，每
人参与一次，求这 6 人获得优惠券总金额的期望值(结果精确到 1 万元).
N , 2参考数据：若随机变量 服从正态分布 ，则 P ≤ 0.6827
P 2 2 0.9544, P 3 3 0.9973
91．（2023·全国·高三专题练习）已知集合
Sn X X x1, x2 , , xn , xi 0,1 , i 1,2, , n ，其中n 2．对于 A a1,a2 , ,an ，
n
B b1,b2 , ,bn Sn ，定义A 与 B 之间的距离为d A, B ai bi ．
i 1
（1）记 I 1,1,1,1 S4 ，写出所有 A S 4 使得 d I , A 3 ；
（2）记 I 1,1, ,1 S n ，A 、B Sn ，并且 d I , A d I , B p n ，求 d A, B 的最
大值；
试卷第 25 页，共 29 页
（3）设P Sn ， P 中所有不同元素间的距离的最小值为 k ，记满足条件的集合 P 的元
2n
素个数的最大值为m ，求证：m 0 ．Cn C
1
n C
k 1
n
92．（2023·全国·高二专题练习）已知 an 是各项均为正数的等比数列，其前 n 项和为
Sn ， a1 1，且 S3 a3 ， S5 a5 ， S4 a4成等差数列.
(1)求数列 an 的通项公式；
an , n 2k 1
(2)设b
(3n 5)a ,n N n n ，求数列 b,n 2k n 的前 2n项和T2n ；
(n 1)(n 1)
1 n
(3)设 cn an ， n
2
N*，证明： cn k 6 .k 1
93．（2023·河北·高三河北衡水中学校考阶段练习）2021 年 9 月 15 日至 17 日，世界新
能源汽车大会在海南海口召开，大会着眼于全球汽车产业的转型升级和生态环境的持续
改善.某汽车公司顺应时代潮流，最新研发了一款新能源汽车.为了推广该款新能源汽车，
购买新能源汽车将会得到相应的补贴，标准如下：
60 70 80 9090 100
购买的新能源汽车价格（万元）
补贴（万元） 5 7 10 15
(1)本月在 A 市购买新能源汽车的 4000 人中随机抽取 300 人，统计了他们购买的新能源
汽车的价格并制成了如下表格（这 4000 人购买的新能源汽车价格都在 60-100 万元之间）
利用样本估计总体，试估计本月 A 市的补贴预算（单位：亿元，保留两位小数）
(2)该公司对这款新能源汽车的单次最大续航里程进行了测试，得到了单次最大续航里程
y km 与售价的关系如下表.根据数据可知 y 与 x 具有线性相关关系，请建立 y 与 x 的回
归方程 y b x a （系数精确到0.01）.周小姐想要购买一辆单次最大续航为 420km的该
试卷第 26 页，共 29 页
款新能源汽车，请根据回归方程计算周小姐至少要准备多少钱（单位：万元，保留两位
小数）
售价 x（万元） 66 70 73 81 90
单次最大续航里程
200 230 260 325 405
y km
n
xi yi nx y
b i 1n ,a y b x2
x2i nx
i 1
(3)某汽车销售公司为促进消费者购买该新款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，
送大奖”活动，活动规则如下：箱子里有 2 个红球，1 个黄球，1 个蓝球，客户从箱子里
随机取出一个球（每一个球被取出的概率相同），确定颜色后放回，连续抽到两个红球
时游戏结束，取球次数越少奖励越好，记取n次球游戏结束的概率为Pn n N* .周小姐
参与了此次活动，请求周小姐取球次数的数学期望.
94．（2023 春·北京· *高二汇文中学校考期中）已知集合M 1,2,3, ,n n N ，若集合
A a1,a2 , ,am M m N* ，且对任意的b M ，存在 ai ， a j A 1 i j m ，使得
b 1ai 2a j （其中 1, 2 1,0,1 ），则称集合A 为集合M 的一个m 元基底．
(1)分别判断下列集合A 是否为集合M 的一个二元基底，并说明理由；
① A 1,5 ，M 1,2,3,4,5 ；
② A 2,3 ，M 1, 2,3, 4,5,6 ．
(2)若集合A 是集合M 的一个m 元基底，证明：m m 1 n；
(3)若集合A 为集合M 1,2,3, ,19 的一个m 元基底，求出m 的最小可能值，并写出当
m 取最小值时M 的一个基底A ．
95 *．（2023 春·上海闵行·高二校联考阶段练习）我们称 n n N 元有序实数组
x1, x2 , , xn 为n维向量， x1 x2 xn 为该向量的范数，已知n维向量
a x1, x2 , , xn ，其中 xi 1,0,1 , i 1,2, n n a

