资源简介

(共62张PPT)
第八章
排列组合
分类计数原理与分步计数原理
8.1
排列
8.2
组合
8.3
组合数的性质
8.4
排列组合的应用
8.5
二项式定理
8.6
8.1
分类计数原理与分步计数原理
观察
小华从小就开始学习计数（即数数）．例如，妈妈买回15个苹果放在桌上，小华会一个一个地数苹果，得出桌上有15个苹果．
小华开始学习算术了．桌上有一堆苹果（15个），一堆梨（20个）．小华会先数出苹果有15个，然后数出梨有20个，最后做加法：15+20=35，得出桌上共放了35个水果．
分类计数原理与分步计数原理
8.1
抽象
上述例子说明了一个计数原理，即
分类计数原理 如果计数的对象可以分成若干类，使得每两类没有公共元素，那么分别对每一类里的元素计数，然后把各类的元素数目相加，便得出所要计数的对象的总数．



分类计数原理与分步计数原理
8.1


分类计数原理与分步计数原理
8.1
1
两个袋子里分别装有40个红球，60个白球，从中任取一个球，有多少种取法？
取一个球的方法可以分成两类：一类是从装红球的袋子里取一个球，两个袋子里分别装有40个红球，60个白球，从中任取一个球，有40种取法；另一类是从装白球的袋子里取一个球，有60 种取法．因此取法共有
例
解
分类计数原理与分步计数原理
8.1
探索
小明所在学校的教学楼，每一层的两头各有一座楼梯．小明走进教学楼后，想上楼去第四层的教室．他有多少种上楼的走法？
小明从一层到二层有两种上楼的走法；对于其中的每一种走法，小明从二层到三层都有两种上楼的走法；对于从一层到二层，然后到三层的每一种走法，小明从三层到四层又有两种上楼的走法．图8.1-1绘出了示意图．
因此小明上楼的走法共有
这个例子说明了另一个计数原理，即
分步计数原理 如果计数的对象可以分成若干步骤来完成，并且对于前面几步的每一种完成方式，下一步的做法的数目相同，那么依次计算各步的做法数目，它们的乘积就是要计数的对象的总数．
分类计数原理与分步计数原理
8.1



2
两个袋子里分别装有40个红球与60个白球，从中取一个红球和一个白球，有多少种取法？
取一个红球和一个白球可以分成两步来完成：第一步，从装红球 的袋子里取一个球，有40种取法；对于每一种取法，第二步，从装 白球的袋子里取一个球，都有60种取法．因此取一个红球和一个白 球的方法共有
例
解
分类计数原理与分步计数原理
8.1
比较例2与例1，想一想：什么情况下计数的对象可以分类？什么 情况下计数的对象可以分步完成？识别这两种情况是解决计数问题的关键．



3
某城市的电话号码由8位数组成，其中从左边算起的第1位数只能用6 或8，其余7位可以从自然数中任意取，允许数字重复.试问：该城市最多可装电话多少门？
装一门电话需要指定一个电话号码．由于第1位只能用6或8，因此电话号码可以分成两类：第1位用6的是第一类，第1位用8的是第二类．
第一类电话号码还剩下7位．此时指定一个电话号码可以分成7步来完成：
第一步，确定第2位的数字，有10种取法；
对于这每一种取法，第二步确定第3位的数字，又有10种取法（因为允许数字重复）；
对于第一、二步已取好的每一对数字，第三步确定第4位数字，又有10种取法；
例
解
分类计数原理与分步计数原理
8.1
对于第一至第六步已经取好的每一组数字，第七步确定第8位的数字，又有10种取法．
因此第一类电话号码共有
．
同理，第二类电话号码也有个．
根据分类计数原理得，该城市所用的电话号码一共有
．
从而最多可装电话门，即两千万门．
从例3看到，有些计数问题既要用分类计数原理，又要用分步计数原理．通常是先把计数的对象分类，然后对每一类里的对象用分步计数原理．
分类计数原理与分步计数原理
8.1
8.2
排列
观察
从小明、小亮、小刚3名同学中选出一名班长、一名副班长，有多少种选法？分两步完成：
第一步，选班长．从小明、小亮、小刚中选出一名班长，有3种选法．
第二步，选副班长．从剩下的2名同学中选一名副班长，有2种选法．
根据分步计数原理，从小明、小亮、小刚3名同学中选出一名班长、一名副班长，有（种）选法．这6种选法分别如下：
排列
8.2
班长 副班长 班长 副班长 班长 副班长
小明 小亮 小亮 小明 小刚 小明
小明 小刚 小亮 小刚 小刚 小亮
排列
8.2
我们看到：小明、小亮是一种选法，小亮、小明是另一种选法，他们的次序不一样．
抽象
从上面的例子我们抽象出一类计数问题．即
从个不同的元素中取出个元素，按照一定的次序排成一行，叫作从个不同元素中取出个元素的一个排列．
如果，那么从个不同元素中取出个元素的排列，叫作选排列.如果，即从个不同元素中取出所有个元素的排列，叫作全排列.
研究从个不同元素中取出个元素的排列共有多少个，这类计数问题叫作排列问题．
排列
8.2

