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2023-2024学年安徽省淮南市东部地区九年级（上）第一次月考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.关于的一元二次方程的一个根为，则的值为( )
A. B. C. D.
2.将方程转化为的形式，则的值为( )
A. B. C. D.
3.二次函数的图象上最低点的坐标是( )
A. B. C. D.
4.已知方程的两个根分别为、，则的值为( )
A. B. C. D.
5.已知二次函数经过点，则值为的( )
A. B. C. D.
6.某公司六月份的营业额为万元，七月份、八月份的营业额共为万元，如果营业额的月平均增长率相同，设七月份、八月份的营业额的月平均增长率为，则可列方程为( )
A.
B.
C.
D.
7.若点，点，点在二次函数的图象上，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
8.将抛物线的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，所得图象的解析式为，则( )
A. B. C. D.
9.若二次函数，当时，随的增大而减小，则应该满足( )
A. B. C. D.
10.二次函数的图象如图所示，则下列结论不正确的是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
11.若关于的函数是二次函数，则的取值范围是______ ．
12.关于的一元二次方程有一根为，则______．
13.已知二次函数的对称轴为直线，则方程的根为______ ．
14.已知二次函数．
二次函数图象的对称轴是直线______ ．
当时，函数有最小值，则的值是______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）
15.用配方法解方程：．
四、解答题（本大题共8小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.本小题分
用适当方法解方程．
17.本小题分
我们规定一种新运算，已知，求的值．
18.本小题分
已知二次函数的图象经过点、两点，试求、的值．
19.本小题分
如图是用棋子摆成的图案：
根据图中棋子的排列规律解决下列问题：
第个图形中有______ 颗棋子，第个图形中有______ 颗棋子．
请求出第几个图形中棋子是颗．
20.本小题分
杭州第届亚运会将于年月日至月日举行，某商店销售亚运会文化衫，每件进价元，规定销售单价不低于元，且获利不超过试销售期间发现，当销售单价定为元时，每天可售出件，销售单价每上涨元，每天销售量减少件设每天销售量为件，销售单价上涨元．
则与的函数关系式是______ ．
每件文化衫销售单价是多少元时，商店每天获利元？
21.本小题分
如图，抛物线的图象与交于，两点，其中点坐标为，为抛物线的顶点．
求抛物线的解析式．
求四边形的面积．
22.本小题分
关于的一元二次方程有实数根．
求的取值范围；
如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值．
23.本小题分
如图，抛物线交轴于点，点，交轴于点，对称轴为直线．
点的坐标为______ ．
求抛物线的解析式．
点是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点，使的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：把代入方程，可得，即，
故选：．
把代入已知方程，列出关于的新方程，通过解新方程可以求得的值．
本题主要考查了方程的解的定义，把求未知系数的问题转化为方程求解的问题．
2.【答案】
【解析】解：，
，
则，即，
，，
．
故选：．
将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：，
的图象上最低点的坐标是．
故选：．
根据二次函数的最值问题解答即可．
本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握顶点式，求出顶点坐标是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：方程的两个解分别为、，
，，
故选：．
先根据根与系数的关系可求，，再把，的值整体代入所求代数式计算即可．
本题考查了根与系数的关系，解题的关键是注意根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
5.【答案】
【解析】解：二次函数经过点，
，即，
．
故选：．
把点代入得，然后整体代入即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：根据题意可列方程：．
故选：．
用增长后的量增长前的量增长率，即可表示出七月份、八月份的营业额额，根据七月份、八月份的营业额共为万元，即可列方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．
7.【答案】
【解析】解：由二次函数可知抛物线开口向上，对称轴为直线，
离对称轴水平距离越远，函数值越大，
由二次函数图象的对称性可知，
．
故选：．
根据二次函数的图象与性质可进行判断．
本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．
8.【答案】
【解析】解：，
所得函数图象的顶点坐标为，
由平移规律可知，原抛物线顶点坐标为，
原抛物线解析式为，
，，
．
故选：．
由所得抛物线解析式为，可知新抛物线顶点坐标为，根据平移规律可推出原抛物线顶点坐标为，利用顶点式写出原抛物线解析式，展开可求的值．
本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，用顶点式表示原抛物线的解析式．
9.【答案】
【解析】解：二次函数，
二次函数的对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，
，
故选：．
根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不小于列式计算即可得解．
本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，熟记性质并列出不等式是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：抛物线的开口向下，