，记范数为奇数的 维向量 的个数为 An ，
这 An 个向量的范数之和为Bn .
(1)求 A2和B2的值；
试卷第 27 页，共 29 页
(2)求 A2023 的值；
(3)当n为偶数时，证明：Bn n 3n 1 1 .
96．（2023·江西·校联考二模）小刚在闲暇之时设计了如下一个“数列” an 满足： a1 1，
1 1
当 an 为偶数时， an 1 1，当 an 为奇数时， an 1有 2 的几率为 an 1，有 2 的几率为
an 2 .
(1)求 a5 的分布列和数学期望.
(2)求 an 的前 n 项和 Sn 的数学期望.
97．（2023·上海普陀·统考二模）已知 a,b R ，设函数 y f x 的表达式为
f (x) a x2 b ln x （其中 x 0）
(1)设a 1，b 0，当 f (x) x 1时，求 x 的取值范围；
(2)设a
1
2，b 4 ，集合D 0,1 ，记 g(x) 2cx 2 (c R)，若 y g x 在 D 上为严x
格增函数且对 D 上的任意两个变量 s，t，均有 f s g t 成立，求 c 的取值范围；
1
(3)当a 0，b 0， x 1时，记 hn (x) [ f (x)]
n
[ f (x)]n ，其中 n 为正整数．求证：
h n n1(x) 2 hn (x) 2 ．
98．（2023·北京·高三专题练习）已知等比数列 an 的公比为 q（ q 1），其所有项构成
集合 A，等差数列 bn 的公差为 d（d 0），其所有项构成集合 B．令C A B ，集合
C 中的所有元素按从小到大排列构成首项为 1 的数列 cn ．
(1)若集合C {1,3, 4,5,6,7,9}，写出一组符合题意的数列 an 和 bn ；
(2) n 1 *若an 2 n N ，数列 bn 为无穷数列， A B ，且数列 cn 的前 5 项成公比
为 p 的等比数列．当b1 a5时，求 p 的值；
(3)若数列 bn 是首项为 1 的无穷数列，求证：“存在无穷数列 an ，使 A B ”的充要条
件是“d 是正有理数”．
99．（2023 春·浙江·高二校联考期中）某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗.该
病毒一般通过病鼠与白鼠之间的接触传染，现有 n 只白鼠，每只白鼠在接触病鼠后被感
1
染的概率为 2 ，被感染的白鼠数用随机变量 X 表示，假设每只白鼠是否被感染之间相互
试卷第 28 页，共 29 页
独立.
(1)若P X 5 P X 95 ，求数学期望E X ；
(2)接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为 p，现有两个不同的研究团队理论研究发现概
2 2
率 p 与参数 0 1 的取值有关.团队 A 提出函数模型为 p ln 1 .团队 B 提
3
p 1 1 e 出函数模型为 .现将白鼠分成 10 组，每组 10 只，进行实验，随机变量2
X i i 1, 2, ,10 表示第 i 组被感染的白鼠数，现将随机变量 X i i 1,2, ,10 的实验结
果 xi i 1,2, ,10 绘制成频数分布图，如图所示.
（ ）试写出事件“ X1 x1， X 2 x2 ，…， X10 x10 ”发生的概率表达式（用 p 表示，组
合数不必计算）；
（ ）在统计学中，若参数 0时使得概率P X1 x1, X 2 x2 , , X10 x10 最大，称 0
是 的最大似然估计.根据这一原理和团队 A，B 提出的函数模型，判断哪个团队的函数
3
模型可以求出 的最大似然估计，并求出最大似然估计.参考数据： ln 0.4065 .
2
100．（2023·湖北·校联考模拟预测）某区域中的物种 P 拥有两个亚种（分别记为A 种和 B
种）.为了调查该区域中这两个亚种的数目，某生物研究小组计划在该区域中捕捉100个
物种 P ，统计其中A 种的数目后，将捕获的生物全部放回，作为一次试验结果.重复进行
这个试验共 20次，记第 i次试验中A 种的数目为随机变量 X i (i 1,2, , 20) .设该区域中A
种的数目为M ， B 种的数目为 N ，每一次试验均相互独立.
(1)求 X1的分布列；
1 20
(2)记随机变量 X X i .已知 E(X20 i X j ) E(X i ) E(X j ) ， D(X i X j ) D(X i ) D(X j )；i 1
1
（ ）证明： E(X ) E(X1)，D(X ) D(X )；20 1
（ ）该小组完成所有试验后，得到 X i的实际取值分别为 xi (i 1,2, , 20) .数据
xi (i 1,2, , 20)的平均值 x 40，方差 s2 1.176 .采用 x 和 s2 分别代替 E(X ) 和D(X )，给出
M ， N 的估计值.
试卷第 29 页，共 29 页
参考答案：
1．B
【分析】令 x n 1
1 n
x x 1 1 n x 1 ，可得 n f x 1 x n ， f x n ，利用导数分析哈数1 x
n 1
的单调性，求出函数 f x 的最小值，可得出 xn x0 ，计算得出 xn n 1 n 1 x0，再利
用对数的运算性质可得出结论.
n n n 1
【详解】由 n 1 n 1 n n n 1 可得 n 1 n ，n
x 1 1 n x 1 因为 n x 11 n n ，令 n ，则 xn 1 x n ，n
n 1 x n n 11 n x 1 nx 1 nx n nx n 1 xn 1 n 1 x n 1
令 f x ，则 f x
1 x n 1 x n 2 2 ，1 x n
n 1 n
令 x x n 1 x n 1，则 x n 1 x 1 0，
所以，函数 x 在 1, 上单调递增，
又因为 1 1， 2 2n 1 n 3 1 1 n 1 n 3 1 C1 2n 1 Cn 1 n 3
n n 1 n n 11 n 1 n 3 1 n 1 n 2 0，
2 2 2
所以，存在 x0 1, 2 ，使得 x0 0，
当1 x x0 时， x 0 ，即 f x 0，此时函数 f x 单调递减，
当 x x0时， x 0，即 f x 0，此时函数 f x 单调递增，
n 1
因为 x0 n 1 x0 n 1 0，可得1 nx0 n xn 10 x0 ，
1 n x 1 xn 1 1 x n
所以， f x f x 0 0 0 xn 1min 0 1 x n 1 x n 0 ，0 0
n 1
所以， xn x0 ，可得 ln xn n 1 ln x0，
ln xn
故当 n 时， x n 1 xn 1 ln x0 n 1n 0 n 1 n 1 x0 n 1 e n 1 e
令 p x ex x 1 x，其中 x R ，则 p x e 1，
当 x 0 时， p x 0，此时函数 p x 单调递减，
当 x 0 时， p x 0，此时函数 p x 单调递增，
答案第 1 页，共 104 页
所以， p x p 0 0，即 ex x 1，当且仅当 x 0时，等号成立，
ln xn
n x n 1 n 1 e n 1 n 1 1 ln x故当 时， n n

