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S
12.3 角平分线的性质第1课时
1．会作已知角的平分线；了解角的平分线的性质,能利用三角形全等证明角的平分线的性质；会利用角的平分线的性质进行证明与计算.
2.在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中，进一步发展学生的推理证明意识和能力.
3.在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中，培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验.
在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？
如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？
用量角器度量，也可用折纸的方法．　　
从风筝的图片中提炼出含角平分线的角的图形.
如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=
DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗
A
B
C
(E)
D
其依据是SSS，
两全等三角形的对应角相等.
能否模仿角平分仪的原理，用圆规和没有刻度的直尺画出已知角的角平分线来呢？
A
B
O
提示：
(1)已知什么？求作什么？
(2)把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等，怎样在作图中体现这个过程呢
(3)在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图中体现这个过程呢？
(4)你能说明为什么OC是∠AOB的平分线吗？
A
B
O
M
N
C
作法：
　 1．以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．
3．画射线OC．
射线OC即为所求．
　 2．分别以点M，N为圆心．大于　 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C．
解决方法：
如图，任意作一个角∠AOB，作出∠A的平分线OC，在OC 上任取一点P，过点P 画出OA，OB 的垂线，分别记垂足为D，E，测量 PD，PE 并作比较，你得到什么结论？
在OC 上再取几个点试一试．
通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？
第一次 第二次 第三次
PD
PE
已知：∠AOC = ∠BOC，点 P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB， 垂足分别为D，E．
求证：PD =PE．
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
题设：
一个点在一个角的平分线上．
结论：它到角的两边的距离相等．
证明: ∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB，
∴ ∠PDO= ∠PEO.
在△PDO和△PEO中，
∠PDO = ∠PEO ，
∠AOC = ∠BOC ，
OP = OP ，
∴ △PDO ≌ △PEO（AAS）.
∴PD = PE .
文字语言：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
结论
几何语言：
∵OC是∠AOB的平分线，
PD⊥OA，PE⊥OB ，
∴PD=PE．
由角的平分线的性质的证明过程，你能概
括出证明几何命题的一般步骤吗？
（1）明确命题中的已知和求证；
（2）根据题意，画出图形，并用符号表示已知和
求证；
（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写
出证明过程．
角的平分线的性质的作用是什么？
主要是用于判断和证明两条线段是否相等，与以前的方法相比，运用此性质不需要先证两个三角形全等．
例1：如图，△ABC中，AD 是它的平分线，且BD = CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．
求证：EB =FC．
A
B
C
D
E
F
证明：∵AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE = DF.
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）.
∴EB = FC.
如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB， PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4 cm，则PE=______cm.
B
A
C
P
M
D
E
4
A
B
C
P
例2：如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4, AB=14.
（1）则点P到AB的距离为_______.
（2）求△APB的面积.
（3）求 PDB的周长.
4
∴S△APB=·AB·PD==28.
解：（2）过点P作PD⊥AB于点D.
由垂直平分线的性质，可知，PD=PC=4，
D
A
B
C
P
D
（3）求 PDB的周长.
解：在Rt△PDA和Rt△PCA中，
∴Rt△PDA≌Rt△PCA.
∴AC=AD，
∴△PDB的周长=PD+PB+DB=PC+PB+DB
=BC+BD=AD+BD=AB=14.
1.如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D．下列结论中错误的是（ ）
A.PC = PD B.OC = OD
C.∠CPO =∠DPO D.OC = PO
D
解析：过点D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，
DE⊥AB，
∴DF＝DE＝2，
解得AC＝3.
2.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是(　　)
A．6 B．5 C．4 D．3
D
B
E
A
D
F
C
角平分线
尺规作图
属于基本作图，必须熟练掌握
性质定理
一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等
辅助线
添加
过角平分线上一点向两边作垂线段
1.收集2道角的平分线综合运用的习题并完成解答.
2.完成本节课配套习题.

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