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【知识剖析】
本讲主要是学习通过观察图形在某一方面的特征，找到他们的变化规律，并根据找到的规律来推断结果。对于简单的几何图形，可以从图形的数量、颜色、数量、位置、方向、大小等方面的变化入手，找出这组图形的共同特征即排列规律；对于稍微复杂的图形，有时需要把图形分成几个部分，单独考虑其中每个部分的变化，从而使复杂问题简单化。推而广之，也可以用类似的思路解决有趣的找规律题目。
【基础巩固】
1．有黑球、白球共85个，排列如下：
○●○○○●○○○●○○○…最后一个球是什么颜色？两种颜色的球各有几个？
2．马小跳最近喜欢上了画画，想要爸爸给他买个画板，马天笑先生说：“要想把画儿画好，需要有一双善于发现的眼睛，更要有敏锐的观察力。我给你出两道题吧，如果你能发现其中的规律，我就送你一个画板。”同学们请你们帮帮马小跳吧。
（1）
（2）
3．顺序观察下面图形，并按其变化规律在“？”处填上合适的图形。
4．下图中的图形是按一定规律排列的，请仔细观察，并在（ ）内画上适当的图形。
5．根据前两幅的规律，接着画。
6．在一个四边形中，第一次取各边中点，连接成一个新四边形，第二次在新四边形中各边取中点，再连接成一个四边形……直至第六次，共有几个四边形？几个三角形？
7．3根火柴棒可以摆成一个小三角形，如图，用很多根火柴棒摆成一个中空的大三角形，已知大三角形最外面每条边都是15根火柴棒，摆成这个图形一共需要( )根火柴棒。
8．1个变4个，4个变13个、按同样的方法，下次应该变成多少个三角形？请在下边的图上画出来。
【勇攀高峰】
9．如图，四个小动物排座位，一开始，小鼠坐在第1号座位，小猴坐在第2号座位，小兔坐在第3号座位，小猫坐在第4号座位．以后它们不断地交换位子，第一次上下两排交换，第二次在第一次交换后左右两列交换，第三次再上下两排交换，第四次再左右左右两列交换…这样一直换下去，第十四次交换座位后，小兔坐在第（　　）号座位上．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，在一个圆周上放了1枚黑色的和666枚白色的围棋子，一个同学进行这样的操作：从黑子开始，按顺时针方向，每隔1枚，取走1枚．请问：当他取到黑子时，圆周上还剩下多少枚白子？
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．最后一个球是白色；白球有64个，黑球有21个
【分析】按照白、黑、白、白的顺序排列，周期是4，85除以4，商21，余数是1；第85个球是白色，每个周期有3个白球，一个黑球，21个周期有63个白球，21个黑球，白球还要再加上一个。
【详解】
余数是1，最后一个球是白色；
（个）
（个）
答：最后一个球是白色；白球有64个，黑球有21个。
【点睛】在确定数量的时候，可以分开考虑，先确定整数个周期总共有多少个，再确定余数部分的数量，相加得到总数。
2．见详解
【分析】（1）观察题图可知，以中间的黑圆为中心，分别向左上方、右上方和右下方延伸，黑圆和白圆间隔排列。
（2）观察题图可知，这四个图形逆时针移动。米字图形依次在左下角、左上角、右上角，则第4幅图中，米字图形在右下角。三角形依次在右下角、左下角、左上角，且前两幅图是正三角形，第三幅图是倒三角形，则第4幅图中，三角形是倒三角形，在右上角。圆形依次在左上角、右上角、右下角，且将这个圆形平均分成4份，第1幅图中阴影有2份，分别为左上角和左下角。第2幅图中阴影有1份，为右上角。第3幅图中阴影有2份，为右上角和右下角。则第4幅在左下角，且图中阴影有1份，为左下角。正方形依次在右上角、右下角、左下角，且分别分成4份、2份、4份，则第4幅图中，正方形在左上角，分成2份。
【详解】（1）
（2）
【点睛】解决本题的关键是找出图形之间的变化规律，再根据这个规律解答。
3．
【分析】每一行的三个图形中，总共有三个三角形，两个阴影，一个空白，在中间位置，每一行有一个白色小圆，一个阴影大圆，小圆在上，大圆在下，每一行有一个加号，在上方，每一行有一个横着的小长方形，两个竖着的大长方形，一个阴影，一个空白。
