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专题4.4 两个三角形相似的判定
模块1：学习目标
1、了解相似三角形的概念，掌握相似三角形的表示方法及判定方法；
2、进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力；
3、掌握相似三角形的判定与性质的综合应用；
4、理解并掌握射影定理及有关运算。
模块2：知识梳理
1、相似三角形的判定
判定1：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
判定2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
判定3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
相似三角形：三个角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.
注意：（1）要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.
（2）此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.
2.相似三角形的判定定理是通过构造辅助线（平行线）再用平行线分线段成比例线段的性质证明的.
模块3：核心考点与典例
考点1. 选择或添加条件使得三角形相似
例1.（2022·山东张店·八年级期中）如图，是的边上一点（不与点，重合），请添加一个条件后，使，则添加的这个条件可以是__________（只添加一个条件）．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据相似三角形的判定定理：有两角对应相等的两三角形相似，添加条件即可．
【详解】解：添加条件是：，
理由是：，，，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了对相似三角形的判定定理的应用，本题是一道比较好的题目，答案不唯一，主要考查了学生对相似三角形的判定定理的运用能力．
变式1.（2022·浙江温州·九年级期末）如图，下列条件不能判定与相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据相似三角形的判定即可求出答案．
【详解】A、当时，无法得出，符合题意；
B、，，能判定相似，不符合题意；
C、，，能判定相似，不符合题意；
D、，，能判定相似，不符合题意；故选：A．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
变式2．（2022·北京·九年级月考）根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′能相似的有（　　）对．①∠C＝∠C′＝90°，∠A＝25°，∠B′＝65°；
②∠C＝90°，AC＝6，BC＝4，∠C′＝90°，A′C′＝9，B′C′＝6；
③AB＝10，BC＝12，AC＝15，A′B′＝1.5，B′C′＝1.8，A′C′＝2.25；
④△ABC与△A′B′C′为等腰三角形，且有一个角为80°．
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】C
【分析】根据相似三角形常用的判定方法对各个选项进行分析从而得到答案．
【详解】解：①∵∠C=∠C′=90°，∠A=25°．∴∠B=65°．
∵∠C=∠C′，∠B=∠B′．∴△ABC∽△A′B′C′．
②∵∠C=90°，AC=6，BC=4，∠C’=90°，A′C′=9，B′C′=6．
∴AC：BC=A′C′：B′C′，∠C=∠C′．∴△ABC∽△A′B′C′．
③∵AB=10，BC=12，AC=15，A′B′=1.5，B′C′=1.8，A′C′=2.25．
∴AC：A′C′=BC：B′C′=AB：A′B′．∴△ABC∽△A′B′C′．
④∵没有指明80°的角是顶角还是底角．∴无法判定两三角形相似．∴共有3对．故选：C．
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定方法：（1）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（2）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（3）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
考点2. 相似三角形的判定（判定定理1）
判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
例2.（2022·浙江·诸暨市九年级期中）如图，P为线段AB上一点，AD与BC交与点E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD与点F，AD交PC于点G，则下列结论中错误的是（　　）
A．△CGE∽△CBP B．△APD∽△PGD C．△APG∽△BFP D．△PCF∽△BCP
【答案】A
【分析】根据∠CPD＝∠A＝∠B，∠D=∠D，∠C=∠C即可得到△APD∽△PGD，△PCF∽△BCP，再根据∠APG=∠C+∠P，∠BFP=∠C+∠CPD，可以得到∠APG=∠BFP，即可证明△APG∽△BFP，由此即可求解．
【详解】解：∵∠CPD＝∠A＝∠B，∠D=∠D，∠C=∠C
∴△APD∽△PGD，△PCF∽△BCP故B、D选项不符合题意，
∵∠APG=∠C+∠P，∠BFP=∠C+∠CPD，∴∠APG=∠BFP，
∴△APG∽△BFP，故C选项不符合题意，对于A选项不能得到两个三角形相似，故选A．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，三角形外角的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
变式1.（2022·辽宁·大连市九年级月考）如图，在中，平分，是上一点，且．求证：．
【答案】见解析
【分析】根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠CAD，根据等腰三角形的性质得到∠BED＝∠BDE，由等角的补角相等得到∠AEB＝∠ADC，根据相似三角形的判定定理即可得到结论
【详解】证明：∵平分，∴．
∵，∴．∴．∴．
【点睛】本题考查相似三角形的判定．
变式2.（2022 淮安九年级期末）如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥EC交AB于F，连接FC，求证：△AEF∽△DCE．
【解题思路】用∠FEC＝90°，可得到△AEF和△DCE一对锐角相等，再加上一对直角相等，可证相似．
【解答过程】证明：∵∠FEC＝90°，∴∠AEF+∠DEC＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，
∵∠A+∠AFE+∠AEF＝180°，∴∠AFE+∠AEF＝90°，∴∠DEC＝∠AFE，
又∵∠A＝∠D，∴△AEF∽△DCE．
考点3. 相似三角形的判定（判定定理2）
判定定理2：如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似．
例3．（2022·广东初三课时练习）如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC=BC．图中相似三角形共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】C
【解析】根据正方形的性质，求出各边长，应用相似三角形的判定定理进行判定：
同已知，设CF=a，则CE=DE=2a，AB=BC=CD=DA=4a，BF=3a．
根据勾股定理，得EF=，AE=，AF=5a．
∴，，．
∴△CEF∽△DAE，△CEF∽△EAF，△DEA∽△EFA．共有3对相似三角形．故选C．
变式1．（2022·河南·九年级期中）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上，则△ABC与△DEF的相似比是（　　）
A． B．1 C．2 D．
【答案】D
【分析】利用相似三角形的判定方法即可证明△ABC∽△DEF，而对应边的比即是相似比．
【详解】解：∵AB＝2，BC＝ ，AC＝，DE＝，EF＝2，DF＝，
∴＝＝＝，∴△ABC∽△DEF，且相似比是，故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的相似比，解题的关键是注意相似比是用前一个三角形的边比后一个三角形的边．
变式2.（2023·广西·九年级课时练习）如图，在梯形中，，，E是的中点．（1）求证：；（2）与有可能相似吗？若相似，请给出证明过程；若不相似，请简述理由．
【答案】（1）见解析；（2）相似，理由见解析
【分析】（1）过点C作CF⊥AB于F，先证明四边形ADCF是矩形，得到AF=CD=1,AD=CF，BF=AB-AF=1，然后利用勾股定理求出，即可得到，再证明即可；（2）利用勾股定理求出，,后证明即可.
