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专题5.3 一元一次方程的解法
模块1：学习目标
1、掌握移项法则的依据，会在解方程的过程中正确运用；
2、正确理解和使用去括号法则，并能解含括号的一元一次方程；
3、掌握解一元一次方程中“去分母”的方法，掌握含分母的一元一次方程的解法，并归纳解一元一次方程的步骤。
模块2：知识梳理
1.合并同类项解一元一次方程
（1）合并同类项：将同类项合并在一起的过程。 方法：1）合并同类项；2）系数化为1
2.移项解一元一次方程
（1）移项：①我们发现，利用等式两边同加或同减一个数（式子），等式不变的性质，可以将方程化为同类项在同一边的情形（即未知数在一边，数值在另一边）。同时，我们还发现，在这个化简的过程中，实际就是把一项移到了另一边，并变号的过程。
②移项：把等式一边的项变号后移动到另一边的过程。（注：整体移动，整体变号）
（2）解一元一次方程的步骤：①移项（将同类项移动到同一侧）；②合并同类项；③将未知数的系数化为1。
3.去括号
去括号：在解方程的过程中，将方程中含有的括号去掉的过程。
方法：与整式的运算中去括号的过程一样（注：整体去括号）
顺序：先去小括号，再去中括号，最后去大括号（由内向外，有时为了简化计算，可视情况而定）
去括号原则：括号前是“—”号时，去括号后，括号里面的每一项都要变号。
4.去分母
1）两边同乘最小公倍数，以去分母。
2）步骤：①确定最小公倍数；②两边同乘最小公倍数，去分母。
3）去分母原则：等式两边同乘分母的最小公倍数，必须保证每一项都乘最小公倍数（包括整数项）
模块3：核心考点与典例
考点1、解一元一次方程（1）--移项与合并同类项
例1．（2022·韶关市浈江区东鹏中学）下列方程移项正确的是（ ）
A．移项，得 B．移项，得
C．移项，得 D．移项，得
【答案】D
【分析】根据移项要变号对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、4x-2=-5移项，得4x=-5+2，故本选项错误；
B、4x-2=-5移项，得4x=-5+2，故本选项错误；
C、3x+2=4x移项，得3x-4x=-2，故本选项错误；
D、3x+2=4x移项，得3x-4x=-2，故本选项正确．故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，注意移项要变号．
变式1．（2022·福建福州·）解方程3m﹣5＝2m时，移项将其变形为3m﹣2m＝5的依据是________．
【答案】等式的基本性质1
【分析】解方程3m=5+2m时，“移项”将其变形为3m-2m=5的依据是等式的基本性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式．
【详解】解：依据等式的基本性质1，
等号的两边同时减2m加5得3m-2m=5．
故答案为：等式的基本性质1．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，要熟练掌握，注意等式的性质的应用．
变式2.（2022.成都市初一期中）解下列方程
(1) (2)－5x+6+7x＝1+2x－3+8x
【解析】解：(1)移项，得．
合并，得．
系数化为1，得m＝－10．
(2)移项，得－5x+7x－2x－8x＝1－3－6．
合并，得－8x＝－8．
系数化为1，得x＝1．
【点评】方法规律：解较简单的一元一次方程的一般步骤：
(1)移项：即通过移项把含有未知数的项放在等式的左边，把不含未知数的项(常数项)放在等式的右边． (2)合并：即通过合并将方程化为ax＝b(a≠0)． (3)系数化为1：即根据等式性质2：方程两边都除以未知数系数a，即得方程的解．
考点2、解一元一次方程（2）--去括号
例2.（2022·重庆初一课时练习）解方程：，步骤如下：
①去括号，得．
②移项，得．
③合并同类项，得．
④系数化为1，得．
经检验，不是原方程的解，说明解题过程有错误，其中做错的一步是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【分析】根据解一元一次方程的方法找出错误的过程即可．
【解析】第②步2x从方程右边移到左边时没有变号，错误．故选B．
【点睛】本题考查了解一元一次方程的问题，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．
变式1.（2022.广东七年级期末）解方程：
【思路点拨】方程中含有括号，应先去括号再移项、合并、系数化为1，从而解出方程．
【解析】（1）去括号得：
移项合并得：
解得：
（2）去括号得：
移项合并得：
解得：
【点评】去括号时，要注意括号前面的符号，括号前面是“+”号，不变号；括号前面是“－”，各项均变号．
变式2.（2022.湖北七年级期末）解方程：
【解析】
解法1：先去小括号得：
再去中括号得：
移项，合并得：
系数化为1，得：
解法2：两边均乘以2，去中括号得：
去小括号，并移项合并得：，解得：
解法3：原方程可化为：
去中括号，得
移项、合并，得
解得
【点评】解含有括号的一元一次方程时，一般方法是由内到外或由外到内逐层去括号，但有时根据方程的结构特点，灵活恰当地去括号，以使计算简便．例如本题的方法3：方程左、右两边都含(x－1)，因此将方程左边括号内的一项x变为(x－1)后，把(x－1)视为一个整体运算．
考点3、解一元一次方程（3）--去分母
例3．（2022·重庆市七年级月考）解方程，去分母，得（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】去分母的方法是方程左右两边同时乘以分母的最小公倍数，注意分数线的括号的作用，并注意不能漏乘．
【详解】解：方程两边同时乘以6得．故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，解方程的过程就是一个方程变形的过程，变形的依据是等式的基本性质，变形的目的是变化成x=a的形式．在去分母的过程中注意分数线起到括号的作用，并注意不能漏乘没有分母的项．
变式1．（2022·江苏七年级专题练习）小明解一道一元一次方程的步骤如下
解：
以上个步骤中，其依据是等式的性质有（ ）
A．①②④ B．②④⑥ C．③⑤⑥ D．①②④⑥
