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专题3.11 四点共圆模型
模块1：知识梳理
四点共圆是初中数学的常考知识点，近年来，特别是四点共圆判定的题目出现频率较高。相对四点共圆性质的应用，四点共圆的判定往往难度较大，往往是填空题或选择题的压轴题，而计算题或选择中四点共圆模型的应用（特别是最值问题），通常能简化运算或证明的步骤，使问题变得简单。本文主要介绍四点共圆的四种重要模型。
四点共圆：若在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。
模块2：核心模型与典例
模型1、定点定长共圆模型（圆的定义）
【模型解读】若四个点到一定点的距离相等，则这四个点共圆。这也是圆的基本定义，到定点的距离等于定长点的集合。
条件：如图，平面内有五个点O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD，
结论：A、B、C、D四点共圆（其中圆心为O）。
例1、（2023 连云港期中）如图，点O为线段BC的中点，点A、C、D到点O的距离相等，若∠ABC＝40°，则∠ADC的度数是　 　．
【分析】根据题意得到四边形ABCD共圆，利用圆内接四边形对角互补即可求出所求角的度数．
【详解】由题意得到OA＝OB＝OC＝OD，作出圆O，如图所示，
∴四边形ABCD为圆O的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ABC＝40°，∴∠ADC＝140°，故答案为：140°．
【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解本题的关键．
例2．（2022秋·江西赣州·九年级校联考期中）如图，点O为线段AB的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接AC，BD．则下面结论不一定成立的是（ ）
A．∠ACB=90° B．∠BDC=∠BAC C．AC平分∠BAD D．∠BCD+∠BAD=180°
【答案】C
【分析】以点O为圆心，OA长为半径作圆．再根据圆周角定理及其推论逐项判断即可．
【详解】如图，以点O为圆心，OA长为半径作圆．由题意可知：
OA=OB=OC=OD．即点A、B、C、D都在圆O上．
A ．由图可知AB为经过圆心O的直径，根据圆周角定理推论可知．故A不符合题意．
B．，所以根据圆周角定理可知．故B不符合题意．
C．当时，，所以此时AC不平分．故C符合题意．
D．根据圆周角定理推论可知，．故D不符合题意．故选：C．
【点睛】本题考查圆周角定理及其推论，充分理解圆周角定理是解答本题的关键．
例3．（2022·内蒙古包头·三模）问题背景：如图1，等腰中，，作于点D，则D为的中点，，于是；
迁移应用：如图2，和都是等腰三角形，，D，E，C三点在同一条直线上，连接．
①求证：；②请直接写出线段之间的等量关系式；
拓展延伸：如图3，在菱形中，，在内作射线，作点C关于的对称点E，连接并延长交于点F，连接，．证明是等边三角形；
【答案】迁移应用：①详见解析；②结论：；拓展延伸：详见解析；
【分析】迁移应用：①如图2中，只要证明，即可根据解决问题；
②结论：．由，可知，在中，，由，，推出，由，即可解决问题；
拓展延伸：如图3中，作于，连接．由，，推出、、、四点共圆，推出，推出，推出是等边三角形；
【详解】迁移应用：①证明：如图2
∵，∴，
在和中，，∴，
②解：结论：．
理由：如图中，作于．
∵，∴，在中，，
∵，，∴，∴；
拓展延伸：证明：如图3中，连接，∵四边形是菱形，，
∴是等边三角形，∴，
∵E、C关于对称，∴，
∴A、D、E、C四点共圆，∴，
∴，∴是等边三角形；
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、四点共圆、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加辅助圆解决问题，属于中考压轴题．
例4．（2023·陕西·九年级专题练习）如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为（ ）
A．68° B．88° C．90° D．112°
【答案】B
【详解】试题分析：本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等，熟记性质是解题的关键．根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC=∠ACB，再求出∠CBD，然后根据∠ABD=∠ABC﹣∠CBD计算即可得解．如图，∵AB=AC=AD， ∴点B、C、D在以点A为圆心， 以AB的长为半径的圆上； ∵∠CBD=2∠BDC，
∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC， ∴∠CAD=2∠BAC，而∠BAC=44°， ∴∠CAD=88°，
考点：圆周角定理
模型2、定边对双直角共圆模型
同侧型 异侧型
1）定边对双直角模型（同侧型）
条件：若平面上A、B、C、D四个点满足，
结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。
2）定边对双直角模型（异侧型）
条件：若平面上A、B、C、D四个点满足，
结论：A、B、C、D四点共圆，其中AC为直径。
例1．（2021·湖北鄂州·统考中考真题）如图，四边形中，，，于点．若，，则线段的长为 ．
【答案】
【分析】设交于点F，过C作，用求出，即求出BC的长，又因为，从而求得AB．
【详解】如图，设交于点F，过C作，
在以为直径的圆上
，
，
在和中
=
，
【点睛】本题考查了圆的直径所对的圆周角为，同弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定与性质，勾股定理，本题能找到是解题的关键．
例2．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，是和的公共斜边，AC=BC，，E是的中点，联结DE、CE、CD，那么___________________．
【答案】13
【分析】先证明A、C、B、D四点共圆，得到∠DCB与∠BAD的是同弧所对的圆周角的关系，得到∠DCB的度数，再证∠ECB=45°，得出结论．
【详解】解：∵AB是Rt△ABC和Rt△ABD的公共斜边，E是AB中点，
∴AE=EB=EC=ED，∴A、C、B、D在以E为圆心的圆上，
∵∠BAD=32°，∴∠DCB=∠BAD=32°，
又∵AC=BC，E是Rt△ABC的中点，∴∠ECB=45°，
∴∠ECD=∠ECB-∠DCB=13°．故答案为：13．
【点睛】本题考查直角三角形的性质、等腰三角形性质、圆周角定理和四点共圆问题，综合性较强．
例3．（2022春·山东九年级课时练习）如图，△ABC中，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E、F，M为BC的中点．（1）求证：ME=MF．（2）若∠A=50°，求∠FME的度数．
【答案】（1）证明见解析（2）80°．
【详解】试题分析：（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到ME=BC，MF=BC，得到答案；（2）根据四点共圆的判定得到B、C、E、F四点共圆，根据圆周角定理得到答案．
试题解析：（1）证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，M为BC的中点，
∴ME=BC，MF=BC，∴ME=MF；
（2）解：∵CF⊥AB，∠A=50°，∴∠ACF=40°，
∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴B、C、E、F四点共圆，∴∠FME=2∠ACF=80°．
考点：1．直角三角形斜边上的中线；2．等腰三角形的判定与性质．
例4．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，在四边形 中，， 是 的中点， 是 的中点，若 ，，，则 的长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接，，根据且为中点，求证是等腰三角形，再利用等腰三角形的高，中线，角平分线三线合一的性质得到，根据圆周角定理得到，求得，，于是得出结论．
【详解】连接，，如图，

