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专题4.2 平面直角坐标系
模块1：学习目标
1、认识并能画出平面直角坐标系；
2、在给定的直角坐标系中，会根据坐标描出点的位置，由点的位置写出它的坐标。
3.理解平面直角坐标系的相关概念（横轴、纵轴、原点、坐标等）；
4.会用象限或坐标轴说明直角坐标系内点的位置，能根据横纵坐标的符号确定点所在象限；
5.能够根据图形建立适当的平面直角坐标系，表示图形上的点的坐标；
模块2：知识梳理
1．平面直角坐标系：两条互相垂直的共原点数轴组成．水平的数轴叫做横轴（x轴），取向右为正方向；竖直的数轴叫做纵轴（y轴），取向上为正方向；两轴公共的原点为坐标原点．
注意：同一数轴上的单位长度是一样的，一般情况下两轴上的单位长度也相同．
2．点的坐标：如下图，由点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足A在x轴上的坐标是a，垂足B在y轴上的坐标是b，则点P的坐标为，其中a为点P的横坐标，b为点P的纵坐标．
3．象限和坐标轴：
（1）第一象限内的点的坐标满足：，；
（2）第二象限内的点的坐标满足：，；
（3）第三象限内的点的坐标满足：x＜0，；
（4）第四象限内的点的坐标满足：，.
（5）x轴上的点的坐标满足：；
（6）y轴上的点的坐标满足：；
（7）一、三象限角平分线的点的坐标满足：；
（7）二、四象限角平分线的点的坐标满足：；
注意：两条坐标轴上的点不属于任何一个象限．
4．点到特殊直线（点）的距离：
（1）点到x轴的距离为； 到直线（与x轴平行的直线）的距离为；
（2）点到y轴的距离为； 到直线（与y轴平行的直线）的距离为；
（3）点到原点的距离为。
模块3：核心考点与典例
考点1. 判断点的象限
例1．（2022·宁夏·吴忠市第二中学七年级期中）在平面直角坐标系中，点P（3，-7）位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根据坐标系中每个象限的点的坐标特征求解即可．
【详解】解：∵点P的坐标为（3，-7），∴点P在第四象限，故选D．
【点睛】本题主要考查了判断点所在的象限，熟知坐标系中每个象限的点的坐标特点是解题的关键：第一象限（+，+），第二象限（-，+），第三象限（-，-），第四象限（+，-）．
变式1．（2022·河北·石家庄市第二十二中学八年级阶段练习）下列坐标中，在第二象限的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据点所在的象限的坐标符号特征逐项判断求解即可．
【详解】解：A、在第三象限，不符合题意；B、在第二象限，符合题意；
C、在第一象限，不符合题意；D、在第四象限，不符合题意，故选：B．
【点睛】本题考查点所在的象限，解答的关键是熟知点所在的象限的坐标符号特征：第一象限（+，+），第二象限（－，+），第三象限（－，－），第四象限（+，－）．
变式2．（2022·山东临沂·七年级期末）在平面直角坐标系中，点P的坐标为，则点P所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根据平方数非负数判断出点P的横坐标是正数，再根据各象限内点的坐标特征解答．
【详解】解：∵，∴，∴点P的横坐标是正数，
∴点P(，－2) 所在的象限是第四象限．故选D．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（－，+）；第三象限（－，－）；第四象限（+，－）．
考点2. 坐标轴上的点的特征
例2．（2022·四川广安·七年级期末）若点M(2-a，3a+6)在坐标轴上，则点M的坐标是__________
【答案】（0，12）或（4，0）##（4，0）或（0，12）
【分析】根据轴上的点的坐标特征分类讨论进行求解即可．
【详解】解：若点M(2-a，3a+6)在轴上， 解得，，，
若点M(2-a，3a+6)在轴上，，解得，，．
故答案为：（0，12）或（4，0）．
【点睛】本题考查了坐标轴上的点的坐标特征，掌握x轴上的点的纵坐标为0，y轴上的点的横坐标为0，是解题的关键．
变式1．（2022·吉林·八年级期末）若点（4a﹣1，a＋2）在x轴上，则a＝_____．
【答案】-2
【分析】根据在x轴上的点纵坐标为0进行求解即可．
【详解】解：∵点（4a﹣1，a＋2）在x轴上，∴a+2=0，∴a=-2，故答案为：-2．
【点睛】本题主要考查了在x轴上的点的坐标特点，熟知在x轴上的点纵坐标为0是解题的关键．
变式2．（2022·福建厦门·七年级期末）若点在y轴上，则点P的坐标是________．
【答案】（0，－4）
【分析】利用在y轴上的点的坐标特点，横坐标为，即可求解．
【详解】解：∵点在y轴上，∴＝0，∴，∴点P的坐标是，故答案为：
【点睛】本题考查了坐标轴上点的坐标特征，熟记在轴上的点，纵坐标等于0；在轴上的点，横坐标等于0是解题的关键．
考点3. 点到坐标轴的距离
例3．（2023·福建·七年级期中）点A到x轴的距离是_______，A到y轴的距离是____．
【答案】 7 5
【分析】根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答．
【详解】点A(5,-7)到x轴的距离是；到y轴的距离是5．故答案为7；5．
【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．解答时，注意不要将x、y的距离搞混淆了而出现错误．
变式1．（2022·海南·七年级期中）若点到y轴的距离为2，且，则点P的坐标为（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】B
【分析】根据点到y轴的距离为2，且，列出绝对值方程即可求解．
【详解】解：∵点到y轴的距离为2，∴，
，当时， 当时， 即点P的坐标为或 故选B
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，横坐标的绝对值就是点到y轴的距离，纵坐标的绝对值就是点到x轴的距离，掌握坐标的意义是解题的关键．
考点4. 平行（垂直）于坐标轴的点的特征
例1．（2022·黑龙江绥化·七年级期末）已知点和点，若轴，且，则的值为______．
【答案】1或9##9或1
【分析】，可得A和B的横坐标相同，即可求出n的值，根据列出方程即可求出m的值，代入求解即可．
【详解】∵点和点，且， ∴，
∴， ∴ 故答案为：1或9．
【点睛】本题考查了平行y轴的点的坐标特征，如果两点连线平行于y轴，则它们的横坐标x相等，如果两点连线平行于x轴，则它们的横坐标y相等．
变式1．（2022·广西贵港·八年级期末）在平面直角坐标系中，已知直线轴，点的坐标为，和两点之间的距离为5，则点的坐标为_______．
【答案】或
【分析】由AB平行与x轴可知A，B两点的距离等于横坐标之差的绝对值，只需分B在A的左边，B在A的右边两种情况讨论即可．
【详解】解：∵轴，∴A，B两点的距离等于横坐标之差的绝对值，
当B在A的左边时，﹣2－5=﹣7，故B点坐标为：，
当B在A的右边时，﹣2＋5=3，故B点坐标为：
综上所述B点坐标为或，故答案为：或．
【点睛】本题考查平行与坐标轴的线上的点的坐标特征，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键．
变式2．（2022·福建厦门·七年级期末）在平面直角坐标系中，点A（1，3），B（－2，－1），C（x，y），若AC∥y轴，则线段BC的最小值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【分析】由垂线段最短可知点BC⊥AC时，BC有最小值．
【详解】解：依题意可得：
∵AC//y轴，A(1，3)，C(x， y)，∴x=1，
根据垂线段最短，当BC⊥AC于点C时，点B到AC的距离最短，
∵B(-2，-1)，即BC的最小值= 2+1=3，故选： C．
【点睛】本题主要考查的是垂线段的性质、点的坐标的定义，掌握垂线段的性质是解题的关键．
考点5. 坐标确定点的位置
例5．（2022·江苏·八年级专题练习）“健步走”越来越受到人们的喜爱．一个健步走小组将自己的活动场地定在奥林匹克公园〔路线：森林公园—玲珑塔—国家体育场—水立方），如图假设在奥林匹克公园设计图上规定玲珑塔的坐标为，森林公园的坐标为，则终点水立方的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据玲珑塔的坐标确定坐标原点位置，然后画出坐标系，进而可得答案．