n 1 ln xn ，
n 1
故 xn ln xn 2 .
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解数列中的一些常见问题，解题的关键在于利用
导数分析 f x 的单调性，结合函数 f x 的单调性来求解.
2．B
【分析】分别计算两人全不相同，一人与另外两人全不相同，三人全不相同的种类数，可得
所求结果.
【详解】设甲，乙两人全不相同为事件 A1，甲，丙两人全不相同为事件 A2，乙，丙两人全
不相同为事件 A3
2 2 2
则 A1， A2， A3的种类数都为C6C4C6 ，
A A 2 2 21 2， A2 A3， A3 A1的种类数都为C6C4C4 ，
A1 A2 A 2 2 23 的种类数为C6C4C2 ，
2 2 2 2 2 2 2 2 2
所以至少有两人全不相同的方法数为C6C4C6 3 C6C4C4 3 C6C4C2 2520，
故选：B.
3．A
1 x n【分析】首先构造二项式 C0n xC1n x2C2n x3C3 ... xnn Cnn ，再根据两边求导，再变
形后求导，赋值后即可求解.
n
【详解】 1 x C0 xC1 x2C2 x3C3 n nn n n n ... x Cn ，两边求导得，
n 1 x n 1 C1 2xC2 2 3n n 3x Cn ... nxn 1Cnn ，两边乘以 x 后得，
nx 1 x n 1 xC1 2x2n C2n 3x3C3 n nn ... nx Cn ，两边求导得，
n 1 x n 2 1 nx C1n 22 xC2 2 2n 3 x C3n ... n2xn 1Cnn ，
取 x 1 1 2得Cn 2 C
2 32 C3n n ... n
2Cnn n n 1 2n 2 .
故选：A
答案第 2 页，共 104 页
4．B
x
【分析】构造函数 f x e x 1，利用导数与函数单调性的关系证得b c；利用二项式
定理证得 c 1 0.1，再构造函数 g x x sin x 证得0.1 sin 0.1，从而得到 c a ；构造函数
h x sin x 5 x 0 x π

，证得 sin 0.1
1
，从而得到 a d ；由此得解.
8 6 16
x x 0
【详解】令 f x e x 1(x 0)，则 f x e 1 e 1 0 ，
所以 f x 0在 0, 上单调递增，故 f x f 0 e 0 1 0，即 ex x 1 0，
所以 ex x 1，则 e0.01 0.01 1 1.01，即 e0.1 (1.01)10，故b c；
因为 c 1.0110 (1 0.01)10 ，
T Ck 110 k (0.01)k (0.01)k Ck所以其展开通项公式为 k 1 10 10 ，
故T1 0.01
0 C010 1，T2 0.01
1 C110 0.1，Tk 1 0 ，
所以 c 1.0110 (1 0.01)10 1 0.1，
令 g x x sinx(x 0)，则 g x 1 cosx 0，
所以 g x 在 0, 上单调递增，则 g x g 0 0，即 x sinx，
所以0.1 sin0.1，故 c 1 0.1 1 sin0.1，即 c a ；
令 h x 5 π sinx x 0 x
5
，则h x cosx ，8 6 8
因为0 x
π
3，所以
6 cosx 1
，则 cosx 3 5 ，故h x 0，
2 2 8
所以 h x 0, π 在 上单调递增，则h x h 0 0，即 sinx
5
x，
6 8
π 5 1
易知0.1 0, ，所以 sin0.1 0.1 ，则1 sin0.1 1
1 17
，即 a d ；
6 8 16 16 16
综上可得b c a d .
故选：B
5．A
【分析】首先求平面 ABC 的一个法向量，并根据法向量确定三棱锥内部的点满足的条件，
并结合隔板法，求方法种数.