∵且为中点，∴，，∴，
∵为中点，∴，∵∠，∴，，，四点共圆，
∵，，∴，∴，
∴，∴，在中，，，
∴，∴，由勾股定理得：，
∴，∴，故选：．
【点睛】此题主要考查圆内接四边形，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等腰三角形的性质等知识点，解答此题的关键是添加辅助线构造特殊三角形，求出线段．
模型3、定边对定角共圆模型
条件：如图1，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆．
条件：如图2，AC、BD交于H，，结论：四点共圆.
例1．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在RtABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝40°，将ABC绕A点顺时针旋转得到ADE，使D点落在BC边上．
（1）求∠BAD的度数；（2）求证：A、D、B、E四点共圆．
【答案】（1）10°；（2）见解析
【分析】（1）由三角形内角和定理和已知条件求得∠C的度数，由旋转的性质得出AC＝AD，即可得出∠ADC＝∠C，最后由外角定理求得∠BAD的度数；
（2）由旋转的性质得到∠ABC＝∠AED，由四点共圆的判定得出结论．
【详解】解：（1）∵在RtABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝40°，∴∠C＝50°，
∵将ABC绕A点顺时针旋转得到ADE，使D点落在BC边上，
∴AC＝AD，∴∠ADC＝∠C＝50°，∴∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝50°，∴∠BAD＝50°－40°＝10°
证明（2）∵将ABC绕A点顺时针旋转得到ADE，∴∠ABC＝∠AED，∴A、D、B、E四点共圆．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、外角定理以及四点共圆的判定，解题的关键是理解旋转后的图形与原图形对应边相等，对应角相等．
例2．（2023·浙江绍兴·九年级校联考期中）如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=6．如图2，在底边BC上取一点D，连结AD，使得∠DAC=∠ACD．如图3，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连结BE，得到四边形ABED．则BE的长是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【分析】只要证明，得，求出、即可解决问题．
【详解】解：，，
，，，，
，，，，
，，，
，即，，，
，、、、四点共圆，
，，，
，．故选：．
【点睛】本题考查翻折变换、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是充分利用相似三角形的性质解决问题，本题需要三次相似解决问题，题目比较难，属于中考选择题中的压轴题．
例3．（2023·浙江·九年级假期作业）请阅读以下材料，完成相应任务．
我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，那么过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？李雷经过实践探究发现了如下结论：
如果线段同侧两点（与线段在同一平面内）分别与线段两端点的连线所组成的夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆．下面是李雷证明上述命题的过程（不完整）．
已知：如图1，点，是线段同侧两点，且．
求证：点，，，四点共圆．
证明：作的外接圆，假设点在外或在内．
如图2，若点在外．设与交于点，连接，
则（依据一），
又（依据二），
．
．这与已知条件“”矛盾，故点在外不成立；
如图3，若点在内，
（请同学们补充完整省略的部分证明过程）
综上所述，作的外接圆，点在上，即点，，，四点共圆．
(1)填空：将材料中依据一、依据二补充完整；
依据一：　 　；
依据二：　 　．
(2)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
(3)填空：如图4，在四边形中，，对角线，交于点，为中点，若，，则　 　．
【答案】(1)同弧所对的圆周角相等；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和(2)见解析(3)
【分析】（1）由圆周角定理和三角形的外角性质即可得出结论；
（2）作的外接圆，假设点在外或在内．由反证法、圆周角定理以及三角形的外角性质即可得出结论；（3）证点，，，四点共圆，再由相似三角形得，然后由为中点，得，即可解决问题．
【详解】（1）解：依据一：同弧所对的圆周角相等；
依据二：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；
故答案为：同弧所对的圆周角相等；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；
（2）如图3，若点在内，延长与交于点，连接，
则，又，
．．
这与已知条件“”矛盾，故点在内不成立；
（3），点，，，四点共圆，
∵，∴，∴，，
为中点，，
，，，，
解得：（负值已舍去），故答案为：．
【点睛】本题是四点共圆综合题目，考查了四点共圆、反证法、圆周角定理、相似三角形的判定和性质以及三角形的外角性质等知识，本题综合性强，熟练掌握圆周角定理，证明四点共圆是解题的关键，属于中考常考题型．
模型4、对角互补共圆模型
条件：如图1，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆．
条件：如图2，BA、CD的延长线交于P，， 结论：A、B、C、D四点共圆.
例1．（2022春·九年级课时练习）如图所示，正方形中，为对角线，点为上一点，过作，交于，求证：.
【答案】见解析.
【分析】先根据正方形的性质可得∠CDA=90°，再根据得到∠AEF=90°，从而得证，，，共圆，，继而得出AE=FE.
【详解】在正方形ABCD中，,∠BDC=45°
∵∴∴∠ADC+∠AEF=180°
∴，，，共圆，∴，∴∴.
【点睛】本题考查正方形性质，四点共圆，以及等腰三角形的判定，熟练掌握相关知识是解题的关键
例2．（2023·河南周口·校考三模）在中，，M是外一动点，满足，若，，，则的长度为 ．
【答案】/
【分析】过点B作交的延长线于点H，过点D作于点E，过点D作于点F，点A,M,B,C四点共圆，得，解直角三角形，，面积法求解，，得．
【详解】解析：过点B作交的延长线于点H，过点D作于点E，过点D作于点F，如图所示：
∵∴点A,M,B,C四点共圆
∵∴∴，
∴，∴，
∵，∴，
∴，∴
【点睛】本题考查四点共圆，圆周角定理，解直角三角形，角平分线性质定理，添加辅助构造直角三角形是解题的关键．
例2．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，中，，平分，，连接，并延长分别交，于点和点，若，，则的长为（　　）
A．10 B．12 C．15 D．16
【答案】C
【分析】由四点共圆，得到，再证明，得到与的比，延长到，使，得到为等边三角形，在证明出，证出与，利用即可求出．
【详解】解：，，、、、四点共圆，
平分，，，
，，
，，，
如图，延长到，使，
，为等边三角形，，
，，
设每一份为，，，
，，．故选：C．
【点睛】本题考查了三角形相似的性质、等边三角形的性质等知识点的应用，四点共圆的应用及相似比的转化是解题关键．
例3．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，，，点、分别是线段、射线上的动点，以为斜边向上作等腰，，连接，则的最小值为 ．