【详解】解：根据玲珑塔的坐标为可画出坐标系：
水立方的坐标为，故选：A．
【点睛】本题主要考查了坐标确定位置，解题的关键是正确画出坐标系．
变式1．（2022·广西百色·八年级期末）如图所示的象棋盘上，若“帅”位于点．“马”位于点，则位于原点位置的是（ ）
A．炮 B．兵 C．相 D．车
【答案】A
【分析】根据题意可以画出平面直角坐标系，从而可以写成炮所在点的坐标．
【详解】解：由题可得，如下图所示，
故炮所在的点的坐标为（0，0），故选：A．
【点睛】本题考查了坐标确定位置，解题的关键是明确题意，画出相应的平面直角坐标系．
考点6. 图形中的坐标问题
例6.（2022·广西南宁·八年级期中）如图，x轴、y轴上分别有两点A(3，0)、B(0，2)，以点A为圆心，AB为半径的弧交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（ ）
A．(﹣1，0) B．(2，0) C．(3，0) D．(3，0)
【答案】D
【分析】根据勾股定理求得AB，然后根据图形推知AC＝AB，则OC＝AC﹣OA，所以由点C位于x轴的负半轴来求点C的坐标．
【详解】解：如图，∵A（3，0）、B（0，2），∴OA＝3，OB＝2，
∴在直角△AOB中，由勾股定理得AB．
又∵以点A为圆心，AB为半径的弧交x轴负半轴于点C，
∴AC＝AB＝，∴OC＝AC﹣OA3．
又∵点C在x轴的负半轴上，∴C（3，0）．故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，坐标与图形的性质．解题时，注意点C位于x轴的负半轴，所以点C的横坐标为负数．
变式1．（2022·河南郑州·八年级期末）如图所示，把长方形放在直角坐标系中，使、分别落在x轴、y轴上，点C的坐标为，将沿翻折，使C点落在该坐标平面内的D点处，交x轴于点E．则点D的坐标为________．
【答案】
【分析】根据翻折的性质证明，由全等三角形的性质得到，设，则，再根据勾股定理解得，最后根据等积法解得，据此解得点D的坐标．
【详解】解：过点作于，
四边形是矩形，点，
将沿翻折，使C点落在该坐标平面内的D点处，
在与中，
设，则，
，故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、翻折、矩形的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
模块四：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·辽宁·兴城市七年级期中）在平面直角坐标系中，点P（3，-6）位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根据平面直角坐标系中点的坐标特征解答即可．
【详解】解：∵3>0， -6＜0，∴点P(3，-6)位于第四象限．故选：D．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．第一象限内点的坐标特征为（+，+），第二象限内点的坐标特征为（-，+），第三象限内点的坐标特征为（-，-），第四象限内点的坐标特征为（+，-）．
2．（2022·河南·郑州八年级期末）下列说法正确的是（　　）
A．已知点M（2，﹣5），则点M到x轴的距离是2 B．若点A（a﹣1，0）在x轴上，则a＝0
C．点A（﹣1，2）关于x轴对称的点坐标为（﹣1，﹣2） D．点C（﹣3，2）在第一象限内
【答案】C
【分析】分别根据坐标系中点的坐标到坐标轴的距离；在x轴上的点的纵坐标为零；关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；各个象限上的点的坐标符号逐一判断即可．
【详解】解：A．已知点M（2，-5），则点M到x轴的距离是|-5|=5，故本选项不合题意；
B．若点A（a-1，0）在x轴上，则a可以是全体实数，故本选项不合题意；
C．点A（-1，2）关于x轴对称的点坐标为（-1，-2），故本选项符合题意；
D．C（-3，2）在第二象限内，故本选项不合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了关于x轴对称的点的坐标以及点的坐标，掌握平面直角坐标系中的点的坐标特点是解答本题的关键．
3．（2022·山东七年级期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，3），点B的坐标为（3，﹣3），则线段AB的位置特征为（　　）
A．与x轴平行 B．与y轴平行
C．在第一、三象限的角平分线上 D．在第二、四象限的角平分线上
【答案】B
【分析】在平面直角坐标系中，标记出点A，点B即可求解．
【详解】解：在平面直角坐标系中，标记出点A，点B，如下图：
有图像可知：线段AB与y轴平行故答案为：B
【点睛】此题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标，熟练掌握如何根据坐标在平面直角坐标系标记点是解题的关键．
4．（2022·辽宁鞍山·七年级期中）点P位于x轴下方，y轴左侧，距离x轴4个单位长度，距离y轴2个单位长度，那么点P的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】位于x轴下方，y轴左侧，那么所求点在第三象限；距离x轴4个单位长度，可得点P的纵坐标；距离y轴2个单位长度，可得点P的横坐标．
【详解】解：∵点P位于x轴下方，y轴左侧，∴点P在第三象限；
∵距离y轴2个单位长度，∴点P的横坐标为﹣2；
∵距离x轴4个单位长度，∴点P的纵坐标为﹣4；
∴点P的坐标为（﹣2，﹣4），故选：B．
【点睛】考查了点的坐标，本题用到的知识点为：点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值；易错点为判断出所求点所在的象限．
5．（2022·湖北·浠水县兰溪镇兰溪初级中学七年级期中）若点P（m＋3，m＋1）在x轴上，则点P的坐标为（ ）
A．（0，－2） B．（2，0） C．（4，0） D．（0，－4）
【答案】B
【分析】据x轴上点的纵坐标为0可知m+1=0，解出m的值，将m的值代入点P的横坐标即可．
【详解】解：∵点P在x轴上，∴m+1=0，解得：m=-1，
把m=-1代入m＋3得：-1+3=2，∴P(2，0)，故选：B
【点睛】本题主要考查了坐标轴上点的坐标特征，掌握“x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0”是解题的关键．
6．（2022·四川八年级阶段练习）在直角坐标系中，点A（﹣m，m﹣1）在第二象限则点B（﹣m﹣2，m﹣4）的位置是（ ）
A．在第一或二象限 B．在第二或三象限 C．在第三或四象限 D．在第一或四象限
【答案】B
【分析】首先确定m的取值范围，然后再确定 m 2，m 4的符号，进而可得点B所在象限．
【详解】解：∵点A（ m，m 1）在第二象限，
∴，解得：m＞1，∴ m 2＜0，m 4＞0或＜0，
∴点B（ m 2，m 4）的位置是在第二或三象限．故选：B．
【点睛】此题主要考查了点的坐标，关键是掌握第一象限（＋，＋），第二象限（ ，＋），第三象限（ ， ），第四象限（＋， ）．
7．（2022·河北·保定市清苑区北王力中学八年级期末）在平面直角坐标系内有一点，若点到轴的距离为3，到轴的距离为1．且点在第二象限，则点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答．．
【详解】解：点到轴的距离为3，到轴的距离为1．且点在第二象限，
所以横坐标为，纵坐标为3，∴A．故选B．
【点睛】本题考查了点到坐标轴的距离，第二象限点的坐标特征，掌握各象限点的坐标特征是解题的关键．
8．（2022·广西河池·七年级期末）平面直角坐标系中，点位于第一象限，且点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为横坐标的绝对值，结合点M在第一象限进行求解即可．
【详解】解：∵点位于第一象限，且点到两坐标轴的距离相等，
∴，∴，∴，∴点M的坐标为（5，5），故选C．
【点睛】本题主要考查点到坐标轴的距离，第一象限点的坐标特点，熟知相关知识是解题的关键．