【详解】第三行还缺少空白三角形，小长方形，阴影大长方形；
如图所示：
【点睛】也可以把整幅图看成9行9列的图形，研究每行每列的三个图形的排列。
4． ； ；
【分析】每一行都有6个图形，分别是两个大圆，一个小圆，一个大三角形，一个小三角形，一个小正方形，每幅图都是小图形在大图形里面；第一行缺少的是大三角形和小圆构成的图形；第二行缺少的是大圆和小圆构成的图形；第三行缺少的是大圆和小正方形构成的图形。
【详解】如图：
第一行：
第二行：
第三行：
【点睛】本题也可以从每一列入手进行分析，得到的结论是相同的。
5． ；
【分析】每一列的三个图形要么都是三角形，要么都是圆，那么第三列都是正方形，并且每幅图都被分成3层，每层按不同的方式填充，由第一行发现，同一行的三个图填充方式一样，那么第二行、第三行也是一样的。
【详解】如图：
第二行：
第三行：
【点睛】不论是数字找规律，还是图形找规律，找到的规律必须满足每一个个体。
6．有7个四边形；24个三角形
【分析】取最特殊的正方形进行研究，每操作一次，会增加4个三角形和一个四边形，操作6次，总共24个三角形，7个四边形。
【详解】如图所示：
（个）
（个）
答：共有7个四边形；24个三角形。
【点睛】本题考查的是图形计数问题，可以先操作一次、两次，找到规律后再求解。
7．162
【分析】所有的火柴棒共有3种方向：“／”、“＼”和“—”，大三角形最外面每条边都是15根火柴棒，最里面每条边都是12根火柴棒，中间的火柴棒就从3种方向分别计算个数：“／”的有27根，“＼”的有27根，“—”的有27根，相加得到总的根数。
【详解】
（根）
【点睛】本题考查的是几何计数问题，分类枚举是最常用的方法。
8．
【分析】图中的每个三角形都是等边三角形，第二幅图是把第一幅图等分成4块；第三幅图是把第二幅图除中间一个等分成4块，那么照此规律，第四幅图，也要把第三幅图每个三角形进行四等分，但中间的三角形不变。
【详解】如图：
答：下次应该变成40个三角形。
【点睛】从一个变成4个，相当于是增加了3个，1、4、13、40……每次增加的个数分别是3、9、27、81……，依次乘3。
9．B
【解析】观察图形，由已知小兔坐在第3号，按要求交换，第一次 ①，第二次 ②，第三次 ④，第四次回到原位③，…，得到的规律是每4次一循环，根据此规律很容易得到第十次交换位子后，小兔坐在第几号位子上．
【详解】由已知和图形得知，小兔自第一次交换位子后依次坐在①→②→④→③→①…，得到每4次一循环，因为，14÷4＝3…2，所以，第14次交换位子后，小兔坐在和第二次交换的位子相同，即第2号位子上．
答：第14次交换座位后，小兔坐在第2号位子．
故选：B．
【点睛】此题考查的知识点是图形的变化类问题，解题的关键是通过观察图形和已知得到规律：小兔自第一次交换位子后依次坐在①→②→④→③③→①…，得到每4次一循环．
10．83枚
【详解】试题分析：由于666是偶数，在第一圈操作中，一共取走666÷2=333枚，最后取的是黑子前面的一个子（即反时针方向第一个子）．这时还剩下333枚白子．下一次取走黑子后面一个子（即顺时针方向第一个）．由于333是奇数，第二圈操作最后取的仍是黑子前面的一个子，共取走（333+1）÷2=167个，此时还剩下166个白子，166是偶数，第三圈共取走166÷2=83个，则最后取走的正好是黑子，此时还剩下83枚白子．
解：第一圈操作中，一共取走666÷2=333枚，最后取的是黑子前面的一个子．
由于333是奇数，第二圈操作最后取的仍是黑子前面的一个子，共取走（333+1）÷2=167个，
此时还剩下166个白子，166是偶数，
第三圈共取走166÷2=83个，
则最后取走的正好是黑子，
此时还剩下83枚白子．
点评：完成本题要注意根据白子个数的奇偶性进行分析．
答案第1页，共2页
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