【答案】
【分析】连接并延长，利用四点共圆的判定定理得到，，，四点共圆，再利用等腰直角三角形的性质和圆周角定理得到，得到点的轨迹，最后利用垂线段最短和等腰直角三角形的性质解答即可得出结论．
【详解】解：连接并延长，如图，

，，，
，，，，四点共圆，
为等腰直角三角形，，
，，
点的轨迹为的平分线上，
垂线段最短，当时，取最小值，
的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，四点共圆的判定，圆周角定理，点的轨迹，垂线段的性质，利用已知条件求得点D的轨迹是解题的关键．
例4．（2022春·浙江九年级课时练习）在正方形中，是边上一点，点在射线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．
（1）如图1，求证：；（2）如图2，若点，，三点共线，求证：，，，四点共圆；
（3）若点，，三点共线，且，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）证明即可得出答案；（2）根据全等三角形的性质以及圆内接四边形对角和为即可得出结论；（3）证明为等腰直角三角形，得出，然后得出，根据圆周角定理可得点在圆上，结论可得．
【详解】解：（1）根据旋转的性质可得，，
∵，∴，∵，∴，∴；
（2）∵，∴，∵点，，三点共线，∴，
∴，∴，，，四点共圆；
（3）∵，，∴为等腰直角三角形，∴，
以点为圆心，为半径作，
∵，，∴，∴点在圆上，∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，四点共圆，圆周角定理等知识，熟练掌握基础知识是解本题的关键．
模块三：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·广西·中考模拟）如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2．则BD的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：以A为圆心，AB长为半径作圆，延长BA交⊙A于F，连接DF．
∵AB=AC=AD=2，∴D，C在圆A上，∵DC∥AB，∴弧DF=弧BC，∴DF=CB=1，BF=AB+AF=2AB=4，
∵FB是⊙A的直径，∴∠FDB=90°，∴BD= = 故选B
2．（2023秋·河北张家口·九年级校考期末）如图①，若BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜边，则A、B、C、D在以BC为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】D
【分析】根据两个直角三角形公共斜边时，四个顶点共圆，结合图形求解可得．
【详解】解：如图，
以AH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、H、E），
以BH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、H、D），
以CH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（C、D、H、E），
以AB为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、E、D、B），
以BC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、E、C），
以AC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、D、C），共6组．故选D．
【点睛】本题考查四点共圆的判断方法．解题的关键是明确有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆．
3．（2023·浙江·统考中考真题）如图，在四边形中，，以为腰作等腰直角三角形，顶点恰好落在边上，若，则的长是（ ）

A． B． C．2 D．1
【答案】A
【分析】先根据等腰三角形的性质可得，，，再判断出点四点共圆，在以为直径的圆上，连接，根据圆周角定理可得，，然后根据相似三角形的判定可得，根据相似三角形的性质即可得．
【详解】解：是以为腰的等腰直角三角形，
，，，
，， ，
点四点共圆，在以为直径的圆上，如图，连接，

由圆周角定理得：，，，
，，
在和中，，，
，，故选：A．
【点睛】本题考查了圆内接四边形、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，正确判断出点四点共圆，在以为直径的圆上是解题关键．
4．（2021·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在中，，AB=AC=5，点在上，且，点E是AB上的动点，连结，点，G分别是BC，DE的中点，连接，，当AG=FG时，线段长为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【分析】连接DF，EF，过点F作FN⊥AC，FM⊥AB，结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半求得点A，D，F，E四点共圆，∠DFE=90°，然后根据勾股定理及正方形的判定和性质求得AE的长度，从而求解．
【详解】解：连接DF，EF，过点F作FN⊥AC，FM⊥AB
∵在中，，点G是DE的中点，∴AG=DG=EG
又∵AG=FG∴点A，D，F，E四点共圆，且DE是圆的直径∴∠DFE=90°
∵在Rt△ABC中，AB=AC=5，点是BC的中点，∴CF=BF=，FN=FM=
又∵FN⊥AC，FM⊥AB，∴四边形NAMF是正方形∴AN=AM=FN=
又∵，∴
∴△NFD≌△MFE∴ME=DN=AN-AD=∴AE=AM+ME=3
∴在Rt△DAE中，DE=故选：A．
【点睛】本题考查直径所对的圆周角是90°，四点共圆及正方形的判定和性质和用勾股定理解直角三角形，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．
5．（2023·山东威海·统考二模）如图，等边的边长为4，点F在内运动，运动过程始终保持，则线段长度的最大值与最小值的差约为（ ）