9．（2022·山西阳泉·七年级期中）定义：平面内的直线与相交于点O，对于该平面内任意一点M，点M到直线、的距离分别为a、b，则称有序非负实数对是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”为的点的个数有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】首先根据题意，可得距离坐标为（2，1）的点是到l1的距离为2，到l2的距离为1的点；然后根据到l1的距离为2的点是两条平行直线，到l2的距离为1的点也是两条平行直线，可得所求的点是以上两组直线的交点，一共有4个，据此解答即可．
【详解】解：如图1，
，
到l1的距离为2的点是两条平行于l1的直线l3、l4，到l2的距离为1的点是两条平行于l2直线l5、l6，∵两组直线的交点一共有4个：A、B、C、D，
∴距离坐标为（2，1）的点的个数有4个．故选D．
【点睛】此题主要考查了点的坐标，以及对“距离坐标”的含义的理解和掌握，解答此题的关键是要明确：到l1的距离为2的点是两条平行直线，到l2的距离为1的点也是两条平行直线．
10．（2022·山东滨州·七年级期末）已知点，若直线轴，点P在x轴的负半轴上，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】根据直线ABx轴可得点A、B的纵坐标相等可求出a的值，根据点P在x轴的负半轴上，得到b<0，然后判断点M的横坐标与纵坐标的正负即可解答．
【详解】解：∵直线ABx轴，∴2a+2=4，解得：a=1，
∵点P在x轴的负半轴上，∴b<0，∴b-a=b-1<0，a-2=1-2=-1<0，.点M在第三象限．故选：C．
【点睛】本题考查坐标与图形性质，根据直线ABx轴可得点A，B的纵坐标相等是解答本题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·福建厦门·七年级期末）若点在y轴上，则点P的坐标是________．
【答案】（0，－4）
【分析】利用在y轴上的点的坐标特点，横坐标为，即可求解．
【详解】解：∵点在y轴上，∴＝0，∴，
∴点P的坐标是，故答案为：
【点睛】本题考查了坐标轴上点的坐标特征，熟记在轴上的点，纵坐标等于0；在轴上的点，横坐标等于0是解题的关键．
12．（2022·山西吕梁·七年级期末）如图是某公园的平面示意图的一部分．在此图中，若音乐台的坐标为，牡丹园的坐标为．则游乐园的坐标为_________．
【答案】
【分析】先根据音乐台的坐标和牡丹园的坐标建立平面直角坐标系，再结合坐标系可得答案．
【详解】解：根据题意建立平面直角坐标系，如下图：
∴游乐园的坐标为．故答案为：
【点睛】本题主要考查坐标确定位置，解题的关键是根据已知点的坐标建立平面直角坐标系．
13．（2022·山东菏泽·七年级期末）已知点是平面直角坐标系内的点，点在第一象限，且到两坐标轴的距离之和为16，则的值______．
【答案】
【分析】根据题意可得2x+3x-1=16，然后进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：2x+3x-1=16，5x=17，x=，故答案为：．
【点睛】本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中每一象限点的坐标特征是解题的关键．
14．（2022·福建厦门·七年级期末）若点在y轴上，则点P的坐标是________．
【答案】（0，－4）
【分析】利用在y轴上的点的坐标特点，横坐标为，即可求解．
【详解】解：∵点在y轴上，∴＝0，
∴，∴点P的坐标是，故答案为：
【点睛】本题考查了坐标轴上点的坐标特征，熟记在轴上的点，纵坐标等于0；在轴上的点，横坐标等于0是解题的关键．
15．（2022·吉林·长春市八年级阶段练习）长方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，若AD＝10，点B的坐标为（﹣6，6），则点C的坐标为______．
【答案】（4，6）
【分析】由题意易得BCAD，则点B与点C的纵坐标相等，然后根据两点距离公式可进行求解．
【详解】解：在长方形ABCD中，BCAD，
∴点B与点C的纵坐标相等，设点C(x,3)，
∵AD＝10，∴BC＝10，∴x= 6+10=4，∴C（4，6）；故答案为：（4，6）．
【点睛】本题主要考查坐标与图形，熟练掌握求一个点的坐标是解题的关键．
16．（2022·河南信阳·七年级期末）已经点在平面直角坐标系的第四象限，则m的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据第四象限点的特征，横坐标为正，纵坐标为负，即可得出答案．
【详解】解：由题意得，，，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了根据平面直角坐标系中象限中点的特征求参数的取值范围，熟练掌握第四象限点的特征是本题的关键．
17．（2022·河北）已知点P、Q的坐标分别为、，若点P在第二、四象限的角平分线上，点Q在第一、三象限的角平分线上，则的值为________．
【答案】8
【分析】由题意根据一、三象限的角平分线上各点的横纵坐标相等以及第二、四象限的角平分线上各点的横纵坐标互为相反数求解即可．
【详解】解：∵点P 在第二、四象限的角平分线上，∴．解得：．
∵点Q在第一、三象限的角平分线上，
∴．解得：．所以．故答案为：8．
【点睛】本题主要考查的是坐标与图象的性质，注意明确一、三象限的角平分线上各点的横纵坐标相等；第二、四象限的角平分线上各点的横纵坐标互为相反数是解题的关键．
18．（2022·山东济宁·七年级期末）在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x，y轴的距离中的最大值等于点Q到x，y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”． 例如P(1，3)，Q(3，2)两点即为“等距点”．若T1(－1，－k－3)，T2(4，4k－3)两点为“等距点”，则k的值为______．
【答案】1或2##2或1
【分析】由等距点的定义对4k-3分类讨论，求出不同情况下的k值即可．
【详解】∵(4，4k-3)到x轴的距离为，到y轴的距离为4，
若，即，则有解得k=-7或k=1，
∵k=-7不合题意，舍去，∴k=1，若，即或，则，
解得：k=0，或k=2，∵k=0不合题意，舍去，∴k=2，综上，k的值为1或2，故答案为：1或2．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系的知识，属于阅读理解类型题目，关键是要读懂题目里定义的“等距点”．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·吉林吉林·七年级期末）已知：在平面直角坐标系中，点M的坐标为．
(1)①若点M在x轴上，求a的值；②直接写出点M能否为原点．
(2)若轴，并且点N 的坐标为． ①求点M 的坐标；②求线段的长．
(3)若点M到x轴的距离为2，直接写出点M的坐标．
【答案】(1)①；②不能(2)①；②6 (3)或
【分析】对于（1）①，根据在x轴上的点的纵坐标为0，求出a即可；②根据横，纵坐标都为0，判断即可；对于（2）①，根据点M，N的纵坐标相同求出a，即可得出答案；②根据横坐标的差的绝对值即为两个点（纵坐标相同）之间的距离解答即可；
对于（3），点M到x轴的距离是2，即为点M的纵坐标为±2，分两种情况计算即可．
（1）∵点M在x轴上，∴点的纵坐标为0，即． 解得；
②不能．当，；当，.所以点M不能为原点；
（2）∵轴，∴点M和点N的纵坐标相等．
即． 解得．∴点M的坐标为；
∵点N的坐标为，点M的坐标为，∴；
（3）或．∵点M到x轴的距离是2，
∴或，解得或，∴点M的坐标是（7，2）或（3，-2）．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系内点的坐标的确定，掌握平面直角坐标系内坐标轴上点的特征，平行于坐标轴的点的特征是解题的关键．
20．（2022·海南鑫源高级中学八年级期中）已知：点P．试分别根据下列条件，求出P点的坐标．(1)点P在y轴上；(2)点P在x轴上；(3)点P的横坐标比纵坐标大1．
【答案】(1)(0，-3)(2)(6，0)(3)( 4， 5)