【详解】由条件可知， AB 8,8,0 ， AC 8,0,8 ，
答案第 3 页，共 104 页

设平面 ABC 的一个法向量 n x, y, z ，则

AB n 8x 8y 0
，令 x 1，则 y z 1，故 n 1,1,1 ，
AC n 8x 8z 0

设 P a,b,c 是平面 ABC 上的点，则 AP a 8,b,c ，

故 AP n a 8 b c 0 ，则a b c 8，
不妨设三棱锥O ABC 内部整数点为Q r, s, t ，则 r, s, t N* ，且 r 1， s 1， t 1，则
r s t 3
若 r s t 8时，则Q在平面 ABC 上，
若 r s t 8，则Q在三棱锥O ABC 的外部，
所以3 r s t 7，
当 r s t n,n N*，且3 n 7 时，
将n写成n个 1 排成一列，利用隔板法将其隔成三部分，则结果的个数为 r, s, t 的取值的方法
2
个数，显然有Cn 1个方法，
Q r, s, t C2 C2 C2 C2 2所有整数点 的个数为 2 3 4 5 C6 35 .
故选：A
6．D
2 3 4 a 3a m, 1
【分析】设 a0 3a1 3 a2 3 a3 3 a4 110，当 a4 0
0 1
，设
a2 3a3 n, 2
，则
m 9n 110，求出m 9n 110的非负整数解；当 a4 1时，同理求出方程的解的个数，两种
情况相加即可得出答案.
2 3 4
【详解】设若 a0 3a1 3 a2 3 a3 3 a4 110，
a 0
3a1 m, 1
（i） a4 0，则 a0 3a1 9 a2 3a3 110，设 a m 9n 110 2 3a
则 ，
3 n, 2
m n
方程（1）的非负整数解的个数为 1

，方程（2）的非负整数解的个数为 1． 3 3
m 110 m 101 m 92 m 83 m 74
m 9n 110的非负整数解有： n 0 ， n 1
，
n ， 2 n 3 ， ， n 4
答案第 4 页，共 104 页
m 65