A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】根据运动过程始终保持，可知点F在以为直径的圆上，该圆记作圆O，连接，交圆O于点F，此时满足最短（图1）；设交圆O于F，此时满足最长（图2）．据此利用勾股定理即可作答．
【详解】∵运动过程始终保持，∴点F在以为直径的圆上，该圆记作圆O，
连接，交圆O于点F，此时满足最短．如图1，
图1
∵等边的边长为4，∴，，
∵点O为中点，∴，∴，
∴最短为：，
如图2，假如当点F运动到与的交点时，最长．
图2
∵（直径所对的圆周角为直角），
又，∴F为的中点，∴．即长度的最大值为2．
故线段长度的最大值与最小值的差约为：．故答案为：A．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，等边三角形的性质等知识，判断出点F在以为直径的圆上，是解答本题的关键．
6．（2023春·安徽安庆·九年级统考期末）如图，在中，，于点F，于点E，交于点O，点D是的中点，连接，，，下列结论：①；②；③；④；⑤为等边三角形．正确结论个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】求解，可得，，即，故①符合题意；证明，可得，故②符合题意；证明，故④符合题意；证明， 可得为等边三角形．故⑤符合题意；证明在以为圆心，为半径的圆上，可得，，，故③不符合题意；从而可得答案．
【详解】解：∵，， ∴，
∵， ∴，
∴，，∴，故①符合题意；
∵，∴，∴，故②符合题意；
∵点D是的中点，，∴，故④符合题意；
∴，，
∵， ，
∴，
∴， ∴为等边三角形．故⑤符合题意；
∵点D是的中点，，∴，
∴在以为圆心，为半径的圆上，∴，，
∴，故③不符合题意；故选C
【点睛】本题考查的是等边三角形的判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，含的直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，圆的基本性质，圆周角定理的应用，熟练的证明三角形相似是解本题的关键．
7．（2023·江苏宿迁·九年级校考期末）如图，在中，，，，点P为平面内一点，且，过C作交PB的延长线于点Q，则CQ的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可得A、B、C、P四点共圆，由AA定理判定三角形相似，由此得到CQ的值与PC有关，当PC最大时CQ即取最大值．
【详解】解：∵在中，，，，
∴A、B、C、P四点共圆，AB为圆的直径，AB=
∵∴∴△ABC∽△PQC
∴， ，即
∴当PC取得最大值时，CQ即为最大值
∴当PC=AB=5时，CQ取得最大值为故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质以及四点共圆，掌握同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等确定四点共圆，利用相似三角形性质得到线段间等量关系是解题关键．
8．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，四边形中，，，．则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作于点M，于点N，根据题给条件及等腰三角形的性质证明，继而求出的值，在中，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：作于点M，于点N，
∵，∴为等腰三角形，∴是的中线和角平分线（三线合一），
同理可证是的中线和角平分线，∴，
∵，，∴，
∵，∴，，
又∵，，，∴，∴，
∵，∴，∴．故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理解直角三角形等知识；解题关键是正确作出辅助线并证明．
9．（2023春·江苏苏州·九年级校考阶段练习）如图，正方形ABCD的边长AB=8，E为平面内一动点，且AE=4，F为CD上一点，CF=2，连接EF，ED，则EFED的最小值为(　　)
A．6 B．4 C．4 D．6
【答案】A
【分析】如图（见解析），在AD边上取点H，使得，连接EH、FH，先根据正方形的性质得出，，再根据相似三角形的判定与性质得出，从而可得，然后利用三角形的三边关系定理、两点之间线段最短可得取得最小值时，点E的位置，最后利用勾股定理求解即可得．
【详解】如图，在AD边上取点H，使得，连接EH、FH
四边形ABCD是正方形，
，，即
又，即
由三角形的三边关系定理得：
由题意得：点E的轨迹是在以点A为圆心，AE长为半径的圆上
由两点之间线段最短可知，当点E位于FH与圆A的交点时，取得最小值，最小值为
，
在中，由勾股定理得
即的最小值为 故选：A．
【点睛】本题是一道较难的综合题，考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形的三边关系定理、两点之间线段最短等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．
10．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为（　　）
A．2 B． C．3 D．
【答案】A
【分析】根据对称性得到动点M的轨迹是在以A圆心，3为半径的圆上，根据点圆模型，在矩形中利用勾股定理求出线段长即可．
【详解】解：连接AM，如图所示：
∵点B和M关于AP对称，∴AB＝AM＝3，
∴M在以A圆心，3为半径的圆上，∴当A，M，C三点共线时，CM最短，
∵在矩形ABCD中，AC＝，AM＝AB＝3，∴CM＝5﹣3＝2，故选：A．
【点睛】本题考查动点最值问题，解题过程涉及到对称性质、圆的性质、矩形性质、勾股定理等知识点，解决问题的关键是准确根据题意得出动点轨迹．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022秋·北京海淀·九年级校考期中）如图，点O为线段的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接，．请写出图中任意一组互补的角为 和 （不添加辅助线，不添加数字角标和字母）
【答案】
【分析】首先判断出点A，B，C，D四点共圆，然后根据圆内接四边形对角互补得出答案．
【详解】解：∵点B，C，D到点O的距离相等，且，
∴点A，B，C，D四点共圆，∴，，
∴图中互补的角为和，和，
故答案为：，（或，）．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键．
12．（2022·广东·东莞市九年级期末）如图，在锐角△ABC中，AB＝2，AC＝，∠ABC＝60°．D是平面内一动点，且∠ADB＝30°，则CD的最小值是________
【答案】##
【分析】作AH⊥BC于H，证明△ACH为等腰直角三角形，求得BC=+1，在BC上截取BO=AB=2，则△OAB为等边三角形，以O为圆心，2为半径作⊙O，根据∠ADB=30°，可得点D在⊙O上运动，当DB经过圆心O时，CD最小，其最小值为⊙O的直径减去BC的长．
【详解】解：如图，作AH⊥BC于H，
∵AB=2，AC=，∠ABC=60°，∴BH=AB=1，
∴AH=，CH=，
∴△ACH为等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，BC=CH+BH=+1，
在BC上截取BO=AB=2，则△OAB为等边三角形，以O为圆心，2为半径作⊙O，
∵∠ADB=30°，∴点D在⊙O上运动，当DB经过圆心O时，CD最小，
最小值为4-（+1）=3-．故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，圆周角定理．解题的关键是得出点D在⊙O上运动．
13．（2022·广西·九年级专题练习）如图所示，，，则___．
【答案】##36度
【分析】先根据确定、、三点在以点A为圆心，以为半径的圆上，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求解．
【详解】解：，、、三点在以点A为圆心，以为半径的圆上．
，．故答案为：．
【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是确定、、三点在以点A为圆心，以为半径的圆上．
14．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边重合（），其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线从处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点E，第20秒时点E在量角器上运动路径长是 ．