1
下列问题是不是排列问题？
（1）某学校的高二（1）班有50名同学，从中选出5人组成班委会，共有多少种选法？
（2）某学校的高二（1）班有50名同学，从中选出5人组成班委会并且进行分工：班长、副班长、学习委员、生活委员、文体委员各1人．试问共有多少种选法？
（1）从50人中选出5人组成班委会，这5人不区分次序，因此每一种选法不是一个排列．从而这个计数问题不是排列问题．
（2）从50人中选出5人组成班委会并且进行分工，即选出的5人要区分次序，因此每一种选法是一个排列．从而这个计数问题是排列问题．
例
解
排列
8.2
探索
例1的（2）小题是一个排列问题，你能计算出有多少种选法吗？
一般地，从个不同元素中取出个元素的所有排列的个数，叫作从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示．
如何计算即从n个不同元素中取出个元素的一个排列， 可以分成步来完成：
排列
8.2
符号中的是英文arrangement（排列）的首字母.


如图8.2-1所示，第一步，确定第一个位置的元素，有种取法；对于每一种取法，第二步，确定第二个位置的元素，这时剩下个元素，因此有种取法；对于第一、二个位置已经选好的每一对元素，第三步，确定第三个位置的元素，这时剩下个元素，因此有种取法；……；对于第一至第个位置已经选好的每一组元素，第步，确定第个位置的元素，这时剩下个元素，因此有种取法．
排列
8.2
根据分步计数原理得到，从个不同元素中取出个元素的所有排列的个数为：
排列
8.2
（1）
公式（1）称为排列数公式.（1）式右端是个连续正整数的乘积，最大的因 数是，最小的因数是.
当时，由公式（1）得
（2）
（2）式右端是自然数1到的连乘积，叫作的阶乘，记作．
于是公式（2）可以写成
即个不同元素的全排列的总数（简称全排列数）等于.
排列
8.2


2
计算
例
解
排列
8.2
3
对于例1的（2）小题，计算有多少种选法．
例
解
从50名同学中选出5名的排列数为
即共有种选法．
4
写出用1，2，3这三个数字组成的所有没有重复数字的两位数．
例
解
12，13，21，23，31，32.
排列
8.2
5
写出用1，2，3这三个数字组成的所有全排列．
例
解
123，132，213，231，312，321.
6
用1，2，…，9这九个数字，可以组成多少个没有重复数字的四位数？
从1，2，…，9这九个数字中取出四个数字的排列数为
.
因此用1，2，…，9这九个数字，可以组成3024个没有重复数字的四位数．
例
解
排列
8.2
7
用0，1，2，…，9这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的四位数？
（方法一）组成一个没有重复数字的四位数可以分两步来完成：第一步，确定千位上的数字，可以从1到9这九个数字中任取一个，因此有9种取法；对于这每一种取法，第二步，从剩下的九个数字中取出三个数字分别放在百位、十位和个位上，这有种取法．根据分步计数原理，用0，1，2，…，9这十个数字组成没有重复数字的四位数一共有
例
解
排列
8.2
（方法二）由于千位上不能是0，因此没有重复数字的四位数的个数等于：从0到9这十个数字中取出四个数字的排列数减去其中千位数字为0的排列数，而后者等于从1到9这九个数字中取出三个数字的排列数．从而没有重复数字的四位数的个数为
评注 当时，排列数公式可以写成
为了使公式（3）在时也成立，我们规定.
排列
8.2
（3）
8.3
组合
观察
从小明、小亮、小刚3名同学中选出2名代表去参加学校的座谈会，有多少种选法？
第一种选法：小明、小亮；
第二种选法：小明、小刚；
第三种选法：小亮、小刚.
共有上述3种选法.这个例子的特点是：选出的两人都是代表，不区分次序.
组合
8.3
抽象
从上面的例子抽象出另一类计数问题．即
从个不同元素中取出个元素组成一组，叫作从个不同元素中取出个元素的一个组合．
研究从个不同元素中取出个元素的组合共有多少个，这类计数问题叫作组合问题．
上述例子是问从小明、小亮、小刚3名同学中选出2名代表的不同选法数，这个问题就是组合问题．
组合问题与排列问题的区别是：从个不同元素中取出个元素的一个组合，不区分取出的个元素的次序，把这个元素看成一组；而从个不同元素中取出个元素的一个排列，要区分这个元素的次序．
组合
8.3