n 5
，
m 56 m 47 m 38 m 29 m 20 m 11 m 2
n 6 ， n 7 ， n 8 ，

n 9
，
n 10
，
n 11
，
n 12
故方程的解的个数为：
110 1 101 1 1 92 2 1
1
3 3 3 3 3
1

83 1 3 1 74 1 4 65 5
3
3 3
1 1
3 3 3
1

56 1 6 1 47 1 7 38 8 1 1
1
3 3 3 3 3

3


29 1 9 1 20 1 10 1 11 11 3


1 1
3 3 3 3 3
2 1 12 1


3
485；
3
（ii）当 a4 1，则 a0 3a1 9 a2 3a3 29，类似地有方程的解的个数为：
29 1 20 1 1

1
11 2 2 3


1
1 1

3 3 3 3 3 3
1 23，
3
综上，共有 485 23 508种不同的方法.
故选：D.
7．A
【分析】首先根据已知条件“定位”中间数字，其次在剩余的四个数字中任取两个数字，放置
在首或末位，则其余数字排列方式唯一确定.最后由古典概型计算公式即可得解
5
【详解】由 1，2，3，4，5 组成的没有重复数字的五位数共A 5 120 个，前 3 个数字保持递
减，后 3 个数字保持递增，说明中间数字为 1；
在剩余的四个数字中任取两个数字，按照递减顺序,仅有一种排列方式放置在首两位（或末
2
两位），则剩余两位数字排列方式唯一确定，放置在最后两位（或首两位）. C4×1 6
2
因此“前 3 个数字保持递减，后 3 个数字保持递增”的五位数有C4 6 个，
答案第 5 页，共 104 页
P 6 1所以所求的概率 ．
120 20
故选：A．
8．C
【分析】先判断出 A1， A2， A3是两两互斥的事件，且不满足P A1A2 P A1 P A2 ，①错
误，②正确，用条件概率求解③⑤，用全概率概率求解④，得出结论.
【详解】显然， A1， A2， A3是两两互斥的事件，且
P A 5 1 2 11 ，P A2 ，而P A1A2 0 P A1 P A ，①错误，②正5 2 3 2 5 2 3 5 2
确；
P A 2 1 1 4 42 ，P A2B
4
，所以 P(B | A
5 2 3 5 5 11 55 2
)
11 ，③正确；
P B P B A 1 5 4 1 3 4 9 1 P A1 P B A2 P A2 P B A3 P A3 ④2 11 11 5 10 11 22
正确；
1 5
P A B
P A B 1 2 11 51 9 ，⑤错误，综上：结论正确个数为 3.P B 9
22
故选：C
9．C
【分析】先分组，再考虑甲的特殊情况.
【详解】将 5 名大学生分为 1-2-2 三组，即第一组 1 个人，第二组 2 个人，第三组 2 个人，
C 2 C 25 3 C
1
1
共有 15 种方法；
A22
由于甲不去看冰球比赛，故甲所在的组只有 2 种选择，剩下的 2 组任意选，
2A2所以由 2 4 种方法；
按照分步乘法原理，共有 4 15 60 种方法；
故选：C.
10．D
【分析】分类讨论按照 O，A，B，C，D，E 的顺序按题意要求去依次涂色即可解决.
O C1 1 1【详解】先给 涂色，有 5种方法，接着给 A 涂色，有C4 种方法，接着给 B 涂色，有C3
答案第 6 页，共 104 页
种方法，
①若 C 与 A 同色，则有 1 种涂色方法，接着给 D 涂色，有 3 种涂色方法，
最后 E 有 2 种涂色方法；
②若 C 与 A 不同色，则有 2 种涂色方法，接着给 D 涂色，
若 D 与 A 同色，则有 1 种涂色方法，最后 E 有 3 种涂色方法；
若 D 与 A 不同色，则有 2 种涂色方法，最后 E 有 2 种涂色方法.
1 1 1
综上，涂色方法总数为C5 C4 C3 1 3 2 2 (1 3 2 2) 1200
故选：D
11．C
【分析】分析出 f x 的所有可能取值，得到使 f x 中 f 1 、 f 8 、 f 14 构成等比数列
时对应的项，再运用计数原理及排列组合求出这样的不同函数 f x 的个数即可.
【详解】解： f x 的取值的最大值为 x ，最小值为2 x，并且成以 2 为公差的等差数列，
故 f 8 的取值为 8，6，4，2，0， 2， 4， 6，
f 14 的取值为 14，12，10，8，6，4，2，0， 2， 4， 6， 8， 10， 12，
所以能使 f x 中的 f 1 、 f 8 、 f 14 成等比数列时，
f 1 、 f 8 、 f 14 的取值只有两种情况：
① f 1 1、 f 8 2、 f 14 4 ；② f 1 1、 f 8 2、 f 14 4 ．
f x 1 f x 1 x 1,2, ,13 ， f x 1 f x 1或 f x 1 f x 1，
即得到后项时，把前项加 1 或者把前项减 1，
（1）当 f 1 1、 f 8 2、 f 14 4 时，想要构造满足条件的等比数列分为两步，
第一步：从 f 1 变化到 f 8 ，第二步：从 f 8 变化到 f 14 ．
从 f 1 变化到 f 8 时有 7 次变化，函数值从 1 变化到 2，
故应从 7 次中选择 4 步加 1 3，剩余的 3 步减 1．对应的方法数为C7 35种，
从 f 8 变化到 f 14 时有 6 次变化，函数值从 2 变化到 4，
答案第 7 页，共 104 页
2
故应从 6 次变化中选择 4 步加 1，剩余 2 步减 1，对应的方法数为C6 15种．
共有35 15 525种方法；
（2）当 f 1 1、 f 8 2、 f 14 4 时，想要构造满足条件的等比数列分为两步，
第一步， f 1 变化到 f 8 ，第二步：从 f 8 变化到 f 14 ，
从 f 1 变化到 f 8 时有 7 次变化，函数值从 1 变化到 2，
故应从 7 次中选择 2 步加 1，剩余的 5 步减 1，对应的方法数为C27 21种，
从 f 8 变化到 f 14 时有 6 次变化，函数值从 2变化到 4，
6
故应从 6 次变化中选择 6 步加 1，对应的方法数为C6 1种，
共有 21 1 21种方法．
综上，满足条件的 f x 共有525 21 546 种.
故选：C．
【点睛】解决本题的难点在于发现 f x 的取值规律，并找到使 f 1 、 f 8 、 f 14 构成等
比数列所对应的三项，然后利用计数原理及排列组合求解即可，属于难题.
12．D
【分析】根据题意求出比赛的场次，由每局产生 1 分可知，所有比赛共产生的分数为 136 分，
将最终得分不多于 5 分的人有 11 个人的分数除去后，把剩下的分数分给余下的 6 人，即可
得出结论.
2
【详解】根据题意，至少要举行C17 136场比赛，
因为每局比赛产生 1 分，所以至少产生 136 分，
因为最终得分不多于 5 分的人有 11 个，那么这 11 人最多有 55 分，
所以最少有136 55 81分需要被剩下的 6 人分配，
得分最多者全胜可得 16 分，其次是 15 分，14 分，13 分，12 分，
5 人得分 70 分，那最后一人最少也要得 11 分，
不可能得 8.5 分，
所以得 8.5 分的人有 0 个，
故选：D.
答案第 8 页，共 104 页
13．C
【分析】首先算出任意相邻两个数字的奇偶性不同的 6 位数的个数，再讨论个位是偶数并分
2 在或不在个位计数，以及个位是奇数并分 1 在或不在个位计数，最后求目标概率.
3
【详解】将 3 个偶数排成一排有 A3 种，再将 3 个奇数分两种情况插空有 2A
3
3 种，
3 3
所以任意相邻两个数字的奇偶性不同的 6 位数有 2A3 A3 72种，
任意相邻两个数字的奇偶性不同且 1 和 2 相邻，分两种情况讨论：
2 2
当个位是偶数：2 在个位，则 1 在十位，此时有 A2 A2 4种；
2 不在个位：将 4 或 6 放在个位，百位或万位上放 2，在 2 的两侧选一个位置放 1，最后剩
2 1 1 1 2余的 个位置放其它两个奇数，此时有C2C2C2 A2 16种；
所以个位是偶数共有 20 种；
同理，个位是奇数也有 20 种，则任意相邻两个数字的奇偶性不同且 1 和 2 相邻数有 40 种，
40 5
所以任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1 和 2 相邻的概率是 .
72 9
故选：C
【点睛】关键点点睛：对任意相邻两个数字的奇偶性不同且 1 和 2 相邻做计数时，注意讨论
特殊位置上放置偶数或奇数，进而分 1、2 是否在该位置的情况计数.
14．B
【分析】根据题设应用排列组合数求A {数学不排第一节，物理不排最后一节}、 B {化学排
第四节}的安排方法数，求出P A 、P AB ，应用条件概率公式求目标概率.
【详解】事件A ：数学不排第一节，物理不排最后一节.
4
若物理安排在第一节，其它 4 节课安排 4 科，作全排有A4 种；
若物理不在第一节，中间 3 节课任选一节上物理，余下的 4 节课去掉第 1 节课的 3 节课中任
3
选一节上数学，最后剩下的 3 节课安排 3 科，做全排有A3种；
4 1 1 3
综上，事件 A 的安排数有A4 C3C3A3 种；
事件 B ：化学排第四节.
3
若物理安排在第一节，其它 3 节课安排 3 科，作全排有A3种；
若物理不在第一节，中间前 2 节课任选一节上物理，余下的 1 节课和最后一节课任选一节上
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2
数学，最后剩下的 2 节课安排 2 科，做全排有A2 种；
B 3 1 1 2综上，事件 的安排数有A3 C2C2A2 种；
5 A
4 C1C1A3 78 A3 C1 C1 A24 3 3 3 3 2 2 2 145 科任意排有A5种，所以P A 5 5 ，P AB A A A5 A5 ，5 5 5 5
P AB
故满足条件的概率是P(B | A)
7