【答案】B
【分析】判断每一步的依据，即可得到答案．
【详解】解：①的依据为分数的性质，
②的依据为等式的性质，
③是去括号，
④的依据为等式的性质，
⑤是合并同类项，
⑥的依据为等式的性质，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法的依据，熟练掌握运算法则是解题的关键．
变式2．（2022·浙江杭州·七年级期末）解方程
（1） （2）
（3） （4）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
（3）方程先变形，再去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
（4）方程先变形，再去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
【详解】解：（1），
去分母，得：，
去括号，得：，
移项合并，得：，
系数化为1，得：；
（2），
去分母，得：，
去括号，得：，
移项合并，得：，
系数化为1，得：；
（3）方程变形得：，
去分母，得：，
去括号，得：，
移项合并，得：，
系数化为1，得：；
（4）方程变形得：，
去分母，得：，
去括号，得：，
移项合并，得：，
系数化为1，得：．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
考点4、一元一次方程中的同解问题
例4．（2022·河南南阳·七年级期中）（1）取何值时，代数式与的值互为相反数？
（2）取何值时，关于的方程和的解相同？
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值；
（2）根据题意列出方程，求出方程的解即可得到k的值．
【详解】解：（1）由题意，得，
解得，
答：当时，代数式与的值互为相反数；
（2），
，
，
解得，
方程和的解相同，
把代入得，
解得，
答：当时，关于的方程和的解相同．
【点睛】此题考查解一元一次方程，涉及到相反数的性质，同解方程的概念等知识点，熟练掌握一元一次方程的解法是解本题的关键．
变式1．（2022·山东七年级期末）若方程3x+5＝11的解也是关于x的方程6x+3a＝22的解．则a的值为（　　）
A． B． C．﹣6 D．﹣8
【答案】A
【分析】求出第一个方程的解得到x的值，将x的值代入第二个方程计算即可求出a的值．
【详解】解：方程3x+5＝11，解得：x＝2，
将x＝2代入6x+3a＝22，得：12+3a＝22，解得：a＝ ．故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，熟练掌握使方程左右两边同时成立的未知数的值就是方程的解是解题的关键．
变式2．（2022·河南）若方程与关于的方程的解互为相反数，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先分别求出两个方程的解，然后根据两个方程的解互为相反数即可计算得到答案.
【详解】解：∵∴解得
∵，∴解得
∵与的解互为相反数，
∴，解得，.故选A.
【点睛】本题考查了解一元一次方程、相反数的定义，解题的关键在于能够准确解出两个方程的解.
考点5、一元一次方程中的错解与遮挡问题
例5．（2022·浙江）某同学在解关于x的方程时，误将看成了，得到方程的解为，则a的值为（ ）
A．3 B． C．2 D．1
【答案】B
【分析】把x＝2代入看错的方程计算即可求出a的值．
【详解】解：把x＝2代入方程5a＋x＝13得：5a+2＝13，解得：a＝，故选：B．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
变式1．（2022·河南·郑州外国语中学七年级期末）小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是： x - 3 = 2（x + 1）- ，怎么办呢？小明想了想，便翻看书后答案，此方程的解是 x = -5 ，于是很快就补好了这个常数，他补出的这个常数是____．
【答案】
【分析】设这个常数为a，将x=－5代入方程中求解关于a的方程即可．
【详解】解：设这个常数为a，将x=－5代入方程中得：×(－5)－3=2（－5+1）－a，
解得：a=，故答案为：．
【点睛】本题考查方程的解、解一元一次方程，理解方程的解是解答的关键．
变式2．（2022·湖南衡阳·七年级期末）关于的方程，★处被盖住了一个数字，已知方程的解是，那么*处的数字是（ ）
A．－1 B．－17 C．15 D．17
【答案】D
【分析】把x=5代入已知方程，可以列出关于★的方程，通过解该方程可以求得★处的数字．
【详解】解：将x=5代入方程，得：3（★-9）=25-1，
解得：★=17，即★处的数字是17，故选：D．
【点睛】此题考查的是一元一次方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．
考点6、一元一次方程中的整体换元问题
例6．（2022·河南驻马店·七年级期中）已知关于的一元一次方程的解是，那么关于的一元一次方程的解是_________．
【答案】
【分析】根据两个方程的特点，第二个方程中的y+1相当于第一个方程中的x，据此即可求解．
【详解】∵，
∴．
∵关于x的一元一次方程的解是x=71，
∴关于(y+1)的一元一次方程的解为：y+1=71，
解得：y=70，故答案为：y=70．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，理解两个方程之间的特点是解题的关键．
变式1．（2022·江西景德镇·七年级期末）若是关于的方程的解，则关于的方程的解为______．
【答案】
【分析】将代入方程 可得，进而代入即可得到，根据等式的性质即可求得答案．
【详解】解：将代入方程，
，整理得，
则，
，解得，
故答案为．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解及等式的性质，熟练掌握等式两边相同未知数前面系数相等是解题的关键．
变式2．（2022·河南）已知关于x的一元一次方程x﹣3＝2x+b的解为x＝999，那么关于y的一元一次方程（y﹣1）﹣3＝2（y﹣1）+b的解为y＝_____．