【详解】解：（1）过点C作CF⊥AB于F，∴∠A=∠CFA=∠CFB=90°，
∵AB∥CD，∴∠A+∠D=180°，∴∠D=90°，∴四边形ADCF是矩形，∴AF=CD=1,AD=CF，
∴BF=AB-AF=1，∴，∵E是AD的中点，∴，
∴，∴，又∵∠D=∠A=90°，∴△CDE∽△EAB；
（2）△CDE∽△CEB相似，理由如下：
∵，,
∴，，，
∴ ，∴△CDE∽△CEB.
【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，相似三角形的判定，勾股定理，平行的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
考点4. 相似三角形的判定（判定定理3）
判定定理3：如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似．
例4．（2022·吉林·八年级期末）如图所示，在四边形ABCD中，CA是∠BCD的角平分线，且，求证：△ABC∽△DAC．
【答案】证明见解析
【分析】根据，可以得到，再根据CA是∠BCD的角平分线，可以得到，即可得证.
【详解】解：∵，∴，
∵CA是∠BCD的角平分线，∴，∴.
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，相似三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的判定条件.
变式1．（2022·河南嵩县·九年级期中）如图，是的边上的一点，，，．求证：．
【答案】见解析．
【分析】根据相似三角形的判定方法，两边对应成比例和夹角相等即可得出结论．
【详解】证明：，，．
，，，
而，．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的证明，熟练其证明方法是解决本题的关键．
变式2.（2022 蜀山区校级期中）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE、BC的延长线相交于点F，且EF DF＝CF BF．求证：△CAB∽△DAE．
【解题思路】根据相似三角形的判定得出△EFC∽△BFD，得出∠CEF＝∠B，进而证明△CAB∽△DAE即可．
【解答过程】证明：∵EF DF＝CF BF．∴，
∵∠EFC＝∠BFD，∴△EFC∽△BFD，
∴∠CEF＝∠B，∴∠B＝∠AED，
∵∠CAB＝∠DAE，∴△CAB∽△DAE．
考点5. 射影定理
例5．（2022春·浙江·九年级专题练习）【问题情境】如图1，在中，，垂足为D，我们可以得到如下正确结论：①；②；③，这些结论是由古希酷著名数学家欧几里得在《几何原本》最先提出的，我们称之为“射影定理”，又称“欧几里德定理”．(1)请证明“射影定理”中的结论③．
(2)【结论运用】如图2，正方形的边长为6，点O是对角线、的交点，点E在上，过点C作，垂足为F，连接．
①求证：．②若，求的长．
【答案】(1)见解析；(2)①见解析；②．
【分析】（1）由AA证明，再由相似三角形对应边称比例得到，继而解题；（2）①由“射影定理”分别解得，，整理出，再结合即可证明；②由勾股定理解得，再根据得到，代入数值解题即可．
【详解】（1）证明：
（2）①四边形ABCD是正方形
②在中，
在，
．
【点睛】本题考查相似三角形的综合题，涉及勾股定理、正方形等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
变式1.（2022 普陀区校级月考）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上的高，如果AD＝2，BD＝6，那么AC的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【思路点拨】根据射影定理计算即可．
【答案】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上的高，则AC2＝AD AB，
∵AD＝2，BD＝6，∴AC2＝2×（2+6）＝16，∴AC＝4，故选：A．
【点睛】本题考查的是射影定理的应用，在直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．
变式2．（2023·广东珠海·校考三模）操作与研究：如图，被平行于的光线照射，于D，在投影面上．

(1)指出图中线段的投影是______，线段的投影是______．
(2)问题情景：如图1，中，，，我们可以利用与相似证明，这个结论我们称之为射影定理，请证明这个定理．
(3)拓展运用如图2，正方形的边长为15，点O是对角线、的交点，点E在上，过点C作，垂足为F，连接：① 试利用射影定理证明；② 若，求的长．
【答案】(1)、；(2)证明见解析；(3)①证明见解析；②
【分析】（1）根据题意，即可得到答案；（2）证明，得到，即可证明定理；
（3）①利用射影定理，得到，，进而得到，即可证明；②根据正方形的性质和勾股定理，求得，，再利用相似三角形的性质，得到，即可求出的长．
【详解】（1）解：根据题意可知，图中线段的投影是，线段的投影是，
故答案为：、；
（2）证明：，，，
，，，；
（3）①证明：四边形是正方形，，，，
，，，，
，；
②解：正方形的边长为15，，，
在中，，，
，，
在中，，
，，．

【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理、射影定理等知识，解题关键是掌握相似三角形的判定和性质，理解射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．
考点6. 相似三角形的判定（网格问题）