【答案】
【分析】首先连接，由，易得点，，，C共圆，然后由圆周角定理，求得点E在量角器上对应的读数．
【详解】解：连接，

∵，∴A，B，C在以点O为圆心，AB为直径的圆上，∴点E，A，B，C共圆，
∵，∴．
∴点E在量角器上运动路径长，故答案为：2π．
【点睛】本题考查是圆周角定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
15．（2023春·江苏·八年级期末）如图，在菱形中，，P为上一动点，于点Q，则的最小值为 ．

【答案】/
【分析】根据垂直的定义得到，推出点Q在以为直径的圆上运动，取的中点O，连接交PD于Q，则的值最小，连接，推出为等边三角形，根据勾股定理得到，于是得到结论．
【详解】解：∵于点Q，∴，∴点Q在以为直径的圆上运动，
取的中点O，连接交于Q，则的值最小，连接，

在菱形中，，∴为等边三角形，
∴，∴，
∵，∴的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
16．（2023·江苏淮安·统考三模）如图，将矩形的边绕点A逆时针旋转得到，连接，过点D作的垂线，垂足E在线段上，连接．若，，则的度数为 ．

【答案】
【分析】连接与，与相交于点O，可知点五点共圆，从而得到，又易知在中，，，从而得到，从而得解．
【详解】解：连接与，与相交于点O，连接，

∵四边形形是矩形，∴，，O是的中点，，
又∵于E，即是直角三角形，
∴，∴，∴点五点共圆，作出这个圆如图所示：

则有，由旋转的性质可知：，
又∵，，∴，在中，，，
∴，∴．故答案为：30．
【点睛】本题考查隐圆问题，根据题意找出这个隐圆，从而得到是解题的关键．
17．（2023·浙江·模拟预测）如图，中，，中，，直线与交于，当绕点任意旋转的过程中，到直线距离的最大值是 ．
【答案】/
【分析】数形结合，根据动点的运动情况判断点的运动轨迹，再根据角度以及勾股定理求解最大值．
【详解】解：如图旋转，连接
以为直径作，以为半径作 过点作的切线交于点
在和中
∴点共圆，点共圆，点在上运动
，的半径为∴
又∵，
∴当点运动到点时，到直线距离的最大，
过点作，过点作，，∴四边形是矩形，
是圆心， 设
解得：（舍去）
∴故答案为：．
【点睛】本题主要考查圆动点的最值问题。熟练运用四点共圆性质以及勾股定理解直角三角形是解决本题的关键．
18．（2023春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，在中，点D为上一点，，点E在线段上，，若，，则的最大值为 ．
【答案】/
【分析】将绕点逆时针旋转至，连接，可得是为等边三角形，则，可知、、、四点共圆，令其圆心为，连接、、过作，交于，交圆于，过、分别作圆的切线，交于，连接交于，连接、，利用的直角三角形求得，由，与圆相切，可得（SSS），利用其性质证得，计算出，，由，知，可得四边形为平行四边形，则，由三角形三边关系可知：（当、、在同一直线上时去等号），即可求得的最大值．
【详解】解：将绕点顺时针旋转至，连接，可得是为等边三角形，则，∵，，
∴、、、四点共圆，令其圆心为，连接、、∴，则，
过作，交于，交圆于，过、分别作圆得切线，交于，连接交于，连接、，
∵，，∴，，∴，，
∵，与圆相切，∴，∴（SSS）
∴，∴，
，，又∵，∴，
∴四边形为平行四边形，∴，
由三角形三边关系可知：（当、、在同一直线上时去等号）
∴的最大值为：．故答案为：．
【点睛】本题属于几何综合题，考查了四点共圆，垂径定理，切线长定理，解直角三角形，平行四边形的判定及三角形的三边关系，构造辅助线，利用圆的相关性质转化线段长度及角度，构造三角形三边关系是解决问题的关键，属于中考压轴题．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022春·浙江九年级课时练习）如图所示，，，求.
【答案】30°.
【分析】由AB=AC=AD，可得B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上，然后由圆周角定理，证得∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC，继而可得∠CAD=2∠BAC．
【详解】解：∵AB=AC=AD，∴B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上，
∴∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC，
∵∠CBD=2∠BDC，∠BAC=60°，∴∠CAD=2∠BAC=120°．∴∠BDC=30°.
【点睛】此题考查了圆周角定理．注意得到B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上是解此题的关键．
20．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在中，，，的中点为O．求证：A，B，C，D四点在以O为圆心的圆上．

【答案】见解析
【分析】连接、，由直角三角形斜边上的中线定理得，则可得出结论．
【详解】证明：连接，，

∵，AB的中点为O，∴，
∴A，B，C，D四点在以O为圆心，长为半径的圆上．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，圆的定义，是基础题，熟记性质是解题的关键．
21．（2023·江苏·九年级假期作业）已知：如图，在正方形中，、分别是、的中点．
(1)线段与有何关系．说明理由；
(2)延长、交于点H，则B、D、G、H这四个点是否在同一个圆上．说明理由．
【答案】(1)且，证明见解析 (2)见解析
【分析】（1）证明，证据全等三角形的对应边相等，以及直角三角形的两锐角互余即可证明相等且互相垂直；（2）证明，依据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得，，，四点到的距离相等，即可证得四点共圆．
【详解】（1）解：且．
证明：、分别是、的中点，
，，，
又，，，
，，
在直角中，，
，，；
（2）连接．，，，
，，在直角中，，
，，
，，，在以为圆心、长为半径的圆上．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
22．（2022秋·九年级统考期末）如图，在中，，点为线段一点，连接，将绕点旋转至，连接和（）．