【答案】1000
【分析】根据两个方程的关系：第二个方程中的y+1相当于第一个方程中的x，据此即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元一次方程x﹣3＝2x+b的解为x＝999，
∴关于y的一元一次方程（y﹣1）﹣3＝2（y﹣1）+b中y﹣1＝999，解得：y＝1000，故答案为：1000．
【点睛】此题考查解一元一次方程，利用整体思想，将第二个方程中的y+1看作第一个方程中的x是解题的关键．
变式3．（2022·山西忻州市·七年级期末）阅读材料，完成任务．
七年级同学在学完解一元一次方程后，已掌握了一元一次方程的一般解法，有同学发现在一元一次方程的部分习题和练习题中，存在着许多解题技巧，只要在解题中注重研究其结构特点和特殊规律，巧妙地运用某些基本性质、法则，就可以达成“一点通”的效果．小明是一名喜欢动脑筋的学生，在解方程时，不是直接给方程去括号，而是假设，然后把方程变形为：
，
，
．
，
解，得．
上面的问题中利用新的未知量来代替原来的未知量，求出新的未知量后，再利用其替代原来的未知量，从而得以求解，这种解方程的方法叫做换元法．
任务：参照材料中的解题方法解方程．
【答案】x=-4
【分析】根据题示的方法，设7-2x=a，将原方程转化为关于a的方程求解即可．
【详解】解：
设7-2x=a，则原方程变形为：
∴
解得，a=15
即7-2x=15，
解得，x=-4
【点睛】本题考查了换元法解方程．换元法的一般步骤为：设元，换元，解元，还原．
考点7、一元一次方程的新定义问题
例7．（2022·湖南七年级期末）规定：用{}表示大于的最小整数，如{2.6}=3，{7}=8，{}=，用[]表示不大于的最大整数，例如：[]=2，[]=，[]=．如果整数满足关系式2[]{}=29，那么=______．
【答案】
【分析】根据题意可将化为，解出即可．
【详解】解：由题意，得，，
∴可化为
合并同类项，得 解得： 故答案为：-8．
【点睛】本题结合新定义考查解一元一次方程的知识，比较新颖，注意仔细地审题理解新定义的含义．
变式1．（2022·浙江·余姚市高风中学七年级期中）若规定，两数通过“”运算得，如
(1)求的值；(2)求中的的值；
【答案】(1)90(2)
【分析】（1）根据新规定的运算直接代入计算即可；
（2）根据新规定的运算得出关于x的方程，解方程可得答案．
（1）解：由题意得：；
（2）解：由题意得：，
整理得：，解得：．
【点睛】本题考查了新定义，有理数的混合运算，解一元一次方程，正确理解新定义是解题的关键．
变式2．（2022·河南·七年级课时练习）已知关于x的一元一次方程ax+b＝0（其中a≠0，a、b为常数），若这个方程的解恰好为x＝a﹣b，则称这个方程为“恰解方程”，例如：方程2x+4＝0的解为x＝﹣2，恰好为x＝2﹣4，则方程2x+4＝0为“恰解方程”．
(1)已知关于x的一元一次方程3x+k＝0是“恰解方程”，则k的值为 　 　；
(2)已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，且解为x＝n（n≠0）．求m，n的值；
(3)已知关于x的一元一次方程3x＝mn+n是“恰解方程”．求代数式3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n的值．
【答案】(1)(2)m＝﹣3，n＝﹣(3)-9
【分析】（1 ）利用“恰解方程”的定义，得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出k的值；
（2 ）解方程﹣2x＝mn+n得出x＝﹣（mn+n），由﹣2x＝mn+n是“恰解方程”得出x＝﹣2+mn+n，再结合x＝n，即可求出m，n的值；（ 3）根据“恰解方程”的定义得出mn+n＝，把3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n化简后代入计算即可．
（1）解：（1 ）解方程3x+k＝0得：x＝﹣，
∵3x+k＝0是“恰解方程”，∴x＝3﹣k，
∴﹣＝3﹣k，解得：k＝；
（2）解：解方程﹣2x＝mn+n得：x＝﹣（mn+n），
∵﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，∴x＝﹣2+mn+n，
∴﹣（mn+n）＝﹣2+mn+n，∴3mn+3n＝4，
∵x＝n，∴﹣2+mn+n＝n，∴mn＝2，
∴3×2+3n＝4，解得：n＝﹣，
把n＝﹣代入mn＝2得：m×（﹣）＝2，解得：m＝﹣3；
（3）解：解方程3x＝mn+n得：x＝，
∵方程3x＝mn+n是“恰解方程”，
∴x＝3+mn+n，∴＝3+mn+n，∴mn+n＝，
∴3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n＝3mn+6m2﹣3n﹣6m2﹣mn+5n＝2mn+2n＝2（mn+n）
＝2×（）＝﹣9．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，理解“恰解方程”的定义是解题的关键．
考点8、根据解的情况求参数值
例8．（2022·上海杨浦·八年级期中）当m取___ 时，关于 x的方程mx+m＝2x无解．
【答案】2
【分析】由一元一次方程无解的条件确定出a的值，先移项、合并同类项，最后再依据未知数的系数为0求解即可．
【详解】解：移项得：mx﹣2x＝﹣m，合并同类项得：（m﹣2）x＝﹣m．
∵关于 x的方程mx+m＝2x无解，∴m﹣2＝0．解得：m＝2．答案为：2．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
变式1．（2022·上海市八年级期中）如果关于的方程有解，那么实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据方程有解确定出a的范围即可．
【详解】解：∵关于的方程有解，∴，∴；故选：D．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解，弄清方程有解的条件是解本题的关键．
变式2．（2022·江阴市周庄中学七年级月考）已知方程（a＋1）x＋2＝0的解是正整数时，整数a取值为_________________.
