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【知识剖析】
如果完成一件事分为几个步骤，在每一个步骤中又有不同的方法，那么把每步的方法数相乘就得到所有的方法数，这就是乘法原理。
要想把过程分成几个步骤从而应用乘法原理，那么必须保证各步骤之间满足下列条件：①每步都只是整件事情的一个部分，必须全部完成才算做完这件事；②步骤之间要有先后顺序，先确定好一步，再做下一步……；③做完一步时，这一步的结果可能会影响后面步骤的结果，但一定不能影响后面步骤的方法数；如果这一步的不同结果会导致后面某一步的方法数发生变化，就不能直接用乘法原理计算。
如果题目中有些对象有特殊要求，那么在分步分析计算时，要首先考虑这些特殊的对象。
【基础巩固】
1．如图，把A，B，C，D，E这5部分用4种不同的颜色着色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色．那么，这幅图共有多少种不同的
着色方法
2．如图，把A，B，C，D，E，F这六个部分用5种不同的颜色着色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色，那么这幅图一共有　 　种不同的着色方法．
3．新年联欢会共有8个节目，其中有3个非歌唱类节目。排列节目单时规定，非歌唱类节目不相邻，而且第一个和最后一个节目都是歌唱类节目。则节目单可有 种不同的排法。
4．在一副扑克牌中任意选出6张，其中黑桃选3张，红桃选2张，梅花选1张，小明将这6张牌从左左到右摆放。要求任意两张黑桃之间必须有其他花色的牌，那么共有 种符合要求的摆放方式。
5．有A，B，C，D，E五块地（如图所示），每块上分别种上苹果、桃子、梨和山楂树．要求：相邻的两块地不能种相同的果树．问：一共有多少种不同的种法？
6．学校乒乓球队一共有4名男生和3名女生。某次比赛后他们站成一排照相，请问：
（1）如果要求男生不能相邻，一共有多少不同的站法？
（2）如果要求女生都站在一起，一共有多少种不同的站法？
7．由个不同的独唱节目和个不同的合唱节目组成一台晚会，要求任意两个合唱节目不相邻，开始和最后一个节目必须是合唱，则这台晚会节目的编排方法共有多少种？
8．一个篮球队有五名队员，，，，，由于某种原因，不能做中锋，而其余个人可以分配到五个位置的任何一个上，问一共有多少种不同的站位方法？
【勇攀高峰】
9．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛八个人站队，要求：甲不能站在队伍最靠左的三个位置，乙不能站在队伍最靠右的三个位置，丙不能站在队伍两端，问一共有多少种站法？
10．在如图所示的阶梯形方格表的格子中放入5枚棋子，使得每行、每列都只有一枚棋子，那么这样的放法共有多少种
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．96
【详解】A有4种着色方法；A着色后，B有3种着色方法；A、B着色后，C有2种着色方法；A、B、C着色后，D有2种着色方法；然后E有2种着色方式．
所以，共有4×3×2×2×2＝96种不同的着色方法．
2．960.