P A 39 .
故选：B
15．B
【分析】分别计算两人经过 A1, A2 , A3 , A4的走法种数，由排列组合与古典概型对选项逐一判
断
1 1
【详解】对于甲，经过 A1到达 N 有 1 种，经过 A2到达 N 有C3 C3 9种，
经过 A3到达 N 有C1 C13 3 9种，经过 A4 到达 N 有 1 种，甲从 M 到达 N 处的方法共有 20 种，
同理对于乙，经过 A1, A2 , A3 , A4到达M 分别有1,9,9,1种．
对于 A，甲从 M 必须经过 A2到达 N 处的方法有 9 种，A 正确，
1 9 9 9 9 1 164 41
对于 B，甲乙两人相遇的概率P ，B 错误，
20 20 400 100
9 9 81
对于 C，甲乙两人在 A2处相遇的概率P ，C 正确，20 20 400
对于 D，甲从 M 到达 N 处的方法共有 20 种，D 正确
故选：B
16．C
【分析】利用捆绑法和插空法进行求解．
3
【详解】第一步：先将 3 名母亲全排，共有A3种排法；
第二步：将 3 “ ” A3名女宝 捆绑 在一起，共有 3种排法；
第三步：将“捆绑”在一起的 3 名女宝作为一个元素，在第一步形成的 2 个空中选择 1 个插入，
1
有 A2 种排法；
第四步：首先将 2 名男宝之中的一人，插入第三步后相邻的两个妈妈中间，然后将另一个男
1 1
宝插入由女宝与妈妈形成的 2 个空中的其中 1 个，共有C2C2 种排法．
答案第 10 页，共 104 页
∴ 3 3 1 1 1不同的排法种数有：A3A3A2C2C2 288种．
故选：C．
17．D
【分析】对 A、B：不妨设1 a1 a2 a3 a4 ，可得
a1 a2 a1 a3 a1 a4 a2 a4 a3 a4 ，根据集合Y 的定义可得 Y 中至少有以上 5 个元素，
不妨设 x1 a1 a2 , x2 a1 a3 , x3 a1 a4 , x4 a2 a4 , x5 a3 a4 ，则集合 S 中至少有 7 个
元素，排除选项 A，若a1 a4 a2 a3 ，则集合 Y 中至多有 6 个元素，所以
x x
| S | 2 i jmax C6 15 16，排除选项 B；对 C：对 i j, xi x j ，则 x 与 x 一定成对出现，根j i
据集合T 的定义可判断选项 C；对 D：取 X {1,3,5,7}，则Y {4,6,8,10,12}，根据集合T 的
定义可判断选项 D.
【详解】解：不妨设1 a1 a2 a3 a4 ，则 ai a j 的值为
a1 a2 ,a1 a3,a1 a4 ,a2 a3,a2 a4 ,a3 a4 ，
显然，a1 a2 a1 a3 a1 a4 a2 a4 a3 a4 ，所以集合 Y 中至少有以上 5 个元素，
不妨设 x1 a1 a2 , x2 a1 a3 , x3 a1 a4 , x4 a2 a4 , x5 a3 a4 ，
则显然 x1x2 x1x3 x1x4 x1x5 x2x5 x3x5 x4x5，则集合 S 中至少有 7 个元素，
所以 | S | 6不可能，故排除 A 选项；
其次，若a1 a4 a2 a3 ，则集合 Y 中至多有 6 个元素，则 | S | C2max 6 15 16，故排除 B
项；
对于集合 T，取 X {1,3,5,7}，则Y {4,6,8,10,12}，此时
T 1 , 2 , 1 2 , ,
3 , 3 , 4 , 4 ,2, 5 , 5 , 5 , 5 , 6 , 3 ,3 ， |T | 16，故 D 项正确；
3 5 2 3 5 4 5 3 6 4 3 2 5 2