【答案】-2或-3
【分析】先解含a的方程，用a表示x，根据方程的解是正整数，求出a的值.
【详解】解：（a＋1）x＋2＝0 x= ，
∵方程的解是正整数，∴-(a+1)=1或-(a+1)=2，∴a=-2或a=-3故答案为：-2或-3
【点睛】本题考查的是利用方程解的条件确定字母系数的取值问题，根据解的特征得到含a的方程是解答此题的关键.
变式3．（2022·沙坪坝·重庆一中）已知关于x的方程的解为偶数，则整数a的所有可能的取值的和为（ ）
A．8 B．4 C．7 D．-2
【答案】A
【分析】首先将该方程的解表示出来，然后根据该方程的解为偶数，分情况进行讨论即可．
【详解】系数化1得，，移项得，，
合并同类项得，，解得，，
∵该方程的解为偶数，∴为偶数，∵，∴或，
①当时，，，，，，，
②当时，，，，，，，
综上所述，可取3,1，7，-3，∴a的所有可能的取值的和为，3+1+7-3=8，故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，偶数的概念等知识，解题的关键是分或两种情况进行讨论．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：60分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·吉林长春·七年级期末）解方程2（2x+1）＝x，以下去括号正确的是（　　）
A．4x+1＝x B．4x+2＝x C．2x+1＝x D．4x﹣2＝x
【答案】B
【分析】根据乘法分配律先将2乘进去即可．
【详解】解：去括号得：4x+2＝x．故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解题步骤是解答本题的关键．去括号时，一是注意不要漏乘括号内的项，二是明确括号前的符号．
2．（2022·黑龙江大庆·期末）关于x的方程的解是的解的2倍，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别表示出两个方程的解，根据解的关系列出方程，求出方程的解即可得到m的值．
【详解】解：方程4x-2m=3x-1，
解得：x=2m-1，
方程x=2x-3m，
解得：x=3m，
根据题意得：2m-1=6m，
解得：m=-．故选：C．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
3．（2022·陕西长安区·七年级期末）关于方程与的解相同，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【分析】可以把3y看作一个整体，由题意可知两个方程的解相同，即可求出k的值．
【详解】解：∵
∴解得
又∵与同解
∴把代入得
解得故选C.
【点睛】本题主要考查了两个一元一次方程同解的问题，由已知条件把本题转换成含k的一元一次方程是解题的关键．
4．（2022·江苏九年级专题练习）小明在解关于x的一元一次方程 时，误将看成了，得到的解是x＝1，则原方程的解是（ ）
A． B． C． D．x＝1
【答案】C
【分析】误将看成了，得到的解是x＝1，即的解为x＝1，从而可求a的值，将a的值代入，即可求解．
【详解】解：由的解为x=1可得，，解得a=，
将a=代入得，，解得．故选：C．
【点睛】本题考查一元一次方程的解法，解题的关键是求出字母a的值．
5．（2022·河北路南·初三学业考试）阅读下列解方程的过程，此过程从上一步到所给步有的产生了错误，则其中没有错误的（　　）
解方程：
①；
②；
③；
④．
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【分析】利用分数的基本性质可判断①，利用等式的基本性质可判断②，
利用去括号的法则可判断③，利用移项，合并同类项可判断④．
【解析】解：
故第①错误，
①；
故第②正确，
②；
故第③错误，
③；
故第④错误．故选B．
【点睛】本题考查解一元一次方程的基本步骤，掌握解方程时每一步的注意事项是解题的关键．
6．（2022·河南南阳·七年级期中）我们把 称为二阶行列式，且 =，如=－=－10．若=6，则的值为（ ）
A．8 B．－2 C．2 D．－5
【答案】D
【分析】根据二阶行列式的定义列式得一个关于m的一元一次方程，求出m的值即可．
【详解】根据题意得=-4m-2×7，
∵=6，∴-4m-2×7=6，解得m=-5．故选：D
【点睛】本题考查了利用定义新运算解一元一次方程，解题的关键是读懂题意，正确的列方程．
7．（2022·河南郑州·七年级期末）轩轩在数学学习中遇到一个有神奇魔力的“数值转换机”，按如图所示的程序计算，若开始输入的值x为正整数，最后输出的结果为41，则满足条件的x值最多有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据题意可知，若输入x，则输出3x－1，又分两种情况考虑，大于20，输出答案；否则重新输入，根据题意可建立方程求得结果．
【详解】解：根据题意知，输入x，则直接输出3x－1，则
当3x－1＝41时，x＝14；当3x－1＝14时，x＝5；当3x－1＝5时，x＝2；当3x－1＝2时，x＝1．
∵x为正整数，因此符合条件的一共有4个数，分别是14，5，2，1．故选：D．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解法，根据题意，列出相应的方程并掌握一元一次方程的解