(1)如图1，若，，点P是延长线一点，连接，若，，，求的长；(2)如图2，，作于点交于点，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，若，点是直线上一动点，连接，当点运动到中点时，将沿翻折至，连接，请直接写出面积的最大值．
【答案】(1)；(2)见解析；(3)．
【分析】（1）根据易证，由，，易得，再根据勾股定理可得的长度；（2）延长，交于，作交延长线于，由题意可证，进而可得，，可得，再可证，可得，进而可证，可得，则可得，再可证，便可得证；（3）由题意可知，，，，，，由，利用同角的余角相等可知，连接，由（2）知，由三线合一可知，可得、、、四点共圆，进而可知，则可求得，连接，由翻折可知，，，则为的垂直平分线，可知，由，知是以为圆心，为半径的圆，可知为的直径，可知，进而得证，则可知，故当时，取得最大值，即取最大值，计算即得最大值．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，∴，
∵，，∴，
∵，，则由勾股定理可得：；
（2）证明：延长，交于，作交延长线于， 则，
∵，∴，
又∵，，∴，
∴，，则，∴，
∵，，，∴，
∴，， 即：，
由旋转可知，，∴，∴，∴，
在和中，，∴，∴；
（3）由可知，，则∴，
∵，则，∴
∵是中点，∴，
则由勾股定理可得，
连接，由（2）知，即为的中点，
∴，故、、、四点共圆，∴，
则，
连接，由翻折可知，，，则为的垂直平分线，
则，∵，∴是以为圆心，为半径的圆，
∴为的直径，则，∴∴，
故当时，取得最大值，即取最大值，
∴的最大值为：．
【点睛】本题属于几何综合，考查了全等三角形的判定和性质，旋转及翻折的性质，解直角三角形，四点共圆，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．
23．（2022秋·江苏盐城·九年级校考期中）如图，以点为圆心的圆，交x轴于B、C两点（B在C的左侧），交y轴于A、D两点（A在D的下方），，将绕点P旋转，得到．
(1)求B、C两点的坐标；(2)请在图中画出线段、，并判断四边形的形状（不必证明），求出点M的坐标；(3)动直线l从与重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与重合时停止，设直线l与交点为E，点Q为的中点，过点E作于G，连接、．请问在旋转过程中的大小是否变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由．
【答案】(1)，(2)图见解析，四边形是矩形，点M的坐标为
(3)在旋转过程中的大小不变，始终等于
【分析】（1）连接，结合题意，根据圆的对称性，得；再根据勾股定理计算得，再根据圆的性质，得，从而得到B、C两点的坐标；
（2）结合题意，根据圆周角的性质，得；再根据旋转的性质得，，，从而推导得出四边形是矩形；过点M作交BC于点N，证明，可得点M的坐标；（3）结合题意，得；再结合点Q是的中点，根据直角三角形斜边中线性质，得，从而推导得点E、M、B、G在以点Q为圆心、为半径的圆上，故得；再根据，，即可求解．
【详解】（1）解：如图，连接．
由题意知，是以点为圆心的圆的直径，，，
，，，，
又，B在C的左侧，，；
（2）解：如图，四边形是矩形，
以点为圆心的圆，交x轴于B、C两点（B在C的左侧），
是圆的直径，，将绕点P旋转得到，
，，，四边形是矩形．
过点M作交BC于点N．
在和中，，，
，，又，点M的坐标为；
（3）解：如图，
结合（2）的结论，四边形是矩形，，
，，，
点Q是的中点，，
点E、M、B、G在以点Q为圆心、QB为半径的圆上，．
，，，
又，，
四边形是矩形，，，
．在旋转过程中的大小不变，始终等于．
【点睛】本题属于圆内综合题，考查圆的基本知识，垂径定理，圆周角定理，旋转的性质，直角三角形斜边中线的性质，平面直角坐标系，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，综合性较强，有一定难度，解题的关键是综合运用上述知识，逐步推导论证．
24．（2022·江苏扬州·模拟预测）如图，将一副斜边相等的直角三角板按斜边重合摆放在同一平面内，其中∠DAB＝45°，∠CAB＝30°，点O为斜边AB的中点，连接CD交AB于点E．设AB＝1．
（1）求证：A、B、C、D四个点在以点O为圆心的同一个圆上；
（2）分别求△ABC和△ABD的面积；（3）过点D作DF∥BC交AB于点F，求OE︰OF的比值．
【答案】（1）见解析；（2）△ABC的面积为，△ABD的面积为；（3）
【分析】(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得0C=OA=OB=OD，即可得出答案．
(2)根据已知条件可计算出AC、BC、AD、BD的长度，根据三角形的面积公式即可得出答案．
(3)根据等腰直角三角形的性质得到 , ，根据平行线的性质得到，解直角三角形得到 ， ，根据相似三角形的性质即可得到结论.
【详解】（1）证明：如图，连接OD、OC，
在Rt△ABC中， ∠ACB＝90°，点O是AB的中点，
∴OC＝OA＝OB，在Rt△ABD中， ∠ADB＝90°，点O是AB的中点，
∴OD＝OA＝OB，∴OA＝OB＝OC＝OD，
∴A、B、C、D四个点在以点O为圆心的同一个圆上；
（2）解：
△ABC的面积为；△ABD的面积为
（3）解： 是等腰直角三角形，点O为斜边AB的中点
∵DF∥BC
∵ ∴△DEF∽△CEB，∴
又得．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质(两组对应角分别相等的两个三角形相似；相似三角形对应边成比例)，三角形的面积的计算(三角形面积=底底边上的高)，解直角三角形，正确的识别图形是解的关键．
25．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）在边长为12cm的正方形ABCD中，点E从点D出发，沿边DC以1cm/s的速度向点C运动，同时，点F从点C出发，沿边CB以1cm/s的速度向点B运动，当点E达到点C时，两点同时停止运动，连接AE、DF交于点P，设点E． F运动时间为t秒．回答下列问题：
(1)如图1，当t为多少时，EF的长等于cm (2)如图2，在点E、F运动过程中，①求证：点A、B、F、P在同一个圆(⊙O)上；②是否存在这样的t值，使得问题①中的⊙O与正方形ABCD的一边相切 若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；③请直接写出问题①中，圆心O的运动的路径长为_________．
【答案】（1）t=4或8；（2）①证明见解析；②存在，t=3或12；③6cm．
【分析】（1）由题意易得DE=CF=t，则有EC=12-t，然后利用勾股定理求解即可；
（2）①由题意易证△ADE≌△DCF，则有∠CDF=∠DAE，然后根据平行线的性质可得∠APF=90°，进而可得∠B+∠APF=180°，则问题得证；②由题意可知当⊙O与正方形ABCD的一边相切时，可分两种情况进行分类讨论求解：一是当圆与AD相切时，一是当圆与边DC相切时；
③由动点E、F在特殊位置时得出圆心O的运动轨迹，进而求解即可．
【详解】解：（1）由题意易得：DE=CF=t，四边形ABCD是正方形，
AB=CD=BC=AD=12cm，∠C=∠B=∠ADC=∠DAB=90°， EC=12-t，
EF的长等于cm，在Rt△CEF中，，即解得；
（2）①由（1）可得AB=CD=BC=AD=12cm，∠C=∠B=∠ADC=∠DAB=90°，DE=CF=t，
△ADE≌△DCF，∠CDF=∠DAE，
∠CDF+∠PDA=90°，∠DAE+∠PDA=90°，∠ADP=∠APF=90°，∠APF+∠B=180°，
由四边形APFB内角和为360°可得：∠PAB+∠PFB=180°，
点A、B、F、P在同一个圆(⊙O)上；
②由题意易得：当⊙O与正方形ABCD的一边相切时，只有两种情况；
a、当⊙O与正方形ABCD的边AD相切时，如图所示：
由题意可得AB为⊙O的直径，t=12；
b、当⊙O与正方形ABCD的边DC相切于点G时，连接OG并延长交AB于点M，过点O作OH⊥BC交BC于点H，连接OF，如图所示：
OG⊥DC，GM⊥AB，HF=HB，四边形OMBH、GOHC是矩形，OH=BM=GC，OG=HC，
AB=BC=12cm，OH=6，CF=t，BF=12-t，
，
在Rt△FOH中，，即，解得：；
综上所述：当或t=12时，⊙O与正方形ABCD的边相切；
③由（1）（2）可得：当点E与点D重合及点F与点C重合时，圆心在正方形的中心上；当点E与点C重合及点F与点B重合时，圆心在AB的中点上，故圆心的运动轨迹为一条线段，如图所示：
OP即为圆心的运动轨迹，即OP=6cm．故答案为6cm．
【点睛】本题主要考查圆的综合，熟练掌握圆的性质及切线定理解题的关键，注意运用分类讨论思想解决问题．
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专题3.11 四点共圆模型
模块1：知识梳理
四点共圆是初中数学的常考知识点，近年来，特别是四点共圆判定的题目出现频率较高。相对四点共圆性质的应用，四点共圆的判定往往难度较大，往往是填空题或选择题的压轴题，而计算题或选择中四点共圆模型的应用（特别是最值问题），通常能简化运算或证明的步骤，使问题变得简单。本文主要介绍四点共圆的四种重要模型。
四点共圆：若在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。
模块2：核心模型与典例
模型1、定点定长共圆模型（圆的定义）
【模型解读】若四个点到一定点的距离相等，则这四个点共圆。这也是圆的基本定义，到定点的距离等于定长点的集合。
条件：如图，平面内有五个点O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD，
结论：A、B、C、D四点共圆（其中圆心为O）。
例1、（2023 连云港期中）如图，点O为线段BC的中点，点A、C、D到点O的距离相等，若∠ABC＝40°，则∠ADC的度数是　 　．
例2．（2022秋·江西赣州·九年级校联考期中）如图，点O为线段AB的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接AC，BD．则下面结论不一定成立的是（ ）
A．∠ACB=90° B．∠BDC=∠BAC C．AC平分∠BAD D．∠BCD+∠BAD=180°
例3．（2022·内蒙古包头·三模）问题背景：如图1，等腰中，，作于点D，则D为的中点，，于是；
迁移应用：如图2，和都是等腰三角形，，D，E，C三点在同一条直线上，连接．
①求证：；②请直接写出线段之间的等量关系式；
拓展延伸：如图3，在菱形中，，在内作射线，作点C关于的对称点E，连接并延长交于点F，连接，．证明是等边三角形；
例4．（2023·陕西·九年级专题练习）如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为（ ）
A．68° B．88° C．90° D．112°
模型2、定边对双直角共圆模型
同侧型 异侧型
1）定边对双直角模型（同侧型）
条件：若平面上A、B、C、D四个点满足，
结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。
2）定边对双直角模型（异侧型）
条件：若平面上A、B、C、D四个点满足，
结论：A、B、C、D四点共圆，其中AC为直径。
例1．（2021·湖北鄂州·统考中考真题）如图，四边形中，，，于点．若，，则线段的长为 ．
例2．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，是和的公共斜边，AC=BC，，E是的中点，联结DE、CE、CD，那么___________________．
例3．（2022春·山东九年级课时练习）如图，△ABC中，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E、F，M为BC的中点．（1）求证：ME=MF．（2）若∠A=50°，求∠FME的度数．
例4．（2022·广东梅州·九年级校考阶段）如图，在四边形 中，， 是 的中点， 是 的中点，若 ，，，则 的长为（ ）