例6．（2022·北京市九年级月考）如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用三边对应成比例的两个三角形相似判断即可．
【详解】∵AC=，AB=2，BC=，
A选项中的三边长分别为：，1，，且：=2：=：1=，三边对应成比例，
∴这两个三角形相似，A符合题意；
B选项中的三边长分别为：，3，，三边不成比例，∴这两个三角形不相似，B不符合题意；
C选项中的三边长分别为：，1，2，三边不成比例，∴这两个三角形不相似，C不符合题意；
D选项中的三边长分别为：，2，，三边不成比例，∴这两个三角形不相似，D不符合题意；故选A．
【点睛】本题考查了网格中三角形相似，灵活运用勾股定理计算各边长，熟练运用三边对应成比例的两个三角形相似求解是解题的关键．
变式1．（2022·山东桓台·八年级期末）如图所示的4个三角形中，相似三角形有（　　）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】A
【分析】根据相似三角形的判定方法判断即可．
【详解】解：如图：
AC2=12+22=5，BC2=42+22=20，AB2=25，
∵5+20=25，∴AC2+ BC2= AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，；
△DEF是直角三角形，且∠DEF=90°，；∴△ABC△DEF；
△JKL是直角三角形，且∠JKL=90°，；HI2=12+12=2，HG2=12+22=5，GI2=12+22=5，
∵5+25，∴HG2+ HI2= GI2，∴△HGI不是直角三角形，
综上，只有△ABC△DEF；故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理及逆定理的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法．
变式2.（2022·辽宁·沈阳市九年级月考）如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列A、B、C、D四个图中的3三角形（阴影部分）与相似的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据相似三角形的判定，易得出△EFG的三边的边长，故只需分别求出各选项中三角形的边长，分析两三角形对应边是否成比例即可．
【详解】解：∵小正方形的边长为1，∴在△EFG中，EG＝，FG＝2，EF＝，
A.三边各为：3，，与△EFG中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似；
B.三边各为：1，2，与△EFG中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似；
C.三边各为：1，，与△EFG中的三边对应成比例，故两三角形相似；
D.三边各为：2，，与△EFG中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似．
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比．本题中把若干线段的长度用同一线段来表示是求线段是否成比例时常用的方法．
模块四：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·广东九年级期中）下列命题中，错误的结论是（ ）
A．如果两个三角形都是等腰三角形且顶角为100°，那么这两个三角形相似
B．如果两个三角形都是直角三角形，那么这两个三角形相似
C．如果两个三角形都是等腰直角三角形，那么这两个三角形相似
D．如果两个直角三角形都有一个内角等于30°，那么这两个三角形相似
【答案】B
【分析】根据相似三角形的判定分别对每一项进行分析即可．
【详解】解：A．两个顶角为100°的等腰三角形是相似三角形，故正确，
B．两个直角三角形的锐角不一定相等，那么这两个三角形不一定相似，故错误，
C．两个等腰直角三角形都是相似三角形，故正确，
D．有两组角相等的三角形是相似三角形，故正确，故选：B．
【点睛】此题考查命题与定理，用到的知识点是相似三角形的判定，关键是熟练掌握有关判定定理．
2．（2022·陕西师大附中九年级月考）根据下列各组条件，不能判定△ABC∽△A1B1C1的是（ ）
A．∠B＝∠B1＝60°，∠C＝50°，∠A1＝70°
B．∠C＝∠C1＝90°，AB＝10，AC＝6，A1B1＝5，A1C1＝3
C．∠A＝40°，AB＝2，AC＝3，∠A1＝40°，A1B1＝4，A1C1＝5
D．AB＝12，BC＝15，AC＝24，A1B1＝8，A1C1＝16，B1C1＝10
【答案】C
【分析】两角对应相等的两个三角形相似；两边成比例，夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似．根据定理内容依次计算判定即可．
【详解】解：A、∴
又∵∠A1＝70°，∠B1＝60°∴△ABC∽△A1B1C1所以选项A正确；
B、∵∠C＝∠C1＝90° ∴和都是直角三角形
在中，AB＝10，AC＝6由勾股定理得：
∵∴在中，A1B1＝5，A1C1＝3
由勾股定理得：∵∴
∵∴△ABC∽△A1B1C1所以选项B正确；
C、∵∴不能判定两个三角形相似所以选项C错误；
D、∵∴△ABC∽△A1B1C1所以选项正确．故选：C
【点睛】本题考查三角形相似的判定，根据定理内容解题是关键．
3．（2022·浙江·宁波九年级开学考试）下列每个矩形都是由五个同样的小正方形拼合组成，其中和的顶点都在小正方形的顶点上，则与一定相似的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由已知根据相似三角形的判定和性质对每个选项分析论证得出正确选项．