【分析】（1）根据y轴上的点横坐标为零解答即可；（2）根据x轴上的点纵坐标为零解答即可；
（3）根据点P的横坐标大于纵坐标大1，列方程解答即可．
（1）∵点P在y轴上，∴2m+4=0，解得：m= 2，∴m 1= 3，则P点坐标为(0，-3)；
（2）∵点P在x轴上，∴m 1=0，解得：m=1，∴2m+4=6，则P点坐标为(6，0)；
（3）∵点P的横坐标大于纵坐标大1，∴m 1=(2m+4)-1，解得：m= 4，
∴2m+4= 4，m 1= 5，则P点坐标为( 4， 5)．
【点睛】本题主要考查了坐标轴上点的特征，根据坐标特点列一元一次方程是解题的关键．
21．（2022·甘肃平凉·七年级期末）如图为某中学新校区分布图的一部分，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，若教学楼的坐标为，图书馆的坐标为，解答下列问题：
(1)在图中找到坐标系中的原点，并建立平面直角坐标系；(2)若体育馆的坐标为，食堂的坐标为，请在图中标出体育馆和食堂的位置，并求出教学楼到体育馆的距离（1格=150米）．
【答案】(1)见解析(2)体育馆和食堂的位置见解析；教学楼到体育馆的距离为750米
【分析】（1）根据点A的坐标即可确定原点的位置；
（2）由（1）可直接标出C，D的位置，进而即可求解．
（1）解：根据点A、B的坐标，确定原点O，建立平面直角坐标系，如图所示：
（2）体育馆和食堂的位置如上图所示，教学楼到体育馆的距离为5×150＝750（米）．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系的应用，关键是要能根据已知点的坐标确定原点的位置，然后才能标出其他点的坐标．
22．（2022·四川泸州·七年级期末）已知点A（－4，－3），B（2，－3），C（3，1），D（－3，1）．
(1)在图中描出A，B，C，D四点；(2)连接AB，CD，试判断AB与CD的位置关系和数量关系；
(3)连接AD，BC，求四边形ABCD的面积．
【答案】(1)见解析(2)，AB＝CD(3)24
【分析】（1）利用点的坐标的定义描点即可；（2）根据A、B坐标特征得到，AB平行于x轴；根据C、D坐标特征得到，CD平行于x轴，从而可得到AB与CD的位置关系和数量关系；
（3）如图，连接BD，根据即可求出四边形ABCD的面积．
（1）如图所示：
（2）如图，∵A（－4，－3），B（2，－3），C（3，1），D（－3，1），
∴，AB∥x轴，，CD∥x轴，∴，AB＝CD；
（3）如图，连接BD，．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质及求三角形面积，能够利用点的坐标求图形的边长及面积是解题关键．
23．（2022·辽宁大连·七年级期中）（1）建立平面直角坐标系xOy；（2）画出点；（3）画x轴正半轴上点C，使线段OC的长度等于．（保留作图痕迹）．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）根据平面直角坐标系的定义建立即可；（2）在平面直角坐标系上描出点A，B的坐标即可；（3）以点（1,0）为圆心，1为半径在x轴上画半圆，过点（1,0）做垂线，交半圆上一点D，连接OD，以点O为圆心，OD为半径，画弧交x轴一点C，点C即为所求 ．
【详解】（1）如图所示，下图即为所求：
（2）如图所示，下图即为所求：
（3）如图所示，下图即为所求：
【点睛】本题考查了平面直角坐标系的建立，在平面直角坐标系中描点，无理数在数轴上的表示，掌握无理数用数轴上的点表示方法是解题的难点．
24．（2022·安徽·合肥市八年级期中）如图，有一张图纸被损坏，上面两个标志点A（－2，3），B（－2，－2）清晰，而主要建筑标志点C（0，2）破损，
(1)请建立直角坐标系并确定图中C点的位置；(2)△ABC是否为直角三角形？请证明．
(3)若l是AB的垂直平分线，1与BC交于M点，连接AM，求△ABM的周长．
【答案】(1)画图见解析(2)是，证明见解析(3)
【分析】（1）根据点B，A的坐标，建立平面直角坐标系，即可；（2）根据勾股定理可得，，，再由勾股定理逆定理，即可求解；
（3）连接AM，根据线段垂直平分线的性质可得AM=BM，在中，由勾股定理可得BM的长，即可求解．
（1）解：根据题意，建立平面直角坐标系，如下图：
（2）解：是直角三角形，证明如下：
∵，，，
∴，∴△ABC是直角三角形；
（3）解：如图，连接AM，∵l是AB的垂直平分线，∴AM=BM，
由（2）得：∠ACB=90°，，设AM=x，则BM=x， ∴，
在中，，
∴，解得：或（舍去），即，
∴△ABM的周长为．
【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理与网格图，勾股定理的逆定理，线段垂直平分线的性质，熟练掌握勾股定理及其勾股定理的逆定理，线段垂直平分线的性质是解题的关键，是中考的常考题．
25．（2022·辽宁沈阳·八年级期末）如图，长方形OABC的OA边在x轴上，OC边在y轴上，，，在边AB上取一点E，使沿CE折叠后，点B落在x轴上，记作点D．
(1)请直接写出点A的坐标 、点C的坐标 和点B的坐标 ；
(2)求点D的坐标；(3)请直接写出点E的坐标．
【答案】(1)(15，0)、(0，9)、(15，9)；(2)(12，0)；(3)(15，4)．
【分析】(1)根据矩形的性质即可解决问题；
(2)根据折叠的性质和勾股定理即可得OD的长，进而可得点D的坐标；
(3)根据折叠的性质和勾股定理即可得DE的长，进而可得点E的坐标．
(1)∵四边形OABC是矩形，∴BC＝OA＝15，BA＝OC＝9，
∴点A的坐标(15，0)、点C的坐标(0，9)和点B的坐标(15，9)；
故答案为：(15，0)、(0，9)、(15，9)；
(2)由折叠可知：CD＝CB＝15，在Rt△OCD中，根据勾股定理，
得OD＝＝＝12，∴点D的坐标(12，0)；
(3)在Rt△AED中，AD＝OA﹣OD＝15﹣12＝3，AE＝AB﹣BE＝9﹣BE＝9﹣DE，
根据勾股定理，得AD2+AE2＝DE2，∴32+（9﹣DE）2＝DE2，解得DE＝5，
∴AE＝9﹣DE＝4，∴点E的坐标为(15，4)．
【点睛】本题考查了折叠问题，矩形的性质，勾股定理，坐标与图形变化﹣对称，解决本题的关键是掌握折叠的性质．
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.（2022·广西南宁·七年级期末）下列点的坐标中，位于第三象限的是（ ）
A．（6，﹣4） B．（5，2） C．（﹣3，﹣6） D．（﹣3，4）
【答案】C
【分析】根据平面直角坐标系中，第三象限内的点的横、纵坐标均小于0即可得．
【详解】解：在平面直角坐标系中，第三象限内的点的横、纵坐标均小于0，
观察四个选项可知，只有选项C符合，
故选：C．
【点睛】本题考查了点所在的象限，熟练掌握平面直角坐标系中，第三象限内的点的横、纵坐标均小于0是解题关键．
2．（2022·湖北·浠水县七年级期中）若点P（m＋3，m＋1）在x轴上，则点P的坐标为（ ）
A．（0，－2） B．（2，0） C．（4，0） D．（0，－4）
【答案】B
【分析】根据x轴上点的纵坐标为0可知m+1=0，解出m的值，将m的值代入点P的横坐标即可．
【详解】解：∵点P在x轴上，∴m+1=0，解得：m=-1，
把m=-1代入m＋3得：-1+3=2，∴P(2，0)，故选：B
【点睛】本题主要考查了坐标轴上点的坐标特征，掌握“x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0”是解题的关键．
3．（2022·河北·保定八年级期末）在平面直角坐标系内有一点，若点到轴的距离为3，到轴的距离为1．且点在第二象限，则点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答．．
【详解】解：点到轴的距离为3，到轴的距离为1．且点在第二象限，
所以横坐标为，纵坐标为3，∴A．故选B．
【点睛】本题考查了点到坐标轴的距离，第二象限点的坐标特征，掌握各象限点的坐标特征是解题的关键．
4．（2022·河南·郑州市八年级期末）下列说法正确的是（　　）
A．已知点M（2，﹣5），则点M到x轴的距离是2
B．若点A（a﹣1，0）在x轴上，则a＝0
C．点A（﹣1，2）关于x轴对称的点坐标为（﹣1，﹣2）
D．点C（﹣3，2）在第一象限内
【答案】C
