资源简介

3.1.1 椭圆及其标准方程
【学习目标】
1.能通过实际绘制椭圆的过程,认识椭圆上点的几何特征，给出椭圆的定义；
2.能通过建立适当的坐标系，根据椭圆上的点满足的几何条件推导出椭圆的标准方程；
3.会求给定条件的椭圆方程.
【学习重点】
椭圆的标准方程的推导及求解
【学习难点】
椭圆的标准方程的推导
【学习过程】
【活动1】探究:椭圆的定义
实验材料：两个图钉，一根无弹性的细绳，一张纸板，一支铅笔，一把直尺.
方法步骤：1.细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点F1，F2；
2.套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖；
3.画出轨迹，测量并记录绳子的长度以及F1，F2两定点间的距离.
讨论：
问题1：画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足什么条件？
问题2：如果改变F1，F2两点间的距离，笔尖运动时形成的轨迹是否还为椭圆？
问题3：你能类比圆的定义用精确的数学语言给出椭圆、焦点、焦距的定义吗？
<学以致用1>
（1）若两定点A、B间的距离为6，动点M到A、B的距离之和为10，则动点M的轨迹是_________;
（2）若两定点A、B间的距离为10，动点P到A、B的距离之和为10，动点P的轨迹是_________;
（3）若两定点A、B间的距离为6，动点Q到A、B的距离之和为4，动点Q的轨迹是_________.
【活动2】推导椭圆的标准方程．
问题4：类比利用圆的标准方程的建立过程，你能根据椭圆的几何特征选择适当的坐标系，求出它的方程吗？
提示(1)建系：如图所示，以F1F2所在直线x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy.
(2)设点；(3)列式；(4)化简；(5)得出椭圆的标准方程.
问题5：椭圆方程中参数a，b，c之间的关系是什么？几何意义分别是什么？
问题6：椭圆的标准方程是如何定义的？(焦点在x轴上？焦点在轴上？)
<合作学习1>围绕问题4，小组研讨，展示评析：建立椭圆的标准方程步骤与关键点．
<学以致用2>
写出下列椭圆的及焦点坐标:
（1） （2）
<合作学习2>围绕练习运用2，小组研讨，展示评析：如何判断椭圆焦点在哪个轴上
【活动3】求椭圆的标准方程
<学以致用3>
椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点，求它的标准方程．
<合作学习3> 围绕练习运用2，独立思考后，同桌交流，展示评析：确立椭圆的标准方程的方法．
【活动4】求与椭圆有关的轨迹问题
<典例分析4>在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当点在圆上运动时，求线段的中点的轨迹是什么？为什么？
<学以致用4>1.若把上题中的“求线段的中点的轨迹是什么？”改为“求线段的三等分点（靠近点）的轨迹是什么？”结果会是怎样？
2.如图，DP⊥x轴，垂足为D，点M在DP的延长线上，且.当点P在圆上运动时，求点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状.
<典例分析5>如图，设，的坐标分别为，．直线，相交于点，且它们的斜率之积为，求点的轨迹方程．
<合作学习>针对例题，围绕以下问题，进行小组研讨：
一个动点与两个定点的连线的斜率之积是-1，则动点的轨迹是什么？
2.一个动点与两个定点的连线的斜率之积是不为-1的负常数，则动点的轨迹是什么？
(椭圆的第三定义)
<学以致用5>设，的坐标分别为(-1,0)，(1,0)．直线，相交于点，且它们的斜率的商是2，求点的轨迹方程．
二、课后作业：
1．动点到两定点的距离之和是8，则动点的轨迹是（ ）
A、椭圆 B、线段 C、直线 D、不确定
2.命题甲:动点P到两定点A,B的距离和(为常数).
命题乙:动点P的轨迹是椭圆.则甲是乙的( )
充分不必要条件 B、 必要不充分
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
3.“1A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.若方程3x2＋ky2＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则k的可能取值为(　　)
A.1 B.3 C.0 D.－2
5.已知椭圆＋＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则P到另一个焦点的距离为(　　)
A.1 B.4 C.3 D.2－2
6.设α∈(0，)，方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围为( 　　)
A.(0，] B.(，) C.(0，) D.[，)
7.设B(－4，0)，C(4，0)，且△ABC的周长等于18，则动点A的轨迹方程为(　 　)
A.＋＝1(y≠0) B.＋＝1(y≠0)
C.＋＝1(y≠0) D.＋＝1(y≠0)
8.已知圆，从这个圆的任意一点向轴作垂线，则线段的中点的轨迹方程（ ）
A. B.
C. D.
9.已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.
10.若椭圆＋＝1的焦点分别为F1，F2，椭圆上一点P满足∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是________.
11.写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点坐标分别为(0,-4),(0,4),a=5；
(2)a+c=10，a-c=4.
12.求与椭圆＋＝1有相同焦点，且过点(3，)的椭圆方程.
13.已知P是椭圆上的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，求点P的坐标.
14.设，的坐标分别为(-1,0)，(1,0)．直线，相交于点，且它们的斜率的商是2，求点的轨迹方程．
15.如图，DP⊥x轴，垂足为D，点M在DP的延长线上，且.当点P在圆上运动时，求点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状.

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