【详解】解：已知每个矩形都是由五个同样的小正方形拼合组成．
A：∠ABC=90°+45°=135°，∠CDE=90°+45°=135°，∴∠ABC=∠CDE，BC=DC=，
∴，，∴△ABC∽△CDE；
B：△ABC为等腰三角形，则△CDE不是等腰三角形，所以不相似；
C：△ABC中∠ABC=90°+45°=135°，而△CDE中∠CDE=∠135°，对应角不相等，所以不相似；
D：，，∴，所以不相似．故选：A．
【点睛】此题考查的知识点是相似三角形的判定，解题的关键是根据相似三角形的判定和性质对每个选项分析论证得出正确选项．
4．（2022·上海市静安区实验中学初三课时练习）已知一个三角形的两个内角分别是，，另一个三角形的两个内角分别是，，则这两个三角形（ ）
A．一定相似 B．不一定相似 C．一定不相似 D．不能确定
【答案】A
【分析】根据三角形内角和定理求出另一个内角的度数，再根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可作出判断．
【解析】∵一个三角形的两个内角分别是，，∴ 另一个内角的度数是，
∴一个三角形的三个内角分别是，，∴这两个三角形有两角对应相等∴这两个三角形一定相似．
故选：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，判定方法有：（1）两角对应相等的两个三角形相似．（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．（3）三边对应成比例的两个三角形相似．
5．（2022·湖南·九年级期末）已知的三边长是，，2，则与相似的三角形的三边长可能是（ ）
A．1，， B．1，， C．1，， D．1，，
【答案】A
【分析】根据相似三角形的判定定理即可得到结论．
【详解】解：∵△ABC三边长是，，2，
∴△ABC三边长的比为：2：=1：：，
∴△ABC相似的三角形三边长可能是1：：，故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
6．（2022·山东·招远市八年级期末）如图，中，P为边AB上一点，下列选项中的条件，不能说明与相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要应用两三角形相似的判定定理，做题即可．
【详解】解：、当，时，，故本选项不符合题意；
、当，时，，故本选项不符合题意；
、当，即时，结合可以判定，故本选项不符合题意；、当时，不能判断和相似．故选：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．
7．（2022·大庆市初二期末）如图，点P是 ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（ ）
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
【答案】D
分析：利用相似三角形的判定方法以及平行四边形的性质得出即可．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD∥BC，
∴△EAP∽△EDC，△EAP∽△CPB，∴△EDC∽△CBP，故有3对相似三角形．故选D．
考点：相似三角形的判定；平行四边形的性质．
8．（2022·全国·九年级专题练习）如图，，交于点O，有下列三个结论：①，②，③．则一定成立的有（ ）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【分析】根据全等三角形的性质可判断①和②，再根据相似三角形的判定判断③即可．
【详解】①∵，∴∠BAC=∠DAE，∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，∴∠1=∠2，故①成立；
②∵，∴BC=DE，故②成立，
③∵，∴AB=AD，AC=AE，∴，
又∠1=∠2，∴，故③成立，
综上，一定成立的有①②③共3个，故选：D．
【点睛】本题考查全等三角形的性质、相似三角形的判定，熟练掌握全等三角形的性质和相似三角形的判定是解答的关键．
9．（2021·上海虹口·九年级月考）点P是△ABC中AB边上一点（不与A、B重合），过P作直线截△ABC使得截得的三角形与△ABC相似，这样的直线最多作（　　）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【答案】C
【分析】根据相似三角形的判定方法分析，即可做出判断．
【详解】满足条件的直线有4条，如图所示：如图1，过P作PE∥AC，则有△BPE∽△BAC；
如图2，过P作PE∥BC，则有△APE∽△ABC；
如图3，过P作∠AEP=∠B，又∠A=∠A，则有△APE∽△ACB；
如图4，过P作∠BEP=∠A，又∠B=∠B，则有△BEP∽△BAC，故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，解答的关键是对相似三角形的判定方法的理解与灵活运用．
10．（2022·山东大学附属中学九年级月考）如图所示，直线y＝x﹣1与x轴交于A，与y 轴交于B，在第一象限内找点C，使△AOC与△AOB相似，则共能找到的点C的个数（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】因为点C在第一象限，所以只有点A，点C可能为直角顶点，由此讨论，可得结论．
【详解】解：∵点C在第一象限，∴当点C为直角顶点时，有两种情形，
当点A为直角顶点时，也有两种情形，共有4种情形．