x x x
对于 C 选项而言， i j, x x i j
xi j
i j ，则 x 与 一定成对出现， 1 1 0x x x ，所以
|T |
j i j i
一定是偶数，故 C 项错误.
故选：D.
18．D
答案第 11 页，共 104 页
1
【分析】设 Y=X-1，分析出Y B 5, ，从而求出 X 的可能取值及相应的概率，求出期望
2
和方差，得到正确答案.
【详解】设 A=“向右下落”，则 A =“向左下落”，且P A P A 1 ，2
Y X
1
设 = -1，因为小球在下落过程中共碰撞 5 次，所以Y B 5, ，
2
P Y k P X k 1 Ck 1
k 5 k 5
1 1 k 1 于是 C （ k 0,1,2,3,4,55 ）.
2 2 5 2
5
所以P X 1 P X 6 C0 1 15 ，A 错误；
2 32
5
P X 2 P X 5 C1 1 5 5 ，
2 32
5
P X 3 P X 4 C2 1 5 5 ，
2 16
1 5 5 7
所以E X 1 6 2 5 3 4 ，B 错误；
32 32 16 2
2 2
D X 1 7 1 2 7 5
2 2

3 7 10 4 7 10
2 32 2 32 2 32 2

32
7
2
5 7
2 1 5
5 2 32
6 ，C 错误，D 正确
2 32 4
故选：D
19．C
【分析】（1）与（2）能直接进行求解；（3）分析出要想第n次触球者是甲，则第 n 1 次
1
触球的不能是甲，且第 n 1 次触球的人，有 2 的概率将球传给甲，从而求出递推公式；
（4）再第（3）问的基础上求出通项公式，计算出P9，比较出
P10 P
3 1 1
9 P9 0，从而判断出结论.2 2 256
【详解】甲传球给乙或丙，故P2 0，（1）正确；
1
乙或丙传球给其他两个人，故P3 ，（2）正确；2
由题意得：要想第n次触球者是甲，则第 n 1 次触球的不能是甲，
答案第 12 页，共 104 页
1
且第 n 1 次触球的人，有 2 的概率将球传给甲，
故P
1
n 1 Pn 1
1 P 1 n 1 ，C 正确；2 2 2
因为P
1 1 1
n P2 n 1
，设P
2 n
P
2 n 1
，
解得：
1

3 ，
P 1 1 1所以 n

3 2
Pn 1
3
P 1 2因为 1 ，3 3
1 2 1
所以 Pn 是以 为首项，公比是 的等比数列，
3

3 2
1 2 1 n 1
故Pn
，
3 3 2
n 1
所以P 2 1 1n ，3 2 3
P 2 1
8
1 43
故 9 ，3 2 3 128
P P 3 1 3 43 1 110 9 P9 0 ，2 2 2 128 2 256
故P9 P10，（4）错误.
说法正确的个数是 3 个.
故选：C
【点睛】概率与数列结合的题目，要能分析出递推关系，通过递推关系求出通项公式，这是
解题的关键.
20．B
lnx2 2 lnx1 2【分析】由二项分布的方程公式求D ，化简不等式可得 x ，设2 x1
f x lnx 2 ，由条件可得 f x 在 m, 为减函数，根据单调性与导数的关系可求m 的
x
取值范围.
1 1 2
【详解】因为 B 9, ，所以D 9 2，
3 3 3
x1lnx2 x2lnx1 D x1lnx2 x2lnx1所以不等式 x x 可化为 2x x ，1 2 1 2
答案第 13 页，共 104 页
又 x1 x2，
所以 x1lnx2 2x1 x2lnx1 2x2 ，
lnx2 2 lnx1 2
所以 x ，2 x1
lnx2 2 lnx1 2
由已知对任意的 x1, x2 m, ，且 x1 x2时， x2 x
，
1
f x lnx 2设 ，则 f x 在 m, 为减函数，
x
f x 1 lnx 2 3 lnx因为
x2