，
抛物线与轴的交点在轴的正半轴，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
即，
，故B正确，不符合题意；
，
，故A正确，不符合题意；
抛物线的对称轴为直线，，
当时，取得最大值为，
对于任意实数，，
，
，故C正确，不符合题意；
当时，抛物线与轴的交点在轴上，即，故D错误，符合题意．
故选：．
先根据抛物线的开口向下可知，与轴的交点在轴的负半轴可知，由抛物线的对称轴可得出、的关系，再对四个选项进行逐一分析．
本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，数形结合是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：函数是二次函数，
，即，
故答案为：．
根据二次函数的定义即可得．
本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握形如、、是常数，的函数，叫做二次函数是解题的关键．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的解．注意一元二次方程的二次项系数不为零．
根据一元二次方程的解的定义，将代入原方程，列出关于的方程，通过解关于的方程即可求得的值．
【解答】
解：关于的一元二次方程有一根为，
满足关于的一元二次方程，且，
，且，
．
故答案是．
13.【答案】，
【解析】解：二次函数的对称轴是直线，则，
，解得：，，
故答案为：，．
二次函数的对称轴是直线，则，，解得：或，即可求解．
本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
14.【答案】 或
【解析】解：，
二次函数图象的对称轴是直线，
故答案为：．
当时，
当时，函数有最小值，
，
；
当时，
二次函数图象的对称轴是直线，且当时，函数有最小值，
当时，为最小值，
，
；
综上所述，当时，函数有最小值，则的值是或；
故答案为：或．
直接根据二次函数对称轴的概念可得答案；
根据二次函数的性质可得问题的答案．
此题考查的是二次函数的图象与系数的关系，掌握对称轴的概念、二次函数的图象的性质是解决此题关键．
15.【答案】解：把方程的常数项移到等号的右边，得到，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到，
配方得，
，
，．
【解析】按照配方法的一般步骤计算：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为；等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为，一次项的系数是的倍数．
本题考查了用配方法解一元二次方程的步骤，解题的关键是牢记步骤，并能熟练运用，此题比较简单，易于掌握．
16.【答案】解：，
，
，
，．
【解析】根据直接开方法即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
17.【答案】解：由题意可得，
整理得：，
，，，
，
，
解得：，．
【解析】由题意列得方程，解方程即可．
本题考查公式法解一元二次方程，熟练掌握解方程的步骤是解题的关键．
18.【答案】解：二次函数的图象经过，两点，
把，代入，
得，
解得．
【解析】由二次函数经过，两点，将，代入解析式中，即可求得，的值．
本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查了方程组的解法等知识．
19.【答案】
【解析】解：第个图形中有：颗棋子，
第个图形中有：颗棋子，
第个图形中有：颗棋子，
，
第个图形中有：颗棋子，
当时，，
故答案为：，；
由题意得：
解得：，舍去
第个图形中棋子是颗．
先求出前个图形中的棋子数，找出规律，再代入求解；
根据中的规律解方程．
本题考查了图形的变化类，找到变化规律是解题的关键．
20.【答案】
【解析】解：，
故答案为：；
解：由题意可得：，
，
，
，，
销售单价为元或元，
销售单价不低于元，且获利不超过，
，
当销售单价为元时，每天获利元．
由销售单价每上涨元，每天销售量减少件，列出等式可求解；
由每件商品的利润数量利润，列出方程可求解．
本题考查了一元二次方程的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．
21.【答案】解：设抛物线的解析式为，
将点坐标为代入解析式可得
．
连接，，，过点作垂足为，
由知，对称轴为直线，，
，，，．
．
【解析】函数的表达式为：，将点的坐标代入上式，即可求解；
依据题意，连接，，，过点作垂足为，由知，对称轴为直线，，从而，，，，进而计算可以得解．
本题考查的是抛物线与轴的交点，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点所代表的意义、图象上点的坐标特征等．
22.【答案】解：根据题意得，
解得；
满足条件的的最大整数为，此时方程变形为方程，解得，，
当相同的解为时，把代入方程得，解得；
当相同的解为时，把代入方程得，解得，而，不符合题意，舍去，
所以的值为．
【解析】利用判别式的意义得到，然后解不等式即可；
先确定，再解方程，解得，，然后分别把和代入一元二次方程可得到满足条件的的值．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
23.【答案】
【解析】解：由图可知，，点，交轴于点，对称轴为直线，
点的横坐标为，
的坐标为；
故答案为：；
由题意得，
解得：，
抛物线的解析式为；
存在点，使的周长最小，理由如下：
点与点关于对称，连接与交于点，如图，
，
三角形的周长为，
当三角形的周长最小时，点即为所求，
根据抛物线的对称性可知，点的坐标为，
与轴的交点为，
设直线的解析式为：，
，
解得，
直线的解析式为：，
则直线与的交点坐标为：，
点的坐标为：．
利用、关于对称轴对称解答即可；
根据抛物线经过点，对称轴是直线列出方程组，解方程组求出、的值即可；
因为点与点关于对称，根据轴对称的性质，连接与交于点，则点即为所求，求出直线与的交点即可．
本题考查的是抛物线与轴的交点问题，掌握待定系数法求二次函数的解析式和最短路径问题是解题的关键．
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