故选：D．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·北京市九年级期中）如图，已知∠1＝∠2，添加条件____后，使△ABC∽△ADE．
【答案】∠B＝∠D
【分析】先证出∠BAC＝∠DAE，再由∠B＝∠D，即可得出ABC∽△ADE．
【详解】解：添加条件∠B＝∠D后，△ABC∽△ADE．理由如下：
∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，即∠BAC＝∠DAE，
又∵∠B＝∠D，∴ABC∽△ADE．故答案为：∠B＝∠D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定方法；熟练掌握三角形相似的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．
12．（2022·上海·九年级期中）如图，点D在的边上，当______时，与相似．
【答案】
【分析】要使∽，由∠BAC=∠CAD共用，只要满足即可．
【详解】由∠BAC=∠CAD共用，
当时，∽．故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形判定问题，关键是掌握相似三角形的判定定理．
13．（2022·江苏·睢宁县九年级月考）和中，，，，当______时，．
【答案】80°．
【分析】利用两对对应角相等的三角形相似判定即可．
【详解】解：∵∠A=60°，∠B=40°，∴∠C=180°-60°-40°=80°，
∵，∴当∠C′=∠C=80°时，△ABC∽△A′B′C′．故答案为：80°．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是了解相似三角形的判定方法．
14．（2022·山东·九年级专题练习）如图，△ABC与△DEF的顶点均在方格纸中的小正方形方格（边长为一个单位长）的顶点处，则△ABC__________△DEF（在横线上方填写“一定相似”或“不一定相似”或“一定不相似”）．
【答案】一定相似
【分析】分别计算两个三角形的三边长，看三边是否成比例，即可判定这两个三角形是否相似．
【详解】根据图示知：AB＝2，BC＝1，AC＝；DE＝2，EF＝，DF＝5，
∴，∴△ABC∽△DEF．故答案为：一定相似．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，关键是熟悉相似三角形的判定．
15．（2022河南·郑州九年级月考）如图，在中，，，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过______秒时与相似．
【答案】或2
【分析】设经过t秒时，与相似，则,,,利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：时，，即；当时，，即，然后解方程即可求出答案．
【详解】解：设经过t秒时，与相似，则,,,
∵，∴当时，，即，解得：；
当时，，即，解得：；
综上所述：经过或秒时，与相似，
【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似，解题的关键是准确分析题意列出方程求解．
16．（2022·黑龙江集贤·九年级期中）已知在中，，点分别在边上，将沿直线对折后，点正好落在对边上，且折痕截所成的小三角形（即对折后的重叠部分）与相似，则折折痕__________
【答案】或．
【分析】先画草图借草图分析．如图
重叠的小三角形为，由对折知，所以要使△ABC和相似，只需，此时和C重合，N为AC中点，由三角形中位线定理易得MN的值；或只需，此时与B点重合，M=BM=AM=，再由相似的知识算得MN的值．
【详解】由AC=4，BC=3，∠ACB=90°据勾股定理得AB=5．下面分情况讨论：
第一种情况 如图1 当∠MNC=90°时，折叠后A点落在C点．∵∠BCA=90°∴∠MNC=∠BCA
又由对折知：∠MCN=∠A∴△MCN∽△ABC
由对折知N为AC的中点，据三角形中位线定理得（㎝）；
第二种情况 如图2 当∠NMB=90°时，折叠后A点落在B点．∵∠C=90°∴∠C=∠NMB
又由对折知∠A=∠NBM∴△ABC∽△BNM∴
又由对折知∴（㎝）．
综上分析得MN=㎝或㎝．故答案为：或．
【点睛】本题是折叠类问题，考查相似三角形的判定，兼考查分类讨论的数学方法．关键之处在于紧抓折叠的图形成轴对称及全等解决之．
17．（2023·广东佛山·佛山市南海区石门实验学校校考一模）如图所示，是平行四边形的边上一点，，与相交于点，，那么 ．
【答案】8．
【分析】通过证明△BCF∽△DEF，可得，即可求解．
【详解】解：∵ED=2AE，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，
∴，
∴△BCF∽△DEF，
∴，
∴，
∴，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，掌握相似三角形的性质是本题的关键．
18．（2023秋·湖南株洲·九年级统考期末）如图，AB//CD，，E为BC上一点，且．若，，，则DE的长为 ．
【答案】
【分析】先根据同角的余角相等可得：∠AEB=∠EDC，利用两角相等证明三角形相似；根据△ABE∽△ECD，列比例式可得结论,利用勾股定理求解即可.
【详解】∵AB//CD，，
∴∠C=90°
∠BAE+∠AEB=90°
∵
∴∠DEC+∠AEB=90°
∴∠BAE=∠DEC
∴△ABE∽△ECD
∴
∴在Rt△ECD中
【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质以及勾股定理的应用，熟练掌握知识是解答此题的关键.