【分析】分别根据坐标系中点的坐标到坐标轴的距离；在x轴上的点的纵坐标为零；关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；各个象限上的点的坐标符号逐一判断即可．
【详解】解：A．已知点M（2，-5），则点M到x轴的距离是|-5|=5，故本选项不合题意；
B．若点A（a-1，0）在x轴上，则a可以是全体实数，故本选项不合题意；
C．点A（-1，2）关于x轴对称的点坐标为（-1，-2），故本选项符合题意；
D．C（-3，2）在第二象限内，故本选项不合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了关于x轴对称的点的坐标以及点的坐标，掌握平面直角坐标系中的点的坐标特点是解答本题的关键．
5．（2022·广西河池·七年级期末）平面直角坐标系中，点位于第一象限，且点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为横坐标的绝对值，结合点M在第一象限进行求解即可．
【详解】解：∵点位于第一象限，且点到两坐标轴的距离相等，
∴，∴，
∴，∴点M的坐标为（5，5），故选C．
【点睛】本题主要考查了点到坐标轴的距离，第一象限点的坐标特点，熟知相关知识是解题的关键．
6．（2022·吉林延边·七年级期末）象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“馬”和“車”的点坐标分别为（4，3），（-2，1），则表示棋子“炮”的点的坐标为（ ）
A．（2，3） B．（1，3） C．（1，2） D．（2，3）
【答案】B
【分析】根据棋子“馬”和“車”的点的坐标分别为（4，3），（-2，1），进而得出原点在帅的位置，进而得出答案．
【详解】解：如图所示：以帅的位置为原点建立平面直角坐标系，
则棋子“炮”的点的坐标为（1，3）．故选：B．
【点睛】本题主要考查了坐标确定位置，根据“馬”和“車”的点的坐标正确确定原点的位置是解题关键．
7．（2022·河南郑州·七年级期末）在平面直角坐标系中，有两点，若轴，则A，B两点间的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】利用与x轴平行的直线上点的坐标特征得到a-3=-2，求出a得到A、B点的坐标，然后计算它们的横坐标之差得到A、B两点间的距离．
【详解】解：∵轴，∴A点和B点的纵坐标相等，
即a-3=-2，解得a=1，∴A（3，-2），B（4，-2），
∴A、B两点间的距离为4-3=1．故选：A．
【点睛】本题考查了平面内点的位置的确定，平行于坐标轴的点的特点，两点之间的距离，理解平行于坐标轴的线段上点的特点是解题关键．
8．（2022·山东临沂·七年级期末）在平面直角坐标系中，点P的坐标为，则点P所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根据平方数非负数判断出点P的横坐标是正数，再根据各象限内点的坐标特征解答．
【详解】解：∵，∴，∴点P的横坐标是正数，
∴点P(，－2) 所在的象限是第四象限．故选D．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（－，+）；第三象限（－，－）；第四象限（+，－）．
9．（2022·广西南宁·八年级期中）如图，x轴、y轴上分别有两点A(3，0)、B(0，2)，以点A为圆心，AB为半径的弧交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（ ）
A．(﹣1，0) B．(2，0) C．(3，0) D．(3，0)
【答案】D
【分析】根据勾股定理求得AB，然后根据图形推知AC＝AB，则OC＝AC﹣OA，所以由点C位于x轴的负半轴来求点C的坐标．
【详解】解：如图，∵A（3，0）、B（0，2），∴OA＝3，OB＝2，
∴在直角△AOB中，由勾股定理得AB．
又∵以点A为圆心，AB为半径的弧交x轴负半轴于点C，
∴AC＝AB＝，∴OC＝AC﹣OA3．
又∵点C在x轴的负半轴上，∴C（3，0）．故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，坐标与图形的性质．解题时，注意点C位于x轴的负半轴，所以点C的横坐标为负数．
10．（2022·新疆·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（4，2），点P在坐标轴上，若以P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（ ）个．
A．5 B．6 C．8 D．9
【答案】C
【分析】分别以点O、A为圆心，以OA的长度为半径画弧，与坐标轴的交点即为所求的点P的位置．
【详解】解：如图，以点O、A为圆心，以OA的长度为半径画弧与坐标轴有6个交点，OA的垂直平分线与坐标轴的交点有2个，
综上所述，满足条件的点P有8个．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质，利用数形结合的思想求解更简便．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·吉林·长春市八年级阶段练习）长方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，若AD＝10，点B的坐标为（﹣6，6），则点C的坐标为______．
【答案】（4，6）
【分析】由题意易得BCAD，则点B与点C的纵坐标相等，然后根据两点距离公式可进行求解．
【详解】解：在长方形ABCD中，BCAD，∴点B与点C的纵坐标相等，
设点C(x,3)，∵AD＝10，∴BC＝10，∴x= 6+10=4，∴C（4，6）；故答案为：（4，6）．
【点睛】本题主要考查坐标与图形，熟练掌握求一个点的坐标是解题的关键．
12．（2022·四川广安·七年级期末）若点M(2-a，3a+6)在坐标轴上，则点M的坐标是__________________
【答案】（0，12）或（4，0）##（4，0）或（0，12）
【分析】根据轴上的点的坐标特征分类讨论进行求解即可．
【详解】解：若点M(2-a，3a+6)在轴上， 解得，，，
若点M(2-a，3a+6)在轴上，，解得，，．
故答案为：（0，12）或（4，0）．
【点睛】本题考查了坐标轴上的点的坐标特征，掌握x轴上的点的纵坐标为0，y轴上的点的横坐标为0，是解题的关键．
13．（2022·福建·七年级期中）点A到x轴的距离是_______，A到y轴的距离是____．
【答案】 7 5
【分析】根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答．
【详解】点A(5,-7)到x轴的距离是；到y轴的距离是5．
故答案为7；5．
【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．解答时，注意不要将x、y的距离搞混淆了而出现错误．
14．（2022·福建厦门·七年级期末）若点在y轴上，则点P的坐标是________．
【答案】（0，－4）
【分析】利用在y轴上的点的坐标特点，横坐标为，即可求解．
【详解】解：∵点在y轴上，
∴＝0，∴，∴点P的坐标是，故答案为：
【点睛】本题考查了坐标轴上点的坐标特征，熟记在轴上的点，纵坐标等于0；在轴上的点，横坐标等于0是解题的关键．
15．（2022·辽宁大连·七年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，为原点，点，点在轴上，若三角形的面积为（平方单位），则点的坐标为_______．
【答案】或
【分析】设点的坐标为，分两种情况：①若点在轴的正半轴上，则；②若点在轴的负半轴上，则．分别构建方程求解即可．
【详解】解：设点的坐标为，
∵点，三角形的面积为，∴，
①若点在轴的正半轴上，则，∴，解得：，∴点的坐标为；
①若点在轴的负半轴上，则，∴，解得：，∴点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】本题考查坐标与图形，涉及点到坐标轴的距离，两点间的距离，三角形的面积．解题的关键是用分类讨论的思想思考问题，利用参数构建方程解决问题．
16．（2021·福建·城郊中学七年级期中）已知点A（）在第二象限角平分线上，则a的值是___．
【答案】-2
【分析】根据点A在角平分线上可知，点A到两个坐标的距离是相等的；第二象限的点，横坐标小于0，纵坐标大于0，综合可得A点的横纵坐标之和为0，据此列方程即可求解．
