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第十七章 勾股定理
17.1.1 勾股定理
学习目标
1.掌握勾股定理的内容，会用面积法加以证明.
2.会用勾股定理进行简单的计算 .
我们一起穿越回到2500年前，跟随毕达哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看他朋友家用砖铺成的地面（如下图所示）：
毕达哥拉斯
A
B
C
问题1 试问A、B、C面积之间有什么样的数量关系？
正方形A的面积
正方形B的面积
正方形C的面积
+
=
新课导入
A
B
C
问题2 你能发现图中的等腰直角三角形有什么性质吗？
一直角边2
另一直角边2
斜边2
+
=
看似平淡无奇的现象有时却隐藏着深刻的道理
新课讲授——初识勾股定理
问题3　在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关系？观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位1)：
这两幅图中A,B的面积都好求，该怎样求C的面积呢？
新课讲授——初识勾股定理
方法1：补形法(把以斜边为边长的正方形补成各边都在网格线上的正方形）：
左图：
右图：
新课讲授——初识勾股定理
方法2：分割法(把以斜边为边长的正方形分割成易求出面积的三角形和四边形）：
左图：
右图：
你还有其他办法求C的面积吗？
新课讲授——初识勾股定理
根据前面求出的C的面积直接填出下表：
A的面积 B的面积 C的面积
左图
右图
4
13
25
9
16
9
思考 正方形A、B、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？
新课讲授——初识勾股定理
猜想 一般直角三角形三边还有这样的数量关系（即a2+b2=c2).
a
b
c
初识勾股定理
一
新课讲授——初识勾股定理
下面动图形象的说明命题1的正确性，让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想.
赵爽
拼一拼 请同学们准备四个完全相同的直角三角形，跟着我国汉代数学家赵爽拼图.
勾股定理的证明
二
新课讲授——勾股定理的证明
a
b
b
c
a
b
c
c2
b2
a2
=
+
这种用拼图验证勾股定理的方法叫做弦图法
a
新课讲授——勾股定理的证明
a
b
c
∵S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
赵爽弦图
b-a
证明：
“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因为，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学大会的会徽.
新课讲授——勾股定理的证明
证一证
赵爽所用的这种方法是我国古代常用的“出入相补法”.在西方，人们称勾股定理为毕达哥拉斯定理.
赵爽弦图
c
b
a
黄
实
朱实
2000多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，不但因为这个定理重要、基本，还因为这个定理贴近人们的生活实际.以至于古往今来，上至帝王总统都愿意探讨、研究它的证明，新的证法不断出现.
新课讲授——勾股定理的证明
毕达哥拉斯证法 请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.
新课讲授——勾股定理的证明
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
∴a2+b2+2ab=c2+2ab，
∴a2 +b2 =c2.
证明：
∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,
S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形
=4× ab+c2
=c2+2ab，
新课讲授——勾股定理的证明
a
a
b
b
c
c
∴a2 + b2 = c2.
美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.
如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2 + b2 = c2.
新课讲授——勾股定理的证明
归纳总结
在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理.
a、b、c为正数
如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
公式变形：
勾
股
弦
即：勾2+股2=弦2
勾股定理
新课讲授——勾股定理的证明
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”.我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.
勾
股
勾2+股2=弦2
小贴士
例1 如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°.
（1）若a=b=5,求c;
（2）若a=1,c=2,求b.
解：
(1)据勾股定理得
(2)据勾股定理得
利用勾股定理进行计算
三
C
A
B
新课讲授——利用勾股定理进行计算
（1）若a：b=1：2 ，c=5,求a;
（2）若b=15，∠A=30°,求a,c.
【变式题1】在Rt△ABC中， ∠C=90°.
解：
(1)设a=x,b=2x,根据勾股定理建立方程得
x2+(2x)2=52，
解得
(2)
因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得
(2x)2-x2=152，
解得
已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解.
归纳
新课讲授——利用勾股定理进行计算
【变式题2】 在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图 ，
当BC为斜边时，如图 ，
4
3
A
C
B
4
3
C
A
B
图
图
当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易丢解.
归纳
新课讲授——利用勾股定理进行计算
例2 已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的长.
解：由勾股定理可得
AB2=AC2+BC2=25，
即 AB=5.
根据三角形面积公式，
∴ AC×BC= AB×CD.
∴ CD= .
A
D
B
C
3
4
由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联合使用．
归纳
新课讲授——利用勾股定理进行计算
练一练
求下列图中未知数x、y的值：
解：由勾股定理可得
81+ 144=x2，
解得x=15.
解：由勾股定理可得
y2+ 144=169，
解得 y=5
新课讲授——利用勾股定理进行计算
1.下列说法中,正确的是 （ ）
A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2
B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2
D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c2
C
2.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 .
8 cm
10 cm
36 cm
课堂练习
3.在△ABC中，∠C=90°.
（1）若a=15，b=8，则c= .
（2）若c=13，b=12，则a= .
4.若直角三角形中，有两边长是5和7，则第三边长
的平方为_________.
17
5
74或24
课堂练习
5.求斜边长17 cm、一条直角边长15 cm的直角三角形的面积.
解：设另一条直角边长是x cm.
由勾股定理得152+ x2 =172，
即x2=172-152=289–225=64，
∴ x=±8（负值舍去），
∴另一直角边长为8 cm，
直角三角形的面积是
(cm2).
课堂练习
2. 利用勾股定理进行计算：
注意：
1. 勾股定理的内容；
如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
课堂小结
（1）在直角三角形中
（2）分清直角边和斜边
（3）不确定是直角边和斜边时，要分情况讨论
作业布置
完成配套练习

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