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19.（2023 浦东新区校级月考）如图，点D，E分别在线段AB和AC上，BE与CD相交于点O，AD AB＝AE AC，DF∥AC，求证：△DOF∽△DOB．
【解题思路】根据相似三角形的判定得出△ABE与△ACD相似，利用相似三角形的性质得出∠B＝∠C，再利用平行线的性质和相似三角形的判定解答即可．
【解答过程】证明：∵AD AB＝AE AC，
∴，
∵∠A＝∠A，
∴△ABE∽∠ACD，
∴∠B＝∠C，
∵DF∥AC，
∴∠C＝∠ODF，
∴∠B＝∠ODF，
∵∠DOF＝∠BOD，
∴△DOF∽△DOB
20.（2022·江苏·九年级月考）如图，点D在等边△ABC的BC边上，△ADE为等边三角形，DE与AC交于点F．（1）证明：△ABD∽△DCF；（2）除了△ABD∽△DCF外，请写出图中其他所有的相似三角形．
【点拨】（1）利用等边三角形的性质以及相似三角形的判定方法两角对应相等的两三角形相似得出即可；（2）利用对顶角的性质以及相似三角形的性质进而判断得出即可．
【解析】（1）证明：∵△ABC，△ADE为等边三角形，
∴∠B=∠C=∠3=60°，
∴∠1+∠2=∠DFC+∠2，
∴∠1=∠DFC，
∴△ABD∽△DCF；
（2）解：∵∠C=∠E，∠AFE=∠DFC，
∴△AEF∽△DCF，
∴△ABD∽△AEF，
故除了△ABD∽△DCF外，图中相似三角形还有：△AEF∽△DCF，△ABD∽△AEF．
【总结】此题主要考查了相似三角形的两个对应角相等的判定方法以及等边三角形的性质等知识，得出对应角关系是解题关键．
21．（2022·山东济南九年级月考）如图，在△PAB中，点C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠A＝∠BPD，求证：△APC∽△BPD．
【答案】见解析
【分析】根据PC＝PD＝CD，可得出为等边三角形，即可得出,进而得出,再根据相似三角形的判定推出即可．
【详解】证明：∵PC＝PD＝CD，
∴为等边三角形，
∴∠PCD＝∠PDC，
∴,
∵∠A＝∠BPD，
∴△APC∽△PBD．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定等知识点，注意：如果两个三角形的两个角分别对应相等，那么这两个三角形相似．
22．（2022·湖南荷塘·九年级期末）如图，在中，，点在边上，满足，且点，分别在边，上． 求证：．
【答案】见详解．
【分析】由等边对等角得，由三角形的内角和定理，得到，即可得到结论成立．
【详解】证明：∵，∴，
∵，∴，
∵，∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理：两个角对应相等，则这两个三角形相似．
23．（2022·广西·九年级课时练习）如图，在梯形中，，，E是的中点．（1）求证：；（2）与有可能相似吗？若相似，请给出证明过程；若不相似，请简述理由．
【答案】（1）见解析；（2）相似，理由见解析
【分析】（1）过点C作CF⊥AB于F，先证明四边形ADCF是矩形，得到AF=CD=1,AD=CF，BF=AB-AF=1，然后利用勾股定理求出，即可得到，再证明即可；（2）利用勾股定理求出，,后证明即可.
【详解】解：（1）过点C作CF⊥AB于F，∴∠A=∠CFA=∠CFB=90°，
∵AB∥CD，∴∠A+∠D=180°，∴∠D=90°，
∴四边形ADCF是矩形，∴AF=CD=1,AD=CF，
∴BF=AB-AF=1，∴，
∵E是AD的中点，∴，
∴，∴，
又∵∠D=∠A=90°，∴△CDE∽△EAB；
（2）△CDE∽△CEB相似，理由如下：
∵，,
∴，，，
∴ ，∴△CDE∽△CEB.
【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，相似三角形的判定，勾股定理，平行的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
24．（2022·山东东平·初二期末）如图，四边形是正方形，点是边上动点(不与重合)．连接过点作交于点．求证：；连接，试探究当点在什么位置时，，请证明你的结论．
【答案】（1）证明见解析；（2）点在中点位置时，，证明见解析．
【分析】（1）先根据正方形的性质可得，再根据直角三角形的性质、角的和差可得，然后根据相似三角形的判定即可得证；
（2）如图（见解析），先根据正方形的性质、平行线的性质可得，再根据三角形全等的判定定理与性质可得，然后根据等腰三角形的判定与性质可得，最后根据等量代换即可得．
【解析】（1）四边形是正方形，，，
，，，，
在和中，，；
（2）点在中点位置时，，证明如下：
如图，连接，延长于的延长线相交于点H，为中点，，
四边形是正方形，，，
在和中，，，，
，是等腰三角形，，，
故当点在中点位置时，．
【点睛】本题考查相似三角形的判定、正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形和等腰三角形是解题关键．
25．（2023·河南·二模）三角形的布洛卡点（Brocardpoint）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．LCrelle1780-1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard1845-1922）重新发现，并用他的名字命名．如图1，若内一点P满足，则点P是的布洛卡点，是布洛卡角．（1）如图2，点P为等边三角形ABC的布洛卡点，则布洛卡角的度数是 ；PA、PB、PC的数量关系是 ；（2）如图3，点P为等腰直角三角形ABC（其中）的布洛卡点，且．①请找出图中的一对相似三角形，并给出证明；②若的面积为，求的面积．
【答案】（1）30°，；（2）①，证明见解析；（3）．
【分析】（1）根据题意理清布洛卡点、布洛卡角的概念，利用概念来解答；
（2）①找，证明过程利用等腰直角三角形的性质及布洛卡角的概念，通过找出三个角分别对应相等来证明②把三角形面积看作三个三角形面积之和来表示，除所求三角形面积之外的两个，其中一个根据条件可以利用勾股定理求出面积，另一个可以利用所求三角形面积来表示，建立等式即可求解．
【详解】解：（1）由题意知：，
为等边三角形，，AB=BC=AC,
，，，
，，
同理可证得出：，
， 故答案是：30°，．
（2）① 证明：∵是等腰直角三角形
∴，即，
∵，∴，又∵，∴.