1
下列问题哪些是排列问题，哪些是组合问题？
（1）某医院有12名医生，从中选派2名医生给一个学校的学生做体检，有多少种派法？
（2）某医院有12名医生，从中选派2名医生分别到一中、二中为学生做体检，每所学校去一名医生，有多少种派法？
（1）选派的2名医生到同一所学校去，这2名医生组成一组，不区分他们的次序，因此这个计数问题是组合问题．
（2）选派的2名医生，一名去一中，另一名去二中，要区分他们的次序，因此这个计数问题是排列问题．
例
解
组合
8.3
探索
例1的（1）小题是组合问题，你能计算出有多少种派法吗？把派法的种数记作.
（2）小题是排列问题，派法的种数为，这可以分成两步来计算：
第一步，从12名医生中选取2名医生组成一组，有种取法．第二步，对于这每一种取法，把这2名医生按照派往一中、二中的次序排列，有种派法．根据分步计数原理得到：
由此得出
组合
8.3
一般地，从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫作从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示．
用上述计算例1的方法来计算从个不同元素中取出个元素的排列，还可以这样分两步来完成：
第一步，从这个元素中取出个元素组成一组，这有种取法；
对于这每一种取法，第二步，把这一组的个元素按一定次序排成一行，这有（种）排法．

组合
8.3
符 号中的是英文combination（组 合）的首字母.
根据分步计数原理得到，从个不同元素中取出个元素的所有排列的个数为
组合
8.3
在8.2节里已计算出
由此得出
其中.
（2）
（1）
公式（2）称为组合数公式．
由于结合（1）式得
组合
8.3
其中.
（3）
公式（3）称为组合数公式．
组合
8.3
2
计算
例
解
组合
8.3
3
某年级有6个班，每班组织一个篮球队进行班际比赛，每班的篮球队要与其他5个班的篮球队分别比赛一场，试问：总共要进行多少场比赛？
例
解
每一场篮球比赛有两个队参加，这两个队组成一组．因此进行比赛的场数等于组合数：
即总共要进行15场比赛.
组合
8.3
4
在进行产品检验时，常常从产品中抽取一部分来检查．现在从100件产品中任意抽取3件进行检查，试问：有多少种抽取方法？
例
解
从100 件产品中抽取3件，这3件组成一组．因此抽取方法的总数等于组合数：
即共有161700种抽取方法．
组合
8.3
5
从100件产品中任意抽取3件进行检查．如果这100件产品中有2件次品，那么抽取的3件中没有次品的抽取方法有多少种？
例
解
这100件产品中有100-2=98（件）合格品，从这100件产品中抽取3件都是合格品，也就是从98件合格品中抽取3件，这3件组成一组.因 此抽取方法的总数等于组合数：
即从100件产品（其中98件是合格品）中抽取3件都是合格品的抽取方法有152096种．
8.4
组合数的性质
观察
在8.3节的练习A组第2题里，我们看到：
组合数的性质
8.4
你能看出什么规律吗？
抽象
从上述例子看出：
组合数的性质
8.4
一般地，有
性质1
其中.
因为
所以
性质1的用处：当时，通过计算的值可得出的值．例如，
由于，因此.即
组合数的性质
8.4
证明
观察
组合数的性质
8.4
抽象
从上述例子看出：
组合数的性质
8.4
一般地，有
性质2
其中.
在个元素中取定一个元素．于是从个不同元素中取出个元素的所有组合可以分成两类：第一类中取出的个元素包含，第二类中取出的个元素不包含.第一类里的每个组合是从去掉以后余下的个元素中取个元素与组成的，因此共有个；第二类里的每个组合是从去掉以后余下的个元素中取出个元素组成的，共有个．
根据分类计数原理得出，从个元素中取出个元素的组合的总数为，因此
组合数的性质
8.4
证明
计算
例
解
组合数的性质
8.4
8.5
排列组合的应用
1
这一节我们通过几个具体例子说明，如何运用计数原理以及排列、组合的知识去解决较复杂的计数问题．
例
4名医生和8名护士被分配到4所学校（一中、二中、三中、四中）为学生做体检，每所学校分配1名医生和2名护士．共有多少种不同的分配方法？
排列组合的应用
8.5
解