A． B． C． D．
模型3、定边对定角共圆模型
条件：如图1，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆．
条件：如图2，AC、BD交于H，，结论：四点共圆.
例1．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在RtABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝40°，将ABC绕A点顺时针旋转得到ADE，使D点落在BC边上．（1）求∠BAD的度数；（2）求证：A、D、B、E四点共圆．
例2．（2023·浙江绍兴·九年级校联考期中）如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=6．如图2，在底边BC上取一点D，连结AD，使得∠DAC=∠ACD．如图3，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连结BE，得到四边形ABED．则BE的长是（ ）
A．1 B． C． D．
例3．（2023·浙江·九年级假期作业）请阅读以下材料，完成相应任务．
我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，那么过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？李雷经过实践探究发现了如下结论：
如果线段同侧两点（与线段在同一平面内）分别与线段两端点的连线所组成的夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆．下面是李雷证明上述命题的过程（不完整）．
已知：如图1，点，是线段同侧两点，且．
求证：点，，，四点共圆．
证明：作的外接圆，假设点在外或在内．
如图2，若点在外．设与交于点，连接，
则（依据一），
又（依据二），
．
．这与已知条件“”矛盾，故点在外不成立；
如图3，若点在内，
（请同学们补充完整省略的部分证明过程）
综上所述，作的外接圆，点在上，即点，，，四点共圆．
(1)填空：将材料中依据一、依据二补充完整；
依据一：　 　； 依据二：　 　．
(2)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
(3)填空：如图4，在四边形中，，对角线，交于点，为中点，若，，则　 　．
模型4、对角互补共圆模型
条件：如图1，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆．
条件：如图2，BA、CD的延长线交于P，， 结论：A、B、C、D四点共圆.
例1．（2022春·九年级课时练习）如图所示，正方形中，为对角线，点为上一点，过作，交于，求证：.
例2．（2023·河南周口·校考三模）在中，，M是外一动点，满足，若，，，则的长度为 ．
例2．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，中，，平分，，连接，并延长分别交，于点和点，若，，则的长为（　　）
A．10 B．12 C．15 D．16
例3．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，，，点、分别是线段、射线上的动点，以为斜边向上作等腰，，连接，则的最小值为 ．