（3）∵是等腰直角三角形，
∴，∴.
∵，∴，
∴，，，∴.
∵，
∴.
在中，∵，，
由勾股定理得，，∴，
∴∴．
【点睛】本题考查了新概念问题、等边三角形、直角三角形、三角形全等的判定定理和性质、相似三角形的判定定理和性质、勾股定理，涉及知识点多，综合性强，题目较难，解题的关键是：通过阅读材料，弄明白题中的新定义或新概念，然后利用概念及灵活运用所学知识点进行解答．
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专题4.4 两个三角形相似的判定
模块1：学习目标
1、了解相似三角形的概念，掌握相似三角形的表示方法及判定方法；
2、进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力；
3、掌握相似三角形的判定与性质的综合应用；
4、理解并掌握射影定理及有关运算。
模块2：知识梳理
1、相似三角形的判定
判定1：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
判定2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
判定3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
相似三角形：三个角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.
注意：（1）要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.
（2）此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.
2.相似三角形的判定定理是通过构造辅助线（平行线）再用平行线分线段成比例线段的性质证明的.
模块3：核心考点与典例
考点1. 选择或添加条件使得三角形相似
例1.（2022·山东张店·八年级期中）如图，是的边上一点（不与点，重合），请添加一个条件后，使，则添加的这个条件可以是__________（只添加一个条件）．
变式1.（2022·浙江温州·九年级期末）如图，下列条件不能判定与相似的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·北京·九年级月考）根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′能相似的有（　　）对．
①∠C＝∠C′＝90°，∠A＝25°，∠B′＝65°；
②∠C＝90°，AC＝6，BC＝4，∠C′＝90°，A′C′＝9，B′C′＝6；
③AB＝10，BC＝12，AC＝15，A′B′＝1.5，B′C′＝1.8，A′C′＝2.25；
④△ABC与△A′B′C′为等腰三角形，且有一个角为80°．
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
考点2. 相似三角形的判定（判定定理1）
判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
例2.（2022·浙江·诸暨市九年级期中）如图，P为线段AB上一点，AD与BC交与点E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD与点F，AD交PC于点G，则下列结论中错误的是（　　）
A．△CGE∽△CBP B．△APD∽△PGD C．△APG∽△BFP D．△PCF∽△BCP
变式1.（2022·辽宁·大连市九年级月考）如图，在中，平分，是上一点，且．求证：．
变式2.（2022 淮安九年级期末）如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥EC交AB于F，连接FC，求证：△AEF∽△DCE．
考点3. 相似三角形的判定（判定定理2）
判定定理2：如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似．
例3．（2022·广东初三课时练习）如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC=BC．图中相似三角形共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
变式1．（2022·河南·九年级期中）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上，则△ABC与△DEF的相似比是（　　）
A． B．1 C．2 D．
变式2.（2023·广西·九年级课时练习）如图，在梯形中，，，E是的中点．（1）求证：；（2）与有可能相似吗？若相似，请给出证明过程；若不相似，请简述理由．
考点4. 相似三角形的判定（判定定理3）
判定定理3：如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似．
例4．（2022·吉林·八年级期末）如图所示，在四边形ABCD中，CA是∠BCD的角平分线，且，求证：△ABC∽△DAC．
变式1．（2022·河南嵩县·九年级期中）如图，是的边上的一点，，，．求证：．
变式2.（2022 蜀山区校级期中）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE、BC的延长线相交于点F，且EF DF＝CF BF．求证：△CAB∽△DAE．
考点5. 射影定理
例5．（2022春·浙江·九年级专题练习）【问题情境】如图1，在中，，垂足为D，我们可以得到如下正确结论：①；②；③，这些结论是由古希酷著名数学家欧几里得在《几何原本》最先提出的，我们称之为“射影定理”，又称“欧几里德定理”．(1)请证明“射影定理”中的结论③．
(2)【结论运用】如图2，正方形的边长为6，点O是对角线、的交点，点E在上，过点C作，垂足为F，连接．①求证：．②若，求的长．
变式1.（2022 普陀区校级月考）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上的高，如果AD＝2，BD＝6，那么AC的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
变式2．（2023·广东珠海·校考三模）操作与研究：如图，被平行于的光线照射，于D，在投影面上．

(1)指出图中线段的投影是______，线段的投影是______．
(2)问题情景：如图1，中，，，我们可以利用与相似证明，这个结论我们称之为射影定理，请证明这个定理．
(3)拓展运用如图2，正方形的边长为15，点O是对角线、的交点，点E在上，过点C作，垂足为F，连接：① 试利用射影定理证明；② 若，求的长．
考点6. 相似三角形的判定（网格问题）
例6．（2022·北京市九年级月考）如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（　　）