【详解】∵点A(-3+a,2a+9)在第二象限的角平分线上，
∴-3+a+2a+9＝0，
∴a＝ 2．
故答案为： 2．
【点睛】此题是坐标与图形性质的题，主要考查了象限角平分线上点的特点，解本题的关键是掌握了象限角平分线上点的特点．
17．（2022·河南信阳·七年级期末）已经点在平面直角坐标系的第四象限，则m的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据第四象限点的特征，横坐标为正，纵坐标为负，即可得出答案．
【详解】解：由题意得，，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了根据平面直角坐标系中象限中点的特征求参数的取值范围，熟练掌握第四象限点的特征是本题的关键．
18．（2022·山东济宁·七年级期末）在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x，y轴的距离中的最大值等于点Q到x，y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”． 例如P(1，3)，Q(3，2)两点即为“等距点”．若T1(－1，－k－3)，T2(4，4k－3)两点为“等距点”，则k的值为______．
【答案】1或2##2或1
【分析】由等距点的定义对4k-3分类讨论，求出不同情况下的k值即可．
【详解】∵(4，4k-3)到x轴的距离为，到y轴的距离为4，
若，即，
则有
解得k=-7或k=1，
∵k=-7不合题意，舍去，
∴k=1，
若，即或，
则，
解得：k=0，或k=2，
∵k=0不合题意，舍去，
∴k=2，
综上，k的值为1或2，
故答案为：1或2．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系的知识，属于阅读理解类型题目，关键是要读懂题目里定义的“等距点”．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·河南·上蔡县第六初级中学八年级阶段练习）如图，六边形ABCDE在平面直角坐标系内．
(1)写出点A、B、C、D、E、F的坐标：A______、B______、C______、D______、E______、F______．
(2)六边形ABCDEF的面积为_________．
【答案】(1)（2，3）、（-2，3）、（-4，0）、（-3，-3）、（2，-3）、（3，0） (2)34.5
【分析】（1）根据图形直接写出点的坐标即可；
（2）利用割补法，求出包含六边形的大正方形的面积减去其周围四个小直角三角形的面积的差值即可求解．
（1）解：由图可知，A（2，3）、B（-2，3）、C（-4，0）、D（-3，-3）、E（2，-3）、F（3，0），
故答案为：（2，3）、（-2，3）、（-4，0）、（-3，-3）、（2，-3）、（3，0）；
（2）解：由图知，六边形ABCDEF的面积为
．
故答案为：34.5．
【点睛】本题考查点的坐标、网格中求图形的面积，会利用割补法求解不规则图形的面积是解答的关键．
20．（2020·安徽·马鞍山中加双语学校八年级阶段练习）已知：点Q的坐标（2a，3a－1）．
(1)若点Q在第三象限，且到两坐标轴的距离之和为16，求点Q的坐标．
(2)若点Q到两坐标轴的距离相等，求点Q的坐标．
【答案】(1)
(2)或，．
【分析】（1）根据第三象限的横坐标和纵坐标均为负数，并根据点到两坐标轴的距离之和为16列方程求出的值即可得出点的坐标；
（2）根据点到坐标轴的距离相等，那么点的横纵坐标相等或互为相反数解答即可．
（1）
解：点在第三象限，
，，
又据点到两坐标轴的距离之和为16，
，
即，
解得，
，，
故点的坐标为；
（2）
解：点到两坐标轴的距离相等，
，
或，
解得或，
当时，，，
当时，，，
点或，．
【点睛】此题主要考查了点的坐标性质，解题的关键是掌握点到坐标轴的距离相等，那么点的横纵坐标相等或互为相反数．
21．（2022·湖南常德·八年级期末）如图是某中学的校区平面示意图（一个方格的边长代表1个单位长度），若在平面示意图中建立平面直角坐标系，使旗杆的位置为，实验室的位置为．
(1)画出相应的平面直角坐标系；(2)用坐标表示位置：食堂 ，图书馆 ；
(3)已知办公楼的位置是，教学楼的位置是，在图中分别标出办公楼和教学楼相对应的两点的位置．
【答案】(1)见解析
(2)，
(3)见解析
【分析】（1）根据题意给出的旗杆的位置为，实验室的位置为直接画出图即可；
（2）根据（1）图可直接得；
（3）根据已给坐标标出即可．
（1）
根据题意可画如下图：
（2）
由（1）图可知，
食堂的坐标为，
图书馆的坐标为；
故答案为：；．
（3）
根据题意可得，画如上图．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系，解决本题的关键是正确的找到坐标轴的位置．
22．（2022·四川·富顺第一中学校七年级期中）已知：点，解答下列各题：
(1)若P在x轴上，则点P的坐标为 ；
(2)若，且轴，则点P的坐标为 ；
(3)若P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)2019
【分析】（1）根据轴上的点的纵坐标等于0可得，解方程可得，由此即可得；
（2）根据轴可得点的横坐标相等，建立方程可求出的值，由此即可得；
（3）先根据点在第二象限可得，再根据点到轴、轴的距离相等可得，解方程可得的值，然后代入计算即可得．
（1）
解：点在轴上，
，
解得，
，
，
故答案为：．
（2）
解：轴，且，，
，
解得，
，
，
故答案为：．
（3）
解：点在第二象限，
，
点到轴、轴的距离相等，
，即，
解得，
．
【点睛】本题考查了点的坐标、点到坐标轴的距离等知识点，熟练掌握点的坐标特征是解题关键．
23．（2022·陕西渭南·七年级期末）已知点P（8-2m，m-1）．
(1)若点在轴上，求的值．
(2)若点在第一象限，且到两坐标轴的距离相等，求点的坐标．
【答案】(1)m=1；
(2)P（2，2）．
【分析】（1）直接利用x轴上点的坐标特点得出m-1=0，进而得出答案；
（2）直接利用点P到两坐标轴的距离相等得出等式求出答案．
（1）
解：∵点P（8-2m，m-1）在x轴上，
∴m-1=0，
解得：m=1；
（2）
解：∵点P在第一象限，且到两坐标轴的距离相等，
∴8-2m=m-1，
解得：m=3，
∴P（2，2）．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系内点的特点及点到坐标轴的距离等知识点．根据点的位置特点及到坐标轴的距离列出方程是解题的关键．
24．（2022·河北邯郸·八年级期末）已知点，分别根据下列条件求出点P的坐标．
(1)点P在x轴上；
(2)点P在y轴上；
(3)点P到x轴、y轴的距离相等．
【答案】(1)
(2)
(3)或（-4，4）
【分析】（1）根据x轴上点的纵坐标为0列方程求出a，再求解即可；
（2）根据y轴上点的横坐标为0列方程求出a的值，再求解即可；
（3）根据点到x轴、y轴的距离，点的横坐标与纵坐标相等或互为相反数列出方程求出a的值，再求解即可．
（1）
解：∵点，在x轴上，
∴，
解得：，
故，
则；
（2）
∵点，在轴上，
∴，
解得：，
故，
则；
（3）
∵点P到x轴、y轴的距离相等，
∴或，
解得：，，
故当则：，，
则；
故当则：，，
则．
综上所述：或（-4，4）．
【点睛】本题考查了点的坐标，熟记坐标轴上点的坐标特征是解题的关键，难点在于（3）分两种情况．
25．（2022·吉林吉林·七年级期末）已知：在平面直角坐标系中，点M的坐标为．
(1)①若点M在x轴上，求a的值；②直接写出点M能否为原点．
(2)若轴，并且点N 的坐标为．
①求点M 的坐标；
②求线段的长．
(3)若点M到x轴的距离为2，直接写出点M的坐标．
【答案】(1)①；②不能
(2)①；②6
(3)或
【分析】对于（1）①，根据在x轴上的点的纵坐标为0，求出a即可；②根据横，纵坐标都为0，判断即可；
对于（2）①，根据点M，N的纵坐标相同求出a，即可得出答案；②根据横坐标的差的绝对值即为两个点（纵坐标相同）之间的距离解答即可；
对于（3），点M到x轴的距离是2，即为点M的纵坐标为±2，分两种情况计算即可．
（1）
∵点M在x轴上，
∴点的纵坐标为0，
即．
解得；
②不能．当，；当，.