x2
，
3 lnx
所以 2 0在 m, 上恒成立，x
所以 lnx 3在 m, 上恒成立，
所以 x e3 ，
所以m 3的取值范围为 e , .
故选：B.
【点睛】关键点点睛：若可导函数 f(x)在指定的区间 D 上单调递增(减)，求参数范围问题，
可转化为 f x 0 (或 f x 0 )恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取
到．
21．B
【分析】按照要求分类讨论计算即可.
【详解】由题意可分以下四种情况讨论：
①若 A 中有一个元素，则 B 中至少有三个元素，此时满足 A B U 的情况有 2C14 种，而满
足 A B 恰有1 1个元素的有C4 种；
② 2 1若 A 中有两个元素，则 B 中至少有两个元素，此时满足 A B U 的情况有C4 1 C2 1
2 1
种，而满足 A B 恰有1个元素的有C4 C2 种；
③若 A 中有三个元素，则 B 中至少有一个元素，此时满足 A B U 的情况有
C34 1 C1 C23 3 1 种，而满足 A B 恰有1 C3个元素的有 4 C13种；
④若 A 中有四个元素，则 B 中至少有一个元素，此时满足 A B U 的情况
答案第 14 页，共 104 页
C4 C1 C2 C3 4 1有 4 4 4 4 种，而满足 A B 恰有1个元素的有C4 C4 种；
4 12 12 4 16
故满足题意的概率为： ，
8 24 32 14 39
故选：B
【点睛】本题考查集合与古典概型，较为新颖，属于较难题.关键在于分类讨论要不重复不
遗漏，需要较高的逻辑思维.
22．B
【分析】由已知可推得，P 5.35 5.55 P X 3 ，根据已知以及正态分
布的对称性，可求得P 5.35 5.55 0.84 .则K B N ,0.84 ，
P K 45 C45N 0.8445 0.16N 45 45 45 x 45，设 f x Cx 0.84 0.16 ，求出函数的最大整数值，即
可得出答案.
【详解】由已知可得，P 5.35 5.55 P 5.40 0.05 5.40 3 0.05
P X 3 .
又P P X P 3 X 3 X 3
2
0.6827 0.9973
0.84，
2
45 45 N 45
所以，K B N ,0.84 ，P K 45 CN 0.84 0.16 .
45 45 x 45
设 f x Cx 0.84 0.16 ，
x 1 !
f x 1 C45 0.8445 0.16x 44
x 1 x 44 !45! x 1则 f x C45 0.8445 0.16x 45 0.16 x! 0.16 1，x x 44
x 45 !45!
x 1104所以， 52.5，所以 f 53 f 52 .
21
x!
f x C45x 0.8445 0.16x 45 x 45 !45! 45 45 x 46 0.16 0.16
x
1
f x 1 C x x 1 !
，
1 0.84 0.16 x 45
x 46 !45!
x 375 4所以， 53 ，所以 f 53 f 54 .
7 7
所以，以使得P K 45 最大的 N 值作为 N 的估计值，则 N 为53 .
故选：B.
答案第 15 页，共 104 页
【点睛】思路点睛：由正态分布求出概率，然后根据已知，可得K B N ,0.84 ，得出
P K 45 C45 0.8445N 0.16N 45 ，利用函数求出 N 的最大值.
23．C
【分析】分析甲从M 到达 N 处以及甲从M 必须经过 A2到达 N 处的走法，结合组合知识，
可判断 A，B；计算出甲 乙两人在 A2处相遇的走法种数，根据古典概型的概率公式即可判
断 C；分类考虑甲 乙两人相遇的地点，计算出相应的走法数，根据古典概型的概率公式即
可判断 D.
【详解】A 选项，甲从 M 到达 N 处，需要走 6 步，其中有 3 步向上走，3 步向右走，
3
则甲从 M 到达 N 处的方法有C6 20种，A 选项错误；
B 选项，甲经过 A2到达 N 处，可分为两步：第一步，甲从 M 经过 A2需要走 3 步，
1
其中 1 步向右走，2 步向上走，方法数为C3种；
1
第二步，甲从 A2到 N 需要走 3 步，其中 1 步向上走，2 步向右走，方法数为C3种，
1 1
故甲经过 A2到达 N 的方法数为C3 C3 9种，B 选项错误；
C 1 1 1 1选项，甲经过 A2的方法数为C3 C3 9种，乙经过 A2的方法数也为C3 C3 9种，
∴ 1 1 1 1甲 乙两人在 A2处相遇的方法数为C3 C3 C3 C3 81种，
81 81
故甲、乙两人在 A2处相遇的概率为 3 C6C
3 400 ，C 选项正确；6
D 选项，甲 乙两人沿最短路径行走，只可能在 A1、 A2、 A3、 A4 处相遇，
若甲 乙两人在 A1处相遇，甲经过 A1处，则甲的前三步必须向上走，
乙经过 A1处，则乙的前三步必须向左走，两人在 A1处相遇的走法种数为 1 种；
若甲 乙两人在 A2处相遇，由 C 选项可知，走法种数为 81 种；
若甲 乙两人在 A3处相遇，甲到 A3处，前三步有 2 步向右走，后三步只有 1 步向右走，
乙到 A3处，前三步有 2 步向下走，后三

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