法是解题的关键．
8．（2022·长沙市七年级月考）阅读：关于x方程ax=b在不同的条件下解的情况如下：（1）当a≠0时，有唯一解x=；（2）当a=0，b=0时有无数解；（3）当a=0，b≠0时无解．请你根据以上知识作答：已知关于x的方程 a= ﹣ （x﹣6）无解，则a的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．a≠1
【答案】A
【详解】要把原方程变形化简，去分母得：2ax=3x﹣（x﹣6）， 去括号得：2ax=2x+6，移项，合并得，x=，因为无解，所以a﹣1=0，即a=1．故选A．
点睛：此类方程要用字母表示未知数后，清楚什么时候是无解，然后再求字母的取值．
9．（2022·重庆巴南·七年级期末）从，，，1，2，4中选一个数作为的值，使得关于的方程的解为整数，则所有满足条件的的值的积为（ ）
A． B． C．32 D．64
【答案】D
【分析】通过去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1，用含k的式子表示x，再根据条件，得到满足条件的k值，进而即可求解．
【详解】由，解得：，
∵关于的方程的解为整数，
∴满足条件的的值可以为：，，2，4，∴()×()×2×4=64，故选D．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的解法，把k看作常数，掌握解一元一次方程的步骤，是解
10．（2022·重庆·七年级阶段练习）下列结论：
①若关于x的方程的解是，则；
②若，则关于x的方程的解为；
③若，且，则一定是方程的解．其中正确的结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】根据方程解的定义即可得出答案．
【详解】解：把x=1代入方程得：a+b=0，∴①符合题意；
∵ax+b=0，∴ax=b，∵a≠0，∴x=，∵b=2a，∴x=2，∴②不符合题意；
∵把x=1代入方程ax+b=1一定有a+b=1成立，∴③符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程解的定义，理解一元一次方程的解的定义是解决问题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11.（2022·湖北七年级期中）马小虎计算一个数乘以5，再加24，由于粗心，把乘号看成除号，加号看成减号，但得数是正确的．这道题的正确得数是__．
【答案】﹣26．
【分析】设这个数为x，则由题目中的得数相等列方程，即可求解．
【详解】设这个数为x，则由题意可列方程：5x+24＝x﹣24，
5x﹣x＝﹣24﹣24，＝﹣48，x＝﹣10，∴这个数为﹣10，
∴这道题的正确得数是：5×（﹣10）+24＝﹣26，故答案为：﹣26．
【点睛】本题考了一元一次 方程的运用，解题的关键是找准等量关系，列出一元一次方程．
12．（2022·浙江台州·七年级期末）若关于的方程与的解互为相反数，则的值为__________．
【答案】15
【分析】分别求出两个方程的解，根据解互为相反数，则可求得m的值．
【详解】解方程，得；
解方程，得
由题意得：
∴m=15
故答案为：15
【点睛】本题考查了解一元一次方程、相反数的应用等知识，根据相反数列出方程是解题的关键．
13．（2022·上海市建平实验中学八年级期末）关于x的方程的解是______．
【答案】
【分析】根据解一元一次方程得步骤计算即可．
【详解】，
移项，得，
合并同类项，得．
∵，
∴，
∴．
故答案是：．
【点睛】本题考查一元一次方程的解法．一般地，解一元一次方程的步骤是：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1．
14．（2022·山东济南·九年级专题练习）对于三个互不相等的有理数a，b，c，我们规定符号表示a，b，c三个数中较大的数，例如.按照这个规定则方程的解为__________．
【答案】
【分析】分时，时和时三种情况讨论，列出方程求解即可．
【详解】解：当时，，
即，解得（不符合题意，舍去）；
当时，，即，解得，
当时，，即，解得（不符合题意，舍去），
综上所述，，故答案为：．
【点睛】本题考查解一元一次方程．能结合的定义分情况讨论是解题关键．
15．（2022·浙江杭州市·七年级期末）已知关于x的一元一次方程点①与关于y的一元一次方程②，若方程①的解为，则方程②的解为______．
【答案】y=-673
【分析】根据题意得出-（3y-2）的值，进而得出答案．
【详解】解：∵关于x的一元一次方程①的解为x=2021，
∴关于y的一元一次方程②中-（3y-2）=2021，
解得：y=-673，故答案为：y=-673．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的解，正确得出-（3y-2）的值是解题关键．
16．（2022·福建仙游·初一月考）已知关于x的方程2a(x－1)＝(3－a)x+3b有无数多个解，那么ab＝________
【答案】
【解析】去括号，得：2ax-2a=（3-a）x+3b，移项、合并同类项得：（3a-3）x=2a+3b，
根据方程有无数多解，可得： ，解得：a=1，b=-，因此ab=-．故答案为：-.