所以点M不能为原点；
（2）
∵轴，
∴点M和点N的纵坐标相等．
即．
解得．
∴点M的坐标为；
∵点N的坐标为，点M的坐标为，
∴；
（3）
或．
∵点M到x轴的距离是2，
∴或，
解得或，
∴点M的坐标是（7，2）或（3，-2）．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标的确定，掌握平面直角坐标系内坐标轴上点的特征，平行于坐标轴的点的特征是解题的关键．
26．（2022·陕西安康·七年级期末）已知点．
(1)点A与点的连线与轴平行，求点A的坐标．
(2)若的平方根是，试判断点A所在的象限，并说明理由．
【答案】(1)点A的坐标为（2，5）；
(2)点A在第一象限．理由见解析
【分析】（1）根据与y轴平行的直线上任意两点横坐标相等列出方程2a－6=2，求出a，进而得到点A的坐标；
（2）根据a的平方根是±3求出a，得到点A的坐标，即可判断点A所在的象限．
（1）
解：根据题意，可得2a－6=2，
解得a=4，
则a+1=4+1=5，
所以点A的坐标为（2，5）；
（2）
解：点A在第一象限，理由如下：
∵a的平方根是±3，
∴a=9，
∴2a－6=2×9－6=12，a+1=9+1=10，
∴点A的坐标为（12，10），
∴点A在第一象限．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，平面直角坐标系中点的特点，平方根；熟练掌握平面直角坐标系中与坐标轴平行的直线上点的特点是解题的关键．
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专题4.2 平面直角坐标系
模块1：学习目标
1、认识并能画出平面直角坐标系；
2、在给定的直角坐标系中，会根据坐标描出点的位置，由点的位置写出它的坐标。
3.理解平面直角坐标系的相关概念（横轴、纵轴、原点、坐标等）；
4.会用象限或坐标轴说明直角坐标系内点的位置，能根据横纵坐标的符号确定点所在象限；
5.能够根据图形建立适当的平面直角坐标系，表示图形上的点的坐标；
模块2：知识梳理
1．平面直角坐标系：两条互相垂直的共原点数轴组成．水平的数轴叫做横轴（x轴），取向右为正方向；竖直的数轴叫做纵轴（y轴），取向上为正方向；两轴公共的原点为坐标原点．
注意：同一数轴上的单位长度是一样的，一般情况下两轴上的单位长度也相同．
2．点的坐标：如下图，由点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足A在x轴上的坐标是a，垂足B在y轴上的坐标是b，则点P的坐标为，其中a为点P的横坐标，b为点P的纵坐标．
3．象限和坐标轴：
（1）第一象限内的点的坐标满足：，；
（2）第二象限内的点的坐标满足：，；
（3）第三象限内的点的坐标满足：x＜0，；
（4）第四象限内的点的坐标满足：，.
（5）x轴上的点的坐标满足：；
（6）y轴上的点的坐标满足：；
（7）一、三象限角平分线的点的坐标满足：；
（7）二、四象限角平分线的点的坐标满足：；
注意：两条坐标轴上的点不属于任何一个象限．
4．点到特殊直线（点）的距离：
（1）点到x轴的距离为； 到直线（与x轴平行的直线）的距离为；
（2）点到y轴的距离为； 到直线（与y轴平行的直线）的距离为；
（3）点到原点的距离为。
模块3：核心考点与典例
考点1. 判断点的象限
例1．（2022·宁夏·吴忠市第二中学七年级期中）在平面直角坐标系中，点P（3，-7）位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
变式1．（2022·河北·石家庄市第二十二中学八年级阶段练习）下列坐标中，在第二象限的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·山东临沂·七年级期末）在平面直角坐标系中，点P的坐标为，则点P所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
考点2. 坐标轴上的点的特征
例2．（2022·四川广安·七年级期末）若点M(2-a，3a+6)在坐标轴上，则点M的坐标是__________
变式1．（2022·吉林·八年级期末）若点（4a﹣1，a＋2）在x轴上，则a＝_____．
变式2．（2022·福建厦门·七年级期末）若点在y轴上，则点P的坐标是________．
考点3. 点到坐标轴的距离
例3．（2023·福建·七年级期中）点A到x轴的距离是_______，A到y轴的距离是____．
变式1．（2022·海南·七年级期中）若点到y轴的距离为2，且，则点P的坐标为（ ）
A． B．或 C． D．或
考点4. 平行（垂直）于坐标轴的点的特征
例1．（2022·黑龙江绥化·七年级期末）已知点和点，若轴，且，则的值为______．
变式1．（2022·广西贵港·八年级期末）在平面直角坐标系中，已知直线轴，点的坐标为，和两点之间的距离为5，则点的坐标为_______．
变式2．（2022·福建厦门·七年级期末）在平面直角坐标系中，点A（1，3），B（－2，－1），C（x，y），若AC∥y轴，则线段BC的最小值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
考点5. 坐标确定点的位置
例5．（2022·江苏·八年级专题练习）“健步走”越来越受到人们的喜爱．一个健步走小组将自己的活动场地定在奥林匹克公园〔路线：森林公园—玲珑塔—国家体育场—水立方），如图假设在奥林匹克公园设计图上规定玲珑塔的坐标为，森林公园的坐标为，则终点水立方的坐标为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2022·广西百色·八年级期末）如图所示的象棋盘上，若“帅”位于点．“马”位于点，则位于原点位置的是（ ）
A．炮 B．兵 C．相 D．车
考点6. 图形中的坐标问题
例6.（2022·广西南宁·八年级期中）如图，x轴、y轴上分别有两点A(3，0)、B(0，2)，以点A为圆心，AB为半径的弧交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（ ）
A．(﹣1，0) B．(2，0) C．(3，0) D．(3，0)
变式1．（2022·河南郑州·八年级期末）如图所示，把长方形放在直角坐标系中，使、分别落在x轴、y轴上，点C的坐标为，将沿翻折，使C点落在该坐标平面内的D点处，交x轴于点E．则点D的坐标为________．
模块四：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·辽宁·兴城市七年级期中）在平面直角坐标系中，点P（3，-6）位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2022·河南·郑州八年级期末）下列说法正确的是（　　）
A．已知点M（2，﹣5），则点M到x轴的距离是2 B．若点A（a﹣1，0）在x轴上，则a＝0
C．点A（﹣1，2）关于x轴对称的点坐标为（﹣1，﹣2） D．点C（﹣3，2）在第一象限内
3．（2022·山东七年级期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，3），点B的坐标为（3，﹣3），则线段AB的位置特征为（　　）
A．与x轴平行 B．与y轴平行
C．在第一、三象限的角平分线上 D．在第二、四象限的角平分线上
4．（2022·辽宁鞍山·七年级期中）点P位于x轴下方，y轴左侧，距离x轴4个单位长度，距离y轴2个单位长度，那么点P的坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·湖北·浠水县兰溪镇兰溪初级中学七年级期中）若点P（m＋3，m＋1）在x轴上，则点P的坐标为（ ）
A．（0，－2） B．（2，0） C．（4，0） D．（0，－4）
6．（2022·四川八年级阶段练习）在直角坐标系中，点A（﹣m，m﹣1）在第二象限则点B（﹣m﹣2，m﹣4）的位置是（ ）
A．在第一或二象限 B．在第二或三象限 C．在第三或四象限 D．在第一或四象限
7．（2022·河北·保定市清苑区北王力中学八年级期末）在平面直角坐标系内有一点，若点到轴的距离为3，到轴的距离为1．且点在第二象限，则点坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·广西河池·七年级期末）平面直角坐标系中，点位于第一象限，且点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·山西阳泉·七年级期中）定义：平面内的直线与相交于点O，对于该平面内任意一点M，点M到直线、的距离分别为a、b，则称有序非负实数对是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”为的点的个数有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2022·山东滨州·七年级期末）已知点，若直线轴，点P在x轴的负半轴上，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·福建厦门·七年级期末）若点在y轴上，则点P的坐标是________．
12．（2022·山西吕梁·七年级期末）如图是某公园的平面示意图的一部分．在此图中，若音乐台的坐标为，牡丹园的坐标为．则游乐园的坐标为_________．
13．（2022·山东菏泽·七年级期末）已知点是平面直角坐标系内的点，点在第一象限，且到两坐标轴的距离之和为16，则的值______．
14．（2022·福建厦门·七年级期末）若点在y轴上，则点P的坐标是________．
15．（2022·吉林·长春市八年级阶段练习）长方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，若AD＝10，点B的坐标为（﹣6，6），则点C的坐标为______．