【详解】试题分析：对于A有5种着色方法，B与A相邻，有4种着色方法；C与A相邻，它可以与B的颜色相同，因此C有4种着色方法；同理可以知D有4种着色方法，E有1种着色方法，F有3种着色方法，共有：5×4×4×4×1×3=960（种）．
解：5×4×4×4×1×3=960（种）；
答：幅图一共有 960种不同的着色方法；
故答案为960．
点评：此题属于排列组合习题，解答此题的关键先通过分析，找出规律，继而得出结论．
3．2880
【分析】先把5个歌唱节目排好，不算两端，一共4个空，3个非歌唱类节目插空排列。
【详解】第一步：将5个歌唱类节目进行全排列，有（种）；
第二步：使用插板法，中间有4个空格，将相邻的3个非歌唱类节目插入，这3个非歌唱类节目也要进行全排列，则有（种）。
所以共有：（种）
【点睛】本题考查的是计数问题，插空法是求解不相邻问题时常用的方法。
4．144
【分析】要求任意两张黑桃之间必须有其它花色的牌，可以先把3张黑桃排好，然后其余的几张牌进行插空。
【详解】第一种，三个黑桃有4个空，从4个空里面选相邻3个；
（种）
第二种，三个黑桃有4个空，4个空里面选中间2个；
（种）
（种）
【点睛】本题考查的是排列组合问题，也可以从反面考虑，用总数减去不符合要求的情况。
5．48种
【分析】先排C有4种方法，那么A有3种方法，B有2种方法，D有2种方法，E有1种方法，然后根据乘法原理解答即可．
本题考查了乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法．
【详解】根据分析可得，4×3×2×2×1=48（种）
答：一共有48种不同的种法．
6．（1）种；（2）种
【分析】（1）要求男生不能相邻，则可以先排女生，然后把男生插进女生之间的空位里。因为有3名女生，考虑到两端也可以放人，所以一共有四个空位。
（2）根据题意，采用捆绑法，将所有女生看成一个整体，则站法总数为：
【详解】（1）站法总数为：
（种）
答：一共有144不同的站法。
（2）站法总数为：
（种）
答：一共有720不同的站法。
【点睛】本题考查的是排列组合问题，对于必须相邻的情况，采用捆绑法，对于必须不相邻的情况，采用插空法。
7．432种
【分析】先排独唱节目，四个节目随意排，其次在独唱节目的首尾排合唱节目，有三个节目，两个位置，也就是从三个节目选两个进行排列的问题，再在独唱节目之间的3个位置中排一个合唱节目，最后乘法原理，分布相乘，得出答案。
【详解】先排独唱节目，四个节目随意排，是个元素全排列的问题，有种排法；其次在独唱节目的首尾排合唱节目，有三个节目，两个位置，也就是从三个节目选两个进行排列的问题，有（种）排法；
再在独唱节目之间的个位置中排一个合唱节目，有种排法。
由乘法原理，一共有（种）不同的编排方法。
答：这台晚会节目的编排方法共有432种。
【点睛】本题考查排列组合问题，排列中，我们可以先排条件限制不多的元素，然后再排限制多的元素，总的排列数用乘法原理，即把若干个排列数相乘，得出最后的答案。
8．种
【分析】此题先确定做中锋的人选，除E以外的四个人任意一个都可以，则有4种选择，确定下来以后，其余4个人对应4个位置，相当于是4个元素的全排列。
【详解】中锋有4种选法；
（种）
由乘法原理，（种）
答：一共有种不同的站位方法。
【点睛】本题考查的是排列组合问题，也可以求出5个人的全部排列方法，再减去E做中锋的排法。
9．种
【分析】按甲在不在队伍最靠右的位置、乙在不在队伍最靠左的位置分四种情况讨论，求出每种情况的站法，相加得到总数。
【详解】如果甲在队伍最靠右的位置、乙在队伍最靠左的位置，那么丙还有6种站法，剩下的五个人进行全排列，站法总数有：（种）
如果甲在队伍最靠右的位置，而乙不在队伍最靠左的位置，那么乙还有4种站法，丙还有5种站法，剩下的五个人进行全排列，站法总数有：
（种）
如果甲不在队伍最靠右的位置，而乙在队伍最靠左的位置，分析完全类似于上一种，因此同样有2400种站法
如果甲不在队伍最靠右的位置，乙也不在队伍最靠左的位置，那么先对甲、乙整体定位，甲、乙的位置选取一共有（种）方法。丙还有4种站法，剩下的五个人进行全排列，站法总数有：
（种）
所以总站法种数为（种）
答：一共有12240种站法。
【点睛】本题考查的是排列组合问题，当情况比较多时，需要进行分类讨论。
10．16
【详解】第一列有2种方法，第一列放定后，第二列又有2种方法，…，如此下去，共有2×2×2×2×1＝16种不同的放法．
答案第1页，共2页
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