每一种分配方法可以分成两步来完成：
第一步，把4名医生分配到4所学校，这是一个排列问题，有种分配方法．
对于这每一种分配方法，第二步，把8名护士分配到4所学校，每所学校2名护士．这可以分成四小步来完成：
第一小步，给一中分配2名护士，这是一个组合问题，有种分配方法；
第二小步，从余下的6名护士中分配2名给二中，有种分配方法；
第三小步，从余下的4名护士中分配2名给三中，有种分配方法；
第四小步，余下的2名护士分配给四中，有种（即1种）分配方法．
根据分步计数原理，第二步共有种分配方法，从而所求的分配方法的总数为
排列组合的应用
8.5
即共有60480种分配方法．
2
在进行产品检验时，常常从产品中抽取一部分检查．现在从100件产品中任意抽取3件进行检查，如果这100件产品中有5件次品，其余是合格品，那么
（1）抽取的3件产品中恰好有1件次品的抽法有多少种？
（2）抽取的3件产品中最多有1件次品的抽法有多少种？
（3）抽取的3件产品中至少有1件次品的抽法有多少种？
例
解
（1）抽取的3件产品中恰好有1件次品的抽法可以分成两步来完成：
第一步，从5件次品中抽取1件，有种抽法；
第二步，从95件合格品中抽取2件，有种抽法．
根据分步计数原理，抽取的3件产品中恰好有1件次品的抽法有
排列组合的应用
8.5
（2）抽取的3件产品中最多有1件次品的抽法可以分成两类：
第一类抽法没有次品，即3件都是合格品，有种抽法；
第二类抽法恰好有1件次品，由（1）知，有种抽法．
根据分类计数原理，抽取的3件产品中最多有1件次品的抽法有
排列组合的应用
8.5
（3）从100件产品中抽取3件的抽法的总数为，其中抽取的3件产品都是合格品的抽法的数目为.因此抽取的3件产品中至少有1件次品的抽法有
排列组合的应用
8.5
8.6
二项式定理
观察
设是任意实数，则
二项式定理
8.6
你能看出什么规律吗？
一般地，对于任意正整数，
探索
设是任意实数，是任意给定的正整数，则
（1）
（1）式右端有个因式，每个因式都是. 运用实数乘法的分配律，加法的交换律、结合律等，可以把（1）式的右端展开．展开式的每一项都是从（1）式右端的每一个因式里取一个字母相乘得到的．如果在个因式里取字母，其余个因式里取字母，它们相乘就得到．
二项式定理
8.6
由于从个因式里取出个因式的取法的总数为，因此形如的项有项．让分别取，我们就得到的展开式为
（2）
公式（2）叫作二项式定理．右边的多项式叫作的二项展开式，共有项，其中每一项的系数（其中）叫作二项式系数，（2）式中的叫作二项展开式的通项，它是展开式的第项，记作，即
二项式定理
8.6
（3）
在二项式定理中，如果取，则得到
（3）
公式（3）是常用的公式．
二项式定理
8.6
1
求的展开式．
例
解
在二项式定理中，取，则得到
.
2
写出的展开式．
例
解
二项式定理
8.6
1
求的展开式中的系数．
例
解
的展开式的通项是
.
根据题意，得.
于是含的项的系数是
二项式定理
8.6
一个二项展开式的某一项的二项式系数与这一项的系数是两个不同的概念.
观察
二项式系数有什么特点 ？
二项式定理
8.6
探索
在上述二项式系数列成的图表中，最左边的斜线上都是1，最右边的斜线上也都是1.每一行中间的一些数有如下规律：
的第二个系数2是图表中第一行的两个1的和 ；
的第二个系数3是它“肩上”两个数1与2的和，第三个系数3是它“肩上”两个数2与1的和；
的第二个系数4是它“肩上”两个数1与3的和，第三个系数6是它“肩上”两个数3与3的和，
由此猜想：在二项式系数列成的上述图表中，
（1）每一行的两端都是1，其余每个数都是它“肩上”两个数的和；
（2）每一行中，与首末两端“等距离”的两个数相等；
二项式定理
8.6
（3）如果二项式的幕指数是偶数，那么它的展开式中，中间一项的二项式系数最大，如果是奇数，那么中间两项的二项式系数相等且最大.
性质（1）成立的根据是；
性质（2）成立的根据是；
性质（3）的证明从略．
上述二项式系数列成的图表，人们称它为贾宪三角或杨辉三角．
二项式系数还有其他一些性质．例如，
二项式定理
8.6
（4）
公式（4）的证明如下：在的展开式（3）中，取，得
.

展开更多......

收起↑