16．（2022·河南信阳·七年级期末）已经点在平面直角坐标系的第四象限，则m的取值范围是______．
17．（2022·河北）已知点P、Q的坐标分别为、，若点P在第二、四象限的角平分线上，点Q在第一、三象限的角平分线上，则的值为________．
18．（2022·山东济宁·七年级期末）在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x，y轴的距离中的最大值等于点Q到x，y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”． 例如P(1，3)，Q(3，2)两点即为“等距点”．若T1(－1，－k－3)，T2(4，4k－3)两点为“等距点”，则k的值为______．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·吉林吉林·七年级期末）已知：在平面直角坐标系中，点M的坐标为．
(1)①若点M在x轴上，求a的值；②直接写出点M能否为原点．
(2)若轴，并且点N 的坐标为． ①求点M 的坐标；②求线段的长．
(3)若点M到x轴的距离为2，直接写出点M的坐标．
20．（2022·海南鑫源高级中学八年级期中）已知：点P．试分别根据下列条件，求出P点的坐标．(1)点P在y轴上；(2)点P在x轴上；(3)点P的横坐标比纵坐标大1．
21．（2022·甘肃平凉·七年级期末）如图为某中学新校区分布图的一部分，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，若教学楼的坐标为，图书馆的坐标为，解答下列问题：(1)在图中找到坐标系中的原点，并建立平面直角坐标系；(2)若体育馆的坐标为，食堂的坐标为，请在图中标出体育馆和食堂的位置，并求出教学楼到体育馆的距离（1格=150米）．
22．（2022·四川泸州·七年级期末）已知点A（－4，－3），B（2，－3），C（3，1），D（－3，1）．
(1)在图中描出A，B，C，D四点；(2)连接AB，CD，试判断AB与CD的位置关系和数量关系；
(3)连接AD，BC，求四边形ABCD的面积．
23．（2022·辽宁大连·七年级期中）（1）建立平面直角坐标系xOy；（2）画出点；（3）画x轴正半轴上点C，使线段OC的长度等于．（保留作图痕迹）．
24．（2022·安徽·合肥市八年级期中）如图，有一张图纸被损坏，上面两个标志点A（－2，3），B（－2，－2）清晰，而主要建筑标志点C（0，2）破损，
(1)请建立直角坐标系并确定图中C点的位置；(2)△ABC是否为直角三角形？请证明．
(3)若l是AB的垂直平分线，1与BC交于M点，连接AM，求△ABM的周长．
25．（2022·辽宁沈阳·八年级期末）如图，长方形OABC的OA边在x轴上，OC边在y轴上，，，在边AB上取一点E，使沿CE折叠后，点B落在x轴上，记作点D．
(1)请直接写出点A的坐标 、点C的坐标 和点B的坐标 ；
(2)求点D的坐标；(3)请直接写出点E的坐标．
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.（2022·广西南宁·七年级期末）下列点的坐标中，位于第三象限的是（ ）
A．（6，﹣4） B．（5，2） C．（﹣3，﹣6） D．（﹣3，4）
2．（2022·湖北·浠水县七年级期中）若点P（m＋3，m＋1）在x轴上，则点P的坐标为（ ）
A．（0，－2） B．（2，0） C．（4，0） D．（0，－4）
3．（2022·河北·保定八年级期末）在平面直角坐标系内有一点，若点到轴的距离为3，到轴的距离为1．且点在第二象限，则点坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·河南·郑州市八年级期末）下列说法正确的是（　　）
A．已知点M（2，﹣5），则点M到x轴的距离是2
B．若点A（a﹣1，0）在x轴上，则a＝0
C．点A（﹣1，2）关于x轴对称的点坐标为（﹣1，﹣2）
D．点C（﹣3，2）在第一象限内
5．（2022·广西河池·七年级期末）平面直角坐标系中，点位于第一象限，且点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·吉林延边·七年级期末）象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“馬”和“車”的点坐标分别为（4，3），（-2，1），则表示棋子“炮”的点的坐标为（ ）
A．（2，3） B．（1，3） C．（1，2） D．（2，3）
7．（2022·河南郑州·七年级期末）在平面直角坐标系中，有两点，若轴，则A，B两点间的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2022·山东临沂·七年级期末）在平面直角坐标系中，点P的坐标为，则点P所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．（2022·广西南宁·八年级期中）如图，x轴、y轴上分别有两点A(3，0)、B(0，2)，以点A为圆心，AB为半径的弧交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（ ）
A．(﹣1，0) B．(2，0) C．(3，0) D．(3，0)
10．（2022·新疆·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（4，2），点P在坐标轴上，若以P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（ ）个．
A．5 B．6 C．8 D．9
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·吉林·长春市八年级阶段练习）长方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，若AD＝10，点B的坐标为（﹣6，6），则点C的坐标为______．
12．（2022·四川广安·七年级期末）若点M(2-a，3a+6)在坐标轴上，则点M的坐标是__________________
13．（2022·福建·七年级期中）点A到x轴的距离是_______，A到y轴的距离是____．
14．（2022·福建厦门·七年级期末）若点在y轴上，则点P的坐标是________．
15．（2022·辽宁大连·七年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，为原点，点，点在轴上，若三角形的面积为（平方单位），则点的坐标为_______．
16．（2021·福建·城郊中学七年级期中）已知点A（）在第二象限角平分线上，则a的值是___．
17．（2022·河南信阳·七年级期末）已经点在平面直角坐标系的第四象限，则m的取值范围是______．
18．（2022·山东济宁·七年级期末）在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x，y轴的距离中的最大值等于点Q到x，y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”． 例如P(1，3)，Q(3，2)两点即为“等距点”．若T1(－1，－k－3)，T2(4，4k－3)两点为“等距点”，则k的值为______．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·河南·上蔡县第六初级中学八年级阶段练习）如图，六边形ABCDE在平面直角坐标系内．
(1)写出点A、B、C、D、E、F的坐标：A______、B______、C______、D______、E______、F______．
(2)六边形ABCDEF的面积为_________．
20．（2020·安徽·马鞍山中加双语学校八年级阶段练习）已知：点Q的坐标（2a，3a－1）．
(1)若点Q在第三象限，且到两坐标轴的距离之和为16，求点Q的坐标．
(2)若点Q到两坐标轴的距离相等，求点Q的坐标．
21．（2022·湖南常德·八年级期末）如图是某中学的校区平面示意图（一个方格的边长代表1个单位长度），若在平面示意图中建立平面直角坐标系，使旗杆的位置为，实验室的位置为．
(1)画出相应的平面直角坐标系；(2)用坐标表示位置：食堂 ，图书馆 ；
(3)已知办公楼的位置是，教学楼的位置是，在图中分别标出办公楼和教学楼相对应的两点的位置．
22．（2022·四川·富顺第一中学校七年级期中）已知：点，解答下列各题：
(1)若P在x轴上，则点P的坐标为 ；
(2)若，且轴，则点P的坐标为 ；
(3)若P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的值．
23．（2022·陕西渭南·七年级期末）已知点P（8-2m，m-1）．
(1)若点在轴上，求的值．
(2)若点在第一象限，且到两坐标轴的距离相等，求点的坐标．
24．（2022·河北邯郸·八年级期末）已知点，分别根据下列条件求出点P的坐标．
(1)点P在x轴上；
(2)点P在y轴上；
(3)点P到x轴、y轴的距离相等．
25．（2022·吉林吉林·七年级期末）已知：在平面直角坐标系中，点M的坐标为．
(1)①若点M在x轴上，求a的值；②直接写出点M能否为原点．
(2)若轴，并且点N 的坐标为．
①求点M 的坐标；
②求线段的长．
(3)若点M到x轴的距离为2，直接写出点M的坐标．
26．（2022·陕西安康·七年级期末）已知点．
(1)点A与点的连线与轴平行，求点A的坐标．
(2)若的平方根是，试判断点A所在的象限，并说明理由．
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