17．（2022·浙江七年级期中）若是关于x的一元一次方程，且有唯一解，那么_______．
【答案】1.5
【分析】只含有一个未知数（元，并且未知数的指数是1（次的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是，是常数且．高于一次的项系数是0，据此可得出且，再用表示，代入原方程，即可得出的值．
【详解】解：方程是关于的一元一次方程，且有唯一解，则且，
因为，，把代入，得，
所以，，解得．故答案为：1.5．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．
18．（2022·河南安阳·七年级期末）关于x的方程的解是正整数，则整数k可以取的值是__________．
【答案】3
【分析】把含x的项合并，化系数为1求x，再根据x为正整数求整数k的值．
【详解】解：移项、合并，得，解得：，
∵x为正整数，k为整数，∴解得k=3．故答案为：3．
【点睛】本题考查一元一次方程的解．关键是按照字母系数解方程，再根据正整数解的要求求整数k的值．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·江西赣州市·七年级期末）已知关于x的方程，在解这个方程时，粗心的小琴同学误将看成了，从而解得，请你帮他求出正确的解．
【答案】
【分析】将的值代入，求出的值．再把的值代入方程，便可解出．
【详解】解：∵是的解，∴，解得，，
则原方程可化为：，解得，．即原方程的解是．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程．定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
20．（2022·河南南阳·七年级期中）在做解方程练习时，有一个方程“”题中●处不清晰，李明问老师，老师只是说：“●是一个有理数，该方程的解与方程的解相同”依据老师的提示，请你帮李明求出方程的解，并找到这个有理数．
【答案】方程的解是x=，这个有理数为
【分析】设■为a，先解出方程的解，代入，即可求出a的值，就是要求的有理数．
【详解】解：∵，
解得：x=，
∴y=x=，
■为a，则方程“”变为“”，
把y=代入得：，
解得：a=，
∴方程的解是x=，这个有理数为．
【点睛】本题考查了同解方程，理解同解方程的意义是解决问题的关键．
21．（2022·河南许昌·七年级期末）如果关于x的方程的解与关于x的方程的解互为相反数，求a的值．
【答案】
【分析】分别求出每个方程的解，然后根据相反数的性质得到关于a的一元一次方程，求解即可．
【详解】解：解方程，得，
解方程，得，
因为两个方程的解互为相反数，所以，
解得．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，根据相反数的性质得到新的方程是解题的关键．
22．（2022·广东七年级课时练习）解下列方程：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）利用移项法解方程即可；（2）利用去括号法解方程即可；
（3）利用去分母方法解方程即可；（4）利用去分母方法解方程即可．
【详解】解：（1），
移项，得．
合并同类项，得．
系数化为1，得；
（2），
去括号，得．
移项，得．
合并同类项，得．
系数化为1，得；
（3），
去分母，得．
去括号，得．
移项，得．
合并同类项，得．
系数化为1，得；
（4）
去分母，得．
去括号，得．
移项，得．
合并同类项，得．
系数化为1，得．
【点睛】本题考查一元一次方程的解法，掌握一元一次方程的解法与步骤，去分母，去括号移项，合并同类项，系数化1是解题关键．
23．（2022·天津和平·七年级期末）解下列方程：
（1）﹣2； （2）．
【答案】（1）x＝﹣1；（2）x＝﹣3．
【分析】（1）按解一元一次方程的一般步骤，求解即可；
（2）利用分数的基本性质，先化去分母，再解一元一次方程．
【详解】解：（1）去分母，得2（2x﹣1）﹣（5x+2）＝3（1﹣2x）﹣12，
去括号，得4x﹣2﹣5x﹣2＝3﹣6x﹣12，
移项，得4x﹣5x+6x＝3﹣12+2+2，
合并，得5x＝﹣5，
系数化为1，得x＝﹣1；
（2），
整理，得15.5+x﹣20﹣3x＝1.5，
移项，得x﹣3x＝1.5﹣15.5+20，
合并，得﹣2x＝6，
所以x＝﹣3．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的一般步骤是解决本题的关键．解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
24．（2022·河南七年级期中）把（其中、是常数，、是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”．当时，“雅系二元一次方程”中的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”，例如：当时，“雅系二元一次方程”化为，其“完美值”为．
（1）求“雅系二元一次方程”的“完美值”；（2）是“雅系二元一次方程”的“完美值”，求的值；（3）是否存在常数，使得“雅系二元一次方程”与的“完美值”相同？若存在，请直接写出的值及此时的“完美值”；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在这样的，的值为5，此时完美值为．
【分析】（1）由题意，可得式子，求出x即可；（2）由题意，可得式子，把代入即可求得m；（3）由题意，可分别求得“雅系二元一次方程”与的“完美值”，根据“完美值”相同即可求得n的值，从而可求得x的值．
【详解】（1）由已知可得，，解得，
∴“雅系二元一次方程”的“完美值”为；
（2）由已知可得，把代入中，得 ∴；
（3）存在 由题意可得：，即；，即 ，
则解得：n=5∴x=2∴的值为5，此时完美值为．
【点睛】本题考查二元一次方程的解，新定义，关键是理解题意，将所求问题转化为一元一次方程来解决．
25．（2022·河南）小明研究规律方程的时候遇到了下面一组方程：
①；②；③；④…
（1）请聪明的你帮小明写出一条这组规律方程的信息；（2）小明通过计算发现，第一个方程的解是，第二个方程的解为，因此他就大胆地推测出第三个方程的解为，并写出了第四个方程．请你验证一下小明的推测是否正确，如果正确，请你写出验证过程，并写出第四个方程；如果不正确，请说明理由；
（3）你能根据以上解决问题的经验直接写出符合上述规律，解为（为正整数，且）的方程吗？
【答案】（1）等号右边都是1；等号左边第二项的分母都是2；（2）正确，见解析，；（3）能，见解析，
【分析】（1）观察方程，可得出规律；（2）根据方程中每部分的数字与方程的解的关系即可直接写出方程，然后解方程即可；（3）根据方程中每部分的数字与方程的解的关系直接写出方程
【详解】解：（1）等号右边都是1；等号左边第二项的分母都是2（答案不唯一，答出一条即可））
（2）正确．验证如下：把代入到方程中，左边，
右边，所以是方程的解，小明的推测正确． 第四个方程为．
（3）（为正整数，且）．
【点睛】本题考查了学生的观察分析能力，理解方程中每部分的数字与方程的解的关系是解题的关键．