A． B． C． D．
变式1．（2022·山东桓台·八年级期末）如图所示的4个三角形中，相似三角形有（　　）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
变式2.（2022·辽宁·沈阳市九年级月考）如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列A、B、C、D四个图中的3三角形（阴影部分）与相似的是（ ）．
A． B． C． D．
模块四：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·广东九年级期中）下列命题中，错误的结论是（ ）
A．如果两个三角形都是等腰三角形且顶角为100°，那么这两个三角形相似
B．如果两个三角形都是直角三角形，那么这两个三角形相似
C．如果两个三角形都是等腰直角三角形，那么这两个三角形相似
D．如果两个直角三角形都有一个内角等于30°，那么这两个三角形相似
2．（2022·陕西师大附中九年级月考）根据下列各组条件，不能判定△ABC∽△A1B1C1的是（ ）
A．∠B＝∠B1＝60°，∠C＝50°，∠A1＝70°
B．∠C＝∠C1＝90°，AB＝10，AC＝6，A1B1＝5，A1C1＝3
C．∠A＝40°，AB＝2，AC＝3，∠A1＝40°，A1B1＝4，A1C1＝5
D．AB＝12，BC＝15，AC＝24，A1B1＝8，A1C1＝16，B1C1＝10
3．（2022·浙江·宁波九年级开学考试）下列每个矩形都是由五个同样的小正方形拼合组成，其中和的顶点都在小正方形的顶点上，则与一定相似的图形是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·上海市静安区实验中学初三课时练习）已知一个三角形的两个内角分别是，，另一个三角形的两个内角分别是，，则这两个三角形（ ）
A．一定相似 B．不一定相似 C．一定不相似 D．不能确定
5．（2022·湖南·九年级期末）已知的三边长是，，2，则与相似的三角形的三边长可能是（ ）
A．1，， B．1，， C．1，， D．1，，
6．（2022·山东·招远市八年级期末）如图，中，P为边AB上一点，下列选项中的条件，不能说明与相似的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·大庆市初二期末）如图，点P是 ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（ ）
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
8．（2022·全国·九年级专题练习）如图，，交于点O，有下列三个结论：①，②，③．则一定成立的有（ ）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．（2021·上海虹口·九年级月考）点P是△ABC中AB边上一点（不与A、B重合），过P作直线截△ABC使得截得的三角形与△ABC相似，这样的直线最多作（　　）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
10．（2022·山东大学附属中学九年级月考）如图所示，直线y＝x﹣1与x轴交于A，与y 轴交于B，在第一象限内找点C，使△AOC与△AOB相似，则共能找到的点C的个数（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·北京市九年级期中）如图，已知∠1＝∠2，添加条件____后，使△ABC∽△ADE．
12．（2022·上海·九年级期中）如图，点D在的边上，当______时，与相似．
13．（2022·江苏·睢宁县九年级月考）和中，，，，当______时，．
14．（2022·山东·九年级专题练习）如图，△ABC与△DEF的顶点均在方格纸中的小正方形方格（边长为一个单位长）的顶点处，则△ABC__________△DEF（在横线上方填写“一定相似”或“不一定相似”或“一定不相似”）．
15．（2022河南·郑州九年级月考）如图，在中，，，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过______秒时与相似．
16．（2022·黑龙江集贤·九年级期中）已知在中，，点分别在边上，将沿直线对折后，点正好落在对边上，且折痕截所成的小三角形（即对折后的重叠部分）与相似，则折折痕__________
17．（2023·广东佛山·佛山市南海区石门实验学校校考一模）如图所示，是平行四边形的边上一点，，与相交于点，，那么 ．
18．（2023秋·湖南株洲·九年级统考期末）如图，AB//CD，，E为BC上一点，且．若，，，则DE的长为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19.（2023 浦东新区校级月考）如图，点D，E分别在线段AB和AC上，BE与CD相交于点O，AD AB＝AE AC，DF∥AC，求证：△DOF∽△DOB．
20.（2022·江苏·九年级月考）如图，点D在等边△ABC的BC边上，△ADE为等边三角形，DE与AC交于点F．（1）证明：△ABD∽△DCF；（2）除了△ABD∽△DCF外，请写出图中其他所有的相似三角形．
21．（2022·山东济南九年级月考）如图，在△PAB中，点C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠A＝∠BPD，求证：△APC∽△BPD．
22．（2022·湖南荷塘·九年级期末）如图，在中，，点在边上，满足，且点，分别在边，上． 求证：．
23．（2022·广西·九年级课时练习）如图，在梯形中，，，E是的中点．（1）求证：；（2）与有可能相似吗？若相似，请给出证明过程；若不相似，请简述理由．
24．（2022·山东东平·初二期末）如图，四边形是正方形，点是边上动点(不与重合)．连接过点作交于点．求证：；连接，试探究当点在什么位置时，，请证明你的结论．
25．（2023·河南·二模）三角形的布洛卡点（Brocardpoint）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．LCrelle1780-1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard1845-1922）重新发现，并用他的名字命名．如图1，若内一点P满足，则点P是的布洛卡点，是布洛卡角．（1）如图2，点P为等边三角形ABC的布洛卡点，则布洛卡角的度数是 ；PA、PB、PC的数量关系是 ；（2）如图3，点P为等腰直角三角形ABC（其中）的布洛卡点，且．①请找出图中的一对相似三角形，并给出证明；②若的面积为，求的面积．
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