例4．（2022春·浙江九年级课时练习）在正方形中，是边上一点，点在射线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．
（1）如图1，求证：；（2）如图2，若点，，三点共线，求证：，，，四点共圆；（3）若点，，三点共线，且，求的长．
模块3：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·广西·中考模拟）如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2．则BD的长为（　　）
A． B． C． D．
2．（2023秋·河北张家口·九年级校考期末）如图①，若BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜边，则A、B、C、D在以BC为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
3．（2023·浙江·统考中考真题）如图，在四边形中，，以为腰作等腰直角三角形，顶点恰好落在边上，若，则的长是（ ）

A． B． C．2 D．1
4．（2021·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在中，，AB=AC=5，点在上，且，点E是AB上的动点，连结，点，G分别是BC，DE的中点，连接，，当AG=FG时，线段长为（ ）
A． B． C． D．4
5．（2023·山东威海·统考二模）如图，等边的边长为4，点F在内运动，运动过程始终保持，则线段长度的最大值与最小值的差约为（ ）

A． B．2 C． D．
6．（2023春·安徽安庆·九年级统考期末）如图，在中，，于点F，于点E，交于点O，点D是的中点，连接，，，下列结论：①；②；③；④；⑤为等边三角形．正确结论个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（2023·江苏宿迁·九年级校考期末）如图，在中，，，，点P为平面内一点，且，过C作交PB的延长线于点Q，则CQ的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，四边形中，，，．则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023春·江苏苏州·九年级校考阶段练习）如图，正方形ABCD的边长AB=8，E为平面内一动点，且AE=4，F为CD上一点，CF=2，连接EF，ED，则EFED的最小值为(　　)
A．6 B．4 C．4 D．6
10．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为（　　）
A．2 B． C．3 D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022秋·北京海淀·九年级校考期中）如图，点O为线段的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接，．请写出图中任意一组互补的角为 和 （不添加辅助线，不添加数字角标和字母）
12．（2022·广东·东莞市九年级期末）如图，在锐角△ABC中，AB＝2，AC＝，∠ABC＝60°．D是平面内一动点，且∠ADB＝30°，则CD的最小值是________
13．（2022·广西·九年级专题练习）如图所示，，，则___．
14．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边重合（），其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线从处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点E，第20秒时点E在量角器上运动路径长是 ．

15．（2023春·江苏·八年级期末）如图，在菱形中，，P为上一动点，于点Q，则的最小值为 ．

16．（2023·江苏淮安·统考三模）如图，将矩形的边绕点A逆时针旋转得到，连接，过点D作的垂线，垂足E在线段上，连接．若，，则的度数为 ．

17．（2023·浙江·模拟预测）如图，中，，中，，直线与交于，当绕点任意旋转的过程中，到直线距离的最大值是 ．
18．（2023春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，在中，点D为上一点，，点E在线段上，，若，，则的最大值为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022春·浙江九年级课时练习）如图所示，，，求.
20．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在中，，，的中点为O．求证：A，B，C，D四点在以O为圆心的圆上．

21．（2023·江苏·九年级假期作业）已知：如图，在正方形中，、分别是、的中点．(1)线段与有何关系．说明理由；(2)延长、交于点H，则B、D、G、H这四个点是否在同一个圆上．说明理由．
22．（2022秋·九年级统考期末）如图，在中，，点为线段一点，连接，将绕点旋转至，连接和（）．
(1)如图1，若，，点P是延长线一点，连接，若，，，求的长；(2)如图2，，作于点交于点，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，若，点是直线上一动点，连接，当点运动到中点时，将沿翻折至，连接，请直接写出面积的最大值．

23．（2022秋·江苏盐城·九年级校考期中）如图，以点为圆心的圆，交x轴于B、C两点（B在C的左侧），交y轴于A、D两点（A在D的下方），，将绕点P旋转，得到．
(1)求B、C两点的坐标；(2)请在图中画出线段、，并判断四边形的形状（不必证明），求出点M的坐标；(3)动直线l从与重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与重合时停止，设直线l与交点为E，点Q为的中点，过点E作于G，连接、．请问在旋转过程中的大小是否变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由．
24．（2022·江苏扬州·模拟预测）如图，将一副斜边相等的直角三角板按斜边重合摆放在同一平面内，其中∠DAB＝45°，∠CAB＝30°，点O为斜边AB的中点，连接CD交AB于点E．设AB＝1．
（1）求证：A、B、C、D四个点在以点O为圆心的同一个圆上；
（2）分别求△ABC和△ABD的面积；（3）过点D作DF∥BC交AB于点F，求OE︰OF的比值．
25．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）在边长为12cm的正方形ABCD中，点E从点D出发，沿边DC以1cm/s的速度向点C运动，同时，点F从点C出发，沿边CB以1cm/s的速度向点B运动，当点E达到点C时，两点同时停止运动，连接AE、DF交于点P，设点E． F运动时间为t秒．回答下列问题：
(1)如图1，当t为多少时，EF的长等于cm (2)如图2，在点E、F运动过程中，①求证：点A、B、F、P在同一个圆(⊙O)上；②是否存在这样的t值，使得问题①中的⊙O与正方形ABCD的一边相切 若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；③请直接写出问题①中，圆心O的运动的路径长为_______．
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