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专题5.3 一元一次方程的解法
模块1：学习目标
1、掌握移项法则的依据，会在解方程的过程中正确运用；
2、正确理解和使用去括号法则，并能解含括号的一元一次方程；
3、掌握解一元一次方程中“去分母”的方法，掌握含分母的一元一次方程的解法，并归纳解一元一次方程的步骤。
模块2：知识梳理
1.合并同类项解一元一次方程
（1）合并同类项：将同类项合并在一起的过程。 方法：1）合并同类项；2）系数化为1
2.移项解一元一次方程
（1）移项：①我们发现，利用等式两边同加或同减一个数（式子），等式不变的性质，可以将方程化为同类项在同一边的情形（即未知数在一边，数值在另一边）。同时，我们还发现，在这个化简的过程中，实际就是把一项移到了另一边，并变号的过程。
②移项：把等式一边的项变号后移动到另一边的过程。（注：整体移动，整体变号）
（2）解一元一次方程的步骤：①移项（将同类项移动到同一侧）；②合并同类项；③将未知数的系数化为1。
3.去括号
去括号：在解方程的过程中，将方程中含有的括号去掉的过程。
方法：与整式的运算中去括号的过程一样（注：整体去括号）
顺序：先去小括号，再去中括号，最后去大括号（由内向外，有时为了简化计算，可视情况而定）
去括号原则：括号前是“—”号时，去括号后，括号里面的每一项都要变号。
4.去分母
1）两边同乘最小公倍数，以去分母。
2）步骤：①确定最小公倍数；②两边同乘最小公倍数，去分母。
3）去分母原则：等式两边同乘分母的最小公倍数，必须保证每一项都乘最小公倍数（包括整数项）
模块3：核心考点与典例
考点1、解一元一次方程（1）--移项与合并同类项
例1．（2022·韶关市浈江区东鹏中学）下列方程移项正确的是（ ）
A．移项，得 B．移项，得
C．移项，得 D．移项，得
变式1．（2022·福建福州·）解方程3m﹣5＝2m时，移项将其变形为3m﹣2m＝5的依据是________．
变式2.（2022.成都市初一期中）解下列方程
(1) (2)－5x+6+7x＝1+2x－3+8x
考点2、解一元一次方程（2）--去括号
例2.（2022·重庆初一课时练习）解方程：，步骤如下：
①去括号，得．
②移项，得．
③合并同类项，得．
④系数化为1，得．
经检验，不是原方程的解，说明解题过程有错误，其中做错的一步是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
变式1.（2022.广东七年级期末）解方程：
变式2.（2022.湖北七年级期末）解方程：
考点3、解一元一次方程（3）--去分母
例3．（2022·重庆市七年级月考）解方程，去分母，得（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2022·江苏七年级专题练习）小明解一道一元一次方程的步骤如下
解：
以上个步骤中，其依据是等式的性质有（ ）
A．①②④ B．②④⑥ C．③⑤⑥ D．①②④⑥
变式2．（2022·浙江杭州·七年级期末）解方程
（1） （2）
（3） （4）
考点4、一元一次方程中的同解问题
例4．（2022·河南南阳·七年级期中）（1）取何值时，代数式与的值互为相反数？
（2）取何值时，关于的方程和的解相同？
变式1．（2022·山东七年级期末）若方程3x+5＝11的解也是关于x的方程6x+3a＝22的解．则a的值为（　　）
A． B． C．﹣6 D．﹣8
变式2．（2022·河南）若方程与关于的方程的解互为相反数，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
考点5、一元一次方程中的错解与遮挡问题
例5．（2022·浙江）某同学在解关于x的方程时，误将看成了，得到方程的解为，则a的值为（ ）
A．3 B． C．2 D．1
变式1．（2022·河南·郑州外国语中学七年级期末）小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是： x - 3 = 2（x + 1）- ，怎么办呢？小明想了想，便翻看书后答案，此方程的解是 x = -5 ，于是很快就补好了这个常数，他补出的这个常数是____．
变式2．（2022·湖南衡阳·七年级期末）关于的方程，★处被盖住了一个数字，已知方程的解是，那么*处的数字是（ ）
A．－1 B．－17 C．15 D．17
考点6、一元一次方程中的整体换元问题
例6．（2022·河南驻马店·七年级期中）已知关于的一元一次方程的解是，那么关于的一元一次方程的解是_________．
变式1．（2022·江西景德镇·七年级期末）若是关于的方程的解，则关于的方程的解为______．
变式2．（2022·河南）已知关于x的一元一次方程x﹣3＝2x+b的解为x＝999，那么关于y的一元一次方程（y﹣1）﹣3＝2（y﹣1）+b的解为y＝_____．
变式3．（2022·山西忻州市·七年级期末）阅读材料，完成任务．
七年级同学在学完解一元一次方程后，已掌握了一元一次方程的一般解法，有同学发现在一元一次方程的部分习题和练习题中，存在着许多解题技巧，只要在解题中注重研究其结构特点和特殊规律，巧妙地运用某些基本性质、法则，就可以达成“一点通”的效果．小明是一名喜欢动脑筋的学生，在解方程时，不是直接给方程去括号，而是假设，然后把方程变形为：
，
，
．
，
解，得．
上面的问题中利用新的未知量来代替原来的未知量，求出新的未知量后，再利用其替代原来的未知量，从而得以求解，这种解方程的方法叫做换元法．
任务：参照材料中的解题方法解方程．
考点7、一元一次方程的新定义问题
例7．（2022·湖南七年级期末）规定：用{}表示大于的最小整数，如{2.6}=3，{7}=8，{}=，用[]表示不大于的最大整数，例如：[]=2，[]=，[]=．如果整数满足关系式2[]{}=29，那么=______．
变式1．（2022·浙江·余姚市高风中学七年级期中）若规定，两数通过“”运算得，如
(1)求的值；(2)求中的的值；
变式2．（2022·河南·七年级课时练习）已知关于x的一元一次方程ax+b＝0（其中a≠0，a、b为常数），若这个方程的解恰好为x＝a﹣b，则称这个方程为“恰解方程”，例如：方程2x+4＝0的解为x＝﹣2，恰好为x＝2﹣4，则方程2x+4＝0为“恰解方程”．
(1)已知关于x的一元一次方程3x+k＝0是“恰解方程”，则k的值为 　 　；
(2)已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，且解为x＝n（n≠0）．求m，n的值；
(3)已知关于x的一元一次方程3x＝mn+n是“恰解方程”．求代数式3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n的值．
考点8、根据解的情况求参数值
例8．（2022·上海杨浦·八年级期中）当m取___ 时，关于 x的方程mx+m＝2x无解．
变式1．（2022·上海市八年级期中）如果关于的方程有解，那么实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·江阴市周庄中学七年级月考）已知方程（a＋1）x＋2＝0的解是正整数时，整数a取值为_________________.
变式3．（2022·沙坪坝·重庆一中）已知关于x的方程的解为偶数，则整数a的所有可能的取值的和为（ ）
A．8 B．4 C．7 D．-2
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：60分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·吉林长春·七年级期末）解方程2（2x+1）＝x，以下去括号正确的是（　　）
A．4x+1＝x B．4x+2＝x C．2x+1＝x D．4x﹣2＝x
2．（2022·黑龙江大庆·期末）关于x的方程的解是的解的2倍，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·陕西长安区·七年级期末）关于方程与的解相同，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
4．（2022·江苏九年级专题练习）小明在解关于x的一元一次方程 时，误将看成了，得到的解是x＝1，则原方程的解是（ ）
A． B． C． D．x＝1
5．（2022·河北路南·初三学业考试）阅读下列解方程的过程，此过程从上一步到所给步有的产生了错误，则其中没有错误的（　　）
解方程：
①；
②；
③；
④．
A．① B．② C．③ D．④
6．（2022·河南南阳·七年级期中）我们把 称为二阶行列式，且 =，如=－=－10．若=6，则的值为（ ）
A．8 B．－2 C．2 D．－5
7．（2022·河南郑州·七年级期末）轩轩在数学学习中遇到一个有神奇魔力的“数值转换机”，按如图所示的程序计算，若开始输入的值x为正整数，最后输出的结果为41，则满足条件的x值最多有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2022·长沙市七年级月考）阅读：关于x方程ax=b在不同的条件下解的情况如下：（1）当a≠0时，有唯一解x=；（2）当a=0，b=0时有无数解；（3）当a=0，b≠0时无解．请你根据以上知识作答：已知关于x的方程 a= ﹣ （x﹣6）无解，则a的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．a≠1
9．（2022·重庆巴南·七年级期末）从，，，1，2，4中选一个数作为的值，使得关于的方程的解为整数，则所有满足条件的的值的积为（ ）
A． B． C．32 D．64
10．（2022·重庆·七年级阶段练习）下列结论：
①若关于x的方程的解是，则；
②若，则关于x的方程的解为；
③若，且，则一定是方程的解．其中正确的结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11.（2022·湖北七年级期中）马小虎计算一个数乘以5，再加24，由于粗心，把乘号看成除号，加号看成减号，但得数是正确的．这道题的正确得数是__．
12．（2022·浙江台州·七年级期末）若关于的方程与的解互为相反数，则的值为__________．
13．（2022·上海市建平实验中学八年级期末）关于x的方程的解是______．
14．（2022·山东济南·九年级专题练习）对于三个互不相等的有理数a，b，c，我们规定符号表示a，b，c三个数中较大的数，例如.按照这个规定则方程的解为__________．
15．（2022·浙江杭州市·七年级期末）已知关于x的一元一次方程点①与关于y的一元一次方程②，若方程①的解为，则方程②的解为______．
16．（2022·福建仙游·初一月考）已知关于x的方程2a(x－1)＝(3－a)x+3b有无数多个解，那么ab＝________
17．（2022·浙江七年级期中）若是关于x的一元一次方程，且有唯一解，那么_______．
18．（2022·河南安阳·七年级期末）关于x的方程的解是正整数，则整数k可以取的值是__________．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·江西赣州市·七年级期末）已知关于x的方程，在解这个方程时，粗心的小琴同学误将看成了，从而解得，请你帮他求出正确的解．
20．（2022·河南南阳·七年级期中）在做解方程练习时，有一个方程“”题中●处不清晰，李明问老师，老师只是说：“●是一个有理数，该方程的解与方程的解相同”依据老师的提示，请你帮李明求出方程的解，并找到这个有理数．
21．（2022·河南许昌·七年级期末）如果关于x的方程的解与关于x的方程的解互为相反数，求a的值．
22．（2022·广东七年级课时练习）解下列方程：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
23．（2022·天津和平·七年级期末）解下列方程：
（1）﹣2； （2）．
24．（2022·河南七年级期中）把（其中、是常数，、是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”．当时，“雅系二元一次方程”中的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”，例如：当时，“雅系二元一次方程”化为，其“完美值”为．
（1）求“雅系二元一次方程”的“完美值”；（2）是“雅系二元一次方程”的“完美值”，求的值；（3）是否存在常数，使得“雅系二元一次方程”与的“完美值”相同？若存在，请直接写出的值及此时的“完美值”；若不存在，请说明理由．
25．（2022·河南）小明研究规律方程的时候遇到了下面一组方程：
①；②；③；④…
（1）请聪明的你帮小明写出一条这组规律方程的信息；（2）小明通过计算发现，第一个方程的解是，第二个方程的解为，因此他就大胆地推测出第三个方程的解为，并写出了第四个方程．请你验证一下小明的推测是否正确，如果正确，请你写出验证过程，并写出第四个方程；如果不正确，请说明理由；（3）你能根据以上解决问题的经验直接写出符合上述规律，解为（为正整数，且